§9.2空间直线 异面直线间距离的一个简明公式_334
异面直线距离的向量公式法推导
异面直线距离的向量公式法推导两条不平行的直线可以确定一个平面，我们可以利用该平面来求解异面直线的距离。
在推导异面直线距离的向量公式前，我们先来回顾一下向量的基本概念和运算法则。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头上的字母表示。
向量可以通过坐标表示也可以使用定点表示。
两个向量之间可以进行加法、减法、数乘等运算。
设两条异面直线分别为L1和L2,并设相应的参数方程为：L1:X=a1+t1m1,Y=b1+t1n1,Z=c1+t1p1L2:X=a2+t2m2,Y=b2+t2n2,Z=c2+t2p2其中（a1,b1,c1）和（a2,b2,c2）为两条直线上已知的点，（m1,n1,p1）和（m2,n2,p2）为方向向量。
想要求解异面直线的距离，我们需要找到两条直线上的两个点，使得连接这两个点的向量和两条直线的方向向量垂直。
选择L1上的一点P1，我们可以取t1=0，此时P1的坐标为（a1,b1,c1）。
根据向量的线性组合，L2上对应的点坐标为（a2,b2,c2）+t2（m2,n2,p2）。
两个点之间的向量AB可以表示为:AB=P2-P1=(a2,b2,c2)+t2(m2,n2,p2)-(a1,b1,c1)要使得向量AB垂直于L1和L2的方向向量，我们需要满足两个条件：AB·(m1,n1,p1)=0AB·(m2,n2,p2)=0展开上述两个等式得到：(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)+t2(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)=0 (a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)+t2(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)=0我们可以将这两个等式整理成一个方程组形式：[(m1,n1,p1)·(m1,n1,p1)]t2+[(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)]t2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)][(m1,n1,p1)·(m2,n2,p2)]t2+[(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)]t2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)]记：A=[(m1,n1,p1)·(m1,n1,p1)]B=[(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)]C=[(m1,n1,p1)·(m2,n2,p2)]D=[(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)]E1=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)]E2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)]我们可以用Cramer法则求解这个方程组，首先计算系数行列式D0、D1和D2：D0=，ABCD1=，E1BE2D2=，AE1CE根据Cramer法则，t2的值可以计算为：t2=D1/D进一步化简，我们得到：t2=(D1/D)=[B*E1-D*E2]/[AD-BC]最后，我们可以将t2的值代入原始参数方程，得到L2上离P1最近的点P2：P2=(a2,b2,c2)+[B*(m2,n2,p2)-D*(a2-a1,b2-b1,c2-c1)]/[AD-BC]异面直线的距离就是向量P1P2的模长，在求得P2的坐标后，我们可以用向量的模长公式求解异面直线的距离：PD=，P2-P1，=，(a2,b2,c2)+[B*(m2,n2,p2)-D*(a2-a1,b2-b1,c2-c1)]/[AD-BC]-(a1,b1,c1)综上所述，利用向量的线性组合和Cramer法则，我们可以推导出异面直线距离的向量公式，并求得两条异面直线之间的距离。
异面直线的距离的四种求法【附例题讲解】
异面直线的距离确定和计算两条异面直线间的距离，关键在于实现两个转化：一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离；二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。
1．直接法根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。
例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．解：作SO⊥面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心．∵SO⊥AC，BO⊥AC，∴AC⊥面SOB．在△SOB中，作OH⊥SB于H①，根据①、②可知OH是AC与SB的距离．∵OH·SB＝SO·OB，2．转化法把所求的异面直线间的距离转化为线面间的距离或转化为面面间的距离．例：在等边圆锥(轴截面为等边三角形的圆锥叫做等边圆锥)S-ABC中，母线长为a，底面圆的直径为AC，∠CAB＝60°．求：异面直线SA与BC的距离．解：如图L2-17，易知SA与BC不垂直，可考虑过SA作一个平面与BC平行，转化为求直线与平面间的距离．作AD∥BC交底面圆⊙O于D点．∵BC∥AD，∴BC∥平面SAD，取AD、BC的中点E、F，则平面ADS⊥平面SEF，过F点作FH⊥SE于H，则FH⊥平面SAD．所以FH为直线BC与平面SAD间的距离，也就是异面直线SA与BC 的距离．在△SEF中，由FH·SE＝EF·SO，3．等积法不用作出异面直线间的距离，利用同一个几何体的体积为定值，布列方程来求异面直线间的距离．例如上面的例2，在求SA与BC间的距离时，我们转化为求平行的BC与平面SAD间的距离，可由同一个三棱锥换取不同的底面来计算．设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为4．极值法不必作出异面直线间的距离，利用异面直线上两点间距离的最小值的性质，适当列出函数式，求此函数的最小值．还是以例2来说，在求异面直线SA与BC间的距离时，可先在SA任取一点D，作DE⊥直径AC于E，则DE⊥底面圆．再作EF⊥BC于F，则有DF⊥BC，于是DF的最小值就是SA与BC间的距离．。
异面直线之间的距离公式 解释说明以及概述
异面直线之间的距离公式解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在几何学中，异面直线是指位于不同平面上的两条直线。
由于它们存在于不同的平面中，因此无法以常规的方法来测量它们之间的距离。
然而，解决这个问题十分重要，因为在许多实际应用中，我们需要确定异面直线之间的距离。
1.2 文章结构本文将围绕着异面直线之间的距离公式展开讨论。
首先，我们将介绍异面直线的定义和性质，以便更好地理解这个概念。
接下来，我们将引入并推导出一种计算异面直线距离的公式，并探讨该公式的应用举例。
最后，我们将总结距离公式的重要性及适用范围，并展望进一步研究方向和应用领域。
1.3 目的本文旨在提供一个清晰明了的解释和说明，帮助读者理解异面直线之间距离计算的基本原理和方法，并认识到这个概念在实际生活中和各个领域中的广泛应用价值。
通过深入研究距离公式及其应用举例，我们将了解如何解决异面直线距离计算问题，并有望引发更多关于其进一步研究和应用的思考。
2. 正文:2.1 异面直线的定义与性质在几何学中，异面直线是指不在同一个平面上的两条直线。
异面直线之间存在一些特定性质，例如永远不会相交、平行于同一个平面等。
了解这些性质有助于我们更好地理解异面直线之间的距离。
2.2 距离公式的引入与推导为了计算异面直线之间的距离，我们可以引入一种距离公式。
该距离公式能够准确地计算出任意两条异面直线之间的最短距离。
推导这个距离公式主要依赖于向量和点积的概念。
首先，我们需要将两条异面直线上的一点作为原点，并用向量来表示另外一个点相对于原点的位置。
然后，通过求解这两个向量之间的点积来求得最短距离。
具体而言，在三维空间中，假设有两条异面直线L1和L2。
L1可以表示为P1+r * V1（其中P1是L1上某一点，V1是L1的方向向量），L2可以表示为P2+s * V2（其中P2是L2上某一点，V2是L2的方向向量）。
我们可以通过求解r 和s 的值来确定L1 和L2 间的最短距离。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间的间隔之青柳念文创作求异面直线之间的间隔是平面几何重、难点之一.常有操纵图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线间隔转化为直线与其平行平面间的间隔，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的间隔，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解.常常使用方法有：1、定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的间隔.例1 已知：边长a为的两个正方形面直线CD与AE间的间隔.思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂线.在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，即异面直线CD与AE2 垂直平面法：转化为线面间隔，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记a/与b确定的平面α.从而，异面直线a、b间的间隔等于线面a、α间的间隔.例1 如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的间隔为d，求两条异面直线BF、AE间的间隔.思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖AE，将异面直线BF、AE间的间隔转化为AE与平面BCD间的间隔，即为A到平面BCD间的间隔，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过A作AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，保持CD.设A到平面BCD的间隔为h.由体积法V A-BCD=V C-ABD，得3转化为面面间隔若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β.求a、b两条异面直线的间隔转化为平行平面α、β间的间隔.例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS与BC的间隔.思路分析：这是一不容易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残破形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等.所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x、y、z，解得x=3，y=2，z=1.由于平面SA‖平面BC，平面SA、平面BC间的间隔是2，所以异面直线AS与BC的间隔是2.4 代数求极值法根据异面直线间间隔是分别在两条异面直线上的两点间间隔的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的间隔.例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长1 AC为a ，求A 1B 与D 1B 1的间隔.思路分析：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只要求出MN 的最小值即可.设A 1M=x ，则，A 1所以PB 1=a，PN=（a）sin450–x ），当MN min5公式法异面直线间间隔公式：隔.例 5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，而且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的间隔.思路分析：在圆柱底面上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的高，AB=5，所以即异面直线AB 与轴OO /之间的6 射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那末点和直线或两条平行线间的间隔就是两条异面直线射影间间隔.例 6 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，E 是BD 的中点.求异面直线D 1M 、EN 间的间隔.思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面间隔时，可采取射影到同一平面内，把异面直线D 1M 、EN 射影到同一平面BC 1内，转化为BC 1、QN 的间隔，显然，易知BC 1、QN 的间隔为所以异面直线D 1M 、EN7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的保持线段在 公共法向量上的射影长.例7 已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为求异面直线DA 1与AC 的间隔.看做是.此题教员引导，学生口述，教员在课件上演示解题过程，总结解题步调.1NC解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz∴D(0,0,0)A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0)异面直线DA1与AC∴异面直线DA1与AC的间隔为步调小结：求异面直线间的间隔:⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标，求出向量坐标；隔公式.例8 已知：SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠SA=AB=BC=a,AD=2a，求A到平面SCD的间隔.解：如图所示建立空间直角坐标系A—xyz∴A（0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴设面SCD∴点A到面SCD A到面SCD的间隔为36a八等积法把异面直线间的间隔转化为求某个特殊几何体的的高，操纵体积相等求出该高的长度.例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面临角线AC与侧棱SB间的间隔．设BC与平面SAD间的间隔为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为。
两异面直线之间的距离公式向量法
两异面直线之间的距离公式向量法在咱们学习立体几何的时候，经常会碰到两异面直线之间距离的问题。
这可是个让不少同学头疼的事儿，但别怕，今天咱们就来聊聊用向量法搞定它！先给大家讲讲啥是异面直线哈。
比如说，你在教室里，你的铅笔放在课桌上，同桌的尺子放在他的抽屉里，这铅笔和尺子所在的直线就是异面直线，它们不在同一个平面内，没法直接测量它们之间的距离。
那向量法是咋解决这个问题的呢？咱们假设两条异面直线分别为 l₁和 l₂，在直线 l₁上取一点 A ，在直线 l₂上取一点 B 。
然后分别找到与这两条直线平行的向量 a 和向量 b 。
这时候，两异面直线之间的距离 d 就等于向量 AB 在向量 a 和向量b 所确定的平面的法向量 n 上的投影的绝对值。
这可能有点抽象，咱来举个具体的例子。
就说有一个正方体，棱长为 2 ，其中一条棱在坐标原点 O ，沿着 x 轴正方向，另一条异面的棱一个端点在顶点 (2, 2, 2) 。
咱们就来求这两条棱之间的距离。
先找到这两条棱对应的向量，比如说沿着 x 轴的棱对应的向量 a = (2, 0, 0) ，另一条棱对应的向量 b = (0, 2, 2) 。
然后找两个点，比如在第一条棱上取点 A(1, 0, 0) ，在第二条棱上取点 B(2, 2, 2) ，那向量 AB 就等于 (1, 2, 2) 。
接下来就得找法向量 n 啦，假设法向量 n = (x, y, z) ，根据法向量和向量 a 、向量 b 垂直的关系，能列出方程组，解出来就能得到法向量n 。
经过一番计算，假设得到法向量 n = (2, -2, 2) 。
最后，距离 d 就等于向量 AB 在法向量 n 上投影的绝对值，算出来就是2√3 / 3 。
其实啊，刚开始学这个的时候，我自己也晕头转向的。
记得有一次做作业，我算了好几遍都没算对，心里那个着急啊！后来我静下心来，把书上的例题又看了好几遍，一步一步对照着自己的步骤找错误，终于弄明白了。
计算异面直线间距离的两个公式
两线 段 的 端点为顶点 的 四 面 体的 体积 易求 时
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应 用公
式 ① 则 较为方便 现举 例供 参考 仁 例 月 求 棱长为 。 的 正方 体 相 邻 两面 上 不 相 交 的 两 条对角 线 间 的距 离 ( 图二 中 B C 与 B I D 间的 距 离 ) : : : : 解 连BD和 C D 得BC = C D = B D = 了 2 a
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两条异面直线之间的距离公式
两条异面直线之间的距离公式我们来看看，这距离到底是怎么来的。
计算异面直线之间的距离可不是个简单的事儿，它就像是在和数学这位“老朋友”打交道。
你可能想，距离不就是我们生活中经常用到的概念吗？走到哪儿都离不开它。
可是在几何里，直线的定义就有点复杂。
异面直线，这名字听着就有点酷，但实际上它们的“交集”就是没有交集，哎，怪不得我们要计算它们之间的距离呢。
所以，来吧，跟我一起“潜入”这道数学题。
我们先得知道这两条直线的方程。
想象一下，方程就像是直线的身份证，只有知道了身份证，才能找到这两条线的“家”。
每条线都有自己的“坐标”，这些坐标就是它们在三维空间中的位置。
你可以把这个过程想象成侦探破案，线索就藏在那些复杂的公式里。
如果你想知道这两条线之间的距离，首先得找到一条连接这两条线的“桥”。
在数学里，这条桥其实就是我们需要的垂线段，嘿，没错，就是和线垂直的那条线。
这条线段的长度，就是我们最终要计算的距离。
想象一下，在你和朋友之间架起一根绳子，那绳子的长度就是你们之间的“心灵距离”，而我们要做的，就是找到这根绳子的最佳长度。
这个距离怎么计算呢？其实方法有很多，但最经典的就是利用向量的知识。
你可能会想，向量是什么鬼？向量就像是一个小箭头，指向某个特定的方向。
你可以把它看成是地图上的一个标记，告诉你要往哪里去。
在计算异面直线之间的距离时，我们得把这两个方向的向量都找出来，然后利用它们之间的关系，最终得出距离。
听起来是不是有点玄乎？别担心，慢慢来，我们都能搞明白！计算的时候又有哪些公式呢？这里有个公式很重要，别把它给忘了。
两条异面直线的距离 D 可以通过以下公式计算出来：D = |(P1 P2)·N| / |N|，其中 P1 和 P2 是两条线上的点，N 是这两条线的法向量。
别被这个公式吓到，实际上就是在说，找出两条线上的某个点的坐标，算出它们之间的差，然后乘以一条垂直于这两条线的向量，最后再通过它的长度来确定距离。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间的距离之马矢奏春创作求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一.常有利用图形性质, 直接找出该公垂线, 然后求解；或者通过空间图形性质, 将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离, 或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离, 或转为求一元二次函数的最值问题, 或用等体积变换的方法来解.经常使用方法有：1、界说法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 界说法就是先作出这两条异面直线的公垂线, 然后求出公垂线的长, 即异面直线之间的距离.例 1 已知：边长a为的两个正方形线CD与AE间的距离.思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形, 得CD⊥AD, CD⊥DE, 即CD⊥平面ADE, 过D作DH⊥AE于H, 可得DH⊥AE, DH⊥CD, 所以DH是异面直线AE、CD的公垂线.在⊿ADE中, ∠ADE=1200即异面直线CD与AE间的距离2 垂直平面法：转化为线面距离, 若a、b是两条异面直线, 过b 上一点A作a的平行线a/, 记a/与b确定的平面α.从而, 异面直线a、b间的距离即是线面a、α间的距离.例1 如图, BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内, 和棱分别成α、β角,又它们和棱的交点间的距离为d, 求两条异面直线BF、AE间的距离.思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内, ∠EAB=α, ∠FAB=β, AB=d, 在平面Q内, 过B作BH‖AE, 将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离, 即为A到平面BCD间的距离, 又因二面角P-AB-Q是直二面角, 过A作AC⊥AB交BF于C, 即AC⊥平面ABD, 过A作AD⊥BD交于D, 连结CD.设A到平面BCD的距离为h.由体积法V A-BCD=V C-ABD, 得3转化为面面距离若a、b是两条异面直线, 则存在两个平行平面α、β, 且a ∈α、b ∈β.求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离.例3已知：三棱锥S-ABC 中, SA=BC=13, SB=AC=14, SC=AB=15, 求异面直线AS 与BC 的距离.思路分析：这是一不容易直接求解的几何题, 把它补成一个易求解的几何体的典范例子, 经常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补陈规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等.所以, 把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得, 因此, 将三棱锥补形转化为长方体, 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z,解得x=3, y=2, z=1.由于平面SA ‖平面BC, 平面SA 、平面BC 间的距离是2, 所以异面直线AS 与BC 的距离是2. 4 代数求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值, 可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离.例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a,求A 1B 与D 1B 1的距离.思路分析：在A 1B 上任取一点M, 作MP ⊥A 1B 1, PN ⊥B 1D 1, 则MN ⊥B 1D 1, 只要求出MN 的最小值即可.1AC设A1M=x, 则1所以PB1=a（a–）sin450–x）当, MN min5公式法异面直线间距离公式：.例5 已知圆柱的底面半径为3, 高为4, A、B两点分别在两底面圆周上, 而且AB=5, 求异面直线AB与轴OO/之间的距离.思路分析：在圆柱底面上AO⊥OO/, BO/⊥OO/, 又OO/是圆柱的高, AB=5, 所以即异面直线AB与轴OO/6 射影法将两条异面直线射影到同一平面内, 射影分别是点和直线或两条平行线, 那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离.例6 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=1,M、N分别是棱AB、CC1的中点, E是BD的中点.求异面直线D1M、EN间的距离.思路分析：两条异面直线比力难转化为线面、面面距离时, 可采纳射影到同一平面内, 把异面直线D1M、EN射影到同一平面BC1内, 转化为BC1、QN的距离, 显然, 易知BC1、QN的距离1NC所以异面直线D1M、EN7.向量法：先求两异面直线的公共法向量, 再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长.例7 已知：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面直线DA1与AC的距离.思路分析：此题是求异面直线的距离问题,.此题教师引导, 学生口述, 教师在课件上演示解题过程, 总结解题步伐.解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz∴D(0,0,0) A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0) DA1与AC∴异面直线DA1与AC的距离为步伐小结：求异面直线间的距离:⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标, 求出向量坐标；例8 已知：SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜SA=AB=BC=a,AD=2a,求A到平面SCD的距离.解：如图所示建立空间直角坐标系A—xyz∴A （0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴AD =(0,2a,0)SC =(a,a,-a) SD =(0,2a,-a)设面SCD 的一个法向量n =(x,y,1)∴n ⊥SC 且n ⊥SD ∴n •SC =0 且n •SD =0∴⎩⎨⎧=-=-+020a ay a ay ax ⎩⎨⎧==2121y x ∴n =(,,21211)∴点A 到面SCD 的距离为36a nn AD d =•=∴点A 到面SCD 的距离为36a八等积法 把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高, 利用体积相等求出该高的长度.例：正四棱锥S-ABCD 中, 底面边长为a, 侧棱长为b(b ＞a)． 求：底面对角线AC 与侧棱SB 间的距离．设BC 与平面SAD 间的距离为d, 则以B 为极点, △SAD 为底面的三棱锥的体积为而以S 为极点, △ABD 为底面的三棱锥的体积为创作时间：二零二一年六月三十日。
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异面直线间距离的一个简明公式
本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.
定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离
d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ
y x y x l +++
证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG .
则∠DEF =θ，且（DG ）min =d .
设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ.
在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x .
∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x .
图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则
MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ-
在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-=
所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=∆中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ
⋅-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得
)4/()4()(2min 2a b ac GD -=
])cos ctg csc sin ctg (1[4)]cos ctg csc sin ctg (sin 2[])cos ctg csc sin ctg (1[4sin ])cos ctg csc sin ctg (1[422
2222y y x y y x y l y y x y l y y x θ+θ+θ+θ-θ+θ+θ+θ+
.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin .cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin ]
cos ctg ctg 2cos ctg ctg )ctg 1(/[sin sin )cos ctg ctg (sin sin 1sin )cos ctg csc sin ctg (1sin 22222222222222222222222θθθθ
θθθθθθθθ
θy x y x l d y x y x l y x y x y l y x y y l y y y x y l +++=+++=++++=++=++=故例 2.已知
正方形ABCD 和正方形ADD 1A 1所在平面互相垂直，AB =a ，求异面直线DB 与AD 1的距离.
解：由已知及定理得,,90,451a l BDA AD D y x =︒=θ︒=∠=∠==
.3/345ctg 45ctg 90sin 90sin 222a a d =︒+︒+︒︒
=所以
图3
例3.已知圆锥的轴截面为等边△AVB ，AC 为∠VAB 的平分线，点D 在底面
圆周上，且∠ABD =30°，底面圆的直径AB =2R .求异面直线AC 与BD 的距离.
解：由已知得x =y =30°，θ=90°，l =2R .
由定理可得d =.7
7230ctg 2190sin 22R R =︒+︒
两条异面直线的距离问题，之所以一直被人们所关注，是因为其公垂线段不易作出，其长更不易求出.由于任意两条异面直线，均可视为某个二面角的两个平面内的二直线，这就使定理具有广阔的应用范围，而定理的本身，结构整齐、 图4
简明，因此它成为解决两条异面直线间距离问题的有力武器.。