【100所名校】吉林省通化市2019-2020学年高三上学期12月月考数学(理科)试卷Word版含解析

吉林省通化市2019-2020学年高三上学期12月月考数学（理科）试卷一、选择题1．已知集合，则A∩（∁RB）=（）A．（﹣2，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．（﹣1，1] D．[﹣1，1]2．已知数列{an }是等差数列，其前n项和为Sn，若S2017=4034，则a3+a1009+a2015=（）A．2 B．4 C．6 D．83．已知实数x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值与最小值之差为（）A．5 B．6 C．3 D．44．将函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点（，0）对称，则函数g（x）=cos（x+φ）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣C． D．5．已知函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3），给定区间E，对任意x1，x2∈E，当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2），则下列区间可作为E的是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（3，6）6．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．8．现有四个函数：①y=x •sinx ；②y=x •cosx ；③y=x •|cosx|；④y=x •2x 的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A ．①④③②B ．③④②①C ．④①②③D ．①④②③9．已知在三角形ABC 中，角A ，B 都是锐角，且sin （B+C ）+3sin （A+C ）cosC=0，则tanA 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，首项a 1=d ，数列{a n 2}的前n 项和为S n ，等比数列{b n }是公比q 小于1的正弦有理数列，首项b 1=d 2，其前n 项和为T n ，若是正整数，则q 的可能取值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知点F 1、F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．2或512．设过曲线f （x ）=﹣e x ﹣x+3a 上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g （x ）=（x ﹣1）a+2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，1] B ．[﹣2，2]C ．[﹣2，1]D ．[﹣1，2]二.填空题13．若直线y=kx ﹣1与抛物线y 2=4x 有且只有一个公共点，则k 的值为 ．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹的长度为．15．已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，x，y∈R+，则x+y的最小值为．16．已知函数f（x）=有且只有3个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且2x2=x1+x3，则a= ．三.解答题17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A+C=，b=1．（1）记角A=x，f（x）=a+c，若△ABC是锐角三角形，求f （x）的取值范围；（2）求△ABC的面积的最大值．18．如图，已知平面ABC⊥平面BCDE，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，CD=1，点G为△ABC的重心，N为AB中点，．（1）当时，求证：GM∥平面DFN；（2）若时，试求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．19．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，直线x=4与x 轴交于点R ，与抛物线交于点S ，且（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线的焦点F ，作垂直于y 轴的直线l ，P 是抛物线上的一动点（异于l 与C 的交点），过点P 的切线交l 于点A ，交抛物线的准线于点M ，求证：为定值．20．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），短轴的端点分别为B 1，B 2，且•=﹣a ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．设弦MN 的中点为P ，试求的取值范围．21．已知函数f （x ）=lnx ﹣cx （c ∈R ） （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设函数f （x ）有两个相异零点x 1，x 2，求证：．选做题（本小题满分10分，二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin （）=2．（Ⅰ）求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为（﹣2，2），求|PB|+|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a、b、c∈R+，且a+b+c=1．（Ⅰ）求证：2ab+bc+ca+；（Ⅱ）求证：．吉林省通化市2019-2020学年高三上学期12月月考数学（理科）试卷参考答案一、选择题1．已知集合，则A∩（∁RB）=（）A．（﹣2，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．（﹣1，1] D．[﹣1，1]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x≤1，即A=（﹣2，1]，由B中y=lg（﹣x2+4x+5），得到﹣x2+4x+5＞0，即（x﹣5）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜5，即B=（﹣1，5），∴∁RB=（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞），则A∩（∁RB）=（﹣2，﹣1]，故选：A．2．已知数列{an }是等差数列，其前n项和为Sn，若S2017=4034，则a3+a1009+a2015=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】等差数列的前n项和．【分析】由=2017a1009=4034，得a1009=2，由等差数列的通项公式得a 3+a1009+a2015=3a1009，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{an }是等差数列，其前n项和为Sn，S2017=4034，∴=2017a1009=4034，∴a1009=2，∴a3+a1009+a2015=3a1009=6．故选：C．3．已知实数x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值与最小值之差为（）A．5 B．6 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件约束条件，作出可行域如图，易得A（2，3），由可得B（0，2）化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．当直线y=x﹣z过（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．则z=x﹣y的最大值与最小值之差为：4；故选D．4．将函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点（，0）对称，则函数g（x）=cos（x+φ）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+φ+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及余弦函数的性质可解得φ的值，求得函数g（x）的解析式为g（x）=cos（x+），利用余弦函数值域求得函数g（x）的最值．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），∴将函数f（x）图象向左平移个单位后，得到函数解析式为：y=2sin[2（x+）+φ+]=2cos（2x+φ+），∵函数的图象关于点（，0）对称，∴对称中心在函数图象上，可得：2cos（2×+φ+）=2cos（π+φ+）=0，解得：π+φ+=kπ+，k∈Z，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴解得：φ=，∴g（x）=cos（x+），∵x∈[﹣，]，x+∈[﹣，]，∴cos（x+）∈[，1]，则函数g（x）=cos（x+φ）在[﹣，]上的最小值是．故选：D．5．已知函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3），给定区间E，对任意x1，x2∈E，当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2），则下列区间可作为E的是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（3，6）【考点】函数恒成立问题．【分析】求出函数f（x）的定义域，根据复合函数单调性的判断方法求出函数f（x）的减区间，由题意知区间E为f（x）减区间的子集，据此可得答案．【解答】解：给定区间E，对任意x1，x2∈E，当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2），函数是增函数．由x2﹣2x﹣3＞0解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），因为y=递减函数，而t=x 2﹣2x ﹣3在（﹣∞，﹣1）上递减，在（3，+∞）上递增，所以函数f （x ）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（3，+∞）， 由题意知，函数f （x ）在区间E 上单调递增，则E ⊆（﹣∞，﹣1）， 而（﹣3，﹣1）⊆（﹣∞，﹣1）， 故选：A ．6．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是三棱柱割去一个同底等高的三棱锥所得，因此求几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，几何体是底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为1的三棱柱割去一个同底等高的三棱锥所得，所以体积为；故选B ．7．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意∠F 1PF 2=90°，利用直角三角形的边角关系即可得到|PF 2|=c ，|PF 1|=c ，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2=60°，∠F 1PF 2=90°，∴|PF 2|=c ，|PF 1|=c ，由双曲线的定义可得：|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，∴，解得e==．故选：D ．8．现有四个函数：①y=x •sinx ；②y=x •cosx ；③y=x •|cosx|；④y=x •2x 的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A ．①④③②B ．③④②①C ．④①②③D ．①④②③【考点】函数的图象．【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到． 【解答】解：根据①y=x •sinx 为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是；根据②y=x •cosx 为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数，在（，π）上的值为负数，故第三个图象满足；根据③y=x •|cosx|为奇函数，当x ＞0时，f （x ）≥0，故第四个图象满足； ④y=x •2x ，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足，故选：D．9．已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin（B+C）+3sin（A+C）cosC=0，则tanA的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】三角函数的化简求值．【分析】由sin（B+C）+3sin（A+C）cosC=0，得出tanC=﹣4tanB，tanA=﹣tan（B+C）=﹣=，利用基本不等式可得结论．【解答】解：由sin（B+C）+3sin（A+C）cosC=0，得﹣3cosCsinB=sinA，∴﹣3cosCsinB=sinCcosB+cosCsinB，∴﹣4cosCsinB=sinCcosB，∴tanC=﹣4tanB∴tanA=﹣tan（B+C）=﹣=，B为锐角可得tanB＞0．∴≤∴tanA的最大值为．故选A．10．已知等差数列{an }的公差d≠0，首项a1=d，数列{an2}的前n项和为Sn，等比数列{bn}是公比q小于1的正弦有理数列，首项b1=d2，其前n项和为Tn，若是正整数，则q的可能取值为（）A．B．C．D．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，化简可得=是正整数，代入选项，即可得到所求值．【解答】解：等差数列{a n }的公差d ≠0，首项a 1=d ， 可得a n =nd ，数列{a n 2}的前n 项和为S n ，则S n =d 2（12+22+…+n 2）=d 2，=d 2•=是正整数，将选项代入可得q=，是正整数8．故选：C ．11．已知点F 1、F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．2或5【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用的最小值为9a ，确定m=a 或4a ，此时c=2a 或5a ，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：设|PF 1|=m ，（m ≥c ﹣a ） 则根据双曲线的定义：|PF 2|=2a+m ，∴==+m+4a∵的最小值为9a ，∴m=a 或4a ，此时c=2a 或5a ，∴双曲线的离心率为2或5，双曲线的离心率为2时，不满足．故选：B．12．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x+3a上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=（x﹣1）a+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[﹣2，2] C．[﹣2，1] D．[﹣1，2]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x+3a的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x+3a上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=a（x﹣1）+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=（x﹣1）a+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x+3a上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=a（x﹣1）+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为[﹣1，2]．故选：D．二.填空题13．若直线y=kx﹣1与抛物线y2=4x有且只有一个公共点，则k的值为0或1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】若直线y=kx﹣1与抛物线y2=4x有且只有一个公共点，分类讨论，求出k的值，从而得到答案．【解答】解：①当直线y=kx﹣1且与x轴平行时，方程为y=﹣1，k=0，与抛物线y2=4x只有一个公共点，坐标为（，1）；②方程y=kx﹣1，与抛物线方程联立，消去y，得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，解得k=1，切线方程为y=x﹣1．综上所述，k=0或1．故答案为：0或1．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹的长度为．【考点】轨迹方程．【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到M的轨迹，再由勾股定理求得答案．【解答】解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为E，根据题目条件可知△PAE≌△CBE，∴PE=CE，点E也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点E，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，∴M的轨迹为线段DE．∵AD=2，AE=1，∴DE==．故答案为：．15．已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且，x ，y ∈R +，则x+y 的最小值为 ．【考点】基本不等式．【分析】M ，G ，N 三点共线，存在m ，使=m+（1﹣m ）=mx+（1﹣m ）y，又G 是△ABC的重心，可得=，结合基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵M ，G ，N 三点共线，∴存在m ，使=m+（1﹣m ）=mx+（1﹣m ）y，又∵G 是△ABC 的重心，∴==mx+（1﹣m ）y，∴mx=，（1﹣m ）y=，∴=1，即=3．∴x+y=（x+y ）=≥=，当且仅当x=y=时取等号．故答案为：．16．已知函数f （x ）=有且只有3个不同的零点x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），且2x 2=x 1+x 3，则a= ﹣ ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】解出f （x ）在[a ，+∞）上的零点，对f （x ）在各段上零点个数进行讨论，得出a 的值．【解答】解：f （x ）=，令x ﹣﹣3=0，解得x=﹣1或x=4． （1）若a ≤﹣1，则x 2=﹣1，x 3=4， ∵2x 2=x 1+x 3，∴x 1=﹣6，∴x 1=﹣6是方程﹣x ﹣+2a ﹣3=0的解，∴6++2a ﹣3=0，解得a=﹣．（2）若﹣1＜a ≤4，则x 3=4，∴x 2=，且x 1，x 2为方程﹣x ﹣+2a ﹣3=0的解，即x 1，x 2为x 2+（3﹣2a ）x+4=0， ∴x 1+x 2=2a ﹣3，x 1x 2=4，解得x 1=﹣2﹣2，x 2=1﹣或x 1=﹣2+2，x 2=1+．若x 1=﹣2﹣2，x 2=1﹣，则a==，与a ＞﹣1矛盾，若x 1=﹣2+2，x 2=1+，则a==，与x 2＜a 矛盾．（3）若a ＞4，则f （x ）在[a ，+∞）上无零点，而f （x ）=0在（﹣∞，a ）上最多只有两解，与f （x ）有三个零点矛盾．综上，a=﹣．故答案为：﹣三.解答题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A+C=，b=1．（1）记角A=x ，f （x ）=a+c ，若△ABC 是锐角三角形，求f （x ）的取值范围； （2）求△ABC 的面积的最大值． 【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知先求得B=，由正弦定理可得f （x ）=a+c=2sin （A+），由，得＜f （x ）≤2．（2）由（1）知B=，b=1，由余弦定理得：1=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，当且仅当a=c时，等=acsinB，即可求面积的最大值．号成立，由三角形面积公式S△ABC【解答】解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，A+C=，解得B=．∵在△ABC中，，b=1，∴a+c== [sinA+sin（﹣A）]= [sinA+sin cosA﹣cos sinA）]=sinA+cosA=2sin（A+），即f（x）=2sin（A+）．∵△ABC是锐角三角形，∴，得＜x+＜，于是＜f（x）≤2，即f （x）的取值范围为（，2]．（2）由（1）知B=，b=1，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即1=a2+c2﹣2accos，．∴1=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，当且仅当a=c时，等号成立．此时S=acsinB=acsin=ac≤，△ABC故当a=c时，△ABC的面积的最大值为．18．如图，已知平面ABC⊥平面BCDE，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，CD=1，点G为△ABC的重心，N为AB中点，．（1）当时，求证：GM∥平面DFN；（2）若时，试求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）当λ=时，连AG延长交BC于P，证明GM∥PF，P，D，F，N四点共面，即可证明：GM∥平面DFN．（2）当时，以P为原点，PC为x轴，PE为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求二面角M﹣BC﹣D的余弦值【解答】证明：（1）连AG延长交BC于P，因为点G为△ABC的重心，所以=，又=λ，λ=，所以==，所以GM∥PF，因为AC∥DF，DE∥BC，所以平面ABC∥平面DEF，又△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，N为AB中点，P为BC中点，所以NP∥AC，又AC∥DF，所以NP∥DF，得P，D，F，N四点共面，∴GM∥平面DFN．解：（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，∴平面DEF⊥平面BCDE，以P为原点，PC为x轴，PE为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），D（1，1，0），A（0，0，），F（，1，），B（﹣1，0，0），N（﹣，0，），设M（x，y，z），∵=λ，∴M（，λ，﹣），=（，λ，（1﹣λ）），=（0，1，0），∵λ=，∴M（，，），设平面MBC的法向量=（a，b，c），=（2，0，0），=（，，），则，取c=﹣2，得=（0，3，﹣2），面BCD的法向量=（0，0，1），设二面角M﹣BC﹣D的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角M﹣BC﹣D的余弦值为．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴交于点R，与抛物线交于点S，且（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线的焦点F，作垂直于y轴的直线l，P是抛物线上的一动点（异于l与C的交点），过点P的切线交l于点A，交抛物线的准线于点M，求证：为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得R，S的坐标，运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）设P点，利用导数求出过P的切线方程，进一步求出A，M的坐标，代入得答案．【解答】（1）解：抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），准线方程为y=﹣，由题意可得R （4，0），S （4，），则|RS|=，|SF|=+，由|FS|=|RS|，可得•，解得：p=2，则抛物线的方程为x 2=4y ；（2）证明：设P （x 0，y 0），由，得y ′=，则=，则过点P 的切线方程为，取y=1，得．取y=﹣1，得，∴M （，﹣1），∴|FM|===．∴=．20．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），短轴的端点分别为B 1，B 2，且•=﹣a ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．设弦MN 的中点为P ，试求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用数量积即可得到1﹣b 2=﹣a ，又a 2﹣b 2=1，即可解得a 、b ；（Ⅱ）把直线l 的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段MN 的中点P 的坐标，利用弦长公式即可得到|MN|，利用点斜式即可得到线段MN 的垂直平分线DP 的方程，利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式即可得到|DP|，进而得出的关于斜率k 的表达式，即可得到其取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意不妨设B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），则，．∵=﹣a ，∴1﹣b 2=﹣a ，又∵a 2﹣b 2=1，解得a=2，．∴椭圆C 的方程为；（Ⅱ）由题意得直线l 的方程为y=k （x ﹣1）．联立得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则，．∴弦MN 的中点P ．∴|MN|===．直线PD 的方程为．∴|DP|=．∴===．又∵k 2+1＞1，∴，∴．∴的取值范围是．21．已知函数f （x ）=lnx ﹣cx （c ∈R ） （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设函数f （x ）有两个相异零点x 1，x 2，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式． 【解答】解：（1）∵f （x ）=lnx ﹣cx ，∴x ＞0，f ′（x ）=﹣c=，当c ≤0时，f （x ）单调增区间为（0，+∞）．当c ＞0时，f （x ）单调增区间为（0，），f （x ）单调减区间为（，+∞）； （2）∵f （x ）有两个相异零点，∴设lnx 1=cx 1，lnx 2=cx 2，① 即lnx 1﹣lnx 2=c （x 1﹣x 2），∴=c ，②而x 1•x 2＞e 2，等价于：lnx 1+lnx 2＞2，即c （x 1+x 2）＞2，③由①②③得：（x 1+x 2）＞2，不妨设x 1＞x 2＞0，则t=＞1，上式转化为：lnt ＞，t ＞1设H （t ）=lnt ﹣，t ＞1，则H′（t）=＞0，故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，∴H（t）＞H（1）=0，即不等式lnt＞成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．选做题（本小题满分10分，二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）=2．（Ⅰ）求曲线C和直线l在该直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为（﹣2，2），求|PB|+|AB|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程，由直线l的极坐标方程能求出直线l直角坐标方程．（Ⅱ）及民，象，P（﹣2，2），利用两点意距离公式能求出|PB|+|AB|取最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1．∵直线l的极坐标方程为ρsin（）=2，∴=2，ρsinθ+ρcosθ=4，∴直线l直角坐标方程为x+y﹣4=0．（Ⅱ）如图，P关于y=﹣x+4对称点P′（x，y），|P′C|﹣r=P′A=P′A=|P′B|=P′B|+|A′B|，此时P′BA共成共线，|PB|+|AB|取最小值，又，解得x=2，y=6，∴|PA′|=﹣1=，∴．∴|PB|+|AB|的最小值是．．[选修4-5：不等式选讲]23．设a、b、c∈R+，且a+b+c=1．（Ⅰ）求证：2ab+bc+ca+；（Ⅱ）求证：．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）作差法化简1﹣2（2ab+bc+ca+）=（a+b+c）2﹣（4ab+2bc+2ca+c2），从而证明；（Ⅱ）易知+b≥2a， +b≥2c， +c≥2b， +c≥2a， +a≥2c， +a≥2b；从而证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵1﹣2（2ab+bc+ca+）=（a+b+c）2﹣（4ab+2bc+2ca+c2）=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴2（2ab+bc+ca+）≤1，∴2ab+bc+ca+；（Ⅱ）∵+b≥2a， +b≥2c， +c≥2b， +c≥2a， +a≥2c， +a≥2b；∴+b++b++c++c++a++a≥4（a+b+c），即+++2（a+b+c）≥4（a+b+c），故++≥2．。