二元函数的极限与连续5页word文档
高等数学第一节 多元函数概念二元函数极限和连续性-精品文档
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二、二元函数的极限
定义 2 设函数 z = f (x , y)在点 P0(x0 , y0) 的某一邻域内有定义(点 P0 可以除外)，如果当 点 P(x , y)无限地接近于点 P0(x0 , y0)时， 恒有 则称 A f(P) A (ε 是指任意地小的正数), 为函数 z = f (x , y) 当 ( 时的极 x ,y ) ( x ,y ) 0 0 限，记为
2. 二元函数的定义域
二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线 所围成的区域，用 D 表示. 围成区域的曲线称为 区域的边界，不包括边界的区域称为开区域. 连 同边界在内的区域称闭区域，如果一个区域可以 被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内， 则称此区域为有界区域; 否则称为无界区域. 开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界
0 与之 根据给定的关系，V就有一个确定的值 V0 RT
对应.
P 0
例 3 长方体 V 和 的 它 体 x 的 、 积 长 宽 y 、 度 度
高 z 之 度间 有 关 系
Vxyz ，
x, y, z, V是四个变量. 当其中三个变量x，y，z在其 变化范围（x > 0, y > 0, z > 0）内任意取定一组数 值x0, y0, z0时， 根据给定的关系，V就有一个确定的 值V x y z 0 0 0 0与之对应. 仅从数量关系来研究，它们有共同属性，据
x 2 y 3
≤
1 ,
≤
1,
y
3
即
2≤ x≤ 2 , 3 ≤ y ≤ 3,
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【优质】二元函数极限证明-word范文 (23页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==二元函数极限证明第1篇第2篇第3篇第4篇第5篇更多顶部目录∙第一篇：二元函数极限证明∙第二篇：二元函数的极限∙第三篇：二元函数极限的研究∙第四篇：二元函数的极限与连续∙第五篇：函数极限的证明∙更多相关范文正文第一篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
二元函数的极限与连续精品文档5页
§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当（即）时，都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。
必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。
只要P与充分接近, 就能使与A接近到预先任意指定的程度。
注意：点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。
这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。
例4 求。
解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求（a≠0)。
解。
例6求。
解由于且,所以根据夹逼定理知.例7研究函数在点处极限是否存在。
解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0）的极限，有,。
很显然，对于不同的k 值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。
注意：的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数。
它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等（证明略）。
推论若存在但不相等,则二重极限不存在。
定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。
二元函数的连续性
D R 2 上连续, 则 f (P)在 D上有界 .
定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
D R 2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理7( 介值性 ) 若二元函数f ( P )在有界闭区域
D R 上连续， 且m和M 分别是函数f ( P )在D的
若函数u ( x , y )和
且二元函数f ( u, v )在 v ( x , y )在点P0 ( x0 ,y0 )连续，
则复合函数 ( u0 , v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，
f [ ( x , y ), ( x , y )]在点P0 ( x0 ,y0 )也连续.
综合起来, 当 | x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| f [ ( x , y ), ( x , y )] f [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]| .
所以 f [ ( x , y ), ( x, y )] 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续.
都连续。但反之f ( x , y )关于每一变量连续，不能推出 它关于双变量连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
x0 lim f x , 0 lim 2 0 f 0, 0 , x 0 x 0 x 0
f x , y 关于变量x在 0, 0 点连续.
§10.2 二元函数的极限与连续
若 lim z y 0,
y0
f 则表示当 固定 x x0 时， ( x0 , y ) 在 y0 连续.
二元函数的极限与连续课件
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号，那么这个函 数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说，如果存在一个正数r和实 数a，使得对于所有满足|x - a| < r的x，有f(x, y) > 0，那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目 录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数，通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念，它表示一个变量z与两个 变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示 ，其中f是函数符号，x和y是自变量，z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，且 等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数，其在某点的极限值和在某区间的极限值都 存在，并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说， 连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而其在某区 间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一 性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为，即当自变量靠近这一点时，函 数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值，即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的 函数值。
《微积分二》二元函数的极限与连续
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1
《微积分》(第三版) 教学课件
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练习：
1. lim sin(xy) x0 x
y2
2 xy 4
3. lim
x0
xy
y0
2. lim (1 3 )xy
x
xy
y
4. lim x y x0 x y
y0
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定义84(二元函数在某点的连续性)
§8.3 二元函数的极限与连续
1、二元函数的极限 2、二元函数的连续性 3、二元初等函数
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二元函数的极限定义
设二元函数 z=f (x , y)在点 P0(x0 ,y0)的邻域内有定义 （点P0可以除外），如果当点 P (x , y)无论以何种方式趋向 于点P0(x0,y0)时，函数值 f (x , y)可以无限逼近常数A，则称 A为函数f (x ,y) 在P→P0时的极限，记作
( x, y )( x0 , y0 )
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二元连续函数与一元连续函数有类似的性质： 1、二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数.
2、二元连续函数经过复合运算后仍为二元连续函数.
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有界闭区域上二元连续函数的性质
（有界性与最大、最小值定理）
若函数 f (x, y) 在有界闭区域D上连续，则 f (x, y) 在D上 有界，且能取得最大值和最小值.
二元初等函数：
由变量x,y的基本初等函数和常数经过有限次的四则运算 和复合运算所构成的可用一个式子所表示的函数叫二元 初等函数.
6.2二元函数的极限与连续
lim
f ( x, y) = A？
思考题解答
不能. 不能
x3 y2 例 f ( x , y ) = 2 4 2 , ( x , y ) → ( 0, 0 ) (x + y )
取 y = kx , 但是
x3 ⋅ k 2 x2 → f ( x , kx ) = 2 4 4 2 x→ 0 0 ( x +k x )
2 2 例如，{( x , y ) | 1 ≤ x + y ≤ 4} 例如，
有界闭区域； 有界闭区域； 有界开区域； 有界开区域； y
o y x
{( x , y ) | 1 < x + y < 4}. y
2 2
o
x
{( x , y ) | x + y > 0}
无界开区域． 无界开区域．
o
x
二、二元函数的定义
类似地可定义三元及三元以上函数． 类似地可定义三元及三元以上函数．
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时， n 元函数统称为多元函数
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念. 因变量等概念
arcsin( 3 − x − y ) 的定义域． 例1 求 f ( x , y ) = 的定义域． 2 x− y
） 找两种不同趋近方式， 存在， （2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y )存在，
x → x0 y → y0
但两者不相等， 但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在． 处极限不存在．
例 讨论函数
二元函数极限证明(完整版)
二元函数极限证明二元函数极限证明第一篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．教学建议：要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限：limf时，f法则。
类似地, 二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。
为了叙述上的方便, 对它的特殊情形= ) 作出如下研究, 并得到相应的法则与定理。
二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念, 它刻划了当自变量趋向于某一个定值时, 函数值的变化趋势。
是高等数学中一个极其重要的问题。
但是, 一般来说, 二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还是证明都具有更大的难度。
本文就二元函数极限的问题作如下探讨。
第四篇：二元函数的极限与连续§3 二元函数的极限与连续定义设二元函数有意义, 若存在常数a,都有则称a是函数当点趋于点或或趋于点时的极限,记作。
的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或必须注意这个极限值与点论p以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能使。
只要p与充与a 接近到预先任意指定的程度。
注意：点p趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时, 极限在该点存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。
极限不存在。
这是判断多一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
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§2.3 二元函数的极限与连续
定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在
常数A,,当（即）时，都有
则称A是函数当点趋于点时的极限,记作
或
或或。
必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方
向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。
只要P与充分接近, 就能
使与A 接近到预先任意指定的程度。
注意：点P趋于点点方式可有无穷多
种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7
同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限
存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。
这是判断多元函数极限不
存在的重要方法之一。
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二
元函数极
限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如若有, 其中
求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理
来计算。
例4 求。
解由于
而,根据夹逼定理知 ,所以
例5求（a≠0)。
解。
例6求。
解由于且
,所以根据夹逼定理知
. 例7 研究函数在点处极限是否存在。
解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于
（0，0）的极限，有,。
很显然，对于不同的k值，可得到不同的极
限值,所以极限不存在,但。
注意：的区别, 前面两个求极限方式的
本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的
极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数。
它关于原点的两个累次极限都不存在,因
为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何
时,的第
一项也不存在极限,但是, 由于, 因此
由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存
在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:
定理1若累次极限和二重极限
都存在,则
三者相等（证明略）。
推论若存在但
不相等,则二重极限不
存在。
定义设在点的某邻域内有意义,且
,则
称函数在点处连续,记
上式称为函数(值)的全增量。
则二元函数连续的定义可写为。
定义为函数(值)对x 的偏增量。
为函数（值）对y的偏增量。
若在点处不连续,则称点是的间断点, 若在某区域
G上每一点都连续,则称在区域G上连续。
若在闭区域G的每一内点都连
续,并在G的连界点处成立
则称在闭域G上连续。
闭域上连续的二元函数的图形称为连续曲面。
关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,对于
二元函数也相应成立。
可以证明如下的重要结果：
定理2设在平面有界闭区域G上连续,则
（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值; （2）
在G上一致连续,即,当时,都有。
以上关于二元函数的极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。
希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。
2、推销产品要针对顾客的心，不要针对顾客的头。
3、不同的信念，决定不同的命运。