第三章 非稳态导热详解
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3-第三章非稳态导热讲解
School of Energy & Power Engineering
传
热
Heat Transfer
学
主讲教师：徐志祥
School of Energy & Power Engineering
第三章 非稳态导热
3.1 3.2 3.3
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热的分析解
School of Energy & Power Engineering
通过上面的学习，我们知道非稳态导热过程是 在外界流体表面传热和物体内部导热下进行的，事
实上外界流体表面传热与内部导热进行时的相对强
弱程度对物体内部温度随时间变化影响非常大。有
了热阻的概念，我们会想到这两个过程的相对强弱
会反映在外部对流换热热阻和内部导热热阻之比上，
基于此，人们定义了Bi数。
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c
cV
hA
结论：在传热条件和热电偶材料
物性已定的条件下，热电偶直径越 小， c 就越小，热电偶也越灵敏。
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4. 物体的散热量
0 ~ 时间内的总散热量可这样计算：
hA d
0
hA hA0 exp d 0 cV
hA cV0 1 exp cV
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例3.1 某球形热电偶，直径为1.2mm，初温为20℃， 3 c 400 J/(kg ℃) 。某一时 8930 kg/m 其物理参数为： ， 刻起将其放入80℃的气流中进行温度测量，对流换热 2 h 80 W/(m ℃) 。试写出热电偶温度 t 随时间的变 系数 化函数，并求出t = 79.9℃时，时间为多少秒？
传
热
Heat Transfer
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第三章 非稳态导热
3.1 3.2 3.3
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热的分析解
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通过上面的学习，我们知道非稳态导热过程是 在外界流体表面传热和物体内部导热下进行的，事
实上外界流体表面传热与内部导热进行时的相对强
弱程度对物体内部温度随时间变化影响非常大。有
了热阻的概念，我们会想到这两个过程的相对强弱
会反映在外部对流换热热阻和内部导热热阻之比上，
基于此，人们定义了Bi数。
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c
cV
hA
结论：在传热条件和热电偶材料
物性已定的条件下，热电偶直径越 小， c 就越小，热电偶也越灵敏。
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4. 物体的散热量
0 ~ 时间内的总散热量可这样计算：
hA d
0
hA hA0 exp d 0 cV
hA cV0 1 exp cV
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例3.1 某球形热电偶，直径为1.2mm，初温为20℃， 3 c 400 J/(kg ℃) 。某一时 8930 kg/m 其物理参数为： ， 刻起将其放入80℃的气流中进行温度测量，对流换热 2 h 80 W/(m ℃) 。试写出热电偶温度 t 随时间的变 系数 化函数，并求出t = 79.9℃时，时间为多少秒？
第三章非稳态导热
第三章⾮稳态导热第三章⾮稳态导热的分析计算 3-1 ⾮稳态导热过程分析⼀、⾮稳态导热过程及其特点导热系统（物体）内温度场随时间变化的导热过程为⾮稳态导热过程。
在过程的进⾏中系统内各处的温度是随时间变化的，热流量也是变化的。
这反映了传热过程中系统内的能量随时间的改变。
我们研究⾮稳态导热过程的意义在于，⼯程上和⾃然界存在着⼤量的⾮稳态导热过程，如房屋墙壁内的温度变化、炉墙在加热（冷却）过程中的温度变化、物体在炉内的加热或在环境中冷却等。
归纳起来，⾮稳态导热过程可分为两⼤类型，其⼀是周期性的⾮稳态导热过程，其⼆是⾮周期性的⾮稳态导热过程，通常指物体（或系统）的加热或冷却过程。
这⾥主要介绍⾮周期性的⾮稳态导热过程。
下⾯以⼀维⾮稳态导热为例来分析其过程的主要特征。
今有⼀⽆限⼤平板，突然放⼊加热炉中加热，平板受炉内烟⽓环境的加热作⽤，其温度就会从平板表⾯向平板中⼼随时间逐渐升⾼，其内能也逐渐增加，同时伴随着热流向平板中⼼的传递。
图3-1显⽰了⼤平板加热过程的温度变化的情况。
从图中可见，当0=τ时平板处于均匀的温度0t t =下,随着时间τ的增加平板温度开始变化，并向板中⼼发展，⽽后中⼼温度也逐步升⾼。
当∞→τ时平板温度将与环境温度拉平，⾮稳态导热过程结束。
图中温度分布曲线是⽤相同的?τ来描绘的。
总之，在⾮稳态导热过程中物体内的温度和热流都是在不断的变化，⽽且都是⼀个不断地从⾮稳态到稳态的导热过程，也是⼀个能量从不平衡到平衡的过程。
⼆、加热或冷却过程的两个重要阶段从图3-1中也可以看出，在平板加热过程的初期，初始温度分布0t t =仍然在影响物体整个的温度分布。
只有物体中⼼的温度开始变化之后(如图中τ>τ2之后)，初始温度分布0t t =的影响才会消失，其后的温度分布就是⼀条光滑连续的曲线。
据此，我们可以把⾮稳态导热过程分为两个不同的阶段，即：初始状况阶段――环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，也就是物体（或系统）仍然有部分区域受初始温度分布控制的阶段；正规状况阶段――环境对物体的热影响已经扩展到整个物体内部，且仍然继续作⽤于物体的过程，也就是物体（或系统）的温度分布不再受初始温度分布影响的阶段。
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
第三章 非稳态导热剖析
边界条件：（1） (x, ) 0
x x0
（2） h ( , ) (x, )
x x
（3-17） （3-18）
2、导热微分方程式的求解 ——二阶偏微分方程用分离变量法求解
设 (x, ) X (x)T ( ) X T
则 X (x) dT ( ) X dT （简写）
d
d
2
x2
T
(
)
d
边界条件：（1）t(x, ) 0
x x0
（3-13）
（分布对称性）
（2）h[t(
,
)
t
]
t ( x,
x
)
（3-14）
x
（表面对流换热，无内热源）
(x, ) 引入过余温度 t(x, ) t 则有
a
2
x2
， （0 x
， 0 ）（3-15）
初始条件：（1） (x,0) 0 （ 0 x ） （3-16）
习题：3-13，3-15
（5）
3-3 一维非稳态导热的分析解
一、无限大平板的分析解
一块厚为 2 的无限大平板为例， t(x, )
1、导热微分方程式及定解条件 t t(x, )
导热微分方程式，由式（2-8）得
t
a
2t x2
，（ 0 x
， 0 ）（3-11）
初始条件：（1）t(x,0) t0 ，（ 0 x ）（3-12）
二维 t(x, y, ) ，三维 t(x, y, z, )
二、导热微分式
仍可用式（2-8），通式
t
c
(
2t x2
2t y 2
2t z 2
)
c
除有边界条件外 还有初始条件：
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
传热学课件 第三章 非稳定导热
2
0e
特征尺寸
V A
hA cV
0e FoBi
a Fo V / A2
Bi
h(V / A)
4. 热量计算
0
hAt t hA hA0e BiF hA0ehA cV f
累积传热量 0 时传热量
Biv
hV A
h d 2 l 4 dl 2 d 2 4
h dl 4 140 0.50 0.3 0.049 0.05 l d 2 33 0.3 0.025
1
可以采用集总参数法.又
hA h V h 4l d 2 cV c A c dl 140 4 0.325 0.326 10 2 s 1 0.48 10 3 7753 0.005 0.3
cV
10.36 5 60 1.89103 0.138103 13110 0.953103 2
exp Bi Fo exp1.07103 1.89103 exp 2.02 0.133 V V
0
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
2. 数学描述
t t a x 2
2
引入过余温度
t t
0 t0 t
则
t x,0 t0
t x 0, 0 x x 0 t x , ht t x
t
t x x
方程简化为:
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆 柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参 数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。 解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv
0e
特征尺寸
V A
hA cV
0e FoBi
a Fo V / A2
Bi
h(V / A)
4. 热量计算
0
hAt t hA hA0e BiF hA0ehA cV f
累积传热量 0 时传热量
Biv
hV A
h d 2 l 4 dl 2 d 2 4
h dl 4 140 0.50 0.3 0.049 0.05 l d 2 33 0.3 0.025
1
可以采用集总参数法.又
hA h V h 4l d 2 cV c A c dl 140 4 0.325 0.326 10 2 s 1 0.48 10 3 7753 0.005 0.3
cV
10.36 5 60 1.89103 0.138103 13110 0.953103 2
exp Bi Fo exp1.07103 1.89103 exp 2.02 0.133 V V
0
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
2. 数学描述
t t a x 2
2
引入过余温度
t t
0 t0 t
则
t x,0 t0
t x 0, 0 x x 0 t x , ht t x
t
t x x
方程简化为:
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆 柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参 数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。 解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv
传热学第3章非稳态热传导-精品文档
VA ρ，λ，c
t∞ h
t 0
求解
物体冷却过程中温度随时间的变化规律； 物体放出的热量。
1. 物体在冷却过程中温度随时间的变化规律 根据能量守恒：
d t c V h A ( t t ) d
引入过余温度：
VA t∞ h
ρ ，λ ，c t
0
d c V hA d I . C 0 t t 0 0
cV 时， c
hA
36 . 8 % 0
c cV
hA
cV Bi Fo e e 0
h A
V V
定义时间常数：
说明
时间常数反映了导热物体对外界温度瞬间变化
响应的快慢程度。
热电偶的时间常数说明热电偶对流体温度变化
响应快慢的程度。
热电偶对流体温度变化反应快慢取决于自身
地传播到物体内部，因而物体内各点温度越 接近周围流体的温度。
3.2.3 集中参数法的适用范围及应用举例
判断是否采用集中参数法的依据：
Bi 0 . 1 M V
其中；大平板M=1，长圆柱 M=1/2，球 M=1/3。 集中参数法中特征长度的选取：
• 一般形状物体： l V A • 厚度为2δ的无限大平壁： • 半径为R的圆柱： • 半径为R的圆球： l R 2 • 边长为b的立方体：
1 h
2. 毕渥数 Bi 对温度分布的影响 分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi 0
t τ =0 τ 1 τ τ t∞ -δ 0 δ x
2 3
Bபைடு நூலகம்
t
t0
t∞ h
t 0
求解
物体冷却过程中温度随时间的变化规律； 物体放出的热量。
1. 物体在冷却过程中温度随时间的变化规律 根据能量守恒：
d t c V h A ( t t ) d
引入过余温度：
VA t∞ h
ρ ，λ ，c t
0
d c V hA d I . C 0 t t 0 0
cV 时， c
hA
36 . 8 % 0
c cV
hA
cV Bi Fo e e 0
h A
V V
定义时间常数：
说明
时间常数反映了导热物体对外界温度瞬间变化
响应的快慢程度。
热电偶的时间常数说明热电偶对流体温度变化
响应快慢的程度。
热电偶对流体温度变化反应快慢取决于自身
地传播到物体内部，因而物体内各点温度越 接近周围流体的温度。
3.2.3 集中参数法的适用范围及应用举例
判断是否采用集中参数法的依据：
Bi 0 . 1 M V
其中；大平板M=1，长圆柱 M=1/2，球 M=1/3。 集中参数法中特征长度的选取：
• 一般形状物体： l V A • 厚度为2δ的无限大平壁： • 半径为R的圆柱： • 半径为R的圆球： l R 2 • 边长为b的立方体：
1 h
2. 毕渥数 Bi 对温度分布的影响 分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi 0
t τ =0 τ 1 τ τ t∞ -δ 0 δ x
2 3
Bபைடு நூலகம்
t
t0
V4第三章-非稳态热传导-2014
1/ h /
6 6
1/ h / （ 2）
即对流换热热阻远大于导 热热阻，此时传热热阻主 要是边界对流换热热阻， 因而可认为同一时刻平壁 内部温度是相同的，而平 壁表面和流体间存在明显 温差，这一温差随着时间 推移和平壁总体温度降低 而逐渐减小。
1/ h /
半径为 r 的圆柱 半径为 r 的球体
V
r 2l r A 2 rl 2
4 V
r 3 2 A 4 r 3
r3
（2）对于形状如平板、柱体或球的物体，只要满足BiV≤0.1M， 就可以使用集总参数法计算，偏差小于5％。 与形状有关的无量纲量 无限大平板 M 1 1 无限长圆柱 M 2 球
毕渥数,无量纲特征数 傅里叶数
V
e Bi 0
FoV
exp BiV FoV
下角标V表示以 l=V/A为特征长度
14
傅里叶数的物理意义：
Fo
a
2
2 a
[s]
Fo为两个时间之比，是非稳态导 热过程的无量纲时间。
[m2]
[m2/s]
毕渥数的物理意义：
第三章 非稳态热传导
1
3-1
非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热的基本概念
★非稳态导热 ：温度场随时间变化的导热过程。 ★非稳态导热的类型： （1）周期性非稳态导热： 在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸 壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。 （2）非周期性非稳态导热： 在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工 件的加热或冷却、太阳辐射加热建筑物墙体等。
5 2015-5-24 5
（1）1/ h / 即对流换热热阻远小于平 板内的导热热阻，可认为 平壁表面温度一开始就和 流体温度基本相同，第三 类边界条件转化为第一类 边界条件。此时传热热阻 主要是导热热阻，因此平 壁内部存在温度梯度，并 随时间推移，平壁总体温 度逐渐降低。
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第一节 非稳态导热的基本概念
3、非稳态导热的基本特点
①. t ， 0这意味着任何非稳态导热过程必然伴随着加热 或冷却过程。
②.在非稳态导热过程中，热量传递方向上的不同位置的导热
量是不同的。
.
③.非稳态导热过程数学描写：
t
(
2t x 2
2t y2
2t z2
)
c
t(x, y,z,0) t0
第三章 非 稳 态 导 热
第一节 非稳态导热的基本概念 第二节 集中参数法 第三节 典型一维物体非稳态导热 第四节 半无限大物体非稳态导热 第五节 其它形状物体的瞬态导热
第一节 非稳态导热的基本概念
一、分类 物体的温度随时间而变化的导热过程叫非稳态导
热。根据物体的温度随时间而变化的特征可分为两类： 非稳态周非导期周热性期非性稳 非态稳导态热导热（又称为瞬态导热）
1.举例说明其
由tf1/升至tf1//所需时间 tw1
tw1/
ta
ta/
tb
tw1// ta//
tb//
tb/
tc
tc//
tc/ tw2/
tw2
tw2//
0 a b
c 0
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点：
qB
4>.墙内外表面热流密度的变化： a.内墙表面开始时，因温差大，q1
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点： 3>.墙内各处温度的变化：
t
tf1//
a bc
a.开始，因为tf1的上升→内墙表 面温度直线上升，靠近内墙的 墙体温度上升，而此时，a、b、
tw1//
ta//
c及外墙在短促时间内可认为 不发生变化；
tf1/ tw1/ ta/
③当两种热阻的数值比较接近，即Bi 为有限值时，其温度分布见图 3-4c。
第二节 集中参数法
一、集中参数法的实质：
当Bi≤0.1时，可忽略物体内部导热热阻而认为其内部温度场 均匀一致，此时的温度为 t 而f与 空间坐标无关。此简化分析
方法称为集中（总）参数法。因为物体的温度与空间坐标无关， 故集总参数法容易处理形状不规则的物体。
0
0
5>.图中阴影面积：墙体热力学能 的增加（蓄热）。
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
2.物体非稳态导热过程的温度分布可分为两种类型 ①非正规状况阶段：在初始阶段，物体内各点的温
度主要受初始温度的控制，随时间变化率是不一 样的，即各点的t/均不相同，且无规则； ②正规状况阶段：一定时间后，初始温度的影响逐 渐消失，物体的温度主要受热边界条件的影响， t/虽不一定相同，但有一定的规律可循。 一般，物体的整个非稳态导热过程主要处于正规状 况阶段，其温度分布是我们主要讨论内容。
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
指物体温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。 1.举例说明其过程特点：以采暖设备给室内供热为例，分析
墙内各点温度及热流密度的变化情况。 1>.已知：
a.墙外tf2始终保持不变； b.初始时刻，室内空气温度tf1/、墙体各点温度tw1/、ta/、 tb/、tc/、tw2/均稳定； c.供暖设备工作后，室内空气因热容小温度很快上升到tf1// 并保持稳定。 2>.问：墙内各点温度及热流密度如何变化？
cV
第二节 集中参数法
四、时间常数：
当采用集中参数法分析导热物体时，其过于温度随时间成
指数曲线变化，见图3-5.指数 cV 称hA为时间常数 。当 c
二、数学描写：
已知：任意形状物体，、c、、体积V，参加换热的全表面积
A，流体tf、h，初始时t|=0=t0，即0=t0-tf，且有Bi ≤ 0.1。如
下图：
A
据热平衡关系式（冷却时）：
V
, c,
t f
物体在单位时间放出的能量=对流换热量
即： -cVd/d=hA
0 t0 t f 0
h tf
第二节 集中参数法
三、求解：
对方程进行分离变量有：
d hA d cV
积分上式（由0积至，由0积至）得：
ln
0
hA
cV
即：
0
t tf t0 t f
exp
hA
cV
①温度场：
e
hA c V
0
指数
hA
cV
hV / A
c V 2 A
hL a
L2
Bi Fo
式中 Bi hl 为毕渥数，Fo l 2称为傅里叶数，其中
tb// tc// tw2//
tb/ tc/ tw2/
b.随着时间的推移，a、b、c处的 温度分别自a、b、c时刻后 开始上升；
tf2
c.外墙tw2自0时刻后开始上升； d.当各点t上升至“//”状态后，室
内对内墙的对流换热量等于外
x
墙的换热量，即达到新的稳态
阶段。
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
①1h 即
i
h
1
h
见图3-4a，由于表面换热热阻可以忽略，一开始平板表面温度就被
冷却到
于 tf。
tf
，
随着时间的推移，平板内各点的温度逐渐下降而趋近
②
1 h
即
i h 0
见图3-4b，由于平板导热热阻可以忽略，任一时刻各点的温度一致，
即t=f(τ),并随时间的推移整体下降，逐渐趋近于 。 tf
t n
w
h(tw
tf
)
数学上可以证明其解t=f(x,y,z，τ）是唯一的。
第一节 非稳态导热的基本概念
4、非稳态导热的三种情形
流设体一中块冷厚却2δ，的表金面属换平热板系，数初为始h温，度平为板的t0，导突热然系将数它为置λ。于根温据度平为板的t的f
导热热阻与表面对流换热热阻的相对大小，其温度分布有三种情形。 P116图3-4
呈直线上升（图中AB段），由
q1—内墙吸热量
于tw1先快后慢地上升，导致q1 也先快后慢地下降，直至q//不 变，达到新的稳态阶段；
q// C
b.外墙表面开始因tw2未变，故先
保持不变（图中AD段），后来
q/ A
q2—外墙放热量
D
由于tw2先快后慢地上升，导致 q2也先快后慢地上升，直至q// 不变，达到新的稳态阶段。
特征长度为 l V A ,对平板取半厚，对圆柱和球体取半径。
第二节 集中参数法
故温度分布为：
=0e-Bi·Fo 或： =0exp（-Bi·Fo）
②导热量：
导热物体在时刻的瞬时热流量为：
cV
dt
d
0hAexp
hA
cV
物体自0时刻到时刻与流体交换的总热量为：
Q
d
0
0 cV
1
exp
hA