九年级数学矩形性质和判定的应用PPT教学课件
合集下载
1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册
B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
北师大版九年级数学上册1.2.1矩形的性质与判定课件(共23张PPT)
边形是什么图形?
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的性质与判定第2课时课件北师大版九年级数学上册
6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，点 F 在
CD 边上， CF ＝ AE ，连接 AF ， BF .
(1)求证：四边形 BFDE 是矩形；
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DF ∥ EB ， AB ＝ CD .
又∵ CF ＝ AE ，∴ DF ＝ BE . ∴四边形 BFDE 是平行四边形.
已知：如图2，四边形ABCD是平行四边形，AC=DB.
A
求证：四边形ABCD是矩形.
B
图2
D
C
探究新知
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC，AB∥DC.
又∵ BC=CB，AC=DB，
A
D
∴ △ABC≌△DCB .∴∠ABC=∠DCB .
∵ AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB=180°.B
第4题图
1
2
3
4
5
6
10
.
第2课时
矩形的判定
知识梳理
课时学业质量评价
5. 如图，在▱ ABCD 中，下列条件① AC ＝ BD ；②∠1＋∠3＝90°；③
OB ＝ AC
；④∠1＝∠2，其中能判断▱ ABCD 是矩形的有 ①②③④
第5题图
1
2
3
4
5
6
.
第2课时
矩形的判定
知识梳理
课时学业质量评价
形，若 AC ＝8 cm，则 BC 的长为(
D
)cm.
第3题图
A. 4
B.
C. 2
1
2
3
D. 4
4
矩形的性质与判定ppt课件
随堂练习
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，
AB=6，AO=4，求BD与AD的长. (填空)
A
D
O
知识技能
B
C
1. 一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个
矩形的各边长. (填空)
2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个 矩形较短边的长. (填空)
O
B
C
(2)图中有哪些等腰三角形？这些等腰三角形中哪些是全等三角形？
解：(2)△AOB，△BOC ，△COD， △DOA
(3)△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA的面积相等么？为什么？ 解：(3)S△AOB=S△BOC =S△COD=S△DOA
议一议:
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC
①对角相等，邻角互补 ②对边平行且相等 ③对角线互相平分 ④对角线相等
⑤每条对角线平分对角 ⑥四条边相等 ⑦四个内角都相等 ⑧对角线垂直
探究二：矩形的性质
想一想 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)线段OA，OB，OC，OD有什么数量关系？ A
D
解：(1) OA=OB=OC=OD
B
C
证明： (1)∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠BAD，
AB∥DC.
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵∠ABC = 90°
∴∠BCD= 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
探究二：矩形的性质 证明矩形的性质
已知： 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB
1.2 课时2 矩形的判定 课件 (共20张PPT) 数学北师版九年级上册
矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：∵ 四边形ABCD是四边形 ∠A=∠B=∠C=90°∴ 四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法
几何语言
定义法
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵□ABCD， ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形
定理
对角线相等的平行四边形是矩形
∵□ABCD， AC=BD, ∴ 四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
S□ ABCD=BCAB=
2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
B
1.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（ ）A.15cm B.30cm C.45cm D.90cm
矩形的判定方法：
平行四边：2024年9月15日
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
这一步的依据是？
矩形的定义
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD∴□ ABCD是矩形
条件:(1)平行四边形；（2）对角线相等
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形。
几何语言：∵ 四边形ABCD是四边形 ∠A=∠B=∠C=90°∴ 四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法
几何语言
定义法
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵□ABCD， ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形
定理
对角线相等的平行四边形是矩形
∵□ABCD， AC=BD, ∴ 四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
S□ ABCD=BCAB=
2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
B
1.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（ ）A.15cm B.30cm C.45cm D.90cm
矩形的判定方法：
平行四边：2024年9月15日
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
这一步的依据是？
矩形的定义
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD∴□ ABCD是矩形
条件:(1)平行四边形；（2）对角线相等
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形。
北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定(第2课时矩形的判定)课件(共26张)
｛AP=DP ∵ AB=PC ， BP=PC ∴△ABP≌△DCP（SSS）， ∴∠D=∠A， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=∠A=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形．
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
1.2矩形的性质与判定+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册
2．(2023·呼和浩特市中考)如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直
平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为
( A )
A．2 3
B．3
C．2 5
D．3 2
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．有一点P从点B沿着
BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交
证 明 ： ∵∠ABO ＝ ∠DCO ＝ 90° ， OB ＝
OC，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC．
∴OA＝OD．
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
1
1
∴OE＝ OA，OF＝ OD．
2
2
∴OE＝OF．
2．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO
＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是
AO，DO的中点．
2．如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量
湖泊两侧C，M两点间的距离，若测得AM的长为2.5 km，则M，C两点
间的距离为
( A )
A．2.5 km
B．3 km
C．4.5 km
D．5 km
3．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角
18
三角形的面积是______．
下列结论一定正确的是
( C )
A．AC平分∠BAD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．AC⊥BD
【变式1】矩形的两边长分别为6 cm和8 cm，则它的对角线长为
10
_____cm．
知识点2 直角三角形斜边上的中线性质
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中
北师大版初中九年级上册数学课件 《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第3课时)
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形 中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ADE≌△BCE.∴DE＝EC.又∵∠DEC＝90°，∴DC＝
2DE.∴AE＝
2 2 DE.AD
＝ DE2－AE2＝ DE2－12DE2，AD＝ 22DE.∴AD＋AB＝ 22DE＋ 2DE＝3 2 2 DE＝18.∴DE＝6 2.∴AD＝6，AB＝12.∴对角线 AC＝ AB2＋BC2＝ 122＋62
解：(1)可证得AD綊CN，得CD＝AN (2)由DM＝CM＝MN＝AM得AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形
15．(教材 P17 例 4 改编)如图，△ABC 中，点 O 是边 AC 上一动点， 过 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 外 角的平分线于点 F.
6．(2016·吴江模拟)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 已知下列6个条件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝ 90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD，则不能使四边形ABCD成为矩形的是 ( )C A．①②③ B．①②④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 7．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC，在不添加任何 辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ∠__A_＝__9_0_°__或__∠__A__＝__∠__B_或__∠__A__＋__∠__C_＝__1_8_0_°．(填上你认为正确的一个答 案即可)
第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定
第3课时 矩形性质和判定的应用
知识点 1：矩形的计算 1．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则 AB 的长为( D ) A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm
2．(2015·泰安)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的 垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为( C ) A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
3．如图，矩形 OBCD 的顶点 C 的坐标为(1，3)，则对角线 BD 的长等于( D )
A. 7 B．2 2 C．2 3 D. 10
4．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好 落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1＋∠2＝___9_0_°_．
知识点2：矩形的证明 5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩 形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是 (D) A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否垂直 D．测量其内角是否都为直角
11．(习题变式)如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中 五个小矩形的周长之和为__ 2_8_．
12．已知，如图所示，矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，且∠DEC＝90°， 已知矩形的周长为 36，求矩形的边长及对角线的长．
解：∵E 是 AB 的中点，∴AE＝BE.∵∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∴△
Hale Waihona Puke (1)求证：OE＝OF； (2)若 CE＝12，CF＝5，求 OC 的长； (3)当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？ 并说明理由．
解：(1)分别证 OE＝OC，OF＝OC (2)OC＝123
(3)当点 O 为 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形．理由：∵OA ＝OC，OE＝OF，∴四边形 AECF 是平行四边形，由(2)知∠ECF＝ 90°，∴▱AECF 是矩形
8．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证： 四边形BCDE是矩形．
证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠BAE＝∠CAD，又∵AE＝AD，AB＝ AC，∴△BAE≌△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，BE＝CD，又∵DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∠BED ＝∠CDE，∵BE∥CD，∴∠BED＋∠CDE＝180°，∠BED＝∠CDE＝ 90°，∴四边形BCDE是矩形
＝6 5
13．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为矩形ABCD外 一点，若AE⊥CE，求证：BE⊥DE.
证明：连接OE，证OE＝OB＝OD，可得∠BED＝90°
14．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点 M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
9．(2016·包头模拟)如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形， 点B在边EF上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则S1， S2的大小关系是( B ) A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．3S1＝2S2
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意 一点，作EF⊥AC于点F，作EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是 ___1_2__．