二元函数的极限与连续
应用数学第6章 第一节 二元函数-PPT精选文档
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
二、二元函数的极限与连续
如果点 ( x , y ) 只取某些特殊方式，如沿一条给定的直线或给定的 曲线无限趋近于 ( x 0 , y 0 ) , 则即使这时函数值无限趋近于某一确 定的常数，也不能判定函数的极限就一定存在.
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
y y0
x x0 yy0
时的极限，记作 ( )
lim f (x, y) A
或
f x, y A
, ,y xy x 0 0
( x , y ) 以任何方式趋近于 注意：在二元函数极限的定义中，
( x0 , y0 )
是指平的面上点 ( x , y ) 以任意路径无限趋近于点 ( x 0 , y 0 ) .
一元函数通常表示平面上的一条曲线． 二元函数z = f (x, y) , (x , y)D, 其定义域 D
y
y
图6-3
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
二、二元函数的极限与连续
1. 二元函数的极限
x , y pxy ,0 0 时，对应的 0 二元函数的极限研究的是当点 p 函数值的变化趋势.由于二元函数的自变量有两个，自变量的变 化过程比一元函数的自变量变化过程更为复杂.这里 p p0 表示 点 p 以任何方式趋于点 p 0 ，也就是点 p 与点 p 0 间距离趋于0
图6-1
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
练习2 解 求二元函数 的定义域. 自变量 x, y 所取的值必须满足不等式
2 y 1 x
z arccos 2y x
y
且
x0
二元函数的连续性
D R 2 上连续, 则 f (P)在 D上有界 .
定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
D R 2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理7( 介值性 ) 若二元函数f ( P )在有界闭区域
D R 上连续， 且m和M 分别是函数f ( P )在D的
若函数u ( x , y )和
且二元函数f ( u, v )在 v ( x , y )在点P0 ( x0 ,y0 )连续，
则复合函数 ( u0 , v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，
f [ ( x , y ), ( x , y )]在点P0 ( x0 ,y0 )也连续.
综合起来, 当 | x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| f [ ( x , y ), ( x , y )] f [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]| .
所以 f [ ( x , y ), ( x, y )] 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续.
都连续。但反之f ( x , y )关于每一变量连续，不能推出 它关于双变量连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
x0 lim f x , 0 lim 2 0 f 0, 0 , x 0 x 0 x 0
f x , y 关于变量x在 0, 0 点连续.
§10.2 二元函数的极限与连续
若 lim z y 0,
y0
f 则表示当 固定 x x0 时， ( x0 , y ) 在 y0 连续.
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
二元函数的极限与连续5页word文档
§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当（即）时，都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。
必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。
只要P与充分接近, 就能使与A 接近到预先任意指定的程度。
注意：点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。
这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。
例4 求。
解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求（a≠0)。
解。
例6求。
解由于且,所以根据夹逼定理知. 例7 研究函数在点处极限是否存在。
解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0）的极限，有,。
很显然，对于不同的k值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。
注意：的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数。
它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等（证明略）。
推论若存在但不相等,则二重极限不存在。
定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。
二元函数的极限与连续
应用举例
极限与连续在工程中的应用
探索极限和连续在工程领域中的实际应用，如电路 学中的重要性，如边际效益 和最优化问题。
总结与要点
掌握二元函数极限的定义和计算方法
深入理解极限的性质和连续性的概念
应用极限和连续性解决实际问题
了解极限和连续在不同领域的应用
二元函数的极限与连续
本节将介绍二元函数的极限和连续的概念，以及如何计算和判断二元函数的 极限和连续性。还将探讨极限和连续在工程和经济学中的应用。
函数的极限概念
1 一元函数的极限
了解一元函数的极限概念是理解二元函数极限的基础。
2 二元函数的极限
探索如何定义和计算二元函数的极限，包括极限的性质。
函数的连续性
1 一元函数的连续性概念
学习一元函数连续性的定义和特征，为后续 探讨二元函数连续性做准备。
2 二元函数的连续性概念
了解二元函数连续性的定义和特点，以及与 一元函数连续性的比较。
判断二元函数的连续性
1 连续的充分条件
学习如何判断二元函数连续的充分条件，以 便在实际问题中应用。
2 不连续的充分条件
了解导致二元函数不连续的充分条件，帮助 识别和解决连续性问题。
二元函数的极限与连续
定义 3：设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有 (x, y)
f (x0, y0 ) ，则称函数 z
f (x, y) 在
y y0
点 p0 (x0 , y0 ) 处连续。
定义 4：如果函数z f ( x, y)在区域 D 上每一点
都连续，则称它在区域 D 上连续。
f (x, y) A
x x0
y y0
2021/6/16
3
说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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4
例1
求
lim x0
sin( xy ) x
y2
解
lim x0
sin( xy ) x
y2
lim lim
sinx(y)
y =1×2=2.
xy0 xy
y2
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5
例2 求
lim x 0
1 x y
y1
解
lim x 0
1 1 1 x y 01
y1
lim 例3
求
x0
(x
y)sinx2
1
y2
y0
lim 1
解 x0 (xy)sinx2 y2 0
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9
例6 讨论函数
f(x,y)x2xyy2, x2y2 0
0,
x2y2 0
在P(x,y)趋向于(0,0)时极限是否存在.
解 取 ykx
lim
x0
x
2
高数第九章
x 0 0 6 2 f (0 x , 0) f (0, 0) lim x 0 0, f x (0, 0) lim x 0 x 0 x x 03 y 0 6 2 f (0, 0 y ) f (0, 0) 0 y lim f y (0, 0) y 0 lim 0. y0 y y (4) lim f ( x , y )不存在, f ( x , y )在o(0,0)处不可微.
lim f ( x , y ) lim f ( x , y ), lim f ( x , y )不存在.
x0 y0 x0 y x3
x 0 y0
16
x3 y ,( x , y ) (0, 0) 6 2 例2 : 设 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0) (3)求 f x (0, 0), f y (0, 0); (4)问f ( x , y )在点o(0, 0)处是否可微？
y y0
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y 0 ) 利用定义 f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
5
●求抽象的复合函数的偏导数-----链式法则 z z f (u, v ), u (t ), v (t ) 同路相乘， dz 异路相加. f1 ( t ) f 2 ( t ). u v dt 单路全导, t t 叉路偏导. z f ( x, y, v ), v ( x, y ) z z f f v z f f v x y v f 2 f 3 v f 3 v y , . f1 ,, x y y v y x x v x
4
二、多元函数微分法
二元函数极限存在和连续的关系
二元函数极限存在与连续的重要关系
二元函数极限是数学分析中的基本概念之一。
在计算二元函数极限时，往往需要先判断函数值在极限点处是否存在。
如果函数值在极限点处存在，并且极限值等于函数值，那么函数在此点处连续。
进一步地，若一个二元函数在某个点处连续，那么在这个点的一个领域内，其函数值和极限值的距离可以尽量小地变小，也就是说，这个领域内函数值和极限值十分接近。
这个概念叫做“函数的ε-δ连续性”。
换言之，二元函数极限的存在与连续是密不可分的，有了二元函数极限存在，才能推导出连续的性质。
在实际中，我们可以通过计算二元函数化简，利用极限的四则运算法则计算极限，进而判断函数值在极限点处是否存在，然后验算连续性。
总之，对于任何一道二元函数极限的计算题，正确判断函数值是否存在于极限点，判断函数是否连续，都是非常关键的。
只有确保二元函数极限存在，函数连续才能够更好地发挥其重要作用。
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不存在．
y0
证 取 y kx3,
lim
x0
x
x3 y 6 y2
lim x0
x3 kx3 x6 k2x6
1
k k
2
,
y0
ykx3
其值随k的不同而变化，
故极限不存在．
确定极限不存在的方法：（了解）
（1） 令P( x, y)沿 y kx 趋向于P0 ( x0 , y0 )，若 极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
总结：
1.二元函数的所有学习上的知识都可 以从一元函数推广而来。我们今天就 可以用这个思想来求解二元函数的值 、定义域、极限和判定连续。
2.二元函数作为一个新的概念，和以前 的一元函数还是有区别的，比如定义域 画成图形是一个平面图形，而一元函数 图形的定义域往往是x轴上的区域。
例6 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续． (称为间断点)
8.1 二元函数的极限与连续
二元函数的概念 二元函数的极限 二元函数的连续性
一、多元函数概念
（1）二元函数的定义
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因 变量等概念.
例 求 f (x, y) 4 x2 y2的定义域．
解 4 x2 y2 0
所求定义域为
D {( x, y) | x2 y2 4}.
例求
y0
分子有理化lim
x2 y2
x0 y0
(x2
y2
)
(
x2 y2 1 1)
约分
1
2
三、二元函数的连续性
定义：设函数z f (x, y)在点P（0 x0 , y0 )的 某邻域内有定义，如果：
lim f (x, y) f (x0, y0 )
x x0 y y0
则称函数z f (x, y)在点P（0 x0 , y0 ) 处连续，则点P0称为z f (x, y)的连续点。
设函数 z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
解
lim sin(xy) lim sin(xy) y
x0 x
y2
x0 xy
y2
u xy
lim sin u lim y
u0 u
y2
12 2
x2 y2 1 1
例5 求极限 lim x0
x2 y2
.
y0
解： lim
x2 y2 1 1 .
x0
x2 y2
x x0 y y0
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例如：
lim( x2
x0
y2 )sin
x2
1
y2
0
y0
例: 证明
lim
x0
x3 y x6 y2
（2）找两种不同趋近方式，使lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
sin(xy)
例 求极限 lim
.
x0 x
y2
所用知识点：lim sin u 1(u是 0的整体)
u0 u
f
( x,
y)
arcsin(3 x
x2 y2
y2)
的定义域．
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
（2）二元函数 z f ( x, y)的图形（几何意义）
二、多元函数的极限
定义：设二元函数 z f (x, y) 在点 P0(x0, y0) 的某个去心邻域内有定义，当点 P(x, y) 沿任何路径趋向点 P0 (x0, y0 ) 时，f (x, y) 无 限趋近于一个确定的常数 A，则称 A 是 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0) 时的极限。记 为： lim f ( x, y) A
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, y) x2 y2 a2}.
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
x
z a2 x2 y2.