一、多元函数、极限与连续解读
高等数学第10章：多元函数的概念、极限与连续
z
x x0 y y0
，z
( x0 , y 0 )或
f ( x0 , y0 )
例３ 设 z ln e x sin( y x)求 f (0, ), f ( y, x) 2
2
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
解
1 1 2 f (0, ) ln e 0 sin( 0) 1 2 2 2 2
不存在,所以函数f ( x, y )
在点 (0,0)处不连续，即原点 (0,0)是函数的间 断点．
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
3．有界闭区域上连续函数的性质
性质1（最值定理） 在有界闭区域上连续的二元
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
函数，在该区域上一定有最大值和最小值．
性质2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元 函数，必能取得介于函数的最大值与最小 值之间的任何值．
3
x y lim 6 2 x 0 x y y 0
x kx k lim 6 2 6 , 2 x 0 x k x 1 k 3 y kx
3 3
3
故极限不存在． 其值随k的不同而变化，
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
确定极限不存在的方法：
（1）令点 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) ，若
如果函数 z
f ( x, y) 在区域 D 内每一点都连续,则
称函数 f ( x, y )在区域 D 内连续. 如果函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )不连续，则称点
f ( x, y )的间断点. P 0 ( x0 , y0 ) 是函数
多元函数的概念极限与连续性
§5.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1. 二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()p x y D ∈，，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x y ，的二元函数，记以()z f x y =，，D 称为定义域。
二元函数()z f x y =，的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 22: 1z D x y =+≤二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2. 三元函数与n 元函数。
()()u f x y z x y z =∈ΩΩ，，，，，，为空间一个点集则称()u f x y z =，，为三元函数()12n u f x x x =，，，，称为n 元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
【例1】 求函数arcsin 3x z =解 要求13x ≤，即33x -≤≤； 又要求0xy ≥即00x y ≥≥，或00x y ≤≤，综合上述要求得定义域300x y -≤≤⎧⎨≤⎩或030x y ≤≤⎧⎨≥⎩【例2】求函数()2ln 21z y x =-+的定义域。
解 要求2240x y --≥和2210y x -+>即 2222212x y y x⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩ 函数定义域D 在圆2222x y +≤的内部（包括边界）和抛物线212y x +=的左侧（不包括抛物线上的点）【例3】 设()22f x y x y x y y +-=+，，求()f x y ，。
解 设x y u x y v +=-=，解出()()1122x u v y u v =+=-， 代入所给函数化简 ()()()()221184f u v u v u v u v +-+-，＝ 故 ()()()()221184f x y x y x y x y +-+-，＝ 【例4】 设()2235f x y xy x xy y ++++，＝，求()f x y ，。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系
多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系极限、连续、偏微分、全微分是讨论多元函数的参数。
（一）极限
极限定义为：在某一点上，函数值趋近于一定值，则此值与函数极限等值。
也就是说，函数在此点上无论怎么变化，有一个定量，恒定不变。
函数的极限可以理解为函数的分析度，也就是说，可以从更小的层次上理解函数的变化。
（二）连续
连续主要指多元函数在不同点的趋势是一致的。
一般而言，函数的连续可以用来描述函数的变化趋势，而不同的点总有一个顺序的变化，从而反映函数的变化趋势，这正是函数的连续性。
（三）偏微分
偏微分定义为：取某一点在某一变量上的偏导数，其本质就是在某一变量上求函数的变化值最大化，从而反映函数在此点的变化趋势。
它是多元函数最基本的求导方法，在很多多元函数的运算中，都有着重要的作用。
（四）全微分
全微分定义为：将函数中的每一个变量分别求偏导数，组成偏导数向量，这个向量叫做函数的全微分。
它是多元函数求导的重点，反映了函数在各个变量上的变化趋势。
可以看出，全微分可以表现函数分析度的变化，从而深入理解函数的变化趋势。
总结而言，极限、连续、偏微分、全微分是描述多元函数变化趋势的重要参数，他们之间互相协作，可以深入理解多元函数的变化。
大学四年级多元函数的极限与连续性
大学四年级多元函数的极限与连续性在大学数学的学习过程中，多元函数是一个重要的概念。
多元函数的极限与连续性是其中一项重要的内容，它们对于理解和应用多元函数具有重要的意义。
一、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数的取值会趋向于某一确定值。
与一元函数的极限类似，多元函数的极限同样可以通过数列的极限定义来进行讨论。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就说函数在这个特定点有极限。
在研究多元函数的极限时，还需要考虑自变量趋于无穷大时的情况。
对于这种情况，我们需要更加精确地定义多元函数的收敛性。
常用的方法是使用ε-δ语言描述，即当自变量中至少有一个趋向于无穷大时，函数的极限可以通过引进新的变量来描述。
这样，当自变量趋于无穷大时，函数值的极限就可以用引进的新变量来表示。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指在函数定义域内，任意一点的极限与函数值是相等的。
与一元函数的连续性类似，多元函数的连续性也可以用ε-δ语言来进行描述。
具体而言，对于函数定义域内的任意一点，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就称函数在这个特定点连续。
如果一个多元函数在其定义域内的每一个点都连续，那么我们就说这个函数是连续的。
连续函数在数学分析和应用中有着重要的地位，它们具有许多良好的性质，例如介值定理和最值定理等。
三、多元函数的极限与连续性的应用多元函数的极限与连续性在数学科学和实际问题中有着广泛的应用。
首先，在微积分中，多元函数的极限与连续性是理解和应用导数和积分的基础。
通过研究多元函数的极限，我们可以得到导数的定义和性质，并进一步研究微分方程和曲线积分等应用问题。
其次，在物理学和工程学中，多元函数的极限与连续性也具有重要的应用价值。
例如，研究物体在空气中的运动轨迹时，我们需要借助多元函数的极限与连续性来建立运动方程，并进一步求解问题。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要第十六章多元函数的极限与连续性是数学分析中的重要概念之一、多元函数与一元函数不同，它们的自变量可以是多个变量。
因此，多元函数的极限与连续性的讨论需要引入多元的概念和方法。
本章主要分为三个部分：多元函数的极限、多元函数的连续性、多元函数的一致连续性。
接下来，将对这三个部分进行详细的概要分析。
1.多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量自一些点无限接近于给定点时，函数值接近于一些常数。
与一元函数类似，多元函数的极限也需要满足极限存在性和极限唯一性两个条件。
首先，要讨论多元函数的极限，需要引入点列的概念。
点列是指给定一个序列$x_n$，其中每个$x_n$均为函数的自变量，如果$x_n$收敛于给定点$(a,b)$，则函数$f(x_n)$在点$(a,b)$处的极限就是函数在该点的极限。
此外，还需要讨论曲面函数在特殊方向上的极限。
当自变量沿着特定方向逼近给定点时，函数的极限是否存在，如果存在则是多少。
2.多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在其中一点处的极限等于函数在该点的函数值。
与一元函数类似，多元函数的连续性也需要满足三个条件：函数在该点处定义、函数在该点处极限存在、函数在该点处极限等于函数值。
如果函数在定义域的每一个点均满足连续性条件，则称函数在定义域连续。
为了判断多元函数的连续性，可以通过分量函数的连续性进行判断。
具体来说，若多元函数的每个分量函数都是连续的，则多元函数在该点连续。
此外，还可以通过间断点的分类来分析函数在特定点的连续性。
3.多元函数的一致连续性一致连续性是连续性的一种更强的条件。
在多元函数中，一致连续性要求函数在整个定义域内的每一点都连续。
为了判断多元函数的一致连续性，可以使用函数值在一个闭区域上的上确界和下确界的性质进行证明。
在具体分析中，多元函数的一致连续性还可以通过函数的偏导数和导数的连续性来判断。
若函数的偏导数和导数均连续，则函数是一致连续的。
数学分析第十六章多元函数的极限与连续
数学分析第十六章多元函数的极限与连续数学分析第十六章介绍了多元函数的极限与连续的概念。
多元函数是指有多个自变量的函数，比如二元函数，有两个自变量，三元函数，有三个自变量，以此类推。
多元函数的极限与连续是研究多元函数性质的基础，对于优化理论、微分方程等领域都具有重要的应用价值。
本文将详细讨论多元函数的极限与连续的概念及其性质。
1.多元函数的极限：多元函数的极限与一元函数的极限类似，都是研究函数自变量趋于一些点时函数值的趋近情况。
对于二元函数f(x,y)，当点(x,y)趋于(x0,y0)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-L，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限为L，记为lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=L。
类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=L。
2.多元函数的极限的性质：与一元函数类似，多元函数的极限也具有唯一性、局部有界性和四则运算等性质。
具体而言，如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该极限唯一；如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该函数在以点(x0,y0)为中心的邻域上有界；对于两个多元函数f(x,y)和g(x,y)，如果它们在点(x0,y0)处的极限分别存在，则它们的和、差、积和商（除数不为0）的极限也存在且相等。
3.多元函数的连续：多元函数的连续是指函数在各点的极限与该点的函数值相等。
对于二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-f(x0,y0)，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=f(x0,y0,z0)，则函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)处连续。
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一、多元函数、极限与连续㈠二元函数1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为（或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自变量，为因变量，数集为该函数值域。
由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。
二元函数的图形通常是一张曲面。
例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。
㈡二元函数的极限⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当时的极限，记作或, 这里。
为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数都无限接近 A 。
因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。
㈢多元函数的连续性1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定义，是 D 的内点或边界点且。
如果，则称函数 f（x，y）在点连续。
如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。
2 ．性质⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次；⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。
二、偏导数和全微分㈠偏导数⒈偏导数定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作，，或类似，函数在点处对的偏导数定义为，记作，或。
在实际中求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求时只要将暂时看作常量而对求导数；求时，则只要将暂时看作常量而对求导数。
偏导数可以推广到二元以上的函数注意：对于一元函数来说可以看作函数的微分与自变量微分之商，而偏导数的记号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。
⒉偏导数的几何意义：设为曲面上的一点，过做平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数，即偏导数，就是这曲线在点处的切线对轴的斜率。
同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。
⒊高阶偏导数：设函数在区域 D 内具有偏导数，，那么在 D 内，都是，的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。
按照对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数：，，,。
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
）㈡全微分⒈全微分定义：如果函数在点的全增量可表示为，其中 A 、B 不依赖于、而仅与、有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即。
如果函数在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。
定理 1（必要条件）：如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数必定存在，且函数在点的全微分为。
定理2（充分条件）：如果函数的偏导数在点连续，则函数在该点可微分。
以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。
习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称为自变量的微分，则函数的全微分可表示为。
通常将二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。
叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。
三、多元复合函数的求导法则㈠复合函数的全导数：如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算：。
此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，，，则，其中称为全导数。
上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。
㈡复合函数的偏导数 : 设，并且，，则是的复合函数。
如果可微，函数，对的偏导数存在，则复合函数对的偏导数存在，且㈢全微分形式的不变性 : 设函数具有连续偏导数，则有全微分，如果、又是的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数的全微分为由此可见，无论是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。
四、隐函数的求导公式㈠、一个方程的情形隐函数存在定理 1 ：设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有隐函数存在定理 2 ：设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有㈡、方程组的情况隐函数存在定理 3 ：设、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（ Jacobi ）行列式）：在点不等于零，则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有，，，五、方向导数、梯度㈠、方向导数1 、定义：设函数在点的某一邻域内有定义，自点 P 引射线。
设轴正向到射线的转角为, 并设为上的另一点，且。
我们考虑函数的增量与和两点间的距离的比值。
当沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数在点沿着方向的方向导数，记作，即。
2 、定理：如果函数在点是可微分的，那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有，其中为 x 轴到方向的转角。
上述定义也可推广到三元函数，它在空间一点沿着方向（设方向的方向角为）的方向导数可以定义为，其中，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向的方向导数为㈡、梯度1 、定义 ( 二元函数的情形 ) ：设函数在平面区域 D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，记作，即，由梯度的定义可知，梯度的模为：，当不为零时， x 轴到梯度的转角的正切为2 、与方向导数的关系：如果设是与方向同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：由此可知，就是梯度在上的投影，当方向与梯度的方向一致时，有，从而有最大值。
所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数在该点增长最快的方向，因此，函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。
设函数在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，即六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用㈠、二元函数的泰勒公式定理：设在点的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数，为此邻域内任一点，则有一般地，记号表示设，则上式可表示为⑴，公式⑴称为二元函数在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。
在泰勒公式⑴中，如果取，则⑴式成为 n 阶麦克劳林公式㈡、多元函数的极值定理 1 （必要条件）：设函数在点（, ）具有偏导数，且在点( , ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，定理 2 （充分条件） : 设函数在点（, ）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，，令(, )=A,(, )=B, (, )=C,则 f(x,y) 在（, ）处是否取得极值的条件如下：⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；⑵ AC-<0 时没有极值；⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
㈢、几何应用1 、空间曲线的切线和法平面：⑴设空间曲线的参数方程为，假设三个函数都可导，在曲线上取相应于的一点，则曲线在点 M 处的切线方程为，这里假设均不为零。
如果有个别为零，则应按空间解析几何中有关直线的对称式方程来理解。
切线的方向向量成为曲线的切向量。
向量就是曲线在点 M 处的一个切向量。
⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线在点 M 处的法平面，它是通过点而与 T 为法向量的平面，因此方程为。
⑶若空间曲线的方程以的形式给出 , 则切线方程为：，其中分母中带下标 0 的行列式表示行列式在点的值；曲线在点处的法平面方程为的值；曲线在点处的法平面方程为2 、曲面的切平面和法线⑴若曲面方程为，是曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面的方程为：；法线方程为：⑵若曲面方程为，则切平面方程为或；而法线方程为。