多元函数的定义域 极限

多元函数的定义域，极限

1，设函数Z=arcsin （x+y ），则定义域是 ； 答：⇒≤+≤-11y x 定义域为：

{};11,),(≤+≤-y x y x

2，设函数Z=)

ln(1y x y

+，则定义域是 ；

解：由{}0/),(1

11φy y x D y

z =⇒=

所以 {}0,0/,(21φφY y x y y x D D D +== （图 形讲义）

3，设函数Z=

y

x y x --2

4，则定义域是 ；

{}0/,).(2

φπy x y y x 且

解：由04000422

φπφy x y x y y y x y x ≤⎪⎩⎪⎨

⎧⇒⎪⎩

⎪⎨⎧≥-≥- （图 形讲义） 4，求2

21)ln(y x x x y z --+

-=的定义域。

解：由 ⎪⎩

⎪

⎨⎧+≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧--≥-1001002222πφφφy x x x y y x x x y （图 形讲义）

5，设

xy

e y x y x

f xy ++=

2

2

3sin ),(π，求)

,(lim 2

1

y x f y x →→。

解：因为),(y x f 是初等函数，且D ∈)2,1( 所以),(y x f 在（1，2）处连续，

故 2322sin )2,1(),(lim 2

22

2

32

1

+=++==→→e e f y x f y x π

6，设2

22lim x y x y x xy ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∞

→∞→的极限。 解： 因为

2

2

21022x x y x xy ⎪⎭

⎫

⎝⎛≤⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+≤ （

xy y x y x 2,0,02

2≥+φφΘ） 而 0)(lim ,021lim 2

2

22=+⇒=⎪

⎭⎫

⎝⎛∞

→∞→∞

→∞→x y x x y x y

x xy 7，求x xy

a

y x sin lim

→→；

解：令 xy u

=

， 则当

0,0

→⇒→→u a

y x ； 所以 a

a y xy

xy x xy a

y x a

y x =⨯=⋅=→→→→1sin lim sin lim 00 8，求

220

1

)ln(lim

y x e x y y x ++→→。

解：因为

),(y x f 是初等函数，且D ∈)0,1(

所以),(y x f 在（1，0）处连续，

故

2

ln 01)1ln(lim

)ln(lim

2

200

1

2

201

=++=++→→→→e y x e x y x y y x