高数8多元函数的极限与连续
高数函数极限与连续
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
高数：函数的连续性与间断点
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
第八节
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义 ,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 ,
存在 ;
continue
若
在某区间上每一点都连续 ,
同样可证: 函数
在
内连续 .
在
在
二、 函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数
不存在;
(3) 函数
存在 ,
但
不பைடு நூலகம்续 :
设
在点
的某去心邻域内有定义 ,
则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在
无定义 ;
间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在 ,
若
称
若
称
第二类间断点:
及
中至少一个不存在 ,
称
若其中有一个为振荡 ,
称
若其中有一个为
为可去间断点 .
为跳跃间断点 .
为无穷间断点 .
为振荡间断点 .
为其无穷间断点 .
为其振荡间断点 .
为可去间断点 .
例如:
显然
为其可去间断点 .
(4)
(5)
为其跳跃间断点 .
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点
高数讲义第一章第八节函数的连续性
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2sin x .
2
2
对任意的 , 有 | sin | | |, 故 y 2sin x x ,
2
| x | y | x | 当x 0时, y 0.
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
故| f ( x) |、 f 2 ( x)在x0都连续.
但反之不成立.
例
f
(
x)
1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x)在x0 0连续
思考题解答
1, x 0
g(x) 1 x2
f ( x) sgn x 0, x 0
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1
称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y f (x)
y
y
y f (x)
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x x0
x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在U ( x0 , )内有定义,.
如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的
函数的增量y也趋向于零,即 lim y 0 . x 0
x0
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数 f ( x) 在 (a, x0]内有定义 , 且 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称 f ( x) 在点 x0 处左连续 ; 若函数 f ( x) 在[x0 , b) 内有定义 , 且 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称 f ( x) 在点 x0 处右连续 .
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
第十三章多元函数的极限和连续性
第十三章 多元函数的极限和连续性§1、平面点集一 邻域、点列的极限定义1 在平面上固定一点()000,M x y ，凡是与0M 的距离小于ε的那些点M 组成的平面点集，叫做0M 的ε邻域，记为()0,O M ε。
定义2 设(),nn n Mx y =，()000,Mx y =。
如果对0M 的任何一个ε邻域()0,O M ε，总存在正整数N ，当n N >时，有()0,n M O M ε∈。
就称点列{}n M 收敛，并且收敛于M，记为0l i m nn MM→∞=或()()()00,,n n x y x y n →→∞。
性质：（1）()()0000,,,n n n n x y x y x x y y →⇔→→。
（2）若{}n M 收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。
二 开集、闭集、区域设E 是一个平面点集。
1． 内点：设0M E ∈，如果存在0M 的一个δ邻域()0,O M δ，使得()0,O M E δ⊂，就称0M 是E 的内点。
2． 外点：设1M E ∉，如果存在1M 的一个η邻域()1,O M η，使得()1,O M E η⋂=Φ，就称1M 是E 的外点。
3． 边界点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，其中既有E 的点，又有非E 中的点，就称*M 是E 的边界点。
E 的边界点全体叫做E 的边界。
4． 开集：如果E 的点都是E 的内点，就称E 是开集。
5． 聚点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，至少含有E 中一个（不等于*M 的）点，就称*M 是E 的聚点。
性质：设0M 是E 的聚点，则在E 中存在一个点列{}n M 以0M 为极限。
6． 闭集：设E 的所有聚点都在E 内，就称E 是闭集。
7． 区域：设E 是一个开集，并且E 中任何两点1M 和2M 之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E 中，就称E 是区域。
(整理)多元函数的极限与连续.
数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。
E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。
高数第一章第八节 函数的连续性与间断点
如图:
f ( x0 )
O
y f ( x)
y
y f ( x)
y
f ( x0 )y
x
x 0 x x
O
x
x0
x 0 x x
x0
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 U ( x0 , ) 内有定义, 若
x 0
lim y 0
则称函数f(x)在x0处 连续,并称x0为函数f(x)的 把极限与连续性联系起来了,且提 连续点. 供了连续函数求极限的简便方法—— 只需求出该点函数特定值. f ( x0 ), 设 x x0 x, y f ( x )
左端点 x a 右连续 ( lim f ( x ) f (a ))
右端点 x b 左连续 ( lim f ( x ) f (b ))
x b
x aBiblioteka 连续函数的图形f ( x ) C [a , b ]
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
函数的连续性与间断点
例如, 多项式函数
P ( x ) a0 a1 x an x n
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) 在x 1处 连续. x 1, 1 x ,
1
x
函数的连续性与间断点
例如:
y
y tan x
2
为其无穷间断点 . x 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
2
即函数 y sinx对任意x (,) 都是连续的.
( 类似可证, 函数 y cos x在区间 ,)内
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二元函数的极限
二元极限存在常用夹逼准则证明
例1 14)23(lim 2
12=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩
⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径
例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x y
x y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.
上述二元函数极限)(lim 0
0y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：
累次极限
定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设
B y x f y a
x b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即
C y x f b
y a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：
1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.
2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.
多重极限与累次极限之间的关系
定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则
)(lim lim (lim 0
000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.
二元函数的连续性
定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)
()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续
定理 若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.
1. 用极限定义证明下列极限：
1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→y
x y x y x ； 3）0lim 2220
0=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x y
x y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ， 与 []
1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数3244
4)
()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2
x y =上讨论.) 4. 若将函数222
2)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}
2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).
5. 求下列极限：
1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 4
0→→； 3）)()(lim 2
200y x In y x y x ++→→； （提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）
4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.。