高等数学 多元函数的极限与连续
大专大一高数知识点

大专大一高数知识点高等数学作为大一学生的必修课程,是一门基础且重要的学科。
掌握了高数的基本知识点,对于后续专业课程的学习以及日常生活中的实际问题解决都有着重要的帮助。
本文将对大专大一高数的知识点进行系统整理和介绍。
一、函数与极限1. 函数与映射关系:函数的定义,自变量、因变量和函数值的概念,函数图像的性质等。
2. 极限与连续:数列的极限概念,函数极限的定义与性质,常见极限运算法则,连续函数的定义与判定等。
3. 一元函数的导数与微分:导数的定义与性质,常见导数运算法则,函数的微分与微分近似计算等。
二、一元函数的应用1. 函数的增减性与极值:函数单调性的判定方法,函数的极大值与极小值的求解等。
2. 函数的单调性与曲线的凹凸性:函数的凹凸性与拐点的判定方法,曲线的拐点与凹凸区间等。
3. 常用函数与数学模型:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数的性质与应用。
三、二元函数与多元函数1. 二元函数的概念与性质:二元函数的定义与图像,二元函数的极限、连续与偏导数等。
2. 多元函数的极限与连续:多元函数的定义与性质,多元函数的极限定义与计算,多元函数的连续性与判定等。
3. 多元函数的偏导数与全微分:多元函数的偏导数与偏导数的计算方法,全微分的概念与计算等。
四、多元函数的应用1. 多元函数的极值与条件极值:多元函数的极值与条件极值的求解方法,拉格朗日乘数法等。
2. 多元函数的偏导数与梯度:多元函数的偏导数在几何上的意义,梯度的概念与性质等。
3. 二重积分与三重积分:二重积分的定义与计算方法,三重积分的定义与计算方法等。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念:常微分方程的定义与分类,初值问题的理解与解的存在唯一性定理等。
2. 一阶常微分方程的解法:可分离变量方程、线性方程、齐次方程、一阶齐次线性方程等的求解方法。
3. 高阶线性常微分方程:高阶常微分方程的解法,常系数线性齐次方程的解法,常系数线性非齐次方程的特解与通解等。
关于大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=fx, x ∈D定义域: Df, 值域: Zf.2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: Fx,y= 04.反函数: y=fx → x=φy=f -1y y=f -1 x定理:如果函数: y=fx, Df=X, Zf=Y 是严格单调增加或减少的; 则它必定存在反函数:y=f -1x, Df -1=Y, Zf -1=X且也是严格单调增加或减少的;㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=fx,x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若fx 1≤fx 2,则称fx 在D 内单调增加 ;若fx 1≥fx 2,则称fx 在D 内单调减少 ;若fx 1<fx 2,则称fx 在D 内严格单调增加 ;若fx 1>fx 2,则称fx 在D 内严格单调减少 ;2.函数的奇偶性:Df 关于原点对称 偶函数:f-x=fx 奇函数:f-x=-fx3.函数的周期性:周期函数:fx+T=fx, x ∈-∞,+∞ 周期:T ——最小的正数4.函数的有界性: |fx|≤M , x ∈a,b ㈢ 基本初等函数1.常数函数: y=c , c 为常数2.幂函数: y=x n , n 为实数3.指数函数: y=a x , a >0、a ≠14.对数函数: y=log a x ,a >0、a ≠15.三角函数: y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数: y=fu , u=φxy=f φx , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算加、减、乘、除和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限; 或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限:⑴当∞→x 时,)(x f 的极限:⑵当0x x →时,)(x f 的极限:左极限:Ax f x x =-→)(lim 0右极限:A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件:定理:AxfxfAxfxxxxxx==⇔=+-→→→)(lim)(lim)(lim㈡无穷大量和无穷小量1.无穷大量:+∞=)(lim xf称在该变化过程中)(xf为无穷大量;X再某个变化过程是指:2.无穷小量:)(lim=xf称在该变化过程中)(xf为无穷小量;3.无穷大量与无穷小量的关系:定理:)0)((,)(1lim)(lim≠+∞=⇔=xfxfxf4.无穷小量的比较:lim,0lim==βα⑴若lim=αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量;⑵若c=αβlimc为常数,则称β与α同阶的无穷小量;⑶若1lim=αβ,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;⑷若∞=αβlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量; 定理:若:;,2211~~βαβα则:2121limlim ββαα=㈢两面夹定理1. 数列极限存在的判定准则:设:n n n z x y ≤≤ n=1、2、3…且: a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则: a x n n =∞→lim2. 函数极限存在的判定准则: 设:对于点x 0的某个邻域内的一切点 点x 0除外有:且:Ax h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则:A x f x x =→)(lim 0㈣极限的运算规则若:B x v A x u ==)(lim ,)(lim则:①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[②B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[③BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论:①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±②)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅③nnx u x u )]([lim )](lim [=㈤两个重要极限1.1sin lim 0=→xxx 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2.e xxx =+∞→)11(lim e x xx =+→10)1(lim§ 连续一、主要内容㈠ 函数的连续性 1. 函数在0x 处连续:)(x f 在0x 的邻域内有定义,1o 0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x2o)()(lim 00x f x f x x =→左连续:)()(lim 00x f x f x x =-→右连续:)()(lim 00x f x f x x =+→2. 函数在0x 处连续的必要条件:定理:)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在3. 函数在0x 处连续的充要条件:定理:)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→4. 函数在[]b a ,上连续:)(x f 在[]b a ,上每一点都连续;在端点a 和b 连续是指:)()(lim a f x f ax =+→ 左端点右连续;)()(lim b f x f b x =-→ 右端点左连续;a + 0b - x 5. 函数的间断点:若)(x f 在0x 处不连续,则0x 为)(x f 的间断点;间断点有三种情况:1o)(x f在0x 处无定义;2o)(lim 0x f x x →不存在;3o)(x f在0x 处有定义,且)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→;两类间断点的判断: 1o 第一类间断点:特点:)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→都存在;可去间断点:)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→,或)(x f在0x 处无定义;2o 第二类间断点:特点:)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞,或)(lim 0x f x x →振荡不存在;无穷间断点:)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞㈡函数在0x 处连续的性质1.连续函数的四则运算:设)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→1o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ±=±→2o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ⋅=⋅→3o)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x2. 复合函数的连续性:则:)]([)](lim [)]([lim 00x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→3.反函数的连续性:㈢函数在],[b a 上连续的性质1.最大值与最小值定理:)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值;fx0 a b xm-M0 ab x2.有界定理:) (xf在],[ba上连续⇒)(x f在],[b a上一定有界;3.介值定理:) (xf在],[ba上连续⇒在),(b a内至少存在一点ξ,使得:cf=)(ξ,其中:Mcm≤≤y yCfx0 a ξm0 a ξ1 ξ2 b x 推论:)(x f 在],[b a 上连续,且)(a f 与)(b f 异号⇒在),(b a 内至少存在一点ξ,使得:0)(=ξf ;4.初等函数的连续性:初等函数在其定域区间内都是连续的; 第二章 一元函数微分学 § 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念1.导数:)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义, 2.左导数:00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数:00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 定理:)(x f 在0x 的左或右邻域上连续在其内可导,且极限存在;则:)(lim )(00x f x f x x '='-→-或:)(lim )(00x f x f x x '='+→+3.函数可导的必要条件:定理:)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件:定理:)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒,且存在;5.导函数: ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导; y )(0x f '6.导数的几何性质: y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ∆()00,y x M 处切线的斜率; o x 0㈡求导法则 1.基本求导公式: 2.导数的四则运算: 1o v u v u '±'='±)(2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)(3o2v v u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数:dxdu du dy dx dy ⋅=,或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别:})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导;)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导;4.高阶导数:)(),(),()3(x f x f x f 或'''''函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数; ㈢微分的概念 1.微分:)(x f 在x 的某个邻域内有定义,其中:)(x A 与x ∆无关,)(x o ∆是比x ∆较高阶的无穷小量,即:0)(lim 0=∆∆→∆x x o x 则称)(x f y =在x 处可微,记作:2.导数与微分的等价关系: 定理:)(x f 在x 处可微)(x f ⇒在x 处可导,且:)()(x A x f ='3.微分形式不变性:不论u 是自变量,还是中间变量,函数的微分dy 都具有相同的形式;§ 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理1.罗尔定理: )(x f 满足条件:y)(ξf ' )(x fa o ξb x a o x2.拉格朗日定理:)(x f 满足条件:㈡罗必塔法则:∞∞,型未定式 定理:)(x f 和)(x g 满足条件:1o)或)或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f ax ax ;2o 在点a 的某个邻域内可导,且0)(≠'x g ;3o)(或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x则:)(或∞=''=∞→∞→,)()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x☆注意:1o 法则的意义:把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限; 2o若不满足法则的条件,不能使用法则;即不是型或∞∞型时,不可求导;3o 应用法则时,要分别对分子、分母 求导,而不是对整个分式求导; 4o 若)(x f '和)(x g '还满足法则的条件,可以继续使用法则,即: 5o 若函数是∞-∞∞⋅,0型可采用代数变形,化成或∞∞型;若是0,0,1∞∞型可采用对数或指数变形,化成或∞∞型;㈢导数的应用 1.切线方程和法线方程:设:),(),(00y x M x f y =切线方程:))((000x x x f y y -'=-法线方程:)0)((),()(10000≠'-'-=-x f x x x f y y 2. 曲线的单调性:⑴),(0)(b a x x f ∈≥'内单调增加;在),()(b a x f ⇒⑵),(0)(b a x x f ∈>'内严格单调增加;在),(b a ⇒3.函数的极值: ⑴极值的定义:设)(x f 在),(b a 内有定义,0x 是),(b a 内的一点;若对于x 的某个邻域内的任意点x x ≠,都有:则称)(0x f 是)(x f 的一个极大值或极小值,称x 为)(x f 的极大值点或极小值点;⑵极值存在的必要条件:定理:)()(.2)()(.1=⇒⎭⎬⎫'xfxfxfxf存在。
高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念

多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
29
一般地,求 lim f (P) 时,如果 f (P) 是初等函 P P0
数,且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点,则 f (P ) 在
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
1
一、平面点集
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 ( x, y) 之间
是一一对应的。
R2 R R (x, y) | x, y R 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集,称为平面点集,记作
边界上的点都是聚点也都属于集合.
9
二、多元函数概念
设 D是平面上的一个点集,如果对于每个点
P( x, y) D,变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应,则称 z 是变量 x, y 的二元函数,记为 z f ( x, y)(或记为z f (P)).
类似地可定义三元及三元以上函数.
当n 2时,n 元函数统称为多元函数.
点 P0
处连续,于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例7 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
30
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
(注意趋近方式的任意性)
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
31
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时,函数 f ( x, y)都趋向于 A,能否 断定 lim f ( x, y) A?
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案

第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1.二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集,如果对每个点()D y x P ∈,,按照某一对应规则f ,变量z 都有一个值与之对应,则称z 是变量x ,y 的二元函数,记以()y x f z ,=,D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面,它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=,1:22≤+y x D , 此二元函数的图形为以原点为球心,半径为1的上半球面,其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心,半径为1的闭圆。
2.三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论,在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中,可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义,),(000y x P 是D 的聚点,如果存在常数A ,对于任意给定的0>ε,总存在0>δ,当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时,恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时,()y x f ,的极限存在,极限值A ,否则称为极限不存在。
值得注意:这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内,可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ,所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂;但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值,不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
02多元函数的极限与连续

f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(X)a
进
X X0
行
lim f(x)a.
xx0
整
理
现在进行形式上的推广
设 u f(X )X ,X 0为 的.聚点
若 0 , 0 ,当 X U ˆ ( X 点 0 ,) 时 ,
f(x ) U a ,)(即 ,|f(x ) a |,则称
lim f(x)a.
xx0
现在进行形式上的推广
回忆一元函数极限的概念的
uf(X )X X0为的聚点 设 yf(x )x Ix ,0为 I的.聚点
X U ˆ(X0,)
若 0 , 0 ,当 x U ˆ ( x 0 , 点 ) 时 ,
若 X l iX 0m (X )0 ,则(称 X )为 X X 0时的.无
应用这个性质,
lifm (X ) a f(X ) a 可将一元函数的
X X 0
极限运算法则和
其 ,X 中 U ˆ(X 0 )X ,l X i0m 0 .
性质推广到多元 函数中来.
例
求 lim x2 y2 .
x0 | x | | y |
y0
怎么办? 怎么办? 解 由于
0 x2 y2 x2 y2 | x | | y | |x|| y| |x|| y|
x2 y2 | x|| y| |x| | y|
而 lim (|x|| y|)0, 故由夹逼定理, 得 x0 y0 lim x2 y2 0 x0 | x | | y | y0
limy 2. x 0 yБайду номын сангаас2
大学课程《高等数学》PPT课件:6-2 多元函数的基本概念

显然,点集E的内点一定属于 E ;点集E的外点一定 不属于 E; E 的边界点可能属于E ,也可能不属于 E. 如果点集 E的每一点都是 E的内点,则称 E为开集.
点集 E1 x, y | 0 x2 y2 1 是开集,
E2 x, y | x y 1 不是开集.
坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面 点集,
记作 E (x, y) | (x, y)具有某种性质P .
目录内所有点的
集合是 C (x, y) | x2 y2 r2 .
如果以点 P 表示 (x, y) ,OP 表示 P 点到原点 O 的距
Rn中点 P x1, x2, , xn 与点 Q y1, y2, , yn
之间的距离定义为 PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
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平面点集中的一系列概念,均可推广到n维空间中去。
例如,P0 Rn, 是某一正数,则
U P0, P | PP0 , P Rn 就称为 Rn 中点 P0 的
称为
P0 (x0 ,
y0 ) 的去心邻域,记作
o
U
(
P0
,
)
,即
o
U (P0 , ) P 0 PP0
(x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
如果不需要强调邻域的半径 ,
则用 U (P0 ) 表示点 P0 的某个邻域,
o
用 U (P0 ) 表示 P0 (x0, y0 ) 的某个去心邻域.
如前面讲的 E1是开区域.
开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广.
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开区域 E 连同它的边界 E 构成的点集,称为闭区域
湖南高等数学教材答案详解

湖南高等数学教材答案详解一、函数与极限1. 函数的定义及表示法在数学中,函数是一种将一个集合映射到另一个集合的关系。
表示函数的常用方式有算式表示、图像表示和表格表示等。
例如,对于函数f(x),我们可以用以下方式表示:- 算式表示:f(x) = x^2 + 1- 图像表示:在坐标系中绘制f(x) = x^2 + 1的曲线- 表格表示:列出不同的x值和相应的f(x)值2. 极限的定义及性质在数学分析中,极限是研究函数趋于某个值时的行为和性质。
极限的定义如下:给定一个函数f(x),当自变量x无限接近某个值a时,如果对于任意一个给定的正数ε,总存在另一个正数δ,使得当0 < |x - a| < δ时,有|f(x) - A| < ε成立,那么我们就说当x趋于a时,函数f(x)的极限是A。
3. 求函数的极限求函数的极限需要根据极限的定义方法进行推导和计算。
常用的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法。
4. 极限的性质在计算极限时,可以利用一些基本的极限性质简化计算过程。
常用的极限性质有四则运算性质、复合函数极限性质和函数极限的保号性等。
二、导数与微分1. 导数的定义及性质在微积分中,导数表示函数在某一点的变化率或斜率。
导数的定义如下:给定一个函数y = f(x),如果函数在点x处的导数存在,那么导数定义为f'(x) = lim┤(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx。
导数的几何意义是函数曲线在该点的切线的斜率。
2. 使用导数求函数的极值和凹凸性通过求函数的导数,可以找到函数的极值点和凹凸性。
如果函数在某一点的导数为零,那么该点就是函数的极值点;如果函数的导数单调递增或递减,那么函数就具有凹性或凸性。
3. 高阶导数及其应用高阶导数表示对函数的导数再次求导的结果。
高阶导数在函数的加速度、曲率等问题中具有重要的应用。
4. 微分的定义及性质微分是导数的一种应用,表示函数在某个点处的变化量。
高等数学讲义2

第八章:多元函数微分8.1 多元函数的极限与连续性8.1.1 定义设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x,y)是D的内点或边界点。
如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于适合不等式的一切点P(x,y)∈D,都有|f(x,y)-A|<ε成立,则称常数A为函数f(x,y)当 x→x0,y→y时的极限,记作或f(x,y) →A (ρ→0),这里ρ=|PP|。
例设(x2+y2≠0),求证。
因为,可见,对任何ε>0,取,则当时,总有成立,所以。
我们必须注意,所谓二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于P0(x,y)时,函数都无限接近于A。
定义设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x,y)是D的内点或边界点且P∈D。
如果则称函数f(x,y)在点P0(x,y)连续。
8.1.2 性质性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定有最小值和最大值。
性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
所谓定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域。
由多元初等函数的连续性,如果要求它在点P0处的极限,而该点又在此函数的定义区域内,则极限值就是函数在该点的函数值,即。
8.2 偏导数的定义及计算法8.2.1 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内有定义,当y固定在y而x在x0处有增量Δx时,相应的函数有增量f(x+Δx,y)-f(x,y),如果存在,则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y)处对x的偏导数,记作或 fx (x,y)。
对于函数z=f(x,y),求时,只要把y暂时看作常量而对y求导。
例求z=x2sin2y的偏导数。
解。
8.2.2 高阶偏导数定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D内连续,那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
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2x y, x2 y2 4
f
(x,
y)
x
3y,
x2
y2
4
,求f (1,1),
f (1,2)
解 f (1,1) 2 (1) 1 1
f (1,2) 1 3 2 5
例 已知函数 f (x y, x y) x2 y2 , 求f (x, y)
解
f (x y, x y) (x y)(x y)
解 原式 lim sin(0 1) sin1
x0 0 1
y1
代入法
例 解
求 lim
x2 y2
.
x0 y0
1 x2 y2 1
原式 lim
(x2 y2 )(
( x0
y0
1 x2 y2 1)(
1 x2 y2 1) 1 x2 y2 1)
(x2 y2 )( 1 x2 y2 1)
lim
是初等函数
作业
f (x, y)在定义域内连续
lim xx0
f (x, y)
f (x0, y0 )
y y0
P26ex10.1:1: 1 2 : 1,2;5 : 2,4
2x y2 2112 1
lim
x1 x2 y2 12 12 2
y1
f (u, v) uv
f (x, y) xy
例 已知函数 f (x y, x y) 2x2 y2 , 求f (x, y)
解
令
x x
y y
a, b,
x
y
a a
2
b b
f
(a,
b)
2
a
b
2
a
b
2
2 2
2
f (a,b) a2 6ab b2 4
f x, y x2 6xy y2
0.
y0
无穷小量的性质
例
求 lim sin xy . x0 x
y2
解 lim sin xy lim y sin xy
x0 x
x0 xy
y2
y2
sin xy
lim y lim
2
x0 x0 xy
y2 y2
利用重要极限
sin x lim 1 x0 x
x2
例
求
lim
x y5
1
1 x
x
y
.
解
原
式
lim
定义 设有三个变量x,y,z,如果对于变量x,y 的变化范围内所取的每一对值,变量z都按照一定的规 则,有一个确定的值与之对应,则称z 为x,y的二元函 数,记作
z=f(x,y) 或 z=z(x,y), 其中x,y称为自变量,z称为函数(或因变量).自变量x, y的变化范围称为函数的定义域.
例 z ln 2 x2 sin(y x)
即
lim
xx0
f (x, y)
f (x0, y0),
y y0
则称函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )处连续.
如果z f (x, y)在点P(x0, y0 )处不连续,则称为不连续或间断
一切多元初等函数在其定义域内连续.
例
求
2x y2
lim
x1
x2
y2
.
y1
解
f
(x,
y)
2x y2 x2 y2
yx0
即
x2 +y2 4
yx
y
yx
2
0
2x
求二元函数的函数值 已知函数 例 求f (1,0), f (0,1)
解 f (1,0) (2 1 0)2
f (0,1) (0 31)2
f (x, y) (2x 3y)2
1
5
2 12 0
1
10
2 0 1
1 ,
2 x2 y2
例
已知函数
(
)
x0
x0
x0
利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间
在 R2 中:
U( X 0, ) {(x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 }
y
. X0(x0 , y0)
开圆盘
O
x
在 R3 中:
U( X 0 , ) {( x, y, z) | (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 }
多元函数的极限与连续 偏导数与全微分
多元函数的极值
第一节 多元函数的极限与连续
一.多元函数的概念 二.二元函数的极限 三.二元函数的连续性
1. 平面区域
回忆一维空间中点的邻域概念
点 x0 的 邻域 U(x0, ): (以点 x0 为中心, 为半径的相邻区域 )
. {x | x0 x x0 }
x 0 x0 x
x x0 , f (x) f (x0 )
即 lim xx0
f (x)
f (x0 )
x
一元函数连续:lim xx0
f (x)
f (x0 )
定义 如果当 x x0, y y0 时,函数z=f (x,y)的极限
存在,且等于它在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0),
x2 y2 1,
此即函数定义域. (x, y) x2 y2 1
练 求函数z=ln(x+y)的定义域. 解 函数的定义域为 x+y>0.
即 (x, y) x y
求法:将不等号变等号,然后取点判定区域
例2 求函数z ln(4 x2 y2) y x的定义域
解 定义域满足
4 x2 y2 0
4
3. 二元函数的几何意义 z
z f (x, y) 二元函数表示空间中一个曲面
• P(x0, y0, z0 )
二元函数的定义域为曲 面在xoy面上的投影
O
y
x
D
•
Q(x0 , y0 ,0)
二. 二元函数的极限
一元函数极限的概念
x x0, f (x) A,
记 lim f (x) A xx0
二元函数极限的概念
x x0 , f (x, y) A, y y0,
记 lim f (x, y) A x x0 y y0
二重极限
回忆:一元函数求极限的方法
(1)代入法 (2)有理化法 (3)分解因式法 (4)抓大头法 (5)无穷小性质
例
求
sin(x2 y2 )
lim
x0
x2 y2
.
y1
z
.
X 0 (பைடு நூலகம்0 , y0 , z0 )
开球体
x
O
y
将一元函数的概念推广到多维函数
x
f y 记为 : y f (x)
定义域:区间
x, y f z 记为 : z f (x, y) 定义域:平面区域
x, y, z f u 记为 : u f (x, y, z) 定义域:空间区域
2. 二元函数的定义
x y5
1
1 x
x
x x
y
e1
e,
其中
lim1 x
y5
1 x
x
e,
lim x 1. x x y
y5
利用重要极限
lim (1 1)x e x x
回忆 一元函数
三. 多元函数的连续性
y
连续的概念
f (x)
增量形式: x 0, y 0
f (x0 )
y 0
O
即 lim y 0 x0 极限形式:
x0
(1 x2 y2 ) 1
y0
lim( 1 x2 y2 1) 2 x0 y0
有理化 (平方差公式)
例 解
求
lim( x 2
x0
y2
)
sin
x2
1
y2
.
y0
由于
sin
x2
1
y2
1
(有界量)
又
lim(x2 y2 ) 0
(无穷小量)
x0
y0
故
lim( x 2
x0
y2)
sin
x2
1
y2
类似地,可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以 上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.
二元函数的定义域 函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求
函数的定义域,就是求出使函数有定义的所有自变量 的取值范围.
一元函数定义域:数轴上的一个区间。
二元函数定义域:平面上的一个区域。
例1 求出二元函数 z 1 x2 y2 的定义域. 解 自变量x,y必须满足不等式