北京名校数学(人教A)必修1【知识讲解】第一章 集合与函数综合

第一章集合与函数【学习目标】1.集合（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（4）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2.函数(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；集合具体函数了解奇偶性的含义；（5）能运用函数的图象理解和研究函数的性质.【知识网络】【要点梳理】一、集合1．集合含义与表示（1）某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫做元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．（2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法．它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法．2．集合间的关系（1）若集合中A 的任何元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记为“A ⊆B ”或“B ⊇A ”．（2）若A ⊆B ，且B 中至少存在一个元素不是A 的元素，则A 是B 的真子集，记为“A B ”或“B A ”．（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B ”．判断集合相等还可以用下面两种方法：A B ⊆且A B ⊇⇔A=B ；AB A B A B =⇔=． 要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．3．集合的基本运算（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的并集，记作“A ∪B ”．用数学语言表示为A ∪B={x|x ∈A ，且x ∈B}．（2）由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的交集，记作“A ∩B ”．用数学语言表示为A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．（3）若已知全集U ，A 是U 的子集，则由所有U 中不属于A 的元素构成的集合称为集合A 在U 中的补集．记作“U A ”．用数学语言表示为{,}U A x U x A =∈∉且．要点诠释： A B A A B =⇔⊆；A B A A B =⇔⊇．二、函数及其表示1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x （原象），在集合B 中都有唯一确定的元素()f x （象）与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．三、函数的性质1．函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．2．函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．【典型例题】类型一：集合的关系及运算例1．已知全集U=R ，集合M={x|－2≤x －1≤2}和N={x|x=2k －1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个【答案】B【解析】 ∵阴影部分为M ∩N={x|－2≤x －1≤2}∩{x|x=2k ―1，k=1，2，…}={x|―1≤x ≤3}∩{x|x=2k －1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B 项．【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．举一反三：【变式1】设全集为R ，{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，求()A B R 及()A B R ． 【答案】()A B R ={}|210x x x ≤≥或；()A B R ={}|2310x x x <<≤<或7. 例2．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题： ①若m =1，则S ={1}；②若12m =-，则14≤l ≤1；③12l =，则202m -≤≤． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【思路点拨】根据题中条件：“当x ∈S 时，有x 2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得2,1,l l l ⎧≤⎨≥⎩，对于②12m =-，则214l l l ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，对于③若12l =，则21,212m m ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．【答案】D【解析】 若m=1，则x=x 2，可得x=1或x=0（舍去），则S={1}，因此命题①正确；若12m =-，当12x =-时，214x S =∈，故min 14l =，当x l =时，22x l S =∈，则2l l =，可得1l =或0l =（舍去），故max 1l =，∴114l ≤≤，因此命题②正确；若12l =，则21212m m m ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，得02m -≤≤，因此命题③正确． 类型二：映射例3．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--．（1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象；（2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）．（2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ），应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象．【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242*********a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型三：函数的概念及性质例4．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x ->【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】 定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ） A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【答案】A【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例5．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ）A ．{x|x ＜－2或x ＞4}B ．{x|x ＜0或x ＞4}C ．{x|x ＜0或x ＞6}D ．{x|x ＜－2或x ＞2}【答案】 B【解析】 当x ＜0时，－x ＞0，∴33()()88f x x x -=--=--，又()f x 是偶函数，∴3()()8f x f x x =-=--， ∴338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， ∴33(2)8, 0(2)(2)8, 0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨---<⎪⎩， 30(2)80x x ≥⎧⎨-->⎩或30(2)80x x <⎧⎨--->⎩． 解得x ＞4或x ＜0，故选B ．例6．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac -=->，()f x 的最大值=依题意，当s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍⎡⎢⎢⎣中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有224404b ac b ac a a--=>--，4a a -=-．又a ＜0，因此a=－4，选B 项． 举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1）【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例7．已知函数13y x x =-++的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为（ ）A ．14B ．12C ．22D ．3 【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+．而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴22m M =．故选C 项． 举一反三：【变式1】（1）函数221x y x =+（x ∈R ）的值域是________． 【答案】[0，1）【解析】（1）注意到x 2≥0，故可以先解出x 2，再利用函数的有界性求出函数值域．由221x y x =+，得21y x y =-，∴01y y ≥-，解之得0≤y ＜1．故填[0，1）． 例8．设函数()|24|1f x x =-+．（1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示． （2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞． 举一反三：【变式1】 直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________．【答案】 514a << 【解析】 如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足114a a -<<，解得514a <<．例9. 已知函数2()a f x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可。