多元函数的定义域 极限
9-1,2-多元函数的概念极限和连续
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点， 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续， 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断 点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性． 的连续性． 解 取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在． 其值随k的不同而变化， 的不同而变化， 极限不存在． 处不连续． 故函数在(0,0)处不连续 ．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段 连接起来， 连接起来，则称其为连通 则称其为连通的 连通的； (2)连通的开集成为区域 连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域 连通的闭集称为闭域； 闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通 否则为多连通 无洞的连通区域称为单连通的 单连通的， 否则为多连通的 多连通的； (4) 如果 E 含于某一个 含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的 并集)，则称其为有界 则称其为有界的 有界的，否则称为无界 否则称为无界的 无界的。
1 x− y
y x
3) z =
多元函数及其极限
多元函数及其极限多元函数在数学中起到重要的作用，与一元函数相比，多元函数是以多个自变量为输入并产生一个或多个因变量输出的函数。
本文将介绍多元函数的定义、性质以及多元函数的极限。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指含有多个自变量的函数，通常用f(x₁, x₂, …, xn)表示。
其中x₁, x₂, …, xn是自变量，f(x₁, x₂, …, xn)是因变量。
多元函数可以是实函数或复函数。
多元函数的性质主要包括：1. 定义域：与一元函数类似，多元函数也有定义域，即自变量的取值范围，使得函数有意义；2. 值域：多元函数的值域是函数的输出范围，可以是实数集或复数集；3. 奇偶性：多元函数也可以具有奇偶性，即函数在自变量取相反值时的表现是否相同；4. 有界性：多元函数是否存在上下界；5. 连续性：多元函数的连续性代表着函数在自变量连续变化时，函数值是否连续变化。
二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋近于某一点或无穷大时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，多元函数的极限也可以分为以下几种情况。
1. 极限存在与不存在多元函数f(x₁, x₂, …, xn)在自变量(x₁₀, x₂₀, …, xn₀)处的极限存在，如果无论自变量如何接近(x₁₀, x₂₀, …, xn₀)，函数值f(x₁, x₂, …, xn)都趋近于某一确定值L。
数学上表示为：lim (x₁, x₂, …, xn)→(x₁₀, x₂₀, …, xn₀) f(x₁, x₂, …, xn) = L2. 极限的计算方法多元函数的极限计算方法与一元函数类似，可以通过直接代入、夹逼定理、极坐标转换等方法进行计算。
3. 偏导数多元函数的偏导数是指在函数中固定某些自变量，对剩余自变量求导数的过程。
一元函数的导数可以看作是对函数在某一点的率变化速度的测量，多元函数的偏导数可以看作是对函数在某一点沿着某一方向的变化速度的测量。
三、应用领域多元函数广泛应用于数学和其他学科中，例如：1. 物理学：多元函数用于描述物体的运动、力学等问题；2. 经济学：多元函数用于描述供求关系、成本函数等；3. 金融学：多元函数用于建立风险评估模型、资产定价模型等；4. 工程学：多元函数用于建立工程模型、优化设计等。
第1节多元函数的概念(二)
0
由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主 要概念、性质与二元函数类似. 因此，对于多元函数 微积分的研究主要以二元函数为主,多元函数微积分 可以由二元函数微积分类似推广.
小 结
一.多元函数的连续性
x x 0 , y y0
2.二元函数z=f (x, y)在区域D上的连续性 如果二元函数z=f (x, y)在平面区域D内 每一点都连续， 则函数z=f (x, y)在区域D内 连续，并称z=f (x, y)为区域D上的连续函数. 二元连续函数的图形 是空间中的一个不断开 (无孔无缝)的连续曲面。
四.多元函数的连续性
z
z f ( x, y )
x 0 y 0
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
lim z 0
二.闭区域上连续函数的性质
作业:P302 5(1)
四.多元函数的连续性
思考题1
设为空间任一有界闭区域，P为外 一点。问上是否一定有到P点最远和 最近的点存在？为什么？
四.多元函数的连续性
思考题1解答 有. 设P点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 )，Q( x , y , z )为上 任意一点 , 则两点间距离为
PQ ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2
它 上 连 函 ， 是 的 续 数 由闭区域上连续函 数的性质可知，一定有最大值和最小值存在
在(0,0)的连续性． 解 取 y kx
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y0
y kx
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数的极限
y=kx 3 =
k
1+k2'
其值随k的不同而变化,
故极限不存在.
确定极限不存在的方法:
(1)令 P ( x, y )沿 y = kx 趋向于 R( x 0, y0)， 若 极限值与k有关，则可断言极限不存在；
(2)找两种不同趋近方式，使lim f (x,y)存在,
x T x0 y—yo
但两者不相等，此时也可断言f (x, y)在点 Po( x 0, y 0)处极限不存在・
二元函数的极限
定义1 设函数z = f (X, y)的定义域为 D, P0(x0,y0)是其
聚点，如果对于任意给定的正 数£，总存在正数 5 ,使得对于适合不等式 0 V| PP0|=J(x - Xo)_+(y - y。)2 < 5 的一切 点，都有I f (x,y) - A |V £成立，则称A为
1 y
y—
O
解
(x 2 + y 2)sin
1 x2 + y2
rJ
1
=x + y - sin x2 + y2
< x2 + y2
1
--
lim( x2 + y2 y
6
+
y2
不存在.
证取y = kx3,
X 3 - kx 3
lim
x -0
x 6 + k2 x 6
(2)
定义中P
T
X T xo y—yo
Po的方式是任意的；
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
例i.求 iim/xy+I -1 2. XTO XV
yrO
解原式=lim勺+ 1T
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
多元函数的极值判别式
多元函数的极值判别式多元函数的极值判别式一般用于多元函数的极值问题的求解。
在数学中，极值是指函数在给定函数定义域内的最大值或最小值。
求解多元函数的极值问题可以应用于各种实际问题，例如在经济学中，我们可以利用极值来确定最优的产量、价格等策略。
本文将介绍多元函数的极值判别式与其求解方法。
一、多元函数定义在多元函数中，变量不仅有一个，而是可以有多个，因此，多变量函数通常被表示为$f(x_1, x_2,...,x_n)$，其中$x_1,x_2,...,x_n$是自变量。
因此，多变量函数的极值点也是$n$维的向量$(x_1,x_2,...,x_n)$。
二、多元函数的极值定义多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在点$(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{n_0})$处取得最大值或最小值，可以通过判定定义域内所有局部的最大值和最小值，即极值点，然后比较这些点的函数值来确定。
三、多元函数的极值判别对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，考虑在点$(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{n_0})$处是否取得极值，其必要条件为$f$在此处的所有偏导数均为零或不存在。
此外，还需要检查$f$在此处的二次型，即$f$的Hessian矩阵的行列式$\Delta$和特征值，来确定极值点的分类，即判断该点是否为极大值点或极小值点。
1、$\Delta>0$且所有特征值均为正，此时函数取得极小值。
2、$\Delta>0$且所有特征值均为负，此时函数取得极大值。
3、$\Delta<0$，此时函数在该点没有极值。
4、$\Delta=0$，需要进一步讨论。
若存在至少一个特征值为$0$，则函数在该点没有极值。
若存在特征值不为$0$，则需要进一步判定此点是否为鞍点。
四、多元函数的极值求解方法1、首先，我们需要求出$f$的所有偏导数。
2、将所有的偏导数设置为零，得到方程组。
3、解方程组，找到所有的极值点。
高数多元函数微分学-多元函数的极值
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
y y2
1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.
15
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
Gx0
x02 a2
0,
y02 b2
Gy0
y02 c2
0, 1
Gz0 0
0
,
22
1
x0
2x0
a2
0
即
1 y0
2y0
b2
0
可得
13
例3
求z
x2
x y y2
的最大值和最小值.
1
解
由
( x2 y2 1) 2x( x y)