最小生成树算法详解
最小生成树及算法
|S|=n-1, 说明是树 最后S={a1, a2, a3,… ,an-1}
B. 破圈法
算法2 步骤如下： (1) 从图G中任选一棵树T1. (2) 加上一条弦e1，T1+e1中 生成一个圈. 去掉此圈中最大权边，得到新树T2, 以T2代T1,重复(2)再检查剩余的弦，直到全部弦 检查完毕为止.
例 n个城市,各城市之间的距离如下表(距离为 ∞，表示两个城市之间没有直接到达的线路)。 从一个城市出发走遍各个城市,如何选择最优的 旅行路线.
性质 任何一棵树至少有两片树叶。 证明 设树T=(V,E),结点数为v，因T是连通的，因 此，树中每个结点vi,有deg(vi)1,且 deg(vi)=2(v-1)=2v-2. 若T中结点度数都大于2，则 deg(vi) 2v,矛盾。 若T中只有一个结点度数为1，则 deg(vi) 2(v-1)+1=2v-1 矛盾。
4 3
v5 3 v6
3.5 生成树的计数
1、一些概念 • • ① 设 G 是一个连通图。 T , T 分别是 G 的两个生成树，如果 E (T ) E (T ) ，则认为 T , T 是 G 的两个不同的生成树。 G 的 不同的生成树个数用 (G) 表示。 如：
v1 v3 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2
证明:⑴⑵ 当 n=2时, e=1, 显然 e=n-1. 假设n=k-1时命题成立，当n=k时，因G无圈、连 通，则至少有一条边(u,v),deg(u)=1，删去u，得到 连通无圈的图G1, G1的边数e1,结点数n1满足： e1=n1-1= k-2 将u,边(u,v)加到 G1中，得到T,且 e=n-1.
( K3 ) 3。 则：
② G-e: 从G中去掉边e后所得的图。
最小生成树算法过程详解(信息系统项目管理师考试)
最小生成树算法过程详解针对最小生成树算法这一知识点，相当一部分课本和相关参考书对算法过程讲解并不是特别详尽。
本文主要针对信息系统项目管理师考试，对最小生成树算法过程进行逐步解析，以更加促进对知识点的理解和掌握。
1.概念在连通的带权图的所有生成树中，权值和最小的那棵生成树（包含图中所有顶点的树）称作最小生成树（权值：在数据结构领域，权值是树或者图中两个结点路径上的值，这个值表明一种代价，如从一个结点到达另外一个结点的路径的长度、所花费的时间、付出的费用等）。
2.带权连通无向图的最小生成树算法（1）普里姆（Prim）算法设已知G=(V,E)是一个带权连通无向图，U为构造生成树过程中已被考虑在生成树上的顶点的集合，顶点V=｛0,1,2,…，n-1｝，T是构造生成树过程中已被考虑在生成树上的边的集合。
Eij为顶点i、j之间的边，且i∈U，j∈V-U。
初始时，U只包含1个出发顶点i，T为空。
从出发顶点i开始查找，连接该顶点的所有边中，如果边Eij具有最小权值,那么最小生成树应包含Eij。
把j加到U中，把Eij加到T中，然后又从i、j开始，查找除去边Eij以外的连接i、j的最小代价边，依次重复上述过程，并使T不产生回路，直到U=V为止。
这时，T即为要求的最小代价生成树的边的集合。
普里姆算法的时间复杂度为O（n²），适合于稠密图（边数远远大于顶点数的图）。
（2）克鲁斯卡尔（Kruskal）算法设T(V,ψ)为初始状态只有n个顶点而无边的森林，顶点V=｛0,1,2,…，n-1｝，Eij为顶点i、j之间的边。
初始时，T只包含n个顶点。
按边代价递增的顺序，依次选择Eij并加入T，重复上述过程，并使T不产生回路，直到所有顶点均连接为止，此时T为最小生成树。
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(elog2e），较适合于稀疏图（边数远远小于顶点数的图）。
下面，分别运用两种算法对例题进行解析。
例：下图是某地区的通信线路图，假设其中标注的数字代表通信线路的长度（单位：千米），现在要求至少要架设多长的线路，才能保持6个城市的通信联通？普里姆算法：1.选择A为出发顶点，查找连接顶点A的顶点中权值最小的边。
最小生成树的算法
最小生成树的算法王洁引言：求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。
下面将介绍几种最小生成树的算法。
一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法1 理论根据1.1 约化原则给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ⊆ E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树．（1） 基本回路将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。
基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路．（2） 基本割集设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合） ，若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。
基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝．（3） 等长变换设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ∉ H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, 'e }也是一棵生成树。
当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。
解释最小生成树
解释最小生成树最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。
在实际应用中，我们常常需要找到一个最优的生成树来解决问题。
最小生成树算法可以用于寻找最短路径、最小费用最大匹配等问题。
本文将详细介绍最小生成树的算法及其应用。
一、算法原理最小生成树的算法基于贪心策略。
在生成树中，边的权值表示为边的邻接顶点之间的权值。
边的权值之和反映了边的权值大小。
因此，我们需要寻找的边的权值之和最小的生成树就是一棵最优的生成树。
算法的基本思想是首先将图中的节点按照权值从小到大排序。
然后，从权值最小的节点开始，不断地寻找一个未访问过的节点。
当找到一个未访问过的节点时，将其加入到生成树中，并将其与原图中所有已访问过的节点建立边联系。
这样，生成树中就有了一个未访问过的节点。
接下来，我们继续寻找下一个未访问过的节点。
如果找到了一个节点，我们继续寻找与该节点相邻的节点。
如果找到了一个已访问过的节点，我们继续寻找下一个未访问过的节点。
重复以上步骤，直到所有节点都被正确地加入到生成树中。
二、应用场景最小生成树算法在实际应用中具有广泛的应用，以下列举了几个典型的应用场景：1.最短路径问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最短路径。
通过构建最小生成树，我们可以得到图中所有节点之间的最短距离。
在实际应用中，我们可以使用最小生成树算法来找到一个城市的最佳路线，或者找到一个公司的最短路径。
2.最小费用最大匹配问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最小费用最大匹配。
在最小费用最大匹配问题中，我们需要找到一个图中所有节点之间的最小费用，使得这些费用之和最大化。
最小生成树算法可以帮助我们找到一个最优的解，从而实现最小费用最大匹配。
图的最小生成树算法
图的最小生成树算法图论是计算机科学中一门非常重要的学科，在各种领域得到了广泛的应用。
其中，最小生成树算法是图论中比较重要的一种算法。
同时，最小生成树问题也是最好的优化问题之一。
本文将会深入探讨图的最小生成树算法及其应用。
一、最小生成树问题的定义最小生成树问题就是为一个具有权重的连通无向图找到一棵生成树，使得所有权值之和最小。
需要注意的是，如果该图不连通，则最小生成树并不存在。
二、最小生成树算法1. Kruskal算法Kruskal算法是一种贪心算法，能够解决最小生成树问题。
在该算法中，将图中所有边按照权重从小到大排序，并依次加入生成树中（前提是加入该边不产生环）。
当所有边都被加入生成树中时，生成树就构造完成了。
2. Prim算法Prim算法也是一种贪心算法用于解决最小生成树问题。
与Kruskal算法不同的是，需要从一个初始点开始，每次加入到该点的边中权值最小的那条边。
这个过程可以看作是将所有点分为两个集合，一个是已经被访问过的集合，一个是还没有访问过的集合，然后每次找到两个集合相连的一条权值最小的边，并把这个边所连接的点加入已经被访问过的集合中去。
三、最小生成树算法的应用最小生成树算法在实际中的应用很多，其中一个经典的应用是设计网络。
在网络中，节点之间可以用边来表示，而边的权重可以表示节点之间的通讯成本。
所以，在设计网络时，希望选择尽可能低廉的边连接节点，从而节省通讯成本。
在这种情况下，最小生成树算法可以帮助我们确定哪些边应该被使用，进而构建出网络拓扑结构。
四、总结最小生成树算法在计算机科学中是非常重要的一个算法。
本文对最小生成树问题及其两种算法进行了深入的讨论。
同时，介绍了最小生成树算法在网络拓扑结构设计中的应用。
希望本文能够帮助读者深入理解最小生成树问题及其应用。
最小生成树算法及应用
最小生成树算法及应用
二、求图的最小生成树算法小结 Prim算法和Kruskal算法 三、应用举例
例2、最优布线问题（wire.???） 学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们时 间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。
算法分析
2、套用最小生成树的经典算法求解
以机器蛇为顶点，以不受屏蔽的通信线路为边构建图，就可以直 接套用最小生成树的经典算法求解。由于几乎每两条机器蛇间都 会有一条边，因此应选用Prim算法。
设
const maxn=200 ； oo=2000000000；{ 机器蛇数的上限和无穷大} type TPoint=record {坐标} x，y：longint； end； var s，w1，w2：array[1..maxn] of TPoint； { 机器蛇的坐标和屏蔽线的坐标 } n，m，i，j，k：integer； ba：array[1..maxn] of boolean； { 机器蛇的访问标志} d：array[1..maxn] of longint； {d[i]以机器蛇i为头的最短边长} min：longint； ans：double；
题目中要求信息可以在任意两条机器蛇间传递、通讯网 络的总长度要尽可能的短，显然这是一个求图的最小生 成树问题。这道题在构造图的过程中还涉及到一点计算 几何的知识。 1、判断线段相交 两条线段AB、CD，相交的充要条件是：A、B在直线CD 的异侧且C、D在直线AB的异侧。也就是说从AC到AD的 方向与从BC到BD的方向不同，从CA到CB的方向也与从 DA到DB的方向不同。
机器蛇
最小生成树算法总结
最小生成树算法总结最小生成树是指在一个无向连通图中，找到一个子树，使得这棵子树中所有边的权值之和最小。
最小生成树可以用于最优化问题，例如道路铺设、网络布线等。
下面将介绍三种最小生成树算法：Prim算法、Kruskal算法、Boruvka算法。
1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，从一个点开始，每次添加连接到已有集合中的最小边，直到所有点都在同一个集合中。
可以用以下步骤描述Prim算法：(1) 选择一个起点，将该起点加入最小生成树的顶点集合，然后将该顶点相邻的边加入边集合中。
(2) 从边集合中找到权值最小的一条边，将该边对应的顶点加入最小生成树的顶点集合，同时将该顶点相邻的边加入边集合中。
(3) 重复上述步骤，直到所有顶点都在最小生成树的顶点集合中。
Prim算法的实现可以使用堆优化，时间复杂度为O(E + VlogV)，其中E为边数，V为顶点数。
2. Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，与Prim算法不同的是，Kruskal算法是按照边的权值从小到大依次添加，直到所有顶点都在同一个集合中。
可以用以下步骤描述Kruskal算法：(1) 将所有边按照权值从小到大排序。
(2) 依次取出排好序的边，如果该边所连接的两个顶点不在同一个集合中，就将这条边加入最小生成树的边集合中，并将这两个顶点合并到同一个集合中。
(3) 重复步骤(2)，直到所有顶点都在同一个集合中。
Kruskal算法的实现可以使用并查集，时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。
3. Boruvka算法Boruvka算法是一种基于集合的分治算法，与Prim算法和Kruskal算法不同，Boruvka算法的时间复杂度是线性的。
可以用以下步骤描述Boruvka算法：(1) 对每个顶点建立单元素集合。
(2) 对每个集合，选择与该集合相连的最小权值的边，将这些边添加到最小生成树的边集合中，并将这些集合合并到同一个集合中。
(3) 如果只剩下一个集合，算法结束。
最小生成树的两种构造方法
离散数学大作业 ---最小生成树姓名：陈强学号：辅导老师：李阳阳一、最小生成树的概念：给定一个连通图，要求构造具有最小代价的生成树时，也即使生成树各边的权值总和达到最小。
把生成树各边的权值总和定义为生成树的权，那么具有最小权值的生成树就构成了连通图的最小生成树，最小生成树可简记为MST 。
二、构造无向连通图的最小生成树的方法：1.Prim （普里姆）算法算法:假设G(V,E)是有n 个顶点的无向连通图，用T(U,TE)表示要构造的最小生成树，其中U 为顶点集合，TE 为边的集合。
（1）初始化：令V={Φ} ,TE={Φ}。
从V 中取一个顶点u0放入生成树的顶点集U 中，作为第一个顶点，此时T=（{u0}，{Φ}）；（2）从U V v V u -∈∈,的边（u,v ）中找一条代价最小的边*)*,(v u ，将其放入TE 中，并将*v 放入U 中。
（3）重复步骤（2），直至U=V 为止。
此时TE 集合中必有n -1条边，T 即为所要构造的最小生成树。
特殊处理：如果两个顶点之间没有直接相连的边，权值置为一个max 的数 自身和自身的权值置为MAX 的值代码：function [T]=Prim(i,G_dist)%Prim.m 实现了普里姆的方法生成无向连通图G 的最小生成树%T是返回的最小生成树%i为输入的为最小生成树选定的第一个顶点%G_dist是待输入的数据，是图G边（u,v）的权值矩阵[m,n]=size(G_dist);%读入无向图的顶点数目为m=nv=i;%将选定的顶点放入中间变量v中T=zeros(3,m-1);%最小生成树有（m-1）条边。
第一行存放边的起点，第二行存放边的终点，第三行存放边的权值%%%初始化最小生成树的矩阵for j=1:m-1T(1,j)=v;%将第一个顶点放入最小生成树的矩阵中if j>=vT(2,j)=j+1;T(3,j)=G_dist(v,j+1);elseT(2,j)=j;T(3,j)=G_dist(v,j);endend%%%求第k条边for k=1:(n-1)min=10000;%初始化一个最小的权值%找出最短边，并将最短变的下标记录在mid中for j=k:(n-1)if T(3,j)<minmin=T(3,j);mid=j;endende=T(:,mid);T(:,mid)=T(:,k);T(:,k)=e;%将最短的边所在的一列和第k列交换 v=T(2,k);%v中存放新找到的最短边在V-U中的顶点for j=(k+1):(n-1)%修改所存储的最小边集d=G_dist(v,T(2,j));if d<T(3,j)T(3,j)=d;T(1,j)=v;endendendDG=sparse(T(1,:),T(2,:),T(3,:),m,m);%用稀疏矩阵view(biograph(DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'));%画图调用函数G=[10000,10,3,10000,10000,10000;10,10000,5,8,6,10000;3,5,10000,10000, 2,10000;10000,8,10000,10000,7,11;10000,6,2,7,10000,17;10000,10000,100 00,11,17,10000;];%G表示图G的各边权值，自身到自身的权值和不直接相连的顶点的权值设为10000i=1;T1=[1,2,1,3,2,2,4,4,5;3,3,2,5,5,4,5,6,6;3,5,10,2,6,8,7,11,17;0,0,0,0, 0,0,0,0,0];%T1表示图G的边的信息，第一行是边的起始点，第二行是边的终点，第三行是边的权重，第四行表示对边的选择T=T1(1:3,:);DG=sparse(T1(1,:),T1(2,:),T1(3,:),m,m);%用稀疏矩阵view(biograph(DG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'));%画图Prim(i,G);结果：图G：Prim生成的最小生成树：2.Kruskal(克鲁斯卡尔)算法算法：假设G(V,E)是有n个顶点的无向连通图。
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｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
｛ ｝
最小代价生成树
V1
1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开
V3
始，到顶点全部进入生成树
为止
V1
6
5
1
V2 V3
V4
V5
V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛V,1V4,V｝3 ,V6
V｛V25
｝,V4 , V｝2, V5
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1
V2 5 V3
V4
42
V6
V1 6
V2 5 V3
V4
6 V5 6 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
最小生成树算法
------prim& Kruskal
生成树的概念
生成树
➢ 一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有 图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边 。
➢ 生成树不唯一
V2
V2
V1
V4
V6 V5
V1
V4
V3
V2
V3 生成树
V6 V5
V2
V1
V4
V3
V6 V5
V1
V4
V3
V6 V5
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1 V3
4 V6
V1
6
5
V2 5 V3 5 V4
64
V5
V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) ｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ VV25 ｝,V4 ,
v1
6
5
v2 1 v4 55
v3
3 6
42
v5 6 v6
weight：15 (v1, v3) (v3, v6) (v6, v4) (v3, v2) (v2, v5) 或者(1, 3) (3, 6) (6, 4) (3, 2) (2, 5)
普里姆算法的实现
顶点集合如何表示？
最小边如何选择？
顶点i与顶点k
普里姆算法构造最小生成树的过程是从一个顶点 U={u0}作初态，不断寻找与U中顶点相邻且代价最小 的边的另一个顶点，扩充到U集合直至U=V为止。
最小代价生成树
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
V1
1
V2 5 V3
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V1
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最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1
V3
V4
42
V6
V1
6
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V2 5 V3 5 V4
6 V5 6
2 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3)
是 在关联生成树顶点的边中（即边的 一个顶点在生成树中，另一个顶点不在）
取权值最小者
结束
将选中的边加入生成树， 同时将该边的关联顶点加入生成树中
基本要求
从键盘（或数据文件）输入图的信息，用普里姆算法 求解给定无向连通图的最小生成树，最后输出最小生 成树中的权值和所有的边，图的存储结构自行设定。
例如 下图的输出为
最小代价生成树
生成树的代价等于其边上的权值之和。
V1
6
5
1 V2 5 V3 5 V4
36 4 2
V1
6
5
V5 6 V6
V1
1
1
V2 V3
V4
V2 5 V3
V4
64
3
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V5
V6
V5
V6
最小代价生成树
两种常用的构造最小生成树的方法： ➢ 普里姆算法（prim） ➢ 克鲁斯卡尔算法（ Kruskal）
, ,
V5 V5
(2) (3) (4) (5)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛｛｛VV1V,11,V,,V4,V,V3V2V｝33,｝,V,｝V6V66,,VV44
V｛V25 ,V2
｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
｛ ｝
普里姆(Prim)算法
开始 生成树中只放置一个顶点
生成树中顶点数小于n否?
36 4 2
V5 6 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4) (5)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛｛｛VV1V,11,V,,V4,V,V3V2V｝33,｝,V,｝V6V66,,VV44
V｛V25 ,V2
普里姆(Prim)算法
假设N=(V，E)是连通网，TE是N上最小生成树中边的 集合。
算法从U={u0}(u0∈V)，TE={}开始，重复执行下述操 作：
在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)中找一条代价最小的边(u0 ,v0),将其并入集合TE，同时将v0并入U集合。
当U=V则结束，此时TE中必有n-1条边，则T=(V，{TE})为N 的最小生成树。
V｛V25 ,V2
｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
｛ ｝
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
1
V2 5 V3
V4
3
42
V5
V6
V1
V2 V3
V4
V5
V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛｛VV,11V,,4,VVV2｝33 ｝,,VV66
｛ V｛V25 ,V4
｝,V4 , V｝2, V5 ｛｝V5
最小代价生成树 V1
普里姆算法求最小生成树： 从生成树中只有一个顶点开 始，到顶点全部进入生成树 为止
邻接
一个顶点加入U集合（生成树中）
如何表示？
顶点k已经在U 集合中
struct { int adjvex;
closedge[i].adjvex= k
double lowcost;
}closedge[MAX_VERTEX_NU
1
V2 5 V3
V4
3
42
V5
V6
V1
V2 V3
36 V5 6
V4 V6
步骤 U
V-U
(0) (1)
｛｝V1 ｛ ｛V｝1 ,V3
V2 ｛
V,,2,VVV636,｝,V｝V44
, ,
V5 V5
(2) (3) (4) (5)
｛V1 ｝,V3 ,V6 ｛ ｛｛｛VV1V,11,V,,V4,V,V3V2V｝33,｝,V,｝V6V66,,VV44