Banach不动点理论及其应用
不动点定理及其应用综述
摘要本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理
压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为： 定义1.1设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有
,x y X ∈，有下式成立
(,)(,)d Tx Ty d x y α≤（1.1）
则称T 是压缩映射。 定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得
21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （1.2）
则{}n x 为柯西点列。实际上，
111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤
21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤
10(,)m d x x α≤≤ （1.3） 根据三点不等式，当n m >时，
1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++
1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++ 011(,)1n m
m
d x x ααα
--=- （1.4）
由于1α<，故11n m α--<，得到
01(,)(,)()1m
m n d x x d x x n m αα
≤>-（1.5）
所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。由于X 完备，
x X ?∈，
使得()m x x m →→∞，又由三点不等式，有
1(,)(,)(,)(,)(,)m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+（1.6）
上面不等式右端在m →∞时趋于0，故(,)0d x Tx =，即x Tx =。 不动点的唯一性：假设同时存在x X '∈,有x Tx ''=成立，则
(,)(,)(,)d x x d Tx Tx d x x α'''=≤（1.7）
由于1α<，所以必有(,)0d x x '=，即x x '=。证毕。
定理中的映射T 是定义在整个X 上的，但实际上有些问题中遇到的映射T 只在X 的一个子集上有定义或压缩性质。为了适应这种情形的需要，定义X 上的闭子集的不动点定理如下。
定理 1.2设(,)X ρ是完备的。T 是X X →的映射。若在X 的闭球
0{:(,)}Y x x x r ρ=≤上T 是压缩的，并且满足条件
00(,)(1),(,)(,),,x Tx r Ty Tx y x x y Y ραραρ≤-≤?∈（1.8）
此处α是满足01α≤<的常数，则T 在Y 内有唯一的不动点。
证明：Y 作为(,)X ρ内的闭集按X 的距离成一完备距离空间，倘能证明()T Y Y ?，那么T 就是Y Y →上的压缩映射，根据不动点定理即可得证。实际上，任取x Y ∈，
令y Tx =，则000000(,)(,)(,)(,)(1)(,)x y x Tx x Tx Tx Tx r x x r ρρρρααρ=≤+≤-+≤，可见y Y ∈，证毕。
应用压缩映射原理需要注意的几个方面
（1）根据证明可知，为了获取不动点*x ，可以从X 中的任意一点出发 （2）在T 满足
(,)(,),d Tx Ty d x y x y <≠（1.9）
的条件下，T 在X 上不一定存在不动点。 例：令arctan ,2
Tx x x x R π
=+
-∈，T 是从R 到R 的映射。设,x y R ∈，则
(arctan arctan )Tx Ty x y x y -=---（1.10）
根据微分中值定理，必定存在(,)x y ξ∈，使得2
2
()1Tx Ty x y ξξ-=-+，故
Tx Ty x y -<-（1.11）
即(,)(,)d Tx Ty d x y <，但是当Tx x =时，方程arctan 2
x π
=
无解，因此，映射T 没
有不动点。
倘若给满足（）的算子加上适当的限制，便能保证T 有不动点。
定理1.3设(,)X ρ完备，映射:T X X →满足条件（）。若()T X X Ω=?是列紧集，则T 有唯一的不动点。
证明：取Ω的闭包X Ω?。它是X 内的自列紧集（即紧致性），而且有()T Ω?Ω。在Ω上定义一个实值函数
()(,)x x x φρρ=（1.12）
()x φ是Ω上的连续函数。它在Ω上达到最小值，即存在*x ∈Ω使
**(,)min (,)x x Tx x Tx ρρ∈Ω
=（1.13）
则**(,)0x Tx ρ=。假若不然，即**(,)0x Tx ρ>，考虑*Tx 和2*T x ，它们都属于Ω。而由（）得
*2***(,)(,)min (,)x Tx T x x Tx x Tx ρρρ∈Ω
<=（1.14）
得到矛盾，不动点的存在性证得。
T 的不动点是唯一的。假设有x x '''≠使得,Tx x Tx x ''''''==，那么一方面有(,)(,)Tx Tx x x ρρ''''''=，另一方面由（）有(,)(,)Tx Tx x x ρρ''''''<，矛盾，可见x x '''=。证毕。
（3）压缩映射原理中，距离空间的完备性不能少。 例：设(0,1]X =具有由R 诱导出的距离，定义T 如下：
x
Tx =2
（1.15）
T 是压缩映射，但是没有不动点。
（4）方程Tx x =的不动点*x 在大多数情况下实际上不易求得，因此常用n x 作为其近似值。这样就要估计n x 与*x 的误差。若用n x 近似代替*x ，由于1n n x Tx -=，则其误差为
*
00(,)(,)1n
n d x x d x Tx θθ
≤-（1.16）
这就是误差估计式。
二、隐函数存在定理和皮卡定理
定理2.1（隐函数存在定理）：设函数(,)f x y 在带状域
,a x b y ≤≤-∞<<+∞（2.1）
中处处连续，且处处有关于y 的偏导数(,)y f x y '，如果还存在常数m 和M ，满足
0(,),y m f x y M m M '<≤≤<（2.2）
则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ?=作为解：
(,())0,[,]f x x x a b ?≡∈（2.3）
证明：在完备空间[,]C a b 上作映射A ，使对任意的函数[,]C a b ?∈，有
1
()()()
(,())A x x f x x M
???=-。按照定理条件，(,)f x y 是连续的，故()()A x ?也
连续，即[,]A C a b ?∈。所以A 是[,]C a b 到自身的映射。
A 是压缩映射。实际上，对于12,[,]C a b ???∈，根据微分中值定理，存在
01θ<<，满足
212211*********()()()()
11()(,())()(,())1()()[,()(()())](()())
()()(1)
y A x A x x f x x x f x x M M
x x f x x x x x x M m
x x M
?????????θ??????-=-
-+'
=--+--≤-- （2.4）
由于01m M <
<，所以令1m M
α=-，则有01α<<，且 2121()()()()(()())A x A x x x ??α??-≤-（2.5）
按[,]C a b 中距离的定义，即知
2121(,)(,)d A A d ??α??≤（2.6）
因此，A 是压缩映射。由不动点定理，存在唯一的[,]C a b ?∈满足A ??=，即
1
()()(,())x x f x x M
???≡-
，也就是说(,())0,f x x a x b ?≡≤≤。证毕。 定理2.2（皮卡定理）：设(,)f t x 是矩形
00{(,),}D t x t t a x x b =-≤-≤（2.7）
上的二元连续函数，设(,)f t x M ≤，(,)t x D ∈，又(,)f t x 在D 上满足利普希茨条件，即存在常数K ，使对任意的(,),(,)t x t v D ∈，有
(,)(,)f t x f t v K x v -≤-（2.8）
那么方程
(,)dx
f t x dt
=在区间[]00,J t t ββ=-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =的连续函数解，其中
1
min{,,}b a M K
β<（2.9）
为了证明本定理，首先有如下结论和定理： 结论：C[a,b]是完备的度量空间
定理2.3 完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 上的闭子空间
（皮卡定理）证明：设0C[,]0t t ββ-+表示区间0[,]0J =t t ββ-+上连续函数全体按距离d(x,y)max ()()t J
x t y t ∈=-所成的度量空间，由上面结论，0C[,]0t t ββ-+是
完备度量空间，又令C '表示0[,]0C t t ββ-+中满足条件
0()x t x M β-≤()t J ∈（2.10）
的连续函数全体所成的子空间，不难看出C '是闭子空间，由上面定理知，C '是完备度量空间。令
0(T )(t)(t,(t))dt t
t
x x f x =+?（2.11）
则T 是C '到C '的映射。事实上，因M b β<，所以若x C '∈，那么当0[,]0t t t ββ∈-+时，(,())t x t D ∈，又因(,)f t x 是D 上二元连续函数，所以上式右端积分有意义。又对一切t J ∈，
00()()(,())t
t Tx t x f t x t dt M t t M β-=
≤-≤?
（2.12）
所以，当x C '∈时，Tx C '∈。下面证明T 是压缩映射，实际上，由条件（2.8），对C '中任意两点x 和v ，有
()()()()[(,())(,)t
t Tx t Tv t f t x t f t v dt
-=
-?0max ()()a t b
t t K x t v t ≤≤≤-- (,)K d x v β≤
（2.13）
令K αβ=，则01α<<，且
(,)max ()()()()(,)a t b
d Tx Tv Tx t Tv t ad x v ≤≤=-≤（2.14）
所以T 是C '上的压缩映射。由不动点定理，存在唯一的x C '∈，使得Tx x =，即
0()[(,())t
t
x t x f t x t dt =+?（2.15）
且00()x t x =。两边对t 求导，即得
()
(,())dx t f t x t dt
=。这说明()x t 是方程()
(,())dx t f t x t dt
=满足初值条件00()x t x =的解。另外，设()x t '也是此方程满足初值条件的解，那么
0()[(,())t
t x t x f t x t dt ''=+?（2.16）
因而x C ''∈，且x '是T 的不动点，由不动点唯一性必有x x '=，即方程
()
(,)dx t f t x dt
=在区间0[,]0t t ββ-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =的连续函数解，证毕。
三、利用Banach 不动点定理证明区间套定理
定理3.1（区间套定理）：若闭区间列{[]}n n a ,b 具有如下性质 (1) 11{[]}{[]},1,2,3,n n n n a ,b a ,b n ++?= (2)lim()0n n n b a →∞
-=
则存在唯一的ζ，使得[],1,2,n n a ,b n ζ∈=
在数学分析中，可根据单调有界原理证明区间套定理，下面采用不动点定理证明 证明：由条件（2），不妨设该区间列中任意两个区间不完全重合，显然闭区间
[]k k a ,b 按距离(,),,[],k 1,2,k k d x y x y x y a ,b =-?∈= 是完备距离空间。作映射：
11
1()()k k k k k k
b a f x x a a b a +++-=-+-（3.1）
于是对任意的[]k k x a ,b ?∈，有11()[][]k k k k f x a ,b a ,b ++∈?，从而()f x 是[]k k a ,b 到自身的映射。对于,[]k k x x a ,b '''?∈，有
11
()()k k k k
b a f x f x x x b a ++-''''''-=--（3.2）
令111(1)2k k k k b a
b a α++-=+-，由于11[][]k k k k a ,b a ,b ++?，于是1101k k k k b a b a ++-<<-，从而
01α<<且
11
k k k k
b a b a α++-<-，因此
()()f x f x x x α''''''-<-（3.3）
所以f 是[]k k a ,b 到自身的压缩映射。由Banach 不动点定理可知，f 在[]k k a ,b 上
存在唯一不动点，即存在[]k k k a ,b ζ∈，使得(),1,2,k k f k ζζ== ，因11[][]k k k k a ,b a ,b ++?，1,2,k = 故存在[],n 1,2,n n a ,b ζ∈=
假设另存在[],n 1,2,n n a ,b ζ'∈= ，则有,n n a b ζζ'≤≤，n 1,2,= ，于是
,n 1,2,n n b a ζζ'-≤-= （3.4）
从而lim()0,n 1,2,n n n b a ζζ→∞
'-≤-== ，因此ζζ'=，证毕。
四、不动点定理解线性代数方程组
定理4.1设有线性方程组x =Ax+b ，其中ij A a =是n n ?矩阵，12(,,,)T n x x x x = 是未知向量，12(,,,)T n b b b b = 是已知的n 维列向量，若矩阵A 满足条件
11
max 1n
ij i n
j a θ≤≤==<∑（4.1）
则方程组x =Ax+b 有唯一的解。
证明：令n X F =，对于任意的12(,,,)T n x x x x = ，(,,)T 12n y =y ,y y X ∈ ，定义它们的距离为1(,)max k k k n
d x y x y ∞≤≤=-，对于任意的x X ∈，定义映射:T X X →为：
Tx =Ax+b 。因为
11
1
(,T )max ()()
n n
ij j i ij j i i n
j j d Tx y a x b a y b ∞≤≤===+-+∑∑
11
max n
ij j j
i n
j a x y ≤≤=≤-∑
111
max max n
j j ij
i n
i n
j x y a ≤≤≤≤=≤-∑
11
max (,)n
ij i n
j a d x y ∞≤≤==∑ （4.2）
故T 为压缩映射，由(,)n F d ∞的完备性知，T 存在唯一的不动点*x ，因此
***x Tx Ax b ==+，即方程x =Ax+b 存在唯一解。
五、积分方程解的存在唯一性
定理5.1（第二类Fredholm 积分方程的解）设第二类Fredholm 线性积分方程
()()(,)()b a
x t f t K t s x s ds λ=+?（5.1）
其中λ为参数，对充分小的λ，则
（1）当[,]f C a b ∈，(,)K t s 是定义在a t b ≤≤，a s b ≤≤内的连续函数时，（5.1）有唯一的连续解()[,]x t C a b ∈，而且()x t 是迭代序列
1()()(,)(),0,1,2,b
n n a x t f t K t s x s ds n λ-=+=? （5.2）
的极限，其中0()x t 可取[,]C a b 中的任意函数；
（2）当2(,)f L a b ∈，积分核(,)K t s 是定义在a t b ≤≤，a s b ≤≤内的可测函数，满足
2
(,)b b
a
a
K t s dtds <+∞??
（5.3）
（(,)K t s 是定义在a t b ≤≤，a s b ≤≤内的2L 可积函数）时，（5.1）有唯一的解
2([,])x L a b ∈。
证明：（1）令:[,][,]T C a b C a b →为
()()()(,)()b
a Tx t f t K t s x s ds λ=+?（5.4）
由于()f t ，(,)K t s 分别在[,]a b 和[,][,]a b a b ?上连续，当[,]x C a b ∈，[,]Tx C a b ∈，即T 是[,]C a b 到自身的映射，并且算子T 的不动点*x 就是积分方程的解。一般情况下，T 不是压缩映射，但当1/[()]M b a λ<-时，T 为压缩映射，其中
,max (,)a t s b
M K t s ≤≤=。事实上，对[,]C a b 中的任意两元素x,y 有
,(,)max ()()()()a t s b
d Tx Ty Tx t Ty t ≤≤=-
,max (,)[()()]b
a
a t s b
K t s x s y s ds λ≤≤=-?
,max (,)()()b
a
a t s
b K t s x s y s ds λ
≤≤≤-?
,max ()()()a t s b
M x s y s b a λ≤≤≤--
()(,)M b a d x y λ=-（5.5）
可见，当()1M b a θλ=-<时，T 为压缩映射，由于[,]C a b 为完备空间，故T 存在唯一的不动点*x ，因此，1/[()]M b a λ<-时，积分方程（5.1）有唯一的连续解。
（2）令22:(,)(,)T L a b L a b →为
()()()(,)()b
a Tx t f t K t s x s ds λ=+?（5.6）
由2
(,)()b
b
a
a
K t s x s ds dt ?
?
2
2
[(,)()]b b
b
a
a
a
K s t ds x s ds dt ≤???
2
2
(,)()b
b
b
a
a
a
K s t dsdt x s ds =<+∞?
?
? （5.7）
以及T 的定义可知，T 是由2(,)L a b 到自身的映射，取λ充分小使得
2
1/2[(,)]1b
b
a
a
K t s dsdt θλ=
?
（5.8）
于是
{}
1/2
2
(,)()()()()b
a
d Tx Ty Tx t Ty t dt =
-?
1/2
2
(,)(()()b b a a K t s x s y s ds dt λ??=-?????? 1/2
2(,)()()b b a a K s t x s y s ds dt λ????≤-???
???????
{}
1/2
2
2
(,)()()b b
b
a
a
a
K s t dtds x s y s ds
λ
≤-??
?
1/2
2(,)(,)(,)b b a a K s t dtds d x y d x y λθ??
==????
??（5.9）
故T 为压缩映射，由不动点定理知，T 存在唯一的不动点*2(,)x L a b ∈，即积分方程（5.1）有唯一的平方可积解。证毕。
考虑V olterra 积分方程
()()(,)()t
a x t f t K t x d λτττ=+?（5.10）
其中()[,]f t C a b ∈，(,)K t τ在三角形域:R a t b τ≤≤≤上连续。
推论5.2设X 是完备距离空间，:A X X →,如果存在常数(0,1)α∈和正整数n,使得,x y X ?∈，有
(,)(,)n n d A x A y d x y α≤（5.11）
则A 在X 中存在唯一不动点。
定理5.3（V olterra 定理）1()[,],f t C a b R λ?∈∈，则积分方程（5.9）有唯一的连续解()[,]x t C a b '∈。
证明：记(,)max (,)t s R
M K t τ∈=。令
()()()(,)()t
a
Ax t f t K t x d λτττ=+?（5.12）
则易知:[,][,]A C a b C a b →，且对,[,]x y C a b ?∈，有
[,]
(,)max (,)(()())t
a
t a b d Ax Ay K t x y d λ
ττττ∈=-?
()(,)b a Md x y λ≤-（5.13）
注意这里()b a M λ-未必小于1，故A 并不一定是压缩映射。但可以证明：当n
充分大时，n A A A A =
是压缩映射，事实上， 2()()(()())()(,)()t
a A x t A Ax t A f t K t x d λτττ??==+????
?
()(,)()(,)()t u
a a f t K t u f u K u x d du λλτττ??=++????
??（5.14）
2222[,]
(,)max ()()()()t a b d A x A y A x t A y t ∈=-
2
[,]max (,)(,)(()())t
u
a a t a
b K t u K u x y d du λττττ∈??=-????
??
2221
(,)()2t
a M d x y u a λ≤-
2
2
2
()(,)2!
t a M d x y λ-=
222
()(,)2!
M b a d x y λ-≤
（5.15）
应用归纳法可以证明：[,],,[,]t a b x y C a b ?∈∈，有
()()(,)(,)(,)!
!
n
n
n n
n n
n n
M t a M b a d A x A y d x y d x y n n λλ--≤
≤
（5.16）
由于()lim
0!
n
n n
n M b a n λ→∞
-=，故当n 充分大时，有
()1!
n
n n
M b a n λα-=
<（5.17）
即A 是压缩映射，由推论5.2知，A 有唯一的不动点()[,]x t C a b '∈，即积分方程（5.10）有唯一的连续解()x t '。证毕。
根据以上证明可看出，Banach 空间不动点理论应用于微分方程，积分方程，线性方程组解的存在唯一性的证明将十分简便。
参考文献
[1]程其襄，张奠宙，魏国强等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2013. [2]孙永生，王昆扬.泛函分析讲义[M].北京：北京师范大学出版社，2007. [3]许天周.应用泛函分析[M].北京：科学出版社，2010.
[4]李广民，刘三阳.应用泛函分析原理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2003. [5]何瑞强.Banach 不动点定理的应用[J].吉林师范大学学报，May.2012，No.2,61-62.
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。 （一）、压缩算子: 1、定义： 设（1）X 距离空间； （2）算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤
（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 （3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。 （4）误差估计 ①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步，将* n x x ≈，则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取* n x x ≈。此方法简单，但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步，将*n x x ≈，则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点0x ； Step2 计算迭代点10x Tx =； Step3 控制步数，检查10(,)x x ρ，若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步，继续迭代，当10(,)x x ρε≤时终止，取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设（1）X ----完备的距离空间； （2）:T X X →的算子。
函数图像恒过定点问题
函数恒过定点问题 1.方程“0X=0”的理解：若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0 2.若方程mx=n有无数个解，则m=_____,n=_____ 方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。 一、直线过定点问题 由“y-yˊ=k（x-xˊ）”求定点把含有参数的直线方程改写成“y-yˊ=k（x-xˊ）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（xˊ，yˊ） 例1：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标 例2：若实数满足2a-3b=1，求证：直线ax＋by=5必过定点 练习题 1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点________ 2．直线y=mx+2m+14过定点________ 3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点________ 4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点________ 5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点________ 6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点________ 7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是________ 8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是________ 9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点________ 10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点________
不动点原理及其应用
题目：不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。 关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用
Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.
目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1)
1.1压缩映射原理（距离空间） (1) 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14)
函数不动点
【例题1】 (2010浙江大学) 设{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈ (1) 求证：N M ? (2) ()f x 单调递增时，是否有N M =？证明你的结论 解析：(1)任取0x M ∈，则00()f x x = 所以 000[()]()f f x f x x ==，因此0x N ∈，命题得证。 (3) 由(1)知，只需要证明M N ? 任取0x N ∈，则00[()]f f x x = 若00()x f x >，因为()f x 单调递增，所以000()[()]f x f f x x >=， 这与假设矛盾，因此00()x f x ≤；同理可得00()x f x ≥；故00()f x x =，所以0x M ∈，命题得证。 由此我们可以看出：()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，但是反之不真（例如：设()(,0)(0,)f x x x =-∈-∞?+∞，则易见定义域中的每个值都是[()]f f x 的不动点，但是()f x 没有不动点）。 由于()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，故当()f x 是多项式函数时， [()]f f x x -中一定含有()f x x -项。特别地，如果2()f x ax bx c =++，则22 2[()]()()f f x x a a x b x c b a x b x c c x -= ++++++- 22222()()a ax bx c ax ax b ax bx c c x =++-+++++- 2222()()(1)(1)(1)a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b =++-++++++-++ 222(1)(1)(1)(1)a ax b x c ax b x c b ax b x c ??????=+-+++++++-+?????? 222(1)(1)1ax b x c a x a b x ac b ????=+-++++++???? [()][()1]f x x af x ax b =-+++ 以此为基础，我们可以很容易地做出下面三个题目： 题目1 设2 ()f x x px q =++，{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈，如果{1,3}M =-，求N
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。 首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解， 且解是唯一的。 设A 是一个n n ?实矩阵，方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来： ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件： （1）(),F x y 在整个平面上连续； （2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0； 那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。 证明：用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全 体，其中d 满足1K d <。,f g X "?，用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间 的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于
(完整版)函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究 题1： 求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标． 归纳： 第一步：对含有变系数的项集中； 第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式； 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)； 第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤． 题2： （2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（） A. （1，3） B. （1，0） C. （－1，3） D. （－1，0）
巩固练习： 1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0） 2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（） ①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2． A．1个B．2个C．3个D．4个 3.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ． 4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ． 5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ． 6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ． 8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
不动点理论及其应用
不动点理论及其应用 主要内容： ●不动点理论—压缩映像原理 ●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用 目录： 一、引言 二、压缩映像原理 三、在微分方程中的应用 四、在中学数学中的应用 五、其它
一、 引言 取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上， 那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。 这个重合点就是一个不动点。 函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。 二、 压缩映像原理 定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理） 设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。