第三章-货币时间价值

A
=
PV
Hale Waihona Puke r1 − (1 +
r ) −n
式中方括号内的数值称作“资本回收系数”，记作(A/P，r，n)， 可利用年金现值系数的倒数求得。
3.预付年金终值（已知预付年金A，求预付年金终值FV）
预付年金与普通年金的差别仅在于现金流量的发生时间 不同。由于年金终值系数表和年金现值系数表是按常见的普 通年金编制的，在利用这种普通年金系数表计算预付年金的 终值和现值时，可在计算普通年金的基础上加以适当的调整。
时 点：
0
1
2
3
现金流： -100
发 生时间 ：
现在
-150
第1年 末 或 第2年 初
+50
第2年 末 或 第3年 初
图3-1 货币时间价值时间轴
+200
第3年 末 或 第4年 初
需要注意两点：
（1）除0点以外，每个时点数字代表的都是两个含义，即当期的期末和 下一期的期初，如时点t=1就表示第1期的期末和第2期的期初。 （2）现金流数字前面的正负号表示的是现金流入还是现金流出，其中正 号表示的数值是从公司外部流入到公司内部的现金，如收回的销售收入、 固定资产的残值收入等，而负号表示的数值则是指从公司内部流入到外 部的现金，如初始投资或其他现金投资等。
3
6.递延年金现值（已知递延年金A，求递延年金现值PV） 递延年金现值的计算有两种方法：
① 分段法，其基本思路是将递延年金分段计算。先求出正常发生 普通年金期间的递延期末的现值，然后再将该现值按单一支付款项 的复利现值计算方法，折算为第一期期初的现值。
假设递延期为m(m<n)，即先求出m期后的(n-m)期普通年金现 值，然后再将此现值折算到第一期初的现值。其计算公式为：
1
（四）单一支付款项和系列支付款项 单一支付款项是指在某一特定时间内只发生一次的简单现
金流量，如投资于到期一次偿还本息的公司债券就是单一支 付款项的问题。
系列支付款项是指在n期内多次发生现金流入或现金流出。 年金是系列支付款项的特殊形式，是在一定时期内每隔相同 时间（如一年）发生相同金额的现金流量。
2.预付年金
预付年金又称为先付年金，是指一定时期内，每期期初 发生的等额现金流量。例如对租入的设备，如果要求每年年 初支付相等的租金额，那么该租金就属于预付年金的形式。 与普通年金相同，预付年金也既可以求现值，也可以求终值。
3.递延年金
递延年金又成为延期年金，是指第一次现金流量发生在 第2期、或第3期、或第4期……的等额现金流量。一般情况 下，假设递延年金也是发生在每期期末的年金，因此，递延 年金也可以简单地归纳为：第一笔现金流量不是发生在第1 期的普通年金，都属于递延年金。对于递延年金，既可以求 现值，也可以求终值。
FV = PV (1 + r)n
其中，（1+r）n通常称为“复利终值系数”，记作（F/P，r，n），可直 接查阅 “复利终值系数表”。
（2）复利现值（已知终值FV，求现值PV） 计算现值的过程通常称为折现，是指将未来预期发生的
现金流量按折现率调整为现在的现金流量的过程。对于单一 支付款项来说，现值和终值是互为逆运算的。现值的计算公 式为 ：
式中方括号中的数值，通常称作“年金终值系数”，记作(F/A，r，n )，可以直接查阅 “年金 终值系数表”。
2
在实际工作中，公司可根据要求在贷款期内建立偿债基 金，以保证在期满时有足够的现金偿还贷款的本金或兑现债 券。此时的债务实际上等于年金终值FV，每年提取的偿债基 金等于分次付款的年金A。也可以说，年偿债基金的计算实 际上是年金终值的逆运算。其计算公式为：
通常将以年为基础计算的利率称为名义年利率 APR，将名义年利率按不同计息期调整后的利率称为 有效利率EAR（Effective Annual Rate）。
设1年复利次数为m次，名义年利率APR为rnom， 则有效利率EAR的调整公式为：
EAR
= 1 +
r nom m
m − 1
以APR为6%为例，不同复利次数的EAR如表所示。
息之外，每经过一个计息期所得到的利息也要计算利息，逐 期滚算，俗称“利滚利”。
（三）现值和终值
现值即现在（t=0）的价值，是一个或多个发生在未来 的现金流相当于现在时刻的价值，用PV（Present value的 简写）表示。终值即未来值（如t=n时的价值），是一个或 多个现在发生或未来发生的现金流相当于未来时刻的价值， 用FV（Future value的简写）表示。
EAR
=
lim 1 + rnom
m
− 1
=
e rnom
−1
m → ∞
m
5
二、影响利率的因素
货币的时间价值和风险价值通常是以利率(就广义而言)的形式 表现出来的。从资本借贷关系看，利率既是借款者（资本使用权购 买者）所支付的代价，也是贷款者（资本使用权出售者）所取得的 收益。
7.永续年金现值（已知永续年金A，求永续年金现值PV） 永续年金的现值可以通过普通年金现值的计算公式推导得出。
PV
=
A
1
−
(1 + r
r ) −n
当n→∞时，(1+r)-n的极限为零，故上式可写成：
PV = A × 1 r
8.增长型永续年金现值（已知第0期现金流量C0，每年增长 率为g，求现值PV）
4.永续年金
永续年金是指无限期支付的年金，即永续年金的支付期 n趋近于无穷大。由于永续年金没有终止的时间，因此只能 计算现值，不能计算终值
二、终值和现值的计算
(一)单一支付款项的终值和现值 单一支付款项的终值和现值一般简称为复利终值和复利
现值。 （1）复利终值（已知现值PV，求终值FV）
复利终值是指一项现金流量按复利计算的一段时期后的 价值，其计算公式为：
P V = C 0 (1 + g ) = C 1
r−g
r−g
三、利率与计算期数的计算
影响现金流量时间价值的因素有四个：现值、终值、利 率（折现率）和计息期数，只要知道了其中任意三个因素就 可求出第四个因素。在以上计算中都是假定利率（折现率）、 计息期数、现值（或终值）是已知的，求解终值（或现值）。 但在某些情况下，也可以根据计息期数、终值或现值求解利 率（折现率），或根据利率（折现率）、终值或现值求解计 息期数。
PV
=
A
1
−
(1
+r r
) − (n −1)
+ 1
也可以写成：
P V = A [( P / A , r , n − 1) + 1]
PV = A(P / A, r, n)(1 + r)
5.递延年金终值（已知递延年金A，求递延年金终值FV）
递延年金的第一次现金流量并不是发生在第一期的，但 如果将发生递延年金的第一期设为时点1，则用时间轴表示 的递延年金与普通年金完全相同，因此递延年金终值的计算 方法与普通年金终值的计算基本相同，只是发生的期间n是 发生递延年金的实际期限。
PV = FV (1 + r ) − n
其中，（1+r）-n通常称为“复利现值系数”，记作（P/F，r，n），可直 接查阅 “复利现值系数表”。
（二）系列支付款项的终值和现值
由于系列支付款项可以分为普通年金、预付年金、递延年金和永续 年金等形式，因此计算终值和现值时要区别对待。
1.普通年金终值（已知普通年金A，求终值FV）
A
=
FV
(1
+
r r)n
− 1
式中方括号中的数值称作“偿债基金系数”，记作(A/F，r，n)，可通过 年金终值系数的倒数推算出来。
2.普通年金现值（已知普通年金A，求现值PV）
普通年金现值是指一定时期内每期期末现
金流量的现值之和。年金现值计算的一般公式为：
PV
=
1 − (1 + r ) − n
第三章 货币时间价值
第一节 货币的时间价值
一、基本概念及符号
（一）时间轴
顾名思义，时间轴就是能够表示各个时间点的数轴。如果不同 时间点上发生的现金流量不能够直接进行比较，那么在比较现金数量的 时候，就必须同时强调现金发生的时点。如图2-1所示，时间轴上的各个 数字代表的就是各个不同的时点，一般用字母t表示。
普通年金又称为后付年金，是指一定时期内，每期期末发生的等额 现金流量。（一般凡涉及年金问题，如不作特殊说明均指普通年金。） 年金终值犹如零存整取的本利和，它是一定时期内每期期末现金流量的 复利终值之和。
设每年的支付金额为A，利率为r，期数为n，则普通年金终值的计算
公式为：
FV
=
A
(1
+
r)n r
− 1
4
（一）利率r的计算
计算利率r时，可以首先列出终值或现值的计算公式， 然后通过求解方程式的方法将未知数r求出来。首先根据已 知的条件计算出终值或现值的换算系数：
(F / P,r,n) = FV PV
(F / A, r, n) = FV A
; (P / F,r,n) = PV FV
; (P / A, r, n) = PV A
频率 按年计算 按半年计算 按季计算 按月计算 按周计算 按日计算 连续计算
不同复利次数的EAR
m
rnom/m
1
6.000%
2
3.000%
4
1.500%
12
0.500%
52
0.115%
365
0.016%
∞
0
EAR 6.00% 6.09% 6.14% 6.17% 6.18% 6.18% 6.18%
上表表明，如果每年复利一次，APR和EAR相等；随着复 利次数的增加，EAR逐渐趋于一个定值。从理论上说，复利 次数可以为无限大的值，当复利间隔趋于零时即为连续复利 (continuous compounding)，此时：