多元函数的极限与连续习题
9-1,2-多元函数的概念极限和连续
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点， 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续， 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断 点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性． 的连续性． 解 取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在． 其值随k的不同而变化， 的不同而变化， 极限不存在． 处不连续． 故函数在(0,0)处不连续 ．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段 连接起来， 连接起来，则称其为连通 则称其为连通的 连通的； (2)连通的开集成为区域 连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域 连通的闭集称为闭域； 闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通 否则为多连通 无洞的连通区域称为单连通的 单连通的， 否则为多连通的 多连通的； (4) 如果 E 含于某一个 含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的 并集)，则称其为有界 则称其为有界的 有界的，否则称为无界 否则称为无界的 无界的。
1 x− y
y x
3) z =
高数8多元函数的极限与连续
二元函数的极限二元极限存在常用夹逼准则证明例1 14)23(lim 212=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x yx y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限)(lim 00y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：累次极限定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设B y x f y ax b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即C y x f by a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则)(lim lim (lim 0000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.二元函数的连续性定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续定理 若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.1. 用极限定义证明下列极限：1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→yx y x y x ； 3）0lim 22200=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x yx y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ， 与 []1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数32444)()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2x y =上讨论.) 4. 若将函数2222)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).5. 求下列极限：1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 40→→； 3）)()(lim 2200y x In y x y x ++→→； （提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.。
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
数学分析16多元函数的极限与连续总练习题
第十六章 多元函数的极限与连续总练习题1、设E ⊂R 2是有界闭集，d(E)为E 的直径. 证明：存在P 1,P 2∈E ， 使得ρ(P 1,P 2)=d(E).证：由d(E)=EQ ,P sup ∈ρ(P ,Q)知，对εn =n 1, ∃ P n ,Q n ∈E ，使d(E)<ρ(P n ,Q n )+n1.{P n },{Q n }均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列{Pn k },{Qn k }， 记Pn k →P 1, Qn k →P 2，k →∞. ∵ρ(Pn k ,Qn k )≤d(E)<ρ(Pn k ,Qn k )+kn 1， 令k →∞得ρ(P 1,P 2)≤d(E)≤ρ(P 1,P 2)，即d(E)=ρ(P 1,P 2). 又∵E 为闭集，∴P 1,P 2∈E ，得证!2、设f(x,y)=x y 1,r=22y x +,k>1，D 1={(x,y)|kx ≤y ≤kx}, D 2={(x,y)|x>0,y>0}. 分别讨论i=1,2时极限iD )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)是否存在，为什么？解：1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)存在；2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在. 理由如下：(1)当(x,y)∈D 1时，kk 12+|x|≤r=22y x +≤2k 1+|x|，∴由r →+∞可得x →∞，又|f(x,y)|=|x y 1|≤2xk→0, x →∞， ∴1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)=1D )y ,x (x lim ∈∞→f(x,y)=0存在. (2)对y=x k, 当x>0时，y>0，∴(x,xk )∈D 2，且 当x →∞时，r=22y x +=22x k x +→+∞，但f(x,y)=x y 1=k1，即极限2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)与k 的取值有关，∴2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在.3、设0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, 0xx lim →ψ(x)= ψ(x 0)=0, 且在(x 0,y 0)附近有 |f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x). 证明)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.证：∵0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, ∴∀ε>0，∃δ1>0，使得当|y-y 0|<δ1时，就有 |φ(y)-A|<2ε；∵0x x lim →ψ(x)=ψ(x 0)=0, ∴对上述ε>0，∃δ2>0，使当|x-x 0|<δ2时，就有|ψ(x)|<2ε；又在(x 0,y 0)附近有|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)， ∴∃δ=min{δ1,δ2}，使|y-y 0|<δ, |x-x 0|<δ时，|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)<2ε， 从而有|f(x,y)- A|≤|f(x,y)-φ(y)|+|φ(y)-A|<2ε+2ε=ε. ∴)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.4、设f 在R 2上连续，α是任一实数，E={(x,y)|f(x,y)>α,(x,y)∈R 2}; F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y)∈R 2}，证明E 是开集，F 是闭集.证：(1)对任一点(x 0,y 0)∈E ，f(x 0,y 0)-α>0. ∵f 在R 2上连续，由保号性知， 存在P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)，使当(x,y)∈U(P 0)时，f(x,y)-α>0，即 (x,y)∈E, 从而U(P 0)⊂E, ∴E 为开集.(2)设P 0(x 0,y 0)是F 的任一聚点，则存在F 的互异点列{P n }，使 P n →P 0, n →∞，由f(P n )=f(x n ,y n )≥α, n=1,2,…，且f(x,y)在P 0连续知， f(P 0)=∞→n lim f(P n )≥α，即P 0∈F ，∴F 为闭集.5、设f 在有界开集E 上一致连续；证明： (1)可将f 连续延拓到E 的边界；(2)f 在E 上有界. 证：记∂E 为E 的边界，Ē=E ∪∂E ，若P ∈∂E ，则对任一n ，U(P;n 1)∩E ≠Ø. 任取P n ∈U(P;n1)∩E ，则 P n →P , n →∞，且P n ∈E(n=1,2,…). 由f 在E 上一致连续可知， ∀ε>0, ∃δ>0，当A,B ∈E 且ρ(A,B)< δ时，|f(A)-f(B)|< ε. 于是对上述的δ>0，存在N, 当m,n>N 时，ρ(P m ,P n )<δ，从而|f(P m )-f(P n )|<ε. ∴{f(P n )}收敛，即∞→n lim f(P n )存在.若P n ,Q n ∈E (n=1,2,…)且∞→n lim P n )=∞→n lim Q n =P ，则存在N,使当n>N 时，ρ(P n ,P)<2δ且ρ(Q n ,P)<2δ，从而当n>N 时，ρ(P n ,Q n )≤ρ(P n ,P)+ρ(Q n ,P)<δ， ∴|f(P n )-f(Q n )|<ε，∴∞→n lim f(P n )=∞→n lim f(Q n ).∴对每个P ∈∂E ，存在唯一的实数∞→n lim f(P n )与之对应. 定义：F(P)=⎩⎨⎧∈→∈∂∈∞→E P )P (f P)P ，E E(P P )P (f lim n n n n ，，则F 为定义在Ē上的函数. 显然F 是f 到∂E 的一个延拓.(1)设P 0∈Ē，则P 0∈E 或P 0∈∂E. 当P 0∈E 时，由E 为开集知， 存在U(P 0)⊂E ，于是当P ∈U(P 0)时，F(P)=f(P). ∵f 在P 0连续， 从而0P P lim →F(P)=0P P lim →f(P)=f(P 0)=F(P 0)，∴F 在P 0连续.当P 0∈∂E 时，F(P 0)=∞→n lim f(P n )，其中{P n }为E 中趋于P 0的点列，对E 中任一趋于P 0的点列{Q n }，有0P P lim →F(Q n )=0P P lim →f(Q n )=0P P lim →f(P n )=F(P 0)，由归结原则知存在0P P lim →F(P)=F(P 0). ∴F 在P 0连续. ∴F 在Ē上连续.(2)∵Ē是有界闭集，且F 在Ē上连续，从而F 在Ē上有界， ∴F 在E 上有界，又在E 上有F=f ，∴f 在E 上有界.6、设u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续； φ与ψ把点集E 映射为uv 平面中的点集D ，f(u,v)在D 上一致连续,证明：复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.证：设P(u 1,v 1), Q(u 2,v 2)为D 上任意两点，由f(u,v)在D 上一致连续知， ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|u 1-u 2|<δ, |v 1-v 2|<δ, 就有|f(u 1,v 1)-f(u 2,v 2)|< ε. 又u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续；∴上述δ>0, ∃η>0, 使得当(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈E 且|x 1-x 2|<η, |y 1-y 2|<η时， 就有 |φ(x 1,y 1)-φ(x 2,y 2)|<δ, |ψ(x 1,y 1)-ψ(x 2,y 2)|<δ, 从而有 |f(φ(x 1,y 1),ψ(x 1,y 1))-f(φ(x 2,y 2), ψ(x 2,y 2))|<ε， 即复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.7、设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数F(x,y)=y-x f(y)-f(x )(x ≠y), F(x,x)=f ’(x)，定义在区域D=(a,b)×(a,b)内，证明：对任何c ∈(a,b)有)c ,c ()y ,x (lim→F(x,y)=f ’(c).证：∵f(t)在区间(a,b)内连续可导，∴当(x,y)∈D 且x ≠y 时， 在[x,y]或[y,x]上应用格拉朗日定理知：存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得 F(x,y)=y-x f(y)-f(x )=f ’(ξ). 又F(x,x)=f ’(x)，可见对任意(x,y)∈D ， 总存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得F(x,y)=f ’(ξ).∵(x,y)→(c,c)时，ξ→c ，且f ’(t)在c 处连续，∴)c ,c ()y ,x (lim →F(x,y)=f ’(c).。
第六章多元函数典型例题
z z 13 设z z ( x, y )是由方程F ( x z, y z ) 0确定，试求 , . x y 解：解法一 方程两边分别对 x和y求偏导，并注意 z是x, y的函数.
若设u x z, v y z , 则有F (u, v) 0, 函数的结构为
u F v z y y
(2) z (1 xy) y
z 解： y (1 xy) y 1 y y 2 (1 xy) y 1 , x z y ln(1 xy) (e ) y y x y ln(1 xy ) e [ln( 1 xy) y ] 1 xy xy y (1 xy) [ln( 1 xy) ] 1 xy
x
x
z z z z Fu (1 ) Fv 0, Fu ( ) Fv(1 ) 0, x x y y Fu Fv z z 解得 , . x Fu Fv y Fu Fv
解法二 利用隐函数的微分法 . 若设u x z , v y z , 则有F (u , v ) 0.
2 2 2z z z 2 2 12 x 2 , 2 , 12 y 2. 2 2 xy x y
(3) 判断 在驻点(1,1)处， B 2 AC 4 100 96 0, 且A 0, 所以z在点(1,1)和(1,1)处取得极小值 z 2. 在驻点(0,0) 处， B 2 AC 4 4 0. 这时不能判断点 (0,0)是否为极值点，为此考 察函数在点 (0,0) 附近的变化情况：在点 (0,0)的足够小邻域内，沿直 线y x有 z ( x, x) 2 x 4 z (0,0) 0;而沿直线y x有z ( x, x) 2 x 4 4 x 2 2 x 2 ( x 2 2) z (0,0) 0,由此可见，点 (0,0)不是函数的极值点， 即z (0,0) 0不是函数的极值 .
高等数学：第1节：多元函数的概念
例如, E {( x, y) | 0 x2 y2 1}
y
(0,0) 是聚点但不属于E．
•
x
又如, E {( x, y) | x2 y2 1} • E中任何一点都是 E 的边界点， • E 中的任何一点都是 E 的聚点。
y
E
•P
o 1x
思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否 一定是边界点？
如果点集Ｅ的点都是内点，
•P
则称Ｅ为开集．
例如，E1 {( x, y)1 x2 y2 4}
E
即为开集．
•
边界点： 如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ， 也可以不属于E），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记为E．
0
4) (2
0 4) 4
四、多元函数的连续性
一元函数连续性回顾： 设 y f ( x), x0 D
若 lim x x0
f ( x) f ( x0 ),
则称
f ( x)在 x0处连续.
二元函数的连续性
设 z f ( x, y), P0 ( x0 , y0 ) D,且为聚点.
若 lim x x0
例5：求极限 lim x0 y0
x2 y2 sin x2 y2
3
(x2 y2) 2
解：令: x2 y2 , 当( x, y) (0,0)时, 0,
lim x0 y0
x2 y2 sin x2 y2
3
(x2 y2) 2
lim
0
sin 3
lim
0
1
cos
3 2
lim sin 1 0 6 6
多元函数微分学练习题
（2）
xy ； （3） lim x x 2 y 2 y 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？
1 （4） lim 1 x x y 4
。
x3 y , x 2 y 2 0, 6 2 （1） f ( x, y ) x y 0, x 2 y 2 0; x3 y3 , x 2 y 2 0, sin （2） f ( x, y ) x 2 y 2 0, x 2 y 2 0. 4． 设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域，M 0 为 D 外的一点。 证明在 D 中必存在点 P0
8．设 z arcsin
x x2 y2
，求
2z 2z z ， 2， 。 x yx x
4 a 2t
9．证明：函数 u
1 2a t
e
( x b ) 2
（ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程
u 2u a2 2 。 t x
x y 10．设 u ( x, y ) yf y xg x ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 2u 2u x 2 y 0。 xy x 2 f 2u 2u 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 2 y ， x y ， 2 x， xy x y 求f。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？
(1, 1, 1)
。
1 2 2 , x 2 y 2 0, ( x y ) sin 2 2 x y 2．设 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 0.
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多元函数的极限与连续习题
1. 用极限定义证明:14)23(lim 1
2=+→→y x y x 。
2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
（1）y
x y
x y x f +-=),(；
(2) y
x y x y x f 1sin 1sin
)(),(+=； (3) y
x y x y x f ++=23
3),(；
(4) x
y y x f 1
sin ),(=。
3. 求极限 （1）2
20
)
(lim 22
y x x y x y +→→；
（2）1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x ；
（3）2
20
01
sin
)(lim y
x y x y x ++→→； （4）22220
0)
sin(lim y x y x y x ++→→。
4. 试证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=0
0)1ln(),(x y x x
xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2
1
2=+→→y x y x 。
因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2
2
-+-=-+y x y x
|1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-<y x
0>∀ε，要使不等式
ε<-+-<-+|]1||2[|15|1423|2
y x y x 成立 取}1,30
min{
ε
δ=，于是
0>∀ε， 0}1,30
min{
>=∃ε
δ，),(y x ∀：δδ<-<-|1|,|2|y x
且 )1,2(),(≠y x ，有ε<-+|1423|2
y x ，即证。
2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
（1）y
x y
x y x f +-=
),(； 1lim
lim 00=+-→→y x y x y x ， 1lim lim 00-=+-→→y
x y
x x y ，
二重极限不存在。
或 0lim 0=+-=→y x y x x
y x ， 3
1lim
20-=+-=→y x y x x
y x 。
(2) y
x y x y x f 1sin 1sin
)(),(+=； |||||1
sin 1sin
)(|0y x y
x y x +≤+≤ 可以证明 0|)||(|lim 0
0=+→→y x y x 所以 0),(lim 0
=→→y x f y x 。
当πk x 1≠
，0→y 时，y
x y x y x f 1
sin 1sin )(),(+=极限不存在， 因此 y
x y x y x 1
sin 1sin )(lim lim 00+→→不存在，
同理 y
x y x x y 1
sin 1sin
)(lim lim 0
0+→→不存在。
(3) y
x y x y x f ++=23
3),(；
02lim ),(lim 23
00=+=→=→x
x x y x f x x
y x ， 当 P(x, y )沿着3
2x x y +-=趋于（0,0）时有
1)(lim ),(lim
2
323
23303
20=-+-+=→+-=→x x x x x x y x f x x x y x ，
所以 ),(lim 0
0y x f y x →→不存在；
0),(lim lim 0
0=→→y x f y x ， 0),(lim lim 0
0=→→y x f x y 。
(4) x
y y x f 1sin
),(= |||1
sin
|0y x
y ≤≤ ∴ 0),(lim 0
0=→→y x f y x ，
01sin lim lim 00=→→x y y x ， x
y x y 1
sin lim lim 00→→不存在。
3. 求极限 （1）2
20
)
(lim 22
y x x y x y +→→；
|)ln(|4
)(|)ln(|0222
222
2
2
2y x y x y x y x ++≤+≤，
又 0ln 4lim )ln(4
)(lim
2
0222220
0==+++→→→t t
y x y x t y x ， ∴ 1)
(lim )22ln(22)
0,0(),(lim 2
222
==++→→→y x y x y x y x y x e
y x 。
（2）1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x ；
211)11)((lim 11lim 2222220
0222
200=-++++++=-+++→→→→y x y x y x y x y x y x
y x 。
（3）2
20
01
sin
)(lim y
x y x y x ++→→； |||1
sin )(|2
2y x y
x y x +≤++， 而 0)(lim 0
0=+→→y x y x
故 01
sin )(lim 220
0=++→→y x y x y x 。
（4）22220
0)
sin(lim y x y x y x ++→→。
令θcos r x =，θsin r y =， )0,0(),(→y x 时，0→r ，
1sin lim )sin(lim 22
022220
0==++→→→r r y x y x r y x 。
4. 试证明函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+=0
0)1ln(),(x y x x
xy y x f 在其定义域上是连续的。
证明：显然f (x , y )的定义域是xy >-1.
当0≠x 时，f (x , y )是连续的， 只需证明其作为二元函数在y 轴的每一点上连续。
以下分两种情况讨论。
（1） 在原点（0,0）处
f (0, 0)=0, 当0≠x 时
⎪⎩⎪⎨
⎧≠+==+=0
)
1ln(0
0)1ln(),(1y xy y y x xy y x f xy ,
由于 1)
1ln(lim 10
=+→→xy
y x xy
不妨设 1|1)1ln(|1<-+xy
xy ， 2|)1ln(|1<+xy
xy ，
从而 0>∀ε， 取2
ε
δ=
，当δδ<<<<||0,||0y x 时，
|)1ln(||0)
1ln(|
1
xy xy y x
xy +=-+ ε<≤+≤||2|)1ln(|||1y xy y xy
，
于是，无论0,0≠=x x ，当δδ<<||,||y x 时，都有 )0,0(0),(lim 0
0f y x f y x ==→→
（2） 在),0(y 处。
（)0≠y
当0≠x 时， |)
1ln(||),0(),(|1
y xy y y f y x f xy
-+=-
|)()1)1(ln(|1y y xy y xy
-+-+= |||1)
1ln(|||1y y xy y xy
-+-+≤
当x=0时, |||),0(),(|y y y f y x f -=-,
注意到，当0≠y 时 1)
1ln(lim 10=+→→xy
y
y x xy ，
于是，无论0,0≠=x x ， 当0≠y 时 0|),0(),(|lim 0=-→→y f y x f y
y x ，
即 f (x , y )在在),0(y 处连续， 综上，f (x , y )在其定义域上连续。