不动点原理及其应用
不动点原理
不动点原理不动点原理是数学中一个重要的概念，它在函数论、集合论、逻辑学等领域都有广泛的应用。
不动点原理最早由法国数学家布劳尔巴基提出，并在后来的发展中得到了广泛的推广和运用。
不动点原理的核心思想是寻找一个函数的不动点，即满足f(x)=x的点，这个概念在数学中有着重要的意义。
在函数论中，不动点原理被广泛应用于证明存在性定理。
通过构造适当的函数，可以利用不动点原理证明某些方程存在解。
例如，对于连续函数f(x)，如果存在一个点x使得f(x)=x，那么这个点x就是函数f的不动点。
利用不动点原理，可以证明某些非线性方程存在解，这对于解决实际问题具有重要意义。
在集合论中，不动点原理也有着重要的应用。
通过不动点原理，可以证明一些集合的存在性和性质。
例如，对于一个映射T，X→X，如果存在x∈X使得T(x)=x，那么x就是这个映射的不动点。
利用不动点原理，可以证明某些映射的不动点存在性，进而推导出一些集合的性质和结论。
在逻辑学中，不动点原理被用于证明一些命题逻辑和谓词逻辑的性质。
通过构造适当的函数或映射，可以利用不动点原理证明一些逻辑命题的存在性和性质。
例如，对于一个命题逻辑公式φ(x)，如果存在一个变元x使得φ(x)与x等价，那么这个x就是φ(x)的不动点。
利用不动点原理，可以证明一些逻辑命题的存在性和性质，推导出一些逻辑结论。
总之，不动点原理是数学中一个重要的概念，它在函数论、集合论、逻辑学等领域都有着广泛的应用。
通过寻找函数或映射的不动点，可以证明一些方程、集合、逻辑命题的存在性和性质，具有重要的理论和实际意义。
不动点原理的发展和应用，对于推动数学理论的发展和解决实际问题具有重要的意义。
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理是函数分析中的一项基本定理，又称为Banach不动点定理。
该定理是由波兰数学家斯蒂芬·巴拿赫于1922年提出的。
巴拿赫不动点定理可以简单地表述为：在完备度量空间中，连续映射必有不动点。
这个定理的意义在于，对于一些映射或者变换，必然存在一个点不会移动，这个点就被称作“不动点”。
而根据巴拿赫不动点定理，只要一个映射是连续的并且作用于完备度量空间，那么它必然存在不动点。
这个定理有很多应用，下面列举一些常见的：
1.在求解微积分方程、微分方程、积分方程时，巴拿赫不动点定理是很重要的工具。
2.在数值分析中，巴拿赫不动点定理可以用于求解线性方程组、优化问题以及非线性方程组的数值解。
3.在动力学系统中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些系统存在定点。
4.在实际应用中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些算法的收敛性以及求解某些不动点问题。
总之，巴拿赫不动点定理是数学中的一项重要定理，它的实际应用十分广泛。
不动点法原理
不动点法原理不动点法是一种数值计算方法，用于寻找方程$f(x)=x$ 的解，其中 $f(x)$ 是一个给定的函数。
它的原理是通过迭代的方式逼近不动点，即在每一次迭代中，将上一次迭代得到的结果作为输入，通过函数计算得到新的结果，直到满足某个终止条件为止。
具体来说，假设我们要解方程 $f(x)=x$，首先选择一个初始值$x_0$，然后迭代地计算 $x_1=f(x_0), x_2=f(x_1), x_3=f(x_2),\ldots$，直到达到满足终止条件的解。
终止条件可以是两次迭代之间的解的差值小于某个给定的阈值，或者设定一个最大迭代次数。
不动点法的关键是选择一个合适的函数 $f(x)$，使得方程$f(x)=x$ 的解也是 $f(x)$ 的不动点。
这通常可以通过对原方程进行变换得到。
一般来说，选择一个合适的初始值也对迭代的结果产生影响，过大或过小的初始值都可能导致迭代发散或者无法收敛到正确的解。
举个例子来说明不动点法的应用。
假设我们要解方程 $x^2-3x+2=0$，可以将这个方程变形为 $x=g(x)$ 的形式，其中$g(x)$ 是一个适当的函数。
我们可以令 $g(x)=x^2-3x+2$，这样原方程的解也就成了 $g(x)$ 的不动点。
选择一个初始值$x_0=0$，经过迭代计算，我们可以得到 $x_1=g(x_0)=-2,x_2=g(x_1)=0, x_3=g(x_2)=0, \ldots$，当迭代到 $x_2$ 时，解已经收敛，并且满足 $g(x_2)=x_2$，因此 $x_2$ 就是原方程的一个解。
总结来说，不动点法通过迭代计算来逼近方程$f(x)=x$ 的解，关键是选择适当的函数 $f(x)$ 和初始值 $x_0$，从而找到方程的不动点作为解。
不动点定理及应用张石生
不动点定理及应用张石生不动点定理是数学分析中的一个重要定理，也是实分析的基础之一。
它是通过将函数与自身的某个值进行比较，来研究函数性质的一个方法。
在实际问题中，不动点定理具有广泛的应用，如经济学、物理学、计算机科学等领域。
不动点定理的基本概念是，对于一个给定的函数f(x)，如果存在一个点c使得f(c)=c，那么c就是f的一个不动点。
换句话说，不动点是指函数f的输入和输出相等的点。
不动点定理的核心思想是通过迭代法逼近不动点。
最著名的不动点定理是B a n a c h不动点定理（也称为完备性原理），它的形式是：在完备度量空间中，任何一个压缩映射都有唯一的不动点。
其中，完备度量空间指的是一个具有一个完整的度量的空间，而压缩映射指的是一个将空间元素映射到自身并保持距离不变的映射。
不动点定理的应用非常广泛。
以下列举一些典型的应用领域。
1.经济学：在经济学中，不动点定理常常用于证明经济学模型中的均衡存在和稳定性。
例如，通过将供求函数模型转化为一个演化方程，可以证明在某些条件下存在一个不动点，表示市场均衡；而通过分析不动点的稳定性，可以研究市场的长期发展趋势。
2.物理学：在物理学中，不动点定理常用于分析非线性方程的解的存在性与性质。
例如，在动力系统的研究中，可以将动力学方程表示为一个不动点问题，通过分析不动点的性质来研究系统的稳定性和演化行为。
3.计算机科学：在计算机科学中，不动点定理常常用于程序的求解和优化。
例如，在编译器优化中，可以将程序转化为一个抽象语法树，通过对抽象语法树的变换来求解程序的不动点，以达到提高程序性能的目的。
4.几何学：在几何学中，不动点定理常用于证明几何变换的存在性和特性。
例如，在拓扑学中，可以通过不动点定理来研究拓扑空间的连续映射和同胚映射的性质。
综上所述，不动点定理是数学分析中的一个重要定理，它通过引入不动点的概念，研究函数的性质和方程的解的存在性。
在实际应用中，不动点定理被广泛用于经济学、物理学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
不动点收敛定理
不动点收敛定理引言：在数学中，不动点收敛定理是一种重要的收敛性证明方法，它在多个领域有着广泛的应用。
不动点收敛定理指出，对于某种函数或操作，如果存在一个不动点，即函数或操作的输出与输入相等的点，那么通过迭代运算，可以将输入逐步靠近不动点，从而实现收敛。
本文将介绍不动点收敛定理的基本概念、原理以及应用。
一、不动点的定义：在函数论中，给定一个函数 f(x)，如果存在一个实数 a，使得 f(a) = a，那么 a 就是函数 f(x) 的不动点。
不动点可以看作是函数f(x) 的输入与输出相等的点，即满足 f(a) = a 的点。
二、不动点收敛定理：不动点收敛定理是指，如果一个函数 f(x) 在某个区间上连续且导数存在，且在该区间上 f'(x) 的绝对值小于 1，那么通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，其中 x_0 是初始值，可以将 x_n 逐步靠近不动点 a。
定理的证明如下：假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续且导数存在，且在该区间上f'(x) 的绝对值小于 1。
我们设 x_0 是初始值，通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，我们希望证明 x_n 逐步靠近不动点 a。
根据函数的导数存在性，我们可以使用拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，存在一个点c，使得f(c) - f(x_0) = f'(c)(x_0 - c)。
由于 f'(x) 的绝对值小于 1，所以 |f'(c)| < 1，从而我们可以得到 |f(c) - f(x_0)| < |x_0 - c|。
接下来，我们将证明在每一步迭代中，x_n 与不动点 a 的差值不断减小。
假设在第 n 步迭代后，x_n 与不动点 a 的差值为 d_n = x_n - a，那么根据迭代运算有 x_{n+1} = f(x_n)。
我们可以将x_{n+1} 和 a 分别表示为 x_{n+1} = a + d_{n+1} 和 a + d_n，其中 d_{n+1} = x_{n+1} - a。
泛函分析中的不动点定理及应用
泛函分析中的不动点定理及应用泛函分析是数学中的一个重要分支，研究的是函数的空间以及变换等概念。
在泛函分析中，不动点定理是一项极为重要的结果，它在许多领域都具有广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、证明以及在泛函分析中的应用实例。
一、不动点定理概述不动点定理是泛函分析的基础定理之一，它指出在一定条件下，对于某个变换，总存在至少一个点在变换之后保持不变。
换句话说，就是存在一个点，该点在经过变换后仍然等于它自身。
不动点定理有多种形式，其中最著名的定理之一是巴拿赫不动点定理(Banach Fixed-Point Theorem)，该定理也被称为压缩映像原理(Contraction Mapping Principle)。
二、巴拿赫不动点定理及其证明巴拿赫不动点定理是泛函分析中最为经典的不动点定理之一，它具体表述为：若给定一个完备的度量空间，并且在该度量空间上定义了一个压缩映像，那么该压缩映像至少存在一个不动点。
压缩映像的定义如下：对于给定的度量空间(X, d)，若存在一个常数0 < k < 1，对于任意的 x, y ∈ X，满足d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y)，则称映像 f 是一个压缩映像。
巴拿赫不动点定理的证明基于完备性和收敛性的概念。
具体的证明过程略显复杂，在此不展开叙述，但是通过巴拿赫不动点定理的证明，我们可以得出一个重要结论：在完备的度量空间上，压缩映像的不动点是唯一的。
三、不动点定理的应用实例不动点定理在许多领域中都有着广泛的应用，以下是其中两个典型的应用实例：1. 应用于微分方程不动点定理在微分方程的研究中扮演着重要角色。
许多微分方程可以转化为积分方程，然后利用不动点定理证明解的存在性和唯一性。
例如，在实数轴上关于初始值问题的微分方程中，可以通过构造合适的算子和空间，将微分方程转化为一个算子方程，然后运用不动点定理证明方程存在解。
2. 应用于经济学模型在经济学领域中，不动点定理也有着广泛的应用。
不动点的性质与应用
不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点121、- 二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若为函数)(x f y =的不动点，则必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有 例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(2242422=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ， 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2121=-=x x⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x ⇒另外两解4514,3±-=x ， 故函数12)(2-=x x g 的稳定点是1、21-、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）ο1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即00)(x x f =000)())((x x f x f f ==⇒，故也是函数)(x f y =的稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况； 综上，f （x 0）=x 0⇒x 0是f （x ）的不动点．（2）ο1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上，若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.121例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。
不动点理论及其应用
不动点理论及其应用主要内容：●不动点理论—压缩映像原理●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用目录：一、引言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它一、 引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。
这个重合点就是一个不动点。
函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。
二、 压缩映像原理定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。
定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。
X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ， 满足下面三个条件：（1）。
0),(≥y x ρ， 而且0),(=y x ρ， 当且仅当 y x =； （2）。
),(),(x y y x ρρ=；（3）。
),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤， （X ,,∈∀z y x ）。
这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。
定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。
定义：（压缩映射）称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，如果存在 10<<a ， 使得 ),(),(y x a Ty Tx ρρ≤ ),(X y x ∈∀成立。
三、 在微分方程中的应用定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==.00)(),,(y x y y x f dx dy假设 ),(y x f 在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00内连续，而且对 y 满足Lipschitz 条件，则上述问题在区间],[00h x h x I +-= 上有且仅有一个解，其中.|),(|max },,min{),(y x f M Maa h R y x ∈>=（1）。
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题目：不动点原理及其应用摘要本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。
在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。
关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用AbstractIn this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too.Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.目录引言 (1)1.压缩映射原理 (1)1.1压缩映射原理（距离空间） (1)1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7)2.Schauder不动点定理 (9)3不动点定理的应用 (11)总结 (12)参考文献 (14)引言在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder 不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块内容，我们将给出定理，定理的证明以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。
1压缩映射原理1.1压缩映射原理（距离空间）定义1.1.1：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，若存在数01θ≤≤，使得对所有01θ≤≤，有()(),,Tx Ty x y ρθρ≤，则称T 是压缩映射。
【1】定理1.1.1：设X 是完备的距离空间，距离为ρ，T 是由X 到其自身的映射，且对任意的,x y X ∈，不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤， （1.1.1）成立，其中θ是满足不等式01θ≤≤的常数，那么T 在X 中存在唯一的不动点，既存在唯一的x X ∈使得T x -=x -，x -可用迭代法求得. 证明：在X 中任意取定一点0x ，并令10,21x Tx x Tx ==，......1,n n x Tx +=......，由()()()()12010100,,,,;x x Tx Tx x x x Tx ρρθρθρ=≤= ()()()()223121200,,,,;x x Tx Tx x x x Tx ρρθρθρ=≤=...............可证明()()100,,n n n x x x Tx ρθρ+≤ ()1,2,3.....n =()()()()1121,,,...,n n p n n n n n p n p x x x x x x x x ρρρρ+++++-+≤+++()()1100...,n n n p x Tx θθθρ++-≤+++()()()000,01,.11n n nx Tx x Tx θθθρρθθ-=≤--由于 01θ≤≤，所以0nθ→，则{}n x 是X 中的基本点列，由X 的完备性可知{}n x 收敛于X 中某一点x -，由（1.1.1）式可知，T 是连续映射，在1,n n x Tx +=中，令n →∞，可得T x -=x -，因此x -是T 的一个不动点。
下证唯一性：设另有y -使得y T y --=，则,,,,x y T x T y x y ρρθρ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为01θ≤≤，所以,0x y ρ--⎛⎫= ⎪⎝⎭，即x y --=，唯一性成立。
定理1.1.2：设T ：X X →是X 上的映射，若对于某个自然数k ，k T 有唯一不动点，则T 以同一点作为唯一不动点。
【2】证明：设0x X ∈是k T 的唯一不动点，00k T x x =，则()()000k k Tx T T x T Tx ==，因此0Tx 是k T 的不动点，由唯一性可知00Tx x =，又因为T 的每一个不动点肯定是k T 的不动点，因此T 的不动点是唯一的。
例1.1.1设(),K s t 是矩形,a s t b ≤≤上的连续函数，(),,sup a s t bK s t M ≤≤=<∞，对于每个μ∈Φ有()()(),,tax t K t dt t μτϕ=+⎰ （1.1.2）()[],t C a b ϕ∈，求证这个方程在[],C a b 中存在唯一解。
证明：考虑映射[][]:,,T C a b C a b →，()()()()[],,,taTx t K t dt t x C a b μτϕ=+∀∈⎰，则有()()()()()()(),taTx t Ty t K t x y d μττττ-=-⎰()()sup a t bM x t y t t a μ≤≤≤--()()=,M t a x y μρ- （1.1.3）对此进行归纳，()()()()()(),!nnn n n t a T x t T y t M x y n μρ--≤ ()()()()11n n T x t T y t ++-()()()()()=,tn n aK t T x T y d μττττ-⎰()()111,!ntn n a Ma d x y n μττρ++≤-⎰ ()()()111=,1!n n n t a M x y n μρ+++-+ （1.1.4）因此对任意的自然数n,()()()()(),sup n n n n a t bT x T y T x t T y t ρ≤≤=-()(),!n nn M b a x y n μρ-≤（1.1.5）当n 足够大时，使()1!n nn M b a n μ-<，则n T 是[],C a b 上的压缩映射，由于[],C a b 完备，因此nT 有唯一的不动点，根据定理1.1.2，T 有同一不动点，是方程的解。
例1.1.2设T 是压缩映射，求证n T 也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立.证明：（1）因为T 是压缩映射，因此存在存在()0,1γ∈，使得()(),,Tx Ty x y ργρ≤，则()()222,,T x T y Tx Ty ργργ≤≤，并且假设()(),,n n n T x T y x y ργρ≤成立，那么有：()()()()111,,,,n n n n n n T x T y T x T y x y x y ργργγργρ+++≤≤=，由数学归纳法可知 ()(),,n n n T x T y x y ργρ≤对任意自然数n 成立，由于()0,1γ∈，则()0,1n γ∈，所以n T 是压缩映射。
（2）该命题的逆命题不一定成立，如：()f x =：[][]0,10,1→； ()22x f x =：[][]0,10,1→是压缩映射,()f x =：[][]0,10,1→；不是压缩映射。
若()f x =：[][]0,10,1→；是压缩映射，则有，存在()0,1γ∈使得 ()()2121f x x x x γ-≤-，有()()2121f x f x x x γ-≤-，则差商是有界的。
但若取1212,x x n n ==，有()()()21211f x f x x x -=→∞-，与差商有界矛盾，故证。
例1.1.3 设[](),,,:D a b f D R=⨯-∞∞→满足：（1）f 在 D 上连续；（2）(),y f x y 在 D 上存在，()0,y m f x y M <≤≤，对于任意的(),x y D ∈，方程(),0f x y = 存在唯一的解 ()y x ϕ=.证明：[],C a b 是完备的距离空间，T 是C[a,b]到C[a,b]上的连续映射，()()(),max d x y x t y t =-，T 不是压缩映射，添加一个参数M 进行修正，()()()()()1,T x x f x x M ϕϕϕ=-，[][]1,2,,,C a b x a b ϕϕ∈∈，根据条件，结合中值定理可得：()()()()()()()()()()12112211,,T x T x x f x x x f x x M M ϕϕϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤-=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()12121,,x x f x x f x x M ϕϕϕϕ⎡⎤=---⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()12212121,.y x x f x x x x x x M ϕϕϕθϕϕϕϕ=--+--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()1212121max 1m m x x x x d x x M Mϕϕϕϕαϕϕ⎛⎫⎛⎫≤--≤--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，T是压缩映射，存在唯一()[],x a b ϕ∈，使得()[],x a b ϕ∈()()()(),,0T x x f x x ϕϕϕ==即.例1.1.4微分方程解的存在性和唯一性(,)dyf x y dx=， 00|x y y = (1.1.6)(),f x y 关于y 满足利普希兹条件：()()'',,f x y f x y K y y -≤-， x ,y ,'y R ∈.(1.1.7)其中K>0为常数，过定点()00,x y 的积分曲线只有一条 与方程（ 1.1.6）等价的积分方程为：()()()00,xx y x y f t y t dt =+⎰， (1.1.8)取δ>0满足1K δ<.在C []00,x x δδ-+中定义映射T ：()()()()00,xx Ty x y f t y t dt =+⎰ []()00,x x x δδ∈-+则有，()()()()()001,212max,,xx x x Ty Ty f t y t f t y t dt δρ-≤⎡⎤=-⎣⎦⎰()()0012maxxx x x K y t y t dt δ-≤≤-⎰()()()0121,2max t x K y t y t K y y δδδρ-≤≤-=. （1.1.9）根据压缩映射原理，存在唯一的连续函数()0y x []()00,x x x δδ∈-+使得：()()()0000,xx y x y f t y t dt =+⎰，由此，()0y y x =就是微分方程过()00,x y 的积分曲线。