AP微积分极限和连续
ap微积分bc教学课时
ap微积分bc教学课时【原创版】目录1.AP 微积分 BC 课程概述2.教学课时分配3.课程内容与目标4.适合的学生群体5.学习资源与建议正文AP 微积分 BC 课程概述AP 微积分 BC 课程，全称为 Advanced Placement Calculus BC，是美国大学预修课程（Advanced Placement）中的一门。
该课程旨在为学生提供大学水平的微积分教育，帮助他们在进入大学后能够顺利应对更高级的数学课程。
AP 微积分 BC 课程的教学内容涵盖了微积分的基本概念、技巧和应用，为学生打下扎实的数学基础。
教学课时分配AP 微积分 BC 课程的教学课时通常为一学年，即 36 周。
根据每周课时的安排，教学课时分配如下：1.函数、极限与连续（约 8 周）2.导数与微分（约 8 周）3.积分（约 8 周）4.微分方程（约 4 周）5.级数（约 3 周）6.复习与考试准备（约 3 周）课程内容与目标AP 微积分 BC 课程的内容围绕微积分的核心概念展开，包括函数、极限、导数、积分、微分方程和级数等。
课程的目标是帮助学生掌握这些概念，并能熟练运用相关技巧解决实际问题。
此外，课程还培养学生的数学建模能力，使他们能够运用所学知识解决复杂的现实问题。
适合的学生群体AP 微积分 BC 课程适合已经完成初中数学教育、具备一定数学基础的学生。
一般来说，学生应在初中数学水平较高，对代数、几何等基础知识掌握较好的情况下，选择学习 AP 微积分 BC 课程。
此外，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和良好的学习习惯，以便更好地应对课程的挑战。
学习资源与建议学习 AP 微积分 BC 课程，学生可以参考一些教材和辅导资料，如《AP 微积分 BC 教材》、《普林斯顿微积分教程》等。
此外，学生还可以参加线上或线下的辅导课程，以获得更多针对性的指导。
在学习过程中，学生应注重理解概念，多做练习题，培养解题技巧。
同时，要善于总结和归纳，形成自己的知识体系。
微积分第二章 极限和连续教学课件
1 xn
)
无穷小量的比较：
定义 设 和 是同一过程中的无穷小量，即 lim 0, lim 0 .
① 如果 lim 0 ，则称 是比 较高阶的无穷小量，记为 ( ) .
② 如果 lim C 0 ，则称 是与 同阶的无穷小量.
③ 如果 lim 1 ，则称 与 是等价无穷小量，记为 ~ .
x1 x 1 x1 x 1
x1
一、极限的定义
2 如果当 x 无限地趋于时，函数 f (x)无限地趋于一个确定的
常数 A ，则称当x 时，函数f (x) 的极限(值)为A ，记作
例：lim 1 0 x x
lim f (x) A
x
lim(x 1)
x
x , 1 0
x
x 0, 1
x
f (x) , 1 0 f (x) 0, 1
x 1
x0
lim f (x) e3 .
x3
x2, 练习：设函数 f (x) 1,
log2 x,
x0
0 x 1 ，则 f ( lim f (x) ) 1 . x 2
x 1
2. 分段函数的连续性
3x a, 例：设函数f (x) ex ,
x0
在点 x 0 处连续，则常数a 1 .
x0
例：设函数
④ 如果 lim ，则称 是比 低阶的无穷小量.
例：因为lim x x2 1，所以称：当 x 0 时，x x2 与x 是等价无
x0
到底穷小量.
x
当 x 0 时，2x2 3x 是 x 的__同__阶__无__穷_小__量____.
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
第二章 极限和连续
AP微积分计算器使用方法介绍
AP微积分计算器使用方法介绍AP微积分计算器是一种功能强大的工具，可以帮助学生解决微积分相关的问题。
它可以进行各种微积分运算，包括导数、积分、极限以及曲线绘制等。
在这篇文章中，我们将介绍AP微积分计算器的使用方法，帮助你更好地掌握微积分知识。
首先，我们需要了解AP微积分计算器的基本功能和操作方式。
大多数微积分计算器都有屏幕、键盘以及一系列按键。
屏幕用于显示计算结果和图像，键盘用于输入数学表达式和进行相关设置，而按键用于选择不同的功能和执行操作。
在使用AP微积分计算器之前，首先要确保它已经正确安装并且处于工作状态。
通常，计算器会配备一本用户手册，其中详细介绍了各个功能和操作步骤。
建议你在开始使用之前仔细阅读这本手册，以了解计算器的具体规格和使用方法。
下面，我们将介绍一些常见的功能和操作步骤，帮助你更好地使用AP微积分计算器。
1.基本运算：AP微积分计算器可以进行加减乘除等基本运算。
使用计算器的数字键盘输入数值，然后使用运算符键执行相应的运算。
例如，如果要计算2+3的结果，可以输入“2+3”然后按下“=”，计算器会显示结果“5”。
2.导数计算：计算器可以帮助你计算函数的导数。
通常，计算器会具备一个“导数”功能键，可以直接输入函数并计算导数。
例如，如果要计算函数f(x)=x^2在x=3处的导数，可以先输入“x^2”，然后按下“导数”，再输入“3”，计算器会显示导数的结果。
3.积分计算：计算器可以帮助你计算函数的积分。
通常，计算器会具备一个“积分”功能键，可以直接输入函数并计算积分。
例如，如果要计算函数f(x)=2x在区间[1,3]上的积分，可以先输入“2x”，然后按下“积分”，再输入“1”和“3”，计算器会显示积分的结果。
4. 极限计算：计算器可以帮助你计算函数的极限。
通常，计算器会具备一个“极限”功能键，可以直接输入函数并计算极限。
例如，如果要计算函数f(x)=sin(x)/x在x趋近于0时的极限，可以先输入“sin(x)/x”，然后按下“极限”，再输入“0”，计算器会显示极限的结果。
AP微积分核心内容
AP微积分核心内容AP微积分核心内容AP微积分的核心内容介绍。
AP微积分考试包括微积分AB (Calculus AB) 和微积分BC(Calculus BC)两门课。
AP微积分AB需要1年的课程学习时间，其内容大约占了大学一年的微积分课程内容的三分之二，而AP微积分BC需要1年多的课程学习时间。
下面我们从AP 微积分考核的四个方面内容来看极限在其中的表现。
1、极限和函数的连续：函数在某一点存在极限的充要条件是左极限与右极限均存在且相等。
可用极限判断函数是否存在渐近线(竖直渐近线、水平渐近线)：由此分析函数的基本特征。
?用极限来定义函数在某点的连续性：夹挤定理、中间值定理、极值定理都是极限概念的延展。
2、导数、微分及应用：对瞬时变化率问题如速度、加速度等的研究产生了导数。
其几何意义是函数f(x)在a点的斜率。
由此可讨论连续函数的增减性、弯凸性、确定函数极值、相关变化率。
并可由导数定义式给出所有函数的求导公式。
3、定积分、不定积分及应用：对非常规图形面积的计算的要求产生了定积分。
“分割、近似求和(黎曼和)、取极限(定积分)”是定积分的核心思想。
4、多项式近似和无穷级数：无穷级数是微积分学的重要组成部分，涉及极限、微分和积分的内容。
级数收敛、发散的定义。
三立在线课程培训优势班级种类：（预约试听和科学选班请详询老师）一对一在线授课班，其优势：一对一是指听说读写都由不同的老师教授，而不是由一位老师负责学生的全部课程。
再加上督导顾问，总共是5位老师服务1位学员。
一对一可以依据学生自身的优势弱势打造独一无二的学习计划，既避免了已熟悉知识点的无意义重复，又不会将学生还没掌握的重点难点一带而过。
这不但大大节约了学习时间，提高了学习效率，而且又有人随时督促，提高学习积极性。
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另外托福本身就是机考，平时在网络上上课，更有助于提前考试演练，熟悉考试流程。
普林斯顿AP微积分
普林斯顿AP微积分据360教育集团介绍：第一部分主要知识共分了20章，其中微积分准备知识极限(Limit)和连续(Continuity)各1章，导数(Derivative)与微分(Differential)8章，积分(Integral)8章，微分方程(Differential Equations)1章和无穷级数(Infinite Series)1章。
第二部分给出了所有课后习题的详细答案。
第三部分测试试卷微积分AB有三套题，BC有2套题，都可以作为模拟题供我们使用。
据360教育集团介绍，经过一段时间的阅读和研究，发现此本教材的主要优点有以下：1. 概念丰满。
稍稍比较几本教材(如Barron，Peterson)，我们就会发现作者在每个概念的导出和概念的解释上费了很多功夫。
众所周知，数学学习对概念的理解至关重要，只有在深刻理解概念的前提下，我们才能开展运算、应用等数学活动。
举个例子，教材在导出导数的定义式时，先给出直线的斜率，然后抛出问题：曲线的斜率如何求，紧接着给出割线斜率，最后推出导数定义式。
有简到难，有理有据，步步推进。
2. 例题丰富。
教材中每章的例题，几乎覆盖了该章的所有知识点，也基本反映了考试的基本考点。
每个例题解题过程都比较规范，共同让我们能够学习到解题过程一些基本术语的英语表达。
作者在例题的设计上也很讲究，一个知识点从不同角度给出例题。
3. 练习丰厚。
这部分可能是其他教材所没有的，教材在讲完例题之后设置了一系列的Problems，让读者盖住答案自己做，做完跟答案对照。
这些题很适合自学完前面的知识点之后自己练习做，能够极大的巩固知识点。
4. 习题丰足。
该教材习题的一个特点是：围绕一个知识点的题很多，让读者不断的练习、不断的巩固。
好比我们刚学完1+1=2，习题里会出现大量的1+2，2+3，1+3之类的习题。
读者如果能按照习题循序渐进的布置扎实练习，收获会很大。
此外，此教材对于例题、习题、模拟题的解答非常的清楚和详细，很适合在家自学的读者。
国际高中生必读39国际高中AP微积分必考单词汇总
国际高中生必读39国际高中AP微积分必考单词汇总1. Derivative (导数)2. Integral (积分)3. Limits (极限)4. Continuous (连续)5. Differentiation (微分)6. Integration (积分)7. Function (函数)8. Polynomial (多项式)9. Trigonometry (三角函数)10. Exponential (指数)11. Logarithm (对数)12. Rational (有理数)13. Irrational (无理数)14. Variable (变量)15. Equation (方程)16. Inequality (不等式)17. Convergence (收敛)18. Divergence (发散)19. Differentiable (可微)20. Tangent (切线)21. Derivative chain rule (导数链式法则)22. Implicit differentiation (隐式微分法)23. Critical point (临界点)24. Critical value (临界值)25. Relative maximum (相对最大值)26. Relative minimum (相对最小值)27. Concave up (向上凹)28. Concave down (向下凹)29. Inflection point (拐点)30. Riemann sum (黎曼和)31. Fundamental theorem of calculus (微积分基本定理)32. Mean value theorem (极值定理)33. Antiderivative (原函数)34. Improper integral (不定积分)35. Series (级数)36. Taylor series (泰勒级数)37. Power series (幂级数)38. Maclaurin series (麦克劳林级数)。
AP微积分极限考点总结及解析
AP微积分极限考点总结及解析微积分中的极限是一种重要的概念，它可以描述函数在其中一点的趋近行为。
在AP微积分考试中，极限是一个重要的考点，以下是对AP微积分中的极限考点进行总结及解析：一、极限的定义与性质极限的定义是理解极限概念的基础，理解极限的定义对于解题非常重要。
极限的定义通常是这样表述的：当自变量x无限接近其中一特定的值a时，函数f(x)的极限L表示f(x)当x足够接近a时，函数值与L的差距可以无限接近于0。
根据这一定义，可以得出以下重要性质：1.极限的唯一性：如果极限存在，则极限是唯一的。
2.极限的局部性质：如果函数f(x)在其中一点a处的极限存在，则函数在a的附近也具有相同的趋近行为。
3.极限的两边性质：如果函数f(x)在a的左右两侧分别存在有限的极限，且两边极限相等，那么函数在a处的极限也存在。
二、常见极限的计算方法在AP微积分考试中，常见的极限计算方法有以下几种：1.代入法：对于简单的极限问题，可以将x的值代入函数中，计算函数值，以判断极限是否存在。
2.夹逼定理：夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它通常用于计算函数在其中一点处的极限。
夹逼定理的基本思想是，如果一个函数在其中一点的左右两侧都夹在同一个函数的上下两条曲线之间，那么它们的极限也会相同。
3. 基本初等函数的极限：对于一些基本的初等函数，可以通过一些基本的极限公式计算其极限。
例如，sin(x)/x在x趋近于0时的极限为1，e^x在x趋近于无穷大时的极限为无穷大等等。
三、无穷极限与级数无穷极限是微积分中的重要概念，可以用来描述函数在无穷远处的趋近行为。
在AP微积分考试中，无穷极限的计算方法主要有以下几种：1.无穷大趋向于无穷大：当x趋向于无穷大时，如果函数f(x)的极限也是无穷大或趋向于无穷大，那么可以说f(x)是无穷大级数。
2.无穷小趋向于零：当x趋向于无穷大时，如果函数f(x)的极限是无穷小或趋向于零，那么可以说f(x)是无穷小级数。
微积分第二章 极限与连续
一.无穷小
定义2.3.1 如果在自变量 则称函数 f(x)为 的某个变化过程中 , 在该变化过程中的无穷小量, 简称无穷小.
简单地说, 以零为极限的变量称为无穷小量. 例如
2018/11/12
9
微积分I 第二章 极限与连续
定义2 .2 意给定的
设 { yn} 为一数列, 如果存在常数
对于任
, 总存在正整数N, 当n>N时, 不等式
恒成立, 则称常数 是数列 {yn} 当n趋于无穷大时的极限,
或称{yn}收敛于 记为
如果不存在这样的常数 , 则称数列{yngt; N时, 恒有
根据数列极限的定义：
2018/11/12 13
练习：P90， （ 2 3） .
微积分I 第二章 极限与连续
1 证明： lim 0. n n
证明：对 0,
1 1 | 0 | , 成立. n n 1 1 只需 n 2 . 因此，取 N [ 2 ], 当n N时，有 1 | 0 | 成立 n 1 lim 0. n n
研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积
分的社会背景。
2018/11/12 2 微积分I 第二章 极限与连续
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来
因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了 极限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人 们的怀疑与攻击。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里 埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，
定理2.2.3 (局部有界性) 若 常数M>0和δ>0，使得当 时,
存在, 那么存在
证 当
取ε =1, 因为 时,
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无穷极限存在判定（Infinite Limit Laws）
充要条件：
lim x
f x
f x
lim
x
f x
下面我们一起来讨论下函数 存在
1 在 x 极限是否 x
lim f x lim f x lim f x 0
2a 1 4a 1 a 1
Example
f x • Given f x x and g x x 7 ,where is the function g x continuous?
3
x7
x0
x
x
x
连续Continuity
• 分类：1、点连续（Continuous at a Point)和区间连续（Continuous Over the interval） 函数连续的条件（Condition） f x0 exists 1、 lim f x exists 2、 left-hand limit = right-hand limit x x 3、 lim f x f x
f x
ax 1x 2
2
• is continuous on , ?
lim f x lim ax 1 2a 1
x2
lim
x2 x2
f x lim ax2 1 4a 1
x2 x2
x2
lim f x lim f x
0
x x0
0
Example
• If the function • f(x)=
5 x 1
1
if x 1
x 1
is continuous 1)at x=0 2)at x=1
Solution: f 0 5
lim
x 0 x 0
f x lim f x 5
x 0
森 特 教 育
AP微积分 Iimit &continuity
（极限和连续）
Limits Laws
极限存在的判定
点极限存在的充分必要条件：
f(x)在x=x0点处左极限（Left-hand limit）和右极限（Right-hand limit） 相等
lim f x lim f x x x0 x x0
lim
x 1 x 1
f x lim
x 1
lim f x f 0 5
lim f x lim
x 1
5 x 1 5 x 1
Example
• For what value of the constant “a” is the function • ax 1x 2
lim f x lim f x lim f x
x
0
x
0
x 0
Example
lim
x 6
6 x 6 x
determine the limit，if it exists
x 6 lim f x 1 x6 6 x
6 x lim f x 1 x6 6 x
lim f x 6 x 4
Example Example：
• Find：
lim
x 0
1 2 x
If you plug in some very small values for x, you'll see that function approaches .And it doesn't matter whether x is positive or negative
li x x 0
点极限的判定
函数在某一个点是否存在定义，和是否存在极限没有关系
f x x 2
x 2 2x 8 Example： 在点x=4处极限是否存在（exist） f x x4
lim f x 6 x 4