数学二次函数的专项培优练习题(含答案)

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G，∠ DCF=2∠ BAC=∠ DGC+∠ CDG，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得 A（-4，0），C（0，2），
∵ 抛物线 y=- 1 x2+bx+c 经过 A．C 两点， 2
∴
0＝
1 16 4b c 2
，
2＝c
∴
b=
3 2
，
c=2
抛物线解析式为： y 1 x2 3 x 2 ; 22
y x 2
（2）联立
y
x2
2x
，
解得
x1 y1
1
，
3
x2 y2
2 0
，
∴ C（﹣1，3），
∵ A（1，﹣1），B（2，0），
∴ AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，
BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，
∴ AB2+BC2＝AC2，
1 2
a2
3 2
a
2
∴
M
a，1 2
a
2
∵ B1，0
∴
N
1,
5 2
∴
S1 S2
DM BN
1 a2 2a 2
5
1 a 22 4
5
5
2
∴
当
a
2
时，
S1 S2
的最大值是 4 5
;
②∵ A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴ AC=2 5 ，BC= 5 ，AB=5，
∴ AC2+BC2=AB2， ∴ △ ABC 是以∠ ACB 为直角的直角三角形， 取 AB 的中点 P，
在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y 1 x2﹣3；（3）M 的坐标为（3 3 ，6）或（ 3 ，﹣2）． 3
【解析】 【分析】 （1）把 C（0，﹣3）代入直线 y＝x+m 中解答即可； （2）把 y＝0 代入直线解析式得出点 B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分 M 在 BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】 （1）将 C（0，﹣3）代入 y＝x+m，可得：
9 3b c 0
b2
得到{
，解得{ ，
c3
c3
∴ 抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3， ∵ y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴ 顶点 D 坐标（1，4）； （2）①作 MG⊥x 轴于 G，连接 BM．则∠ MGB=90°，设 M（m，﹣m2+2m+3），
∴ MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，
∴ P（- 3 ，0）， 2
∴ PA=PC=PB= 5 ， 2
∴ ∠ CPO=2∠ BAC，
∴ tan∠ CPO=tan（2∠ BAC）= 4 ， 3
过 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R，交 AC 的延长线于 G，如图，
∴ ∠ DCF=2∠ BAC=∠ DGC+∠ CDG， ∴ ∠ CDG=∠ BAC，
【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（ 5 , 5 ）；（4）符合条件 24
的点 F 的坐标（1， 7 ）或（1，﹣ 7 ）或（1，2+ 7 ）或（1，2﹣ 7 ）． 【解析】
【分析】 （1）将 B（2，0）代入设抛物线解析式 y＝a（x﹣1）2﹣1，求得 a，将 B（2，0）代入 y ＝kx+2，求得 k； （2）分别求出 AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明； （3）作∠ BCE＝∠ ACB，与抛物线交于点 E，延长 AB，与 CE 的延长线交于点 A'，过 A'作 A'H 垂直 x 轴于点 H，设二次函数对称轴于 x 轴交于点 G．根据对称与三角形全等，求得 A' （3，1），然后求出 A'C 解析式，与抛物线解析式联立，求得点 E 坐标；
∴
BD＝
x1 x2
BF (2 1)2 (0 m)2 1 m2 ，
DF (1 0)2 (m 2)2 m2 4m 5 ，
①当 BF＝BD 时， 1 m2 2 2 ，
m＝± 7 ，
∴ F 坐标（1， 7 ）或（1，﹣ 7 ）
②当 DF＝BD 时， m2 4m 5 2 2 ，
m＝2± 7 ， ∴ F 坐标（1，2+ 7 ）或（1，2﹣ 7 ）
∴ 满足条件的 m 的值为 3 17 或 1 17 .
2
2
【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中
考压轴题．
2．如图，已知抛物线经过原点 O，顶点 A（1，﹣1），且与直线 y＝kx+2 相交于 B（2， 0）和 C 两点 （1）求抛物线和直线 BC 的解析式； （2）求证：△ ABC 是直角三角形； （3）抛物线上存在点 E（点 E 不与点 A 重合），使∠ BCE＝∠ ACB，求出点 E 的坐标； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点 F，使△ BDF 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 F 的坐标．
∴ tan∠ CDG=tan∠ BAC= 1 ， 2
即 RC：DR= 1 ， 2
令 D（a，- 1 a2- 3 a+2）， 22
∴ DR=-a，RC=- 1 a2- 3 a， 22
∴ （- 1 a2- 3 a）：（-a）=1：2， 22
∴ a1=0（舍去），a2=-2， ∴ xD=-2，
∴ - 1 a2- 3 a+2=3, 22
（4）设 F（1，m），分三种情况讨论：①当 BF＝BD 时， 1 m2 2 2 ，②当 DF＝BD
时， m2 4m 5 2 2 ，③当 BF＝DF 时， 1 m2 m2 4m 5 ，m＝1，然后代
入即可． 【详解】 （1）设抛物线解析式 y＝a（x﹣1）2﹣1， 将 B（2，0）代入， 0＝a（2﹣1）2﹣1， ∴ a＝1， 抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x， 将 B（2，0）代入 y＝kx+2， 0＝2k+2， k＝﹣1， ∴ 直线 BC 的解析式：y＝﹣x+2；
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（0， 3），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 DB． （1）求此抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）点 M 是抛物线上的动点，设点 M 的横坐标为 m． ①当∠ MBA＝∠ BDE 时，求点 M 的坐标； ②过点 M 作 MN∥ x 轴，与抛物线交于点 N，P 为 x 轴上一点，连接 PM，PN，将△ PMN 沿着 MN 翻折，得△ QMN，若四边形 MPNQ 恰好为正方形，直接写出 m 的值．
③当 BF＝DF 时， 1 m2 m2 4m 5 ，
m＝1， F（1，1），此时 B、D、F 在同一直线上，不符合题意． 综上，符合条件的点 F 的坐标（1， 7 ）或（1，﹣ 7 ）或（1，2+ 7 ）或（1，2﹣
7 ）． 【点睛】 考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y 1 x 2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛 2
∴ △ ABC 是直角三角形；
（3）如图，作∠ BCE＝∠ ACB，与抛物线交于点 E，延长 AB，与 CE 的延长线交于点 A'，过
A'作 A'H 垂直 x 轴于点 H，设二次函数对称轴于 x 轴交于点 G．
∵ ∠ BCE＝∠ ACB，∠ ABC＝90°， ∴ 点 A 与 A'关于直线 BC 对称， AB＝A'B， 可知△ AFB≌ △ A'HB（AAS）， ∵ A（1，﹣1），B（2，0） ∴ AG＝1，BG＝OG＝1， ∴ BH＝1，A'H＝1，OH＝3， ∴ A'（3，1）， ∵ C（﹣1，3），
（2）①令 y 0，
∴ 1 x2 3 x 2 0 22
解得： x1 4 , x2 1
∴ B（1，0）
过点 D 作 DM x 轴交 AC 于 M，过点 B 作 BN x 轴交 AC 于点 N，
∴ DM ∥ BN ∴ DME∽BNE
∴ S1 DE DM S2 BE BN
设：
D
a，
24
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②如图中，∵ MN∥ x 轴，
∴ 点 M、N 关于抛物线的对称轴对称， ∵ 四边形 MPNQ 是正方形， ∴ 点 P 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，即 OP=1， 易证 GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，
当﹣m2+2m+3=1﹣m 时，解得 m= 3 17 ， 2
当﹣m2+2m+3=m﹣1 时，解得 m= 1 17 ， 2
BDE，
构建方程即可解决问题；②因为点 M、N 关于抛物线的对称轴对称，四边形 MPNQ 是正方
形，推出点 P 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，即 OP=1，易证 GM=GP，即|-
m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
【详解】
（1）把点 B（3，0），C（0，3）代入 y=﹣x2+bx+c，
3 m
2
解得 m=﹣ 1 或 3（舍弃）， 2
∴ M（﹣ 1 ， 7 ）， 24
当点 M 在 x 轴下方时， m2 2m 3 = 1 ， 3m 2