八年级数学矩形的性质
专题16 矩形的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(解析版)
专题16矩形的判定与性质★知识归纳●矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点梳理：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.●矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点梳理：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.●矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点梳理：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.★实操夯实一．选择题（共11小题）1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（）A．4B．5C．6D．8【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝4，故选：A．2．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC【解答】解：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形．故选：B．3．下列说法正确的是（）A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角互补的平行四边形是矩形【解答】解：∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项A不正确；∵有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项B不正确；∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项C不正确；∵对角互补的平行四边形一定是矩形，∴选项D正确；故选：D．4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．4【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．5．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）A．B．C．D．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，∴EF＝＝，∴CF＝3﹣＝，在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝＝4.8．故选：C．7．如图，ABCD是矩形，AC、BD相交于O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝2OE，∵AE＝2，∴，即4OE2﹣OE2＝12，∴OE＝2，∴OD＝OB＝2OE＝4；故选：C．8．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（）（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE＝S矩形ABCD．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG＝AG＝GE＝AE，∵∠AOG＝30°，∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；设AE＝2a，则OE＝OG＝a，由勾股定理得，AO＝＝＝a，∵O为AC中点，∴AC＝2AO＝2a，∴BC＝AC＝×2a＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a，∴DC＝3OG，故（1）正确；∵OG＝a，BC＝a，∴OG≠BC，故（2）错误；∵S△AOE＝a•a＝a2，S ABCD＝3a•a＝3a2，∴S△AOE＝S ABCD，故（4）正确；综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个．故选：C．9．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，∴BD＝2BO，即2BO＝16．∴BO＝8．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝4．故选：B．10．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【解答】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E 作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．二．填空题（共3小题）12．为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是（24﹣4π）m2．【解答】解：连接BP，如图，由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线，∵EF＝4m，∴BP＝2m，∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A，B，C，D，半径为2m的四分之一圆，以及BC和AD上的一段线段．长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4＝24（m2）．∴种植年花的区域的面积是：24﹣π×22＝（24﹣4π）（m2）．故答案为：（24﹣4π）．13．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是30°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．14．如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是②③．【解答】解：∵点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，∴EF∥CD，HG∥CD，EF＝CD，HG＝CD，HE＝AB，AB∥HE，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AB不一定等于CD，∴EH不一定等于EF，故①错误，∵AB＝CD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG平分∠HGF，故②正确，③∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠BCD＝90°，∵四边形HEFG是平行四边形，∴GF∥HE∥AB，∴∠GFC＝∠ABC，∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠BCD，∴∠GFC+∠EFB＝90°，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形HEFG是矩形，故③正确，故答案为：②③．三．解答题（共12小题）15．如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∵BF＝CE，∴BE＝CF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴AE＝DF．16．在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，点P为四边形外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：四边形ABCD为矩形．【解答】证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，连接OP，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴BD＝2OP，AC＝2OP，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．17．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分对角线BD，∴∠DOE＝∠BOF＝90°，OB＝OD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEO＝∠BFO，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（AAS），∴DE＝BF，∵EF垂直平分对角线BD，∴DE＝BE，BF＝DF，∴DE＝BE＝BF＝DF，∴四边形BFDE是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵∠BOF＝90°，∴∠A＝∠BOF＝90°，在Rt△BAE和Rt△BOF中，，∴Rt△BAE≌Rt△BOF（HL），∴AB＝OB，∵AB＝CD，OB＝OD，∴CD＝BD，∵∠C＝90°，∴∠CBD＝30°，∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°．18．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．（1）求证：OE＝OF；（2）若AC＝6，求AB的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）解：连接OB，如图所示：∵BF＝BE，OE＝OF，∴BO⊥EF，由（1）知，△AOE≌△COF，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴BO＝AC＝OA，∴∠BAC＝∠OBA，又∠BEF＝2∠BAC，∴∠BEF＝2∠OBE，而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝3，∴AB＝＝9．19．如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，AD＝BD．∵在▱DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，∴EC∥AD，EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．20．如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．求证：▱ABCD是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵O是AB的中点，∴AO＝BO，在△DAO和△CBO中，，∴△DAO≌△CBO（SSS），∴∠A＝∠B，∵∠A+∠B＝180°，∴∠A＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．21．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，又∵∠GEF＝90°，∴四边形EGCF是矩形．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴BC＝AB，∠ABC＝60°，∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，∴∠ABC＝∠BAD，∴BC∥DA，∵点E是线段AB的中点，∴CE＝AB＝BE＝AE，∵∠ABC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°＝∠ABD，∴BD∥CF，∴四边形BCFD为平行四边形；（2）证明：如图所示：∵BD∥CF，BE＝AE，∴AF＝DF＝AD，∴BC＝AF，又∵BC∥DA，∴四边形BCAF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形BCAF是矩形．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝1，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．24．如图，已知平行四边形ABCD．（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝4，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝AB＝4，∴平行四边形ABCD的面积＝AC•AB＝44＝16．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【解答】解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，得t＝3故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，则周长为：4AQ＝4×＝15cm面积为：．26．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ．（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，又∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6﹣x在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2∴x2+22＝（6﹣x）2，解得：x＝∴AQ的长是．。
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题学习目标1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系．2．掌握矩形的性质及识别方法．3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明．学法指导矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性．基础知识讲解1．矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件．2．矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．（3）矩形的对角线相等且互相平分．（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形．3．矩形的识别方法（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形．4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．重点难点重点：矩形的定义，性质及识别方法．难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用．易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形．典型例题例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．解∵ABCD 为矩形∴AC ＝BD ，且OA=21AC ，OB=21BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形∴OB ＝OA ＝AB ＝4，∴BD ＝2OB ＝2×4＝8cm ．例2．如图12-2-2所示：□ABCD 中AC ，BD 直交于O ，EF ⊥BD 垂足为O ，EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，且AE=EO=21DE.求证：□ABCD 为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD 为矩形，显然只要证AC ＝BD 即可，若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ，易证△AOE ≌△DOM ，∴OA ＝OD 问题得证．证明：取DE 的中点M ，连结OM ，∴在Rt △DOE 中，OM=21DE=DM ， ∴OE=AE=21DE ，∠OME=∠OEA ∴OM ＝OE ，DM ＝AE ，∠OMD ＝∠OEM ，∴△OMD ≌△OEA ，∴OA=OD ，在□ABCD 中，∵OA=21AC ，OD=21BD ， ∴AC ＝BC ∴□ABCD 为矩形．例3．已知：如图所示，E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD分析：由于CE ＝CA ，F 是AE 的中点，若连结CF ，则CF ⊥AE ．所示∠AFC ＝90°.所以要证BF ⊥FD ，只须再证∠CFB ＝∠AFD ．易知，只要证△AFD ≌△BCF ．证法一：连结CF ．因为CE ＝CA ，F 是AE 中点，所以CF ⊥AE ．所以∠AFD+∠DFC ＝90°，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°. 又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点，所以BF ＝AF ，所以∠FAB ＝∠FBA ，所以∠FAD=∠FBC ．所以△FAD ≌△FBC ．所以∠CFB=∠AFD ，所以∠CFB+∠DFC ＝90°，即BF ⊥FD ．证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.例4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．例5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠E ∴CE=CA创新思维例1．如图所示△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB．解答问题（1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2.（填“＞”“＜”“＝”）（2）如图（3）中△ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画个，利用图（3）把它画出来．（3）过图（4）△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来． （4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：本题主要考查矩形的性质和计算．解：（1）如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ，则CG=AE ．∵S 1=2S △ABC =2×21×AB ·CG=AB ·CG ，S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 （2）有2个如图乙（3）有3个如图丙（4）设矩形BCED ，ACHQ ，ABGF 的周长分别为L 1，L 2，L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S ，则有L 1=a a s 22+，L 2=b s 2+2b ，L 3cs 2+2c ， ∵L 1-L 2=s a 2+2a-（b b s 22+）=2（a-b ）ab s ab -，而ab ﹥s ，a ﹥b ∴L 1-L 2﹥0，即L 1﹥L 2.同理L 2＞L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．例2．如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角线于点F.（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．分析：先证∠OCE ＝∠OEC 就有EO ＝CO ，同理有FO ＝CO ，即有EO ＝FO ．当0运动到AC 的中点时，四边形AECF 对角钱互相平分．∠EcF ＝90°.则四边形AECF 为矩形．证明：（l ）∵MN ∥BC ，∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE ＝OC ，同理可证OF ＝OC ，∴OE=OF（2）当O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 为矩形，因为AO ＝OC ，OE ＝OF.解：由矩形的特征，AC ＝EF ，由AE ∥CF ，CE ∥AF 知BECD 是平行四边形，故AE ＝CF ，从而AC ＝FE ．中考练兵1．如图所示，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上BF ∥DF ，若AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE 边上的高与AD 的长相等．因此求BE 的长是关键．本题还可运用平移的方法，将△AED沿AB方向平移，使DE与BF重合，得空白部分所组成的图形是长12cm，宽5cm的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD的面积，减去空白部分的面积，即可得阴影部分的面积．也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得出阴影部分面积。
人教版八年级数学下册18.2 特殊的 平行四边形第二课时 矩形的性质课件
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1
矩形的性质与计算方法
矩形的性质与计算方法矩形是一种具有特殊性质和计算方法的几何图形，拥有广泛的应用领域和实际价值。
本文将详细介绍矩形的性质和计算方法，并探讨其在数学和实际生活中的应用。
一、矩形的性质1. 边长性质：矩形的四条边长度相等，对应边两两平行。
2. 角性质：矩形的四个角都是直角。
3. 对角线性质：矩形的对角线相等，且相互平分。
二、矩形的计算方法1. 周长计算：矩形的周长等于两条相邻边的长度之和的两倍。
即，周长C = 2 × (a + b)，其中a和b分别表示相邻边的长度。
2. 面积计算：矩形的面积等于两条相邻边的长度相乘。
即，面积A = a × b，其中a和b分别表示相邻边的长度。
3. 对角线计算：矩形的对角线长度可以通过勾股定理计算。
即，对角线d = √(a² + b²)，其中a和b分别表示相邻边的长度。
三、矩形的应用1. 数学领域应用：矩形是数学中的基本几何图形，它在数学的各个分支中都有重要的应用，如代数、几何、概率等。
矩形的性质和计算方法是解决各类与矩形相关问题的基础。
2. 建筑领域应用：矩形是建筑设计和施工中常见的形状，比如房屋的平面图通常是矩形。
矩形的性质和计算方法可以帮助建筑师和工程师计算房屋的面积、周长，从而更好地规划和布置建筑空间。
3. 器物设计应用：矩形形状的器物在生活中随处可见，如桌子、书架、电视等。
矩形的性质和计算方法可以帮助设计师确定正确的比例，确保产品的美观和功能性。
4. 地理测量应用：矩形的性质和计算方法在地理测量中也有重要应用，如测算土地面积、建筑用地面积等。
通过测量边长和角度，可以精确计算各类地理空间和物体的尺寸和形状。
结语：矩形作为一种特殊的几何图形，具有独特的性质和重要的计算方法。
理解矩形的性质和熟悉计算方法对于数学学习和实际应用都很重要。
通过学习矩形的相关知识，我们可以更好地理解和应用几何学，同时也有助于我们更好地规划和设计生活、工作和学习中的各类场景。
人教版初中八年级下册数学课件 《矩形》平行四边形(第1课时矩形的性质)
A
D
O
B
C
基础训练 1. 下面性质中，矩形不一定具有的是（ D）
A．对角线相等
B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线垂直
2. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行 线围成一个矩形，则原四边形一定是（ D ）
A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.点D是 AB的中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在 DE的左侧作等边△DEF，连接BF. 判断△BCD的形状；
温馨提示：矩形的定义有两个要素：
A
D
①四边形是平行四边形
②有一个角是直角，二者缺一不可。
B
C
矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质， 但它也有自己独特的性质。
2.矩形的性质（从边、角、对角线三个方面总结）
(1).边：①两组对边分别平行 ② 两组对边分别相等
A
D
几何语言：∵四边形ABCD是矩形
3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对 角线所夹锐角的度数为（ ）D
A．50° B．60° C．70° D．80°
4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于
（）
A
A．30° B．45° C．60° D．120°
例2. 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小 三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
B
C
∴AB//CD,AD//BC
AB=CD,AD=BC
矩形的性质及应用
矩形的性质及应用矩形是一种常见的几何形状，具有一些独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍矩形的性质及其在日常生活和工程领域中的应用。
一、矩形的定义和性质矩形是一种四边形，具有以下性质：1. 边长相等：矩形的对边两两相等，即AB = CD，BC = AD。
2. 对角线相等：矩形的对角线相等，即AC = BD。
3. 内角为直角：矩形的四个内角均为直角（90度角），即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
4. 互相平行：矩形的对边互相平行，即AB∥CD，AD∥BC。
5. 对边垂直：矩形的对边互相垂直，即AB⊥BC，AD⊥DC。
二、矩形的应用1. 建筑设计：矩形是建筑设计中常用的几何形状之一。
例如，在房屋平面设计中，矩形可以表示房间的墙壁，屋顶的平面形状等。
使用矩形结构可以简化建筑设计过程，使结构更稳定。
2. 产品设计：许多产品的外观设计都使用了矩形的形状。
例如，电视、手机、书桌等产品的外形通常是矩形，因为矩形有较大的空间利用率和良好的稳定性，便于制造和使用。
3. 数学推导：矩形的性质在数学推导中经常被应用。
例如，利用矩形的对角线相等性质，可以推导出勾股定理；利用矩形的内角为直角性质，可以推导出平行线之间的角度关系等。
4. 图像处理：在图像处理和计算机图形学中，矩形常被用作图像的基本单元。
图像可以被划分成一个个矩形像素块，利用矩形的性质和坐标系统进行处理和显示。
5. 地理测量：在地理测量中，矩形常被用来表示土地的边界、建筑物的平面布局等。
通过测量矩形的边长和角度，可以计算土地的面积和建筑物的体积。
6. 电路布局：在电路设计中，矩形的形状可以用来表示电路板的外形和内部布局。
矩形的边界可以作为电路板的导线和器件的连接点，方便电路布线和组装。
7. 几何推理：利用矩形的性质，可以进行一些几何推理和证明。
例如，通过对矩形的两个对角线进行分析，可以证明一个四边形是矩形。
三、总结矩形是一种重要的几何形状，具有明确的性质和广泛的应用。
初中数学矩形知识点总结
初中数学矩形知识点总结一、基本概念1. 矩形的定义矩形是一个有四个顶点的四边形，它的相对边相等且平行，且对角线相等的四边形称为矩形。
也可以说矩形是一种特殊的平行四边形。
2. 矩形的特点（1）矩形的四条边两两平行，相邻的两条边相等。
（2）对角线相等，且互相平分。
（3）矩形的内角为直角（90°）。
3. 矩形的符号表示用符号表示的矩形通常为ABCD，其中A、B、C、D分别为顶点，AB、BC、CD、DA分别为边，AD和BC为对角线。
常用的表示法有□ABCD、□A=□B=□C=□D等。
4. 矩形的四边和对角线矩形的周长P等于底和高的2倍，即P=2(A+B)，其中A、B分别为矩形的底和高。
矩形的面积S等于底乘高，即S=AB。
对角线AC等于√(A²+B²)，其中A、B分别为矩形的底和高。
二、矩形的性质1. 矩形内角性质矩形的内角为直角（90°），即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
2. 矩形的对角线性质任意两个对角相等，即AD=BC，AC=BD。
3. 矩形的边和角的关系矩形的相对边相等且平行，对角也相等。
4. 矩形的周长和面积矩形的周长等于底和高的2倍，即P=2(A+B)；面积等于底乘高，即S=AB。
其中A、B分别为矩形的底和高。
5. 矩形的对角线关系对角线相等，即AC=BD；对角线互相平分，即AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。
6. 矩形的对角线和面积关系对角线的平方等于底和高的平方和，即AC²=AB²+BC²=AD²+DC²。
7. 矩形的高的性质一个矩形的高等于它的边长的最小值。
8. 矩形的对角线的性质对角线的相交点是矩形中点。
三、矩形的相关定理1. 矩形的对角线长度定理在一个矩形中，对角线的平方等于底边的平方加上高的平方，即AC²=AB²+BC²=AD²+DC²。
八年级数学矩形的性质
A
D
O
P
B
C
4.已知:如图,在矩形ABCD中, 对角线相交 于点O,∠AOB=60°,AE平分∠BAD,AE 交BC于E,求∠BOE的度数. 75°
A
D
O
B
E
C
根据矩形性质2：
A
D
矩形的对角线相等. O
∵四边形ABCD是矩形. B
C
∴AC=BD 又∵0A=0C=
1
AC,OB=OD=
1
BD.
2
A2
┏C
性质2：
矩形的对角线相等.
符号语言:
∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD
根据矩形性质2：
A
D
矩形的对角线相等.
O
∵四边形ABCD是矩形. B
C
∴AC=BD
又∵0A=0C= 1 AC,OB=OD= 1 BD.
2
2
∴OA=OB=OC=OD.
注: 矩形被两条对角线分成的四个小三角形
都是等腰三角形,并且面积相等.
∴OA=OB=OC=OD.
O
结论:
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
归纳: 直角三角形的性质: (1)直角三角形的两个锐角互余. (2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例3 如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O,E为矩形ABCD外一点，AE⊥CE,
那么BE⊥DE吗？
为什么？
解题思路：
E
由OE=OA=OC
A
D
得到OE=OB=OD 再得到∠BED=90°
O
B
C
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小时候，我想看书，没有书可看。我想听书，用一个小收音机却搜不到。我有个小收音机，我经常用来听歌。一到晚上三更半夜，收音机里都是些广告，或者是关于夫妻生活方面不和谐的一问一答。
我的人生并不精彩，我只是一个普普通通的人。虽然有时想打破人生僵局，做一个不那么普通的人，但遗憾的是，我力不从心，并没有什么过人之处。
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