【名校课堂】2016年八年级数学下册 小专题二 矩形的性质和判定测试题(新版)湘教版

矩形的性质和判定
类型1 矩形与折叠
1．(台州中考)如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）
A．8 cm B．5 2 cm
C．5.5 cm D．1 cm
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）
A．12 B．10
C．8 D．6
3．(南平中考)将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝50°，则∠AEB′＝________.
4．如图，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．
5．(通辽中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE长为________．
6．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H.
(1)求证：△ABE≌△AGF；
(2)若AB＝6，BC＝8，求△ABE的面积．
7．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF.且AB＝10 cm，
AD＝8 cm，DE＝6 cm.
(1)求证：□ABCD是矩形；
(2)求BF的长；
(3)求折痕AF的长．
类型2 矩形与运动
8．(南昌中考)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
9．已知，G是矩形ABCD的边AB上的一点，P是BC边上的一个动点，连接DG、GP，E、F分别是GD、GP的中点，当点P从B向C运动时，EF的长度（）
A．保持不变B．逐渐增大
C．逐渐减小D．不能确定
10．如图，P为矩形ABCD的边BC上的一个动点，对角线AC，BD相交于O点，且PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB ＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为（）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．10
11．如图，点P 是矩形ABCD 对角线BD 上的一个动点，AB ＝6，AD ＝8，则PA ＋PC 的最小值为________．
12．(葫芦岛中考)如图，矩形ABCD 中，点M 是CD 的中点，点P 是AB 上的一动点，若AD ＝1，AB ＝2，则PA ＋PB ＋PM 的最小值是________．
13．如图，A ，B ，C ，D 为矩形ABCD 的四个顶点，AB ＝25 cm ，AD ＝8 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，运动到点B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向点D 移动．
(1)P ，Q 两点从出发开始到第几秒时，PQ ∥AD?
(2)试问：P ，Q 两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ 的面积为84平方厘米．
14．如图，已知在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 是AB 上(不与A 、B 重合)的一动点，过P 作PE⊥AC，PF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，M 为EF 的中点．
(1)请判断四边形PECF 的形状，并说明理由；
(2)随着P 点在边AB 上位置的改变，CM 的长度是否也会改变？若不变，请你求CM 的长度；若有变化，请你求CM 的变化范围．
参考答案
1．A 2.B 3.65° 4.12 5.3或32
6.(1)证明：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD.由折叠的性质得：AG ＝CD ，∠EAG ＝∠BCD，∠G ＝∠D＝∠B.
∴AB ＝AG ，∠BAD ＝∠EAG.
∴∠BAE＝∠GAF.在△ABE 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE＝∠GAF，AB ＝AG ，∠B ＝∠G，
∴△ABE ≌△AGF(ASA)．
(2)根据折叠的性质可得AE ＝EC ，设BE ＝x ，则AE ＝EC ＝8－x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理可得62＋x 2＝(8－x)2.
解得x ＝74.则S △ABE ＝12AB·BE＝12×6×74＝214
. 7.(1)证明：∵把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，
∴AE ＝AB ＝10，AE 2＝102＝100.
又∵AD 2＋DE 2＝82＋62＝100，
∴AD 2＋DE 2＝AE 2.
∴△ADE 是直角三角形，且∠D＝90°.
又∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴□ABCD 是矩形．
(2)设BF ＝x ，则EF ＝BF ＝x ，EC ＝CD －DE ＝10－6＝4(cm)，FC ＝BC －BF ＝8－x ，在Rt △EFC 中，EC 2＋FC 2＝EF 2，即
42＋(8－x)2＝x 2.解得x ＝5.故BF ＝5 cm.
(3)在Rt △ABF 中，由勾股定理得，AB 2＋BF 2＝AF 2.
∵AB ＝10 cm ，BF ＝5 cm ，
∴AF ＝102＋52
＝55(cm)．
8.C 9.C 10.B 11.10 12.3
13.(1)设P ，Q 两点从出发开始到第x 秒时，PQ ∥AD ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，即AP∥DQ.
∵PQ∥AD，
∴四边形APQD 是平行四边形．
∴AP ＝DQ.
∴3x ＝25－2x.解得x ＝5.
答：P ，Q 两点从出发开始到第5秒时，PQ ∥AD.
(2)设P ，Q 两点从出发开始到第a 秒时，四边形PBCQ 的面积为84平方厘米，
∵BP ＝25－3a ，CQ ＝2a ，
∴根据梯形面积公式得：12
(25－3a ＋2a)·8＝84.解得a ＝4. 答：P ，Q 两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ 的面积为84平方厘米．
14.(1)四边形PECF 是矩形．理由：
∵AC 2＋BC 2＝32＋42＝52＝AB 2，
∴∠ACB ＝90°，
∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，
∴∠PEC ＝∠ACB＝∠CFP＝90°.
∴四边形PECF 是矩形．
(2)CM 的长度会改变，理由：连接PC.由(1)证得四边形PECF 是矩形，
∴EF ＝PC.过点C 作CD⊥AB，此时CD ＝PC 且PC 最小．
∴PC ＝AC·BC AB ＝125
＝2.4. ∵点P 在斜边AB 上(不与A 、B 重合)，
∴PC ＜BC ＝4.
∴PC 的范围是2.4≤PC＜4.即EF 的范围是2.4≤EF＜4. ∵M 为EF 的中点，
∴CM ＝12
EF. ∴CM 的范围是1.2≤CM＜2.。