中考数学专题代数应用题
中考数学复习 专题18 与二次函数有关代数方面应用试题(A卷,含解析)
专题18 与二次函数有关代数方面应用二、填空题 1. 2. (浙江衢州，15，4分)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为＿＿＿m 2.【答案】144.【逐步提示】若设每一间长方形种牛饲养室的长为x m ，那么就可以依据题意用x 表示出每一间长方形种牛饲养室的宽，再利用长方形的面积公式，结合二次函数的性质求解.【解析】设这三间长方形种牛饲养室的总占地面积为y m 2，每一间长方形种牛饲养室的长为x m ，那么三间长方形种牛饲养室的宽的和为(48－4x )m ，则根据题意，得y ＝(48－4x )·x ＝－4x 2+48x ＝－4(x 2－12x )＝－4(x 2－12x +36)+144＝－4(x －6)2+144，此时，当x ＝6时，y 有最大值144，而当x ＝6时，48－4x ＝24＜50，符合题意，故答案为144.【解后反思】本题是二次函数的实际应用，求解时应根据题意，寻求变量之间的等量关系，并结合二次函数的性质解决问题.【关键词】二次函数的应用、最值. 三、解答题1. （山东淄博，21，8分）如图，抛物线y =ax 2+2ax +l 与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点. （1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）求直线AB 对应的函数解析式．【逐步提示】本题考查求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合思想，解题关键是能用待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与一元二次方程的关系.（1）利用△=b 2－4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点得到4a 2－4a =0，然后解关于a 的方程求出a ，即可得到抛物线解析式. （2）利用点C 是线段AB 的中点可判断点A 与点B 的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B 点坐标，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详细解答】解：（1）∵抛物线y =ax 2+2ax +1与x 轴仅有一个公共点A ，∴△=4a 2－4a =0. 解得a 1=0（舍去），a 2=1.∴抛物线解析式为y =x 2+2x +1.（2）∵y = x 2+2x +1=(x +1)2，∴顶点A 的坐标为(－1，0).∵点C 是线段AB 的中点，即点A 与点B 关于C 点对称，∴B 点的横坐标为1.当x =1时，y =x 2+2x +1=1+2+1=4，则B 的坐标为(1，4). 设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把A （－1，0），B （1，4）的坐标代入，得0,4.k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得2,2.k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为y =2x +2．【解后反思】对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0），△=b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数：△=b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2－4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．【关键词】求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合思想2. (浙江杭州，20，10分)把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t 的值；(3)若存在实数t 1和t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．【逐步提示】本题考查了二次函数的相关知识及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练地掌握二次函数的图像与性质．在解题时，首先将t ＝3代入函数解析式，即可求出足球距离地面的高度；然后将h ＝10代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程，利用配方法或公式法即可求出t 的值；最后将题中所给的二次函数解析式化为顶点式，得到该抛物线的顶点坐标，根据题意可知m 的取值范围系抛物线位于x 轴(包括x 轴)及顶点之间的点的纵坐标的值(不包括标点的纵坐标)．【解析】(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×32＝60－5×9＝60－45＝15(米)， ∴当t ＝3时，足球距离地面的高度为15米．(2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2±2，∴当足球距离地面的高度为10米时，t 的值为2±2．(3)∵h ＝20t －5t 2＝－5(t 2－4t )＝－5(t 2－4t ＋4－4)＝－5(t －2) 2＋20，∴抛物线h ＝20t －5t 2的顶点坐标为(2，20)．∵存在实数t 1和t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)， ∴m 的取值范围是0≤m ＜20．【解后反思】本题主要考查二次函数的性质与图像及简单应用，前两个问题较为简单，只要能解一元二次方程，都能轻松解答，最后一个问题稍复杂些：需要深层次地思考，应根据抛物线的轴对称性进行理解，转化为求抛物线位于x 轴上至顶点处点的纵坐标的取值范围，这样就不难解答此题．【关键词】二次函数；二次函数的求值；二次函数的应用；一元二次方程的解法(浙江杭州，22，12分)已知函数y 1＝ax 2＋bx ，y 2＝ax ＋b (ab ≠0)，在同一平面直角坐标系中． (1)若函数的y 1图像过点(－1，0)，函数的y 2图像过点(1，2)，求a ，b 的值； (2)若函数y 2的图像过函数y 1的图像的顶点． ①求证：2a ＋b ＝0； ②当1＜x ＜23时，比较y 1与y 2的大小． 【逐步提示】本题考查了一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是利用二次函数图像的顶点坐标代入一次函数解析式，证明2a ＋b ＝0，并利用此结论将两个函数解析式用含有a 表示的式子后用差比较法来比较y 1与y 2的大小．(1)利用待定系数法，列出A ．b 的二元一次方程组进行解答；(2)用公式法先求出抛物线y 1＝ax 2＋bx 的顶点坐标，并代入一次函数y 2＝ax ＋b ，化简后即可得到2a ＋b ＝0结论；(3)先用a 的代数式表示b ，即b ＝－2a ，然后利用差比较法，计算出y 1－y 2的值，再根据1＜x ＜23，并对a 按正数、负数分类，得到y 1－y 2的值的大小，从而比较出y 1与y 2的大小．【解析】(1)由题意得⎩⎨⎧=+=-20b a b a ，解得⎩⎨⎧==11b a ．(2)①∵抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点(－a b 2，a b 42-)在直线y ＝ax ＋b 上，∴a b 42-＝a (－ab2)＋b ，即a b 42-＝2b．∴4ab ＝－2b 2．∵b ≠0， ∴2a ＝－b ． ∴2a ＋b ＝0． ②∵2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a ．∴y 1＝ax 2－2ax ，y 2＝ax －2a ．∴y 1－y 2＝(ax 2－2ax )－(ax －2a )＝ax 2－3ax ＋2a ＝a (x 2－3x ＋2) ＝a (x －1)(x －2)． ∵1＜x ＜23， ∴x －1＞0，x －2＜0，从而(x －1)(x －2)＜0．∴当a ＞0时，y 1－y 2＝a (x －1)(x －2)＜0，此时，y 1＜y 2； 当a ＜0时，y 1－y 2＝a (x －1)(x －2)＞0，此时，y 1＞y 2．【解后反思】本题命制由易到难设计了三个问题，属于题组题，首问考查常规的待定系数法，最为简单；二问中的前一问题只要会用二次函数顶点的公式法，就不难解答(此时可以参考卷首是提供的二次函数顶点公式)；最后一问用作差法较为简单．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋2b a )2＋244ac b a -的顶点坐标为(－2b a ,244ac b a -)，对称轴为x ＝－2ba,这个公式应该熟练地记住，在解题时才能游刃有余．实数比较大小，通常有如下几种情况：(1)如有正数、有负数，则直接根据正负比较；(2)两个负数比较大小，绝对值大的反而小；(3)如需要比较的数比较多时，可以考虑把所有数字在数轴上表示，然后左边的数总比右边的小．(4)差比较法：对于两个实数a ，b ，若a －b ＞0，则a ＞b ；若a －b ＝0，则a ＝b ；若a －b ＜0，则a ＜b ．(5)商比较法：对于两个正数a ，b ，若a b ＞1，则b ＞a ；若a b ＝1，则b ＝a ；若ab＜1，则b ＜a ． 【关键词】一次函数；二次函数；待定系数法；二元一次方程组；二次函数的图像与性质；有理数的大小比较；压轴题；分类思想2. (浙江衢州，22，10分)已知二次函数y ＝x 2+x 的图象，如图所示.(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x 2+x ＝1的根在图象上近似地表示出来(精点．．)，并根据图象，写出方程x 2+x ＝1的根(精确到0.1). (2)在同一直角坐标系中画出一次函数y ＝12x +32的图象，观察图象写出自变量x 取值在什么范围时，一次函数的值小于．．二次函数的值.(3)如图，点P是坐标平面上的点，并在网格的格点上，请选择一种行当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，平移后二次函数的函数解析式，并判断点P是否在函数y＝12x+32的图象上，请说明理由.【逐步提示】(1)设y＝x2+x＝1，此时可作出y＝1与y＝x2+x的交点即为所示.(2)y＝12x+32的图象，进而由图象判断.(3)方法不惟一，只要符合题意即可.【解析】(1)如图，作出y＝1的图象，得到作图精点，∴x1≈－1.6，x2≈0.6.(2)画直线y＝12x+32，由图象可知x＜－1.5或x＞1.(3)平移方法不惟一.如，先向上平移54个单位，再向左平移12个单位，平移后的顶点坐标P(－1，1)，平移后的表达式y＝(x+1)2+1，或y＝x2+2x+2.理由：把P点坐标(－1，1)代入y＝12x+32，左边＝右边，∴点P是否在函数y＝12x+32的图象上.【解后反思】依据题意，准确地作出图形是正确求解的前提，发挥数形结合的作用是顺利求解的保证.【关键词】函数图象、二次函数、一次函数、图形的变换.3.（四川省成都市，28，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)2－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，83) ，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P、Q两点，点Q在y轴的右侧．⑴求a的值及点A、B的坐标；⑵当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；⑶当点P位于位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．【逐步提示】本题考查了二次函数、一次函数图象与几何图形的综合问题，解题的关键是灵活运用数形结合思想，发现各图象、图形之间的关系．．⑴将点C 代入抛物线解析式，求出a 的值，令抛物线解析式中的y ＝0，即可求出点A 、B 的坐标；⑵求出四边形ABCD 的面积，利用直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分，可知直线l 与AD 或BC 相交的三角形面积为四边形ABCD 面积的310，即可求出直线l 与AD 或BC 交点坐标，然后用待定系数法求解；⑶根据PQ 的中点为M ，四边形DMPN 若为菱形，得DN ∥MQ ，根据直线DN 过点D ，求出点N 坐标，再利用直线l 经过点H ，且平行于DN 求出点Q 坐标，根据MN ∥DQ ，利用x M －x N ＝x Q －x D 列出方程求出k 值．【详细解答】解： ⑴将点C (0，83-)代入y ＝a (x ＋1)2－3，得83-＝a (0＋1)2－3，解得a ＝13，∴抛物线解析式为y ＝13(x ＋1)2－3，令y ＝0，则0＝13(x ＋1)2－3，解得x 1＝－4，x 2＝2，∴A (－4，0)，B (2，0)；⑵∵抛物线解析式为y ＝13(x ＋1)2－3，∴顶点D (－1，－3)，∴DH ＝3，OH ＝1，∵A (－4，0)，B (2，0)，C (0，83-)，∴OA ＝4，OB ＝2，OC ＝83，AH ＝3，∴S 四边形ABCD ＝S △ADH ＋S 梯形DHOC ＋S △BOC ＝12AH ·HD ＋12(OC ＋HD )·OH ＋12OB ·OC ＝12×3×3＋12×(83＋3 )×1＋12×2×83＝10，∵直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7，∴其中一部分面积为四边形ABCD 面积的310． ①当直线l 与AD 交于点M ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则S △AMH ＝310S 四边形ABCD ＝12AH ·MN ＝3，∴MN ＝2，∵MN ∥DH ，∴△AMN ∽△ADH ，AN MNAH DH=， AN ＝2，∴ON ＝2，∴N (－2，－2)，设直线l 解析式为y ＝kx ＋b ，过N (－2，－2)，H (－1，0)，则220k b k b -=-+⎧⎨=-+⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，∴直线l 解析式为y ＝2x ＋2，②当直线l 与BC 交于点M ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则S △BMH ＝310S 四边形ABCD ＝12BH ·MN ＝3，∴MN ＝2，∵MN ∥OC ，∴△BMN ∽△BOC ，BN MN BO OC =，BN ＝32，∴ON ＝12，∴N (12，－2)，设直线l 解析式为y ＝kx ＋b ，过N (12，－2)，H (－1，0)，则1220k b k b ⎧-=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得4343k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线l 解析式为y ＝－43x －43，∴直线l 解析式为y ＝2x＋2或y ＝－4x －4；⑶若存在直线l 以DP 为对角线的四边形DMPN 能否成菱形，则有DN ∥PM ，∵PQ 的中点为M ，∴DN ∥MQ ，∴四边形MNDQ 为平行四边形，设直线ND 的解析式为y ＝kx ＋b 1，过D (－1，－3)，∴－3＝－k ＋b 1，∴b 1＝k －3，∴直线ND 的解析式为y ＝kx ＋k －3，∴231(1)33y kx k y x =+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得x N ＝3k －1，∴N (3k －1，3k 2－3)．设直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b 2，过H (－1，0)，得y ＝kx ＋k ，∴21(1)33y kx ky x =+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，则kx ＋k ＝13(x ＋1)2－3，x 1＋x 2＝3k －2，∴x M ＝122x x +＝322k -，x Q x M －x N ＝322k -－3k －1，∵MN ∥DQ ，∴x M －x N ＝x Q －x D ，即322k -－3k －1＝＋1，解得k ＝x N ＝3k －1＝-－1，∴y N ＝kx ＋k －3＝1，∴N (-1，1)，M (1，2)，P (-1，6)，此时，DN ∥PM 且DN ＝PM ，DN ＝DM ＝DMPN为菱形．综上所述，以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，当四边形DMPN 为菱形时，点N 的坐标为(-1，1)．【解后反思】本题在解答第⑵问时，由于不会把四边形的面积转化为三角形的面积而求解；第⑶问不会应用菱形的性质及中点得出DN ∥MQ 及MN ∥DQ ，从而无法找出等量关系，不能建立正确等量关系导致无法求解．一般在解决有关平行四边形顶点问题时，通常应用平行四边形对边平行且相等，用平移法可找到相邻顶点之间的联系． 【关键词】 二次函数的表达式；平行四边形的性质；相似三角形的性质；存在探索型问题4（四川乐山，26，13分）在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（-1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的△BCD.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值.【逐步提示】（1）由旋转，平移得到C（1，1），用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出△BEF∽△BAO，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可；（3）先由平移得到A1B1的解析式为y=2x+2-t，A1B1与x轴交点坐标为（22t，0）．C1B2的解析式为y=12x+t+12，C1B2与y轴交点坐标为（0，t+12），再分两种情况进行计算即可．【详细解答】解：（1）∵A（0，2）、B（-1，0），将△ABO经过旋转、平移变化得到如图所示的△BCD，∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°，∴C（1，1）．设经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，则有012a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：a=-32，b=12，c=2．∴抛物线解析式为y=-32x 2+12x+2； （2）如图所示，设直线PC 与AB 交于点E.∵直线PC 将△ABC 的面积分成1：3两部分， ∴13AE BE =或3AEBE=， 过E 作EF ⊥OB 于点F ，则EF∥OA， ∴△BEF ∽△BAO,∴EF BE BFAO BA BO==， ∴当13AE BE =时，3241EF BF ==， ∴33,24EF BF ==，∴13(,)42E -.设直线PC 解析式为y=mx+n ，则可求得其解析式为y=-25x+75， ∴-32x 2+12x+2=-25x+75，∴x 1=-25，x 2=1（舍去）， ∴P 1(-25，3925). 当3AE BE=时，同理可得P 2(-67，2349).（3）设△ABO 平移的距离为t ，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分的面积为S ．可由已知求出A 1B 1的解析式为y=2x+2-t ，A 1B 1与x 轴交点坐标为(-22t ，0). C 1B 2的解析式为y=12x+t+12，C 1B 2与y 轴交点坐标为(0，t+12). ①如图所示，当0＜t ＜35时，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分为四边形.设A 1B 1与x 轴交于点M ，C 1B 2与y 轴交于点N ，A 1B 1与C 1B 2交于点Q ，连结OQ.由221122y x t y x t =+-⎧⎪⎨=++⎪⎩，得43353t x t y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴435(,)33t t Q -. ∴1251134()223223QMO QNO t t t S S S t ∆∆--=+=⨯⨯+⨯+⨯2131124t t =-++. ∴S 的最大值为2552. ②如图所示，当35≤t ＜45时，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分为直角三角形.设A 1B 1与x 轴交于点H ，A 1B 1与C 1D 1交于点G.则G(1-2t ，4-5t)，12451222t t D H t --=+-=，145D G t =-. ∴21111451(45)(54)2224t S D H D G t t -==-=-. ∴当3455t ≤<时，S 的最大值为14.综上所述，在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值为2552. 【解后反思】本题是动态型压轴题，综合了二次函数、直角三角形、三角形相似的性质与判定、分类讨论等知识于一体，在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，变量反映了运动变化关系，常量则是问题求解的重要依据．其次，要分清运动过程中不同的情况，时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现．解决压轴题，既需要坚实的基础知识作功底，也需要严密的思维分析问题，更需要灵活的方法处理细节，还需要概括的数学思想方法作统领．【关键词】待定系数法求解析式；三角形相似的性质和判定；分类讨论思想5. （ 四川省绵阳市，24，12分）如图，抛物线y ＝2ax bx c ++（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C （0，3），且此抛物线的顶点坐标为M （－1，4）． （1）求此抛物线的解析式；（2）设点D 为已知抛物线对称轴上的任意—点，当△ACD 与△ACB 面积相等时，求点D 的坐标；（3）点P 在线段AM 上，当PC 与y 轴垂直时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为E ，将△PCE 沿直线CE 翻折，使点P 的对应点P ′与P ，E ，C 处在同一平面内，请求出点P ′坐标，并判断点P ′是否在该抛物线上．【逐步提示】本题是一道综合题，考查的知识较多，解答时要充分利用数形结合思想，注重“数”与“形”的转化进行求解．在进行点的坐标与线段长度转化时，要防止符号出错．（1）已知顶点M （－1，4），利用顶点式求函数解析式．（2）利用（1）中求得的解析式求出△ABC 的面积，求出直线AC 的函数解析式y ＝3x +及点F 的坐标（－1，2）．设点D （－1，D y ），利用割补法得到△ACD 的面积（用含D y 的式子表示），最后根据△ACD 与△ACB 面积相等列方程求出D y ，得到点D 的坐标．（3）记EP ′交y 轴于点N ，可得△NCE 是等腰三角形．再求出点P 的坐标，得到PC ，PE 长．设NC ＝NE ＝m ，在Rt △OEN 中利用勾股定理可求得m 的值，从而知道NC ，NE ，NP ′的长．过点P ′作P ′H ⊥y 轴于点H ，在Rt △CNP ′中利用面积法求得斜边上的高P ′H 的长，得到点P ′的横坐标．在Rt △CHP ′利用勾股定理求出CH 长，进而求出OH 长，得到点P ′的纵坐标，最后将点P ′的坐标代入抛物线解析式，不成立，点P ′不在抛物线上． 【详细解答】解：设抛物线的解析式为y ＝2()a x h k ++． ∵顶点为M （－1，4）， ∴y ＝214()a x ++． ∵抛物线经过点C （0，3）， ∴3＝2014()a ++． 解得a ＝－1．∴抛物线的解析式为y ＝214()x -++，即y ＝223x x --+． （2）令y ＝223x x --+＝0，解得x ＝－3或x ＝1． ∴A （－3，0），B （1，0）．∴OA ＝OC ＝3，△AOC 为等腰直角三角形． 设AC 交对称轴x ＝－1于F （－1，F y ）． 易得F y ＝2，故点F （－1，2）． 设点D 坐标为（－1，D y ）．则S△ADC＝12DF·AO＝12×2Dy-×3．又S△ABC＝12AB·OC＝12×4×3＝6，由12×2Dy-×3＝6得：2Dy-＝4，故Dy＝－2或Dy＝6．∴点D坐标为（－1，－2）或（－1，6）．（3）如图，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作P′H⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．在△EON和△CP′N中，90CNP ENOCP N EONP C PC OE'∠=∠⎧⎪'∠=∠=︒⎨⎪'==⎩，∴△CP′N≌△EON．设NC＝m，则NE＝m．易得直线AM的解析式为y＝26x+．当y＝3时，x＝32-．∴点P（32-，3）．∴P′C＝PC＝32，P′N＝3m-．在Rt△P′NC中，由勾股定理，得223()(3)2m+-＝2m．解得m＝158．∵S△P′NC＝12CN·P′H＝12P′N·P′C，∴P′H＝910．在Rt△CHP′中，CH65．∴OH＝3－65＝95．∴P′的坐标是（910，95）．将点P ′（910，95）的坐标代入抛物线解析式，不成立． ∴点P ′不在该抛物线上．【解后反思】（1）求二次函数的解析式，要选择恰当的解析式求解．已知抛物线的顶点坐标，一般选用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点横坐标，一般选用交点式；已知任意三点坐标，一般选用一般式．（2）遇到三角形的面积要联想到下面的方法：①直接运用三角形的面积公式；②如图，对于△ABC ，过三角形的一个顶点作铅垂线，交对边或对边的延长线于D ，记AD 的长为h ，作出另外两个顶点的水平距离l （如图），则△ABC 的面积为12hl ．（3）直角坐标系中如果有直角，要联想含直角的相似三角形基本图形，主要有以下几种：【关键词】二次函数；待定系数法；二次函数的表达式；面积法；数形结合思想；化归思想．CD AB hl。
2022年中考数学压轴题讲义 利用代数求解最值问题
利用代数求解最值问题1、问题提出：（1）如图1，点B 、C 在O 上且BC=2，过点O 作OE ⊥BC ，交BC 于点A ，交O 于点E ，连接BE 、CE ，若∠CBE =30°,则线段AE 的长度为_____________问题探究：（2）如图2，在ABC 中，BC=2，∠BAC=45°，求边AC 长度的最大值: 问题解决：（3）如图3，某城市拟在河流m 、n 所夹半岛区城建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥AB 、AD 、CD 和绿化带BC 四部分构成，其中B 、C 两定点间的距离为2000米，根据规划要求，A 、D 两点间的距离为600米，A 、D 两点到直线BC 的距离相等，AD 的中点E 到BC 的距离比点A 到BC 的距离多1003米。
若修建时需保证∠B 与∠C 的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由. (结果保留π)图1 图2 图32、问题探究：（1）如图1，平行四边形ABCD ，∠ABC ＝60°，AB ＝3，BC ＝5，M 、N 分别为AD 、DC 上的点，且DM +DN ＝4，则四边形BMDN 的面积最大值是 ． （2）如图2，∠ACB ＝90°，且AC +BC ＝4，连接AB ，则△ABC 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决EDC AO E C BBAB Cmn（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．3、如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD．AB＝5，AD＝6，∠A＝60°，在AD边上确定一点E，使得∠BEC＝60°，则AE＝（）A．4−√6B．6﹣2√3C．5−√13D．3√324、【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=____________（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=10，AD=13，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F，则四边形ADEF的面积为___________【问题解决】（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，四边形ABCD中，AB=4厘米，点C到AB的距离为5厘米，∠C=90°，且BC=2CD，在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元，请问一个这种四边形金属部件的造价最低是多少元？图1 图2 图35、如图，已知30MAN ∠=，点P 为MAN ∠内部一点，PEF 为等边三角形，点F 落在AM 上，点E 落在AN 上，过点P 做PC AN ⊥于点C ，PD AM ⊥于点D ，设PC 的长为x ，PEF 的面积为y ，若43AC =y 与x 之间的函数关系式；6、如图，等腰Rt △DEF 的三个顶点分别在等边△ABC 的三条边上，∠EDF=90°，已知AB=3√3+3，则△DEF 面积的最小值是_____________C DCB A D CFM NAP EFCABED7、问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究（2）如图2，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点D ，E ，若AB ＝5，BC ＝6，求线段BP 的取值范围，并求AD +CE 的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E 、F 之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB ′、CC ′、DD ′．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和（BB ′+CC ′+DD ′）最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．8、（1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边分别是_____，_______时，直角三角形的面积最大；（2）问题解决：如图，在一个t R EFG 的内部作一个矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角边上，BC 在斜边上，EF=30cm ，FG=40cm ，矩形面积最大是多少？（3）问题拓展：如图，矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=30cm ，点E 是AD 边上的动点（点E 与A,D 两点不重合），连接BE 、CE ，点F 是BC 边上的动点，过F 作FG ∥CE 交BE 于点G ，求三角形EFG 面积的最大值。
中考数学 专题04 代数之不等式(组 )问题(含解析)
专题04 代数之不等式（组 ）问题中考数学压轴题中不等式（组）问题较少，主要有含参数的不等式（组）问题，新定义的应用形成的不等式（组）问题，它们出现在选择和填空题中。
一、含参数的不等式（组）问题：1. 若关于x 的不等式2x m <03-恰好只有5个正整数解，则m 的取值范围是 。
【答案】10<m 43≤。
【考点】一元一次不等式的整数解。
2. 如果关于x 的不等式组：⎩⎨⎧≤-≥-0203b x a x ，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对[a ，b]共有 个。
【答案】6.【解析】∵整数解仅有1，2，∴0＜3a ≤1，2≤2b ＜3， 解得：0＜a ≤3，4≤b ＜6，∴a=1，2，3，b=4，5，∴整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）共有3×2=6个. 考点：一元一次不等式组的整数解．二、新定义的应用形成的不等式（组）问题：3. 定义：对于实数a ，符号[a]表示不大于a 的最大整数．例如：[5．7]=5，[5]=5，[-π]=-4．（1）如果[a]=-2，那么a 的取值范围是 ___________．（2）如果321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，满足条件的所有正整数x 有____________． 【答案】-3≤a ≤-2 5,6【解析】4. 阅读理解： 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n 为非负整数时，如果11n x <n 22-?，则<x>＝n 。
如：<0>＝<0.49>＝0，<0.64>＝<1.393>＝1，<3>＝3，<2.5>＝<3.12>＝3，…试解决下列问题：（1）填空：如果<3x －2>＝4，则实数x 的取值范围为 ；（2）当x 0³，m 为非负整数时，求证：x m m x +=+；（3）求满足71x x 52=-的所有非负实数x 的值； 【答案】（1）1113x <66≤。
2024年中考数学重难点- 选择压轴题(代数篇)(原卷版)
重难点选择压轴题（代数篇）目录题型01 数与式的运算类型一实数的运算及其应用类型二整式运算及其应用类型三分式的计算及其应用题型02 方程与不等式组类型四一次方程（组）及其应用类型五分式方程及其应用类型六不等式与不等式组题型03 函数及其应用类型七动点问题的函数图象类型八一次函数及其应用类型九类型十反比例函数及其应用类型十一双函数的综合问题题型01 数与式的运算 类型一 实数的运算及其应用1．有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以12−，再加3”的运算.现在输入一个4x =，通过第1次运算的结果为1x ，再把1x 输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为2x ，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果n x （ ） A ．越来越接近4 B ．越来越接近于－2C ．越来越接近2D ．不会越来越接近于一个固定的数2．如图，在数轴上，点P 表示1−，将点P 沿数轴做如下移动，第一次点P 向右平移2个单位长度到达点1P ，第二次将点1P 向左移动4个单位长度到达2P ，第三次将点2P 向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点n P ，给出以下结论：①5P 表示5；②1211P P >；③若点n P 到原点的距离为15，则15n =； ④当n 为奇数时，12n n n P P P −−=；以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③D ．①④3．潼铜在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序的数：123,,x x x ，称为数列123,,x x x ．计算121231,,23x x x x x x +++，将这三个数的最小值称为数列123,,x x x 的最佳值．例如，对于数列2,1,3−，因为()()212131422,,2233+−+−+===，所以数列2,1,3−的最佳值为12．潼铜进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列1,2,3−的最佳值为12；数列3,1,2−的最佳值为1；…经过研究，潼铜发现，对于“2,1,3−”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12；…．根据以上材料，下列说法正确的个数有 ①数列4,3,2−−的最佳值为53；②将“4−，3−，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列取得最佳值最小值的数列为3,2,4−−；③将2，9−，(1)a a >这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，则满足条件a 的值有4个． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个4．（2024·重庆大渡口·一模）(),,,a b c d 表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，(),,,a b b c c d d a ++++表示由它生成的第一个数组，(),,,a b b c b c c d c d d a d a a b ++++++++++++表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记0M a b c d =+++，第n 个数组的四个数之和为n M （n 为正整数）. 下列说法：①n M 可以是奇数，也可以是偶数； ②n M 的最小值是20； ③若010002000nM M <<，则10n =. 其中正确的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”111515=++×，11是一个“可拆分”整数．下列说法： ①最小的“可拆分”整数是5；②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种； ③最大的“不可拆分”的两位整数是96． 其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．观察下列算式：15a =，211a =，319a =，…，它有一定的规律性，把第n 个算式的结果记为n a ，则123711111111a a a a ++++−−−− 的值是（ ） A ．12B ．121360C ．5391080D ．1192407．对于任意实数x ，x 均能写成其整数部分[]x 与小数部分{}x 的和，其中[]x 称为x 的整数部分，表示不超过x 的最大整数，{}x 称为x 的小数部分，即[]{}x x x =+.比如[]{}1.7 1.7 1.710.7=+=+，[]1.71=，{}1.70.7=，[]{}1.7 1.7 1.720.3−=−+−=−+，[]1.72−=−，{}1.70.3−=，则下列结论正确的有（ ） ①1233−= ；②{}01x < ；③若{}20.3x −=，则 2.3x =；④{}{}{}1x y x y +=++对一切实数x 、y 均成立；⑤方程{}11x x+=无解． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =p ×q （p ，q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：F （n ）=pq．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F （12）=34．如果一个两位正整数t ，t =10x +y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F （48）=34；（2）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，则对任意一个完全平方数m ，总有F （m ）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F （t ）的最大值为34． ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型二 整式运算及其应用9．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：()()a b c d e −+−−−，其中称a 为“数1”，b 为“数2”，+c 为“数3”，d −为“数4”，e −为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：()()e b c d a −−+−−+，则下列说法中正确的个数是（ ）①代数式()a b c d e −+−−进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变 ②代数式()()a b c d e −+−−进行1次“换位运算”，化简后只能得到a b c d e −+−− ③代数式()a b c d e +−−− 进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果 A ．0B ．1C ．2D ．310．对多项式21234x x +−+添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：()()222222352301234235230x x x x x x x x x x −+−≥+−+= −++−< ，称对多项式21234x x +−+一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式2235x x −+进行如上操作，称此为二次“绝对操作” 下列说法正确的个数是（ ）①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为2235x x −+； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种；③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A ．0B ．1C ．2D ．311．关于x ，y 的二次三项式224,4x mxy x y mxy y +−+−（m 为常数），下列结论正确的有（ ） ①当1m =时，若240x mxy x +−=，则4x y += ②无论x 取任何实数，等式243x mxy x x +−=都恒成立，则7x my += ③若2245,47x xy x y xy y +−=+−=，则6x y +=④满足22440x xy x y xy y +−+−−≤的正整数解(,)x y 共有25个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=−+<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．43b a >>B ．2b c >>C ．43b a >> D ．240b ac −≤13．对整式 2a 进行如下操作：将 2a 与另一个整式 1x 相加， 使得 2a 与 1x 的和等于 ()21+a ， 表示为()22111=+=+m a x a ， 称为第一次操作； 将第一次操作的结果 1m 与另一个整式 1y 相减，使得 1m与1y 的差等于 21a −， 表示为 22111=−=−m m y a ， 称为第二次操作； 将第二次的操作结果 2m 与另一个整式 2x 相加，使得 2m 与 2x 的和等于 ()22a +， 表示为 ()23222=+=+m m x a ， 称为第三次操作；将第三次操作的结果 3m 与另一个整式 2y 相减， 使得 3m 与 2y 的差等于 222−a ， 表示为224322=−=−m m y a ， 称为第四次操作， 以此类推， 下列四种说法：①2613=+x a ；② 575720+−−=y y x x ；③ 2022202124045−=+x y a ；④当 n 为奇数时， 第 n 次操作结果 212+ =+ n n m a ； 当 n 为偶数时，第 n 次操作结果 222 =−n n m a ： 四个结论中正确的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个D ．4 个14．已知多项式22A x y m =++和22B y x n =−+（m ，n 为常数），以下结论中正确的是（ ） ①当2x =且1m n +=时，无论y 取何值，都有0A B +≥； ②当0m n ==时，A B ×所得的结果中不含一次项； ③当x y =时，一定有A B ≥；④若2m n +=且0A B +=，则x y =； ⑤若m n =，1−=−A B 且x ，y 为整数，则1x y +=． A ．①②④B ．①②⑤C ．①④⑤D ．③④⑤15．下列四种说法中正确的有（ ） ①关于x 、y 的方程26199x y +=存在整数解． ②若两个不等实数a 、b 满足442222()()a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．③若2()4()()0a c a b b c −−−=−，则2b a c =+． ④若222x yz y xz z xy −−−==，则x y z ==． A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D ．②③④16．已知三个函数：2()4T x x x =−，()2G x x =−，2()x F x x+=，下列说法： ①当()()16T x F x ⋅=时，x 的值为6或4−；②对于任意的实数m ，n ，若m n +1mn =，则()()3T m T n +=−；③若()()3G x F x +=时，则2421746x x x =−+； ④若当式子()T x ax +中x 的取值为2b 与23b −时，()T x ax +的值相等，则a 的最大值为8． 以上说法中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4类型三 分式的计算及其应用17．（23-24九年级下·浙江杭州）《庄子・天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．若设捶长为1，天数为n ，则（ ） A ．23111112222n +++⋅⋅⋅+<B ．23111112222n +++⋅⋅⋅+=C ．23111112222nn +++⋅⋅⋅+>D ．23111112222nn ×+++⋅⋅⋅+=18．设n 是大于1909的正整数，且19092009n n−−是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n 之和为( )A ．1959B ．7954C ．82D ．394819．有一组数据：()()12335721,,,,12323434512n n a a a a n n n +====××××××++ ．记123n n S a a a a =++++ ，则12S =（ ） A ．201182B ．203180C ．199198D ．20318420．按顺序排列的若干个数： 1x ，2x ，3x ，…，n x （n 是正整数），从第二个数2x 开始，每一个数都等于1与它前一个数的倒数之差，即：2111x x =−，3211x x =−，…，则下列说法：①若22x =，则912x =；②若13x =，则．123181922x x x x x +++++=；③若1x a =，812102x x +=，则2a =；④无论m 为何值，代数式()12012181x x m x x x ⋅+−⋅的值恒为负．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．0210.618≈这个数叫做黄金比，优选法中的“0.618法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果．设a =b =记111S a b =+，222222a ab b S a b ++=，()3333a b S a b +=，…依此规律，则6S 的值为（ ）A．B ．25C．D ．12522．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：()()21231223111a a a a a a a a a a a −+−+−−+−+==+=−−−a ﹣121a +−，这样，分式就拆分成一个分式2a 1−与一个整式a ﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．①若x 为整数，42x x ++为负整数，则x ＝﹣3；②6226182x x +≤+＜9；③若分式25932x x x +−+拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣1116n +−（整式部分对应等于5m ﹣11，真分式部分对应等于16n −），则m 2+n 2+mn 的最小值为27． A ．0B ．1C ．2D ．323．已知两个分式：1x，11x +；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为1M ；作差，结果记为1N ； （即1111M x x =++，1111N x x =−+） 第二次操作：将1M ，1N 作和，结果记为2M ：作差，结果记为2N ；（即211M M N =+，211N M N =−） 第三次操作：将2M ，2N 作和，结果记为3M ；作差，结果记为3N ；（即322M M N =+，322N M N =−）…（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．①312M M =；②当1x =时，246820M M M M +++=；③若244N M ⋅=，则1x =； ④在第n （n 为正整数）次和第1n +次操作的结果中：1nn N N +为定值： ⑤在第2n （n 为正整数）次操作的结果中：22n n M x =，221nn N x =+； 以上结论正确的个数有（ ）个 A ．5B ．4C ．3D ．224．对x 、y 定义一种新运算T ，规定：(),4T x y axy bx +−（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()0,101044T a b =××+×−=−，若()2,12T =，()1,28T −=−，则结论正确的个数为（ ）（1）a ＝1，b ＝2；（2）若()(),02T m n n =≠−，则42m n =+； （3）若()(),02T m n n =≠−，m 、n 均取整数，则12m n = = 或20m n = =或41m n = =− ；（4）若()(),02T m n n =≠−，当n 取s 、t 时，m 对应的值为c 、d ，当2t s <<−时，c d <； （5）若()(),,T kx y T ky x =对任意有理数x 、y 都成立（这里T （x 、y ）和T （y 、x ）均有意义），则0k = A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个题型02 方程与不等式组 类型四 一次方程（组）及其应用25．规定：()2f x x =−，()3g y y =+．例如()442f −=−−，()443g −=−+．下列结论中：①若()()0f x g y +=，则2313x y −=；②若3x <−，则()()12f x g x x +=−−；③能使()()f x g x =成立的x 的值不存在；④式子()()11f x g x −++的最小值是7．其中正确的所有结论是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④26．（2023·浙江·A ，B 两地相距1200m ，小车从A 地出发，以8m/s 的速度向B 地行驶，中途在C 地停靠3分钟．大货车从B 地出发，以5m/s 的速度向A 地行驶，途经D 地（在A 地与C 地之间）时沿原路返回B 点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A 点．已知：3100m AC BC CD ==，，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．527．有5个正整数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①1a ，2a ，3a 是三个连续偶数（123a a a <<），②4a ，5a 是两个连续奇数（45a a <），③12345a a a a a ++=+．该小组成员分别得到一个结论： 甲：取26a =，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取212a =，5个正整数满足上述3个条件；丙：当2a 满足“2a 是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；丁：5个正整数1a ，2a ，3a ，4a ，5a 满足上述3个条件，则534a k =+（k 为正整数）； 戊：5个正整数满足上述3个条件，则1a ，2a ，3a 的平均数与4a ，5a 的平均数之和是10p （p 为正整数）； 以上结论正确的个数有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．528．甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发，甲车从A 地匀速驶向B 地，乙车从B 地匀速驶向A 地．两车之间的距离y （单位：km ）与两车行驶的时间x （单位：h ）之间的关系如图所示，已知甲车的速度比乙车快20km/h ．下列说法错误的是（ ）A ．A 、B 两地相距360km B ．甲车的速度为100km /hC ．点E 的横坐标为185D ．当甲车到B 地时，甲乙两车相距280km29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（ ） A ．6种B ．5种C ．4种D ．30种30．若实数x ,y 满足22227{3x y xy x y xy ++=+−=，则20222022x y +的值是（ ） A ．202221+B ．202221−C ．202221−+D ．202221−−31．已知、、A B C 三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从A 地出发，向C 地匀速行驶.甲比乙早出发5分钟；甲到达B 地并休息了2分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从B 地以各自原速继续向C 地行驶.当乙到达C 地后，乙立即掉头并提速为原速的54倍按原路返回A 地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向C 地行驶，到达C 地就停止.若甲、乙间的距离y (米)与甲出发的时间t (分)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲、乙提速前的速度分别为300米/分、400米/分.B ．AC 、两地相距7200米 C ．甲从A 地到C 地共用时26分钟D ．当甲到达C 地时，乙距A 地6075米32．已知多项式222101,2143A x x B x x =−−=−−，其中x 为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）①若4428A B x +=−，则123,4x x ==； ②若(2018)(2023)20A A −−=，则22(2018)(2023)65A A −+−=； ③若0A B ×=，则此关于x 4个互不相等的实数解； ④若分式1327A B ++的值为整数，则整数x 的值有4个． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个33．如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a 2，则这块地砖的面积为（ ）A ．50B ．40C ．30D ．2034．（2023·浙江杭州·二模）已知点A ，B ，C 是直线l 上互不重合的三个点，设24AB a a =++，AC na =，21BC na =+，其中n ，a 是常数，（ ）A ．若01n <≤，则点A 在点B ，C 之间 B ．若23n <≤，则点A 在点B ，C 之间 C ．若01n <≤，则点C 在点A ，B 之间D ．若23n <≤，则点C 在点A ，B 之间35．（2023·重庆·二模）定义一个运算()()1212121212,,,,0nn n n nx x x H x x x y y y y y y y y y +++=+++≠+++ ，下列说法正确的有（ ）个 ①()1,231H =；②若()()24,41,21H x H x −−−=−，则=1x −或2； ③()()()()22217511,212,413,6110,20264H H H H ++++= ；④若()()()(),,,,,,,,H a b c d H b a c d H c a b d H d a b c ===，则1c da b+=+． A ．1B ．2C ．3D ．4类型五 分式方程及其应用36．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A 地出发前往B 地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚05h ．出发，并且在中途停留1h 后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A 地的路程s （km ）与甲出发的时间t （h ）之间的关系如图．下列说法：①A ，B 两地相距24km ；②甲比乙晚到B 地1h ；③乙从A 地刚出发时的速度为72km/h ；④乙出发17h 14与甲第三次相遇．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个37．若整数a 使得关于x 的不等式组()533213x x x a x ++<−≥−解集为1x >，使得关于y 的分式方程1a y −＝51y y −−+2的解为正数，则所有满足条件的整数a 的和为（ ） A ．﹣21B ．﹣20C ．﹣17D ．﹣1638．若关于x 的不等式组()32212x a x x −≤−>+ 至少有两个正整数解，且关于x 的分式方程(1)5155a x x x −+=−−−有正整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．15B ．16C ．18D ．1939．若关于x 的一元一次不等式组()151131212x x a x x−−≤− + >+ 的解集恰好有3个负整数解，且关于y 的分式方程232111y a y y y −−−=−−有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．6B ．9C ．1−D ．240．从7−，5−，1−，0，4，3这六个数中，随机抽一个数，记为m ，若数m 使关于x 的不等式组()x m02x 43x 2− >−<− 的解集为x 1>，且关于x 的分式方程1x m32x x 2−+=−−有非负整数解，则符合条件的m 的值的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型六 不等式与不等式组41．已知两个非负实数a b ，满足23a b +=，30a b c +−=，则下列式子正确的是（ ） A ．3a c −=B ．29b c −=C ．02a ≤≤D ．3 4.5c ≤≤42．（2023·河北保定·一模）已知实数a ，b ，c 满足23a b c +=，则下列结论不．正确的是（ ） A ．()3a b c b −=− B ．2a cc b −=− C ．若a b >，则a c b >>D ．若a c >，则2c ab a −−>43．已知关于x 的不等式组320230a x a x −≥ +>恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．2332a ≤≤B ．4332a ≤≤ C ．4332a <≤ D ．4332a ≤< 44．关于x 的不等式组1132x a x − ≤−< 恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．23a ≤<B ．23a ≤≤C ．3a <D ．23a <<45．喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第1组有a 首、第2组有b 首、第3组有c 首、第4组有d 首；②对于第()1,2,3,4i i =组诗词，第i 天背诵第一遍，第()1i +天背诵第二遍，第()3i +天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（ ）首． A ．21B ．22C ．23D ．2446．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +−=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+−a b c 的最小值是（ ） A ．111−B ．57−C ．37D ．711题型03 函数及其应用 类型七 动点问题的函数图象47．（2024·河南·Rt ABC 中，90ACB ∠=°，2AB BC =，定长线段DE 的端点D ，E 分别是边AC ，BC 上的动点，P 是DE 的中点，连接AP ．设CD x =，AP y =，y 与x 之间的函数关系的部分图象如图2所示，已知DE BC =，则图象最低点的纵坐标m 为（ ）A1 B ．1 C ．2− D ．3−48．（2024·安徽合肥·一模）如图，在ABC 中，90C ∠=°，AC BC =．AB 与矩形DEFG 的一边EF 都在直线l 上，其中4AB =、1DE =、3EF =，且点B 位于点E 处．将ABC 沿直线，向右平移，直到点A 与点E 重合为止．记点B 平移的距离为x ，ABC 与矩形DEFG 重叠区域面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．49．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ．设AE x DF y ==，，已知x ，y 满足反比例函数()00ky k x x=>>，，其图像如图2所示，则矩形ABCD 的面积为（ ）．A ．B ．9C ．10D ．50．如图，在矩形ABCD 中，AB =4BC =，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，P ，Q 分别是AE ，DE 上的点，且PE DQ =．设EPQ △的面积为y ，PE 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．51．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，4AC =，2BD =，点N 为CD 中点，点P 从点A 出发沿路径A O B C −−−运动，过P 作PQ AC ⊥交菱形的边于Q 点在点P 上方，连接PN ，QN ，当点Q 与点N 重合时停止运动，设PQN 的面积为y ，点P 的运动距离为x ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．52．（2023·辽宁·二模）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=°，60C ∠=°，2AC =DEFG 从点B 出发，沿射线BC 运动．当点G 与点C 重合时，运动停止．设BD x =，正方形DEFG 与ABC 的重叠面积为S ，S 关于x 的图象如图所示．下列结论：①m 3n =，4p =，3q =4r =+3x ≤时，S x =；③在运动过程中，S 的最大值为1438+．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③53．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC −−运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，BPQ 的面积为2cm y ．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（ ）A ．:4:5AB AD = B ．当 2.5t =秒时，PQ =C ．当294t =时，53BQ PQ = D ．当BPQ 的面积为24cm 时，t 475秒 54．如图1，点Q 为菱形ABCD 的边BC 上一点，将菱形 ABCD 沿直线AQ 翻折，点B 的对应点P 落在BC 的延长线上.已知动点M 从点B 出发，在射线 BC 上以每秒1个单位长度运动.设点M 运动的时间为x ，△APM 的面积为y ．图2为y 关于x 的函数图象，则菱形 ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．24C ．10D ．20类型八 一次函数及其应用55．（2023·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线113–33y x =+分别与x 轴、y 轴交于点P ，Q ，在Rt OPQ 中从左向右依次作正方形1112A B C C ，2223A B C C ，3334A B C C …，1n n n n A B C C +，点123nA A A A …，，，在x 轴上，点1B 在y 轴上，点1231nC C C C +…，，，在直线PQ 上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形(阴影部分)的面积分别记为123n S S S S …，，，，则n S 可表示为( )A ．1134n n ++B ．212234n n −−C ．1134n n −−D ．222334n n −− 56．（2023·江苏宿迁·二模）点(),A m n 在直线1:22L y x =−上，将直线1L 绕点A 旋转45°得到直线2L ：22y kx k =−+，则m n k ++=( )A ．1B ．133C ．1或0D ．1或13357．（2023·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，点()E ，点B 是线段OE 上任意一点，在射线OA 上取一点C ，使OB BC =，在射线BC 上取一点D ，使BD BE =．OA 所在直线的关系式为12y x =，点F 、G 分别为线段OC DE 、的中点，则FG 的最小值是（ ）A B C ．D ．4．858．（2023·福建·一模）如图，ABC 的顶点(8,0)A −，(2,8)B −，点C 在y 轴的正半轴上，AB AC =，将ABC 向右平移得到A B C ′′′ ，若A B ′′经过点C ，则点C ′的坐标为（ ）A ．7,64B ．(3,6)C ．7,62D ．(4,6)59．如图，直线1y x =−+与x 轴交于点A ，直线m 是过点A 、()3,0B −的抛物线2y ax bx c ++的对称轴，直线1y x =−+与直线m 交于点C ，已知点(),5D n 在直线1y x =−+上，作线段CD 关于直线m 对称的线段CE ，若抛物线与折线DCE 有两个交点，则a 的取值范围为（ ）A ．1a ≥B ．01a <≤C ．102a −<<或01a << D ．1a ≥或12a <−60．如图，已知直线AB ：yx 轴、y 轴于点B A 、两点，(3,0)C ，D E 、分别为线段AO 和线段AC 上一动点，BE 交y 轴于点H ，且AD CE =．当BD BE +的值最小时，则H 点的坐标为（ ）A ．B ．(0,5)C ．(0,4)D ．61．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴上，点()3,1B 在直线l ：4y kx =+上，直线l 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．将正方形ABCD 沿y 轴向下平移m 个单位长度后，点C 恰好落在直线l 上．则m 的值为( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．262．（2022·浙江宁波·一模）已知a ，b ，c 分别是Rt ABC △的三条边长，c 为斜边长，90C ∠=°，我们把关于x 的形如a by x c c =+的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P − 在“勾股一次函数”的图象上，且Rt ABC △的面积是4，则c 的值是（ ）A ．B ．24C ．D ．1263．为了缅怀先烈．继承遗志，某中学初二年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动．每个小组需要在点A 出发，跑步到点B 打卡（每小组打卡时间为1分钟），然后跑步到C 点，……，最后到达终点（假设点A ，点B ，点C 在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的），“函数组”最先出发．过了一段时间后，“方程组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C ．若“方程组”出发的时间为x （单位：分钟），在点A 与点C 之间的行进过程中，“函数组”和“方程组”之间的距离为y （单位：米），它们的函数图像如图所示，则下面判断不正确的有（ ）个．（1）当2x =时，“函数组”恰好到达B 点；（2）“函数组”的速度为150米/分钟，“方程组”的速度为200米/分钟； （3）两个小组从A 点出发的时间间隔为1分钟；（4）图中M 点表示“方程组”在B 点打卡结束，开始向C 点出发；（5）出发点A 到打卡点B 的距离是600米，打卡点B 到点C 的距离是800米； A ．1B ．2C ．3D ．464．如图，在平面直角坐标系中，若折线21y x =−−+与直线交2y kx k =+（0k >）有且仅有一个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．01k <<或14k =B ．1k >或14k =C ．02k <<或14k =D ．2k >或14k =65．如图，在平面直角坐标系中，四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ，…都是菱形，点123,,A A A …都在x 轴上，点123,,C C C ，…都在直线y =11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==°= ，则点n C 的横坐标是（ ）A ．2321n −×−B ．2321n −×+C ．1321n −×−D ．1321n −×+类型九 二次函数及其应用66．（2024·天津红桥·一模）已知开口向下的抛物线 ²y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数， 0)a ≠与x 轴的一个交点的坐标为()60，，对称轴为直线x 2=． 有下列结论：① 0a b c −+>； ②方程²0cx bx a ++=的两个根为 121126x x =−=，；③抛物线上有两点()11P x y ，和()22Q x y ，，若2x x <<₁₁且 4x x +>₁₁，则y y >₁₁．其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．367．（2024·安徽合肥·一模）如图，P 是线段AB 上一动点，四边形APEF 和四边形PBGH 是位于直线AB 同侧的两个正方形，点C ，D 分别是,GH EF 的中点，若4AB =，则下列结论错误的是（ ）A ．DPC ∠为定值B ．当1AP =时，CD 的值为C ．PCD 周长的最小值为2D ．PCD 面积的最大值为268．（2024·陕西西安·二模）把抛物线()2230y ax ax a =−+>沿直线112y x =+点仍在原抛物线上，则a 是（ ） A ．2B ．15C ．14D ．2569．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系xOy 中，若点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为雅系点．已知二次函数()240y ax x c a =−+≠的图象上有且只有一个雅系点55,22 −−，且当0m x ≤≤时，函数()21404y ax x c a =−++≠的最小值为6−，最大值为2−，则m 的取值范围是（ ） A ．10m −≤≤ B ．722m −<≤− C ．42m −≤≤− D ．7924m −≤<− 70．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横，纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”，如：()5,0B ，()2,3C −都是“整点”．抛物线2443y mx mx m =−++（m 是常数，且0m <）与x 轴交于点P ，Q 两点，若该抛物线在P ，Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则m 的取值范围为（ ） A ．334m −<≤−B ．32m −<≤−C ．334m −≤<−D ．32m −≤<−71．已知二次函数22(2)2y x m x m =+−−+的图象与x 轴最多有一个公共点，若223y m tm =−−的最小值为3，则t 的值为（ ） A ．12−B ．32或32−C ．52−或32−D ．52−72．已知二次函数()()212y x ax b x x x x =++=−−（12,,,a b x x 为常数），若1213x x <<<，记=+t a b ，则（ ）A ．30t −<<B ．10t −<<C ．13t −<<D ．03t <<73．抛物线22y ax ax c =−+（a c ，是常数且00a c ≠>，）经过点A （3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过()10B −，； ②20a c +>；③点()()112220222023P t y P t y ++，，，，在抛物线上，且12y y >，则2021t >−； ④若()m n m n <，是方程22ax ax c p ++=的两个根，其中0p >，则31m n −<<<． 其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个74．如图，已知二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象与x 轴交于点()1,0A −，与y 轴的交点B 在()0,2−和()0,1−之间（不包括这两点），对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③244ac b a −<−；④1233a <<；⑤bc >．其中正确结论有（ ）A ．①②⑤B ．①④⑤C ．①③④⑤D ．①②③④⑤类型十 反比例函数及其应用75．（2023·四川达州·模拟预测）如图，O 是坐标原点，等腰直角三角形11OA B ，122A A B ，233A A B △，…，1n n n A A B − 的斜边均在x 轴正半轴上，直角顶点1B ，2B ，3B ，…，n B 均在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点2023B 的横坐标为（ ）ABC ．D76．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别落在双曲线()0ky k x=>第一和第三象限的两支上，连接AB ，线段AB 恰好经过原点O ，以AB 为腰作等腰三角形ABC ，AB AC =，点C 落在第四象限中，且BC x ∥轴，过点C 作CD AB ∥交x 轴于E 点，交双曲线第一象限一支于D 点，若ACD的面积为4，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．77．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于A 、()3,1B 两点，直线OC AB ⊥，AC BC =.过点C 作x 轴的垂线于点D .若点(),P m n 在直线OC 上，且APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）.A ．4+或2B ．3或32C ．2或6D ．3378．如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y ．定义(),x y 为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线1x =，3y =将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（ ）A ．点A 的横坐标有可能大于3B ．矩形1是正方形时，点A 位于区域②C ．当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D ．当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等79．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，边BC x ∥轴，顶点A ，B 均落在反比例函数(0,0)ky x y x=>>的图象上，延长AB 交x 轴于点F ，过点C 作DE AF ∥，分别交OA ，OF 于点D 、E ，若2OD AD =，则ACDBCEFS S 四边形为（ ）A ．1：4B ．1：5C ．1：6D1080．（2023九年级下·浙江宁波）如图，点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，以AB 为边构造正方形ABCD ，点C ，D 恰好都落在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，点E 在BC 延长线上，CE BC =，EF BE ⊥，交x 轴于点F ，边EF 交反比例函数()0ky k x =≠的图象于点P ，记BEF △的面积为S ，若122k S =+，则CEP △的面积是（ ）A．2 B．2− C2 D2−类型十一 双函数的综合问题81．（2023·贵州铜仁·三模）将抛物线2(1)y x =+的图象位于直线9y =以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y x m =+与此图象有四个交点，则m 的取值范围是（ ）。
中考数学代数类实际应用题
解：(1)20＋10×(25－21)＝20＋40＝60(瓶).答：商场每天的销量 是60瓶； (2)设这种酒精的销售单价应该定为x元．依题意得(x－15)[20＋ 10(25－x)]＝350，整理得x2－42x＋440＝0，解得x1＝22，x2＝ 20.∵要把更多的优惠给顾客，∴这种酒精的销售单价应该定为 20元．答：这种酒精的销售单价应该定为20元．
6．(2020·宁夏)在抗击新冠肺炎疫情期间，某学校工会号召广大教师积极 开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A，B两种防疫物品．如 果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件， B种物品30件，共需840元．
(1)求A，B两种防疫物品每件各多少元； (2)现要购买A，B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种 防疫物品最多购买多少件？
解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝ 4x＋80（1≤x≤10，且x为正整数）， 128（11≤x≤14，且x为正整数）；
(2)当1≤x≤10时，W＝(0
＝－(x－6)2＋676，∵开口向下，∴当x＝6时，W有最大值
676；当11≤x≤14时，W＝ 128[16－(14 x＋8)]＝－32x＋1024，∵
解：(1)设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意 得x2＋x＋3yy＝＝2262，， 解得xy＝＝86，. 答：每千克苹果的售价为8元，每千克 梨的售价为6元； (2)设购买m千克苹果，则购买(15－m)千克梨．依题意得8m＋6(15 －m)≤100，解得m≤5.答：最多购买5千克苹果．
解：(1)设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，依题意 得24xx＋＋53yy＝＝3326，， 解得xy＝＝64，. 答：购买一根跳绳需要6元，购买一 个毽子需要4元； (2)设购买m(m＞20)根跳绳，则购买(54－m)个毽子．依题意得6m ＋4 (54－m)≤260，解得20＜m≤22.又∵m为正整数，∴m可以取 21，22，∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子； 方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案第一章：代数应用性问题概述1.1 教学目标让学生了解代数应用性问题的基本概念和特点。
培养学生解决代数应用性问题的基本思路和方法。
1.2 教学内容代数应用性问题的定义和特点。
代数应用性问题解决的步骤和方法。
1.3 教学过程引入代数应用性问题的概念，让学生举例说明。
引导学生分析代数应用性问题的特点，如实际背景、数学模型等。
讲解代数应用性问题解决的步骤，如理解问题、建立方程等。
第二章：一元一次方程的应用2.1 教学目标让学生掌握一元一次方程的基本概念和解法。
培养学生应用一元一次方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容一元一次方程的定义和性质。
一元一次方程的解法和应用。
2.3 教学过程引入一元一次方程的概念，让学生举例说明。
讲解一元一次方程的性质和解法，如加减法、代入法等。
给出实际问题，让学生应用一元一次方程解决。
第三章：二元一次方程组的应用3.1 教学目标让学生掌握二元一次方程组的基本概念和解法。
培养学生应用二元一次方程组解决实际问题的能力。
3.2 教学内容二元一次方程组的定义和性质。
二元一次方程组的解法和应用。
3.3 教学过程引入二元一次方程组的概念，让学生举例说明。
讲解二元一次方程组的性质和解法，如代入法、消元法等。
给出实际问题，让学生应用二元一次方程组解决。
第四章：不等式的应用4.1 教学目标让学生掌握不等式的基本概念和解法。
培养学生应用不等式解决实际问题的能力。
4.2 教学内容不等式的定义和性质。
不等式的解法和应用。
4.3 教学过程引入不等式的概念，让学生举例说明。
讲解不等式的性质和解法，如大小比较、解集表示等。
第五章：整式的应用5.1 教学目标让学生掌握整式的基本概念和运算规则。
培养学生应用整式解决实际问题的能力。
5.2 教学内容整式的定义和性质。
整式的运算规则和应用。
5.3 教学过程引入整式的概念，让学生举例说明。
讲解整式的性质和运算规则，如加减法、乘除法等。
中考数学应用题汇编及解析
一、代数应用题：1、农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷.在田间治理和土质相同的条件下,Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号到谷低20%,但Ⅱ号稻谷的米质好,价格比Ⅰ号高.Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.（1） 当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时,在田间治理、图纸和面积相同的两块田丽分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？（2） 去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷,且进行了相同的田间治理.收获后,小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时,Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克,Ⅰ号稻谷国家的收购价未变,这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元,那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？[解析] (1)由题意,得1.62120%=-〔元〕； 〔2〕设卖给国家的Ⅰ号稻谷x 千克,根据题意,得(120%) 2.2 1.61040x x -⨯=+. 解得,6500x =〔千克〕(120%) 1.811700x x x +-==〔千克〕答：〔1〕当Ⅱ号稻谷的国家收购价是2元时,种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同； 〔2〕小王去年卖给国家的稻谷共为11700千克.2、机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦,某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1） 甲车间通过技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克,用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后,加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2） 乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑用油量,同时也提升了用油的重复利用率,并且发现在技术革新的根底上,润滑用油量每减少1千克,用油量的重复利用率将增加1.6%. 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克. 问乙车间技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？[解析]〔1〕由题意,得70(160%)7040%28⨯-=⨯=〔千克〕 〔2〕设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克, 由题意,得[1(90) 1.6%60%]12x x ⨯--⨯-= 整理,得2657500x x --=部门经理小张这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗？欢送你来我们公司应聘！我公司员工的月平均工资是2500元,薪水是较高的．解得：1275,10x x ==-〔舍去〕(9075) 1.6%60%84%-⨯+=答：(1)技术革新后,甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.(2)技术革新后,乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克?用油的重复利用率是84%.3、某高科技产品开发公司现有员工50名,所有员工的月工资情况如下表：员工 治理人员 普通工作人员人员结构 总经理 部门经理 科研人员销售人员 高级技工 中级技工勤杂工员工数(名) 1 3 2 3 24 1 每人月工资(元)21000 840020252200 1800 1600950请你根据上述内容,解答以下问题：〔1〕该公司“高级技工〞有 名；〔2〕所有员工月工资的平均数x 为2500元,中位数为 元,众数为 元； 〔3〕小张到这家公司应聘普通工作人员．请你答复右图中小张的问题,并指出用〔2〕中的哪个 数据向小张介绍员工的月工资 实际水平更合理些； 〔4〕去掉四个治理人员的工资后,请你计算出其他员工的月平均工资y 〔结果保存整数〕,并判断y 能否反映该公司员工的月工资实际水平．[解析] 〔1〕由表中数据知有16名；〔2〕由表中数据知中位数为1700；众数为1600；〔3〕这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．用1700元或1600元来介绍更合理些．〔说明：该问中只要写对其中一个数据或相应统计量〔中位数或众数〕也可以〕 〔4〕250050210008400346y ⨯--⨯=≈1713〔元〕．y 能反映．4、某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测,迎面山坡线ABC 由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB 所在的抛物线以A 为顶点、开口向下,BC 所在的抛物线以C 为顶点、开口向上．以过山脚〔点C 〕的水平线为x 轴、过山顶〔点A 〕的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图〔单位：百米〕．AB 所在抛物线的解析式为8412+-=x y ,BC 所在抛物线的解析式为2)8(41-=x y ,且)4,(m B ． 〔1〕设),(y x P 是山坡线AB 上任意一点,用y 表示x ,并求点B 的坐标；〔2〕从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上〔见图〕． ①分别求出前三级台阶的长度〔精确到厘米〕； ②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么？〔3〕在山坡上的700米高度〔点D 〕处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E 处,1600=OE 〔米〕．假设索道DE 可近似地看成一段以E 为顶点、开口向上的抛物线,解析式为2)16(281-=x y ．试求索道的最大悬空．．高度．[∴8412+-=x y ,0≥x ,〔…2分〕 ∴)8(42y x -=,y x -=82〔…3分〕∵)4,(m B ,∴482-=m ＝4,∴)4,4(B〔…4分〕〔2〕在山坡线AB 上,y x -=82,)8,0(A①令80=y ,得00=x ；令998.7002.081=-=y ,得08944.0002.021≈=x ∴第一级台阶的长度为08944.001=-x x 〔百米〕894≈〔厘米〕〔…6分〕同理,令002.0282⨯-=y 、002.0383⨯-=y ,可得12649.02≈x 、15492.03≈x ∴第二级台阶的长度为03705.012=-x x 〔百米〕371≈〔厘米〕 〔…7分〕 第三级台阶的长度为02843.023=-x x 〔百米〕284≈〔厘米〕〔…8分〕②取点)4,4(B ,又取002.04+=y ,那么99900.3998.32≈=x∵002.0001.099900.34<=-∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B ,从而就不能一直铺到山脚 〔…10分〕 〔注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度,共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性〕 ②另解：连接任意一段台阶的两端点P 、Q ,如图 ∵这种台阶的长度不小于它的高度 ∴︒≤∠45PQR当其中有一级台阶的长大于它的高时, ︒<∠45PQR〔…9分〕在题设图中,作OA BH ⊥于H那么︒=∠45ABH ,又第一级台阶的长大于它的高∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B ,从而就不能一直铺到山脚〔…10分〕〔3〕)7,2(D 、)0,16(E 、)4,4(B 、)0,8(C由图可知,只有当索道在BC 上方时,索道的悬空．．高度才有可能取最大值〔…11分〕 索道在BC 上方时,悬空．．高度2)16(281-=x y 2)8(41--x )96403(1412-+-=x x 38)320(1432+--=x〔…13分〕当320=x 时,38max =y ∴索道的最大悬空．．高度为3800米． 5、有两段长度相等的河渠挖掘任务,分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图11是反映所挖河渠长度y 〔米〕与挖掘时间x 〔时〕之间关系的局部图象．请解答以下问题： 〔1〕乙队开挖到30米时,用了_____小时．开挖6小时时, 甲队比乙队多挖了______米； 〔2〕请你求出：①甲队在0≤x ≤6的时段内,y 与x 之间的函数关系式； ②乙队在2≤x ≤6的时段内,y 与x 之间的函数关系式； ③开挖几小时后,甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？PQR时)〔3〕如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6小时后,施工速度增加到12米/时,结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？[解析] 〔1〕2；10；〔2〕①设甲队在0≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x ,由图可知,函数图象过点〔6,60〕, ∴6 k 1=60,解得k 1=10, ∴y =10x .②设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 2x +b ,由图可知,函数图象过点〔2,30〕、〔6,50〕,∴22230,650.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得25,20.k b =⎧⎨=⎩∴y =5x ＋20．③由题意,得10x ＞5x ＋20,解得x ＞4.所以,4小时后,甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队.〔说明：通过观察图象并用方程来解决问题,正确的也给分〕 〔3〕由图可知,甲队速度是：60÷6=10〔米/时〕．设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z 米,依题意,得6050.1012z z --=解得 z =110．答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米．6、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料〔这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理〕．当每吨售价为260元时,月销售量为45吨．该经销店为提升经营利润,准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x 〔元〕,该经销店的月利润为y 〔元〕． 〔1〕当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量；〔2〕求出y 与x 的二次函数关系式〔不要求写出x 的取值范围〕；〔3〕请把〔2〕中的二次函数配方成2()y a x h k =-+的形式,并据此说明,该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元；〔4〕小静说：“当月利润最大时,月销售额也最大．〞你认为对吗？请说明理由．[解析] 〔1〕5.71024026045⨯-+=60〔吨〕．〔2〕260(100)(457.5)10xy x -=-+⨯,化简得： 23315240004y x x =-+-．〔3〕24000315432-+-=x x y 23(210)90754x =--+．利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元．〔4〕我认为,小静说的不对．理由：方法一：当月利润最大时,x 为210元,而对于月销售额)5.71026045(⨯-+=xx W 23(160)192004x =--+来说, 当x 为160元时,月销售额W 最大．∴当x 为210元时,月销售额W 不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时,x 为210元,此时,月销售额为17325元；而当x 为200元时,月销售额为18000元．∵17325＜18000, ∴当月利润最大时,月销售额W 不是最大． ∴小静说的不对．〔说明：如果举出其它反例,说理正确,也相应给分〕二、几何应用题：8、图10—1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图〔尺寸如下图〕,车棚顶部是圆柱侧面的一局部,其展开图是矩形．图10—2是车棚顶部截面的示意图,AB 所在圆的圆心为O ． 车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积〔不考虑接缝等因素,计算结果保存π〕．[解析]连结OB ,过点O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,交AB 于F ,如图1．…………〔1分〕由垂径定理,可知： E 是AB 中点,F 是AB 中点,∴EF 是弓形高 ．∴AE ==AB 2123,EF =2． …………〔2分〕 设半径为R 米,那么OE =(R －2)米．O BA·图10—2图10—1 AB2米 43米·图1EF A在Rt △AOE 中,由勾股定理,得 R 2=22)32()2(+-R ．解得 R =4． ……………………………………………………………………〔5分〕 ∵sin ∠AOE =23=OA AE , ∴ ∠AOE =60°, ………………………………〔6分〕∴∠AOB =120°． ∴ AB 的长为1804120π⨯=38π． ………………………〔7分〕∴帆布的面积为38π×60=160π〔平方米〕． …………………………………〔8分〕 〔说明：此题也可以由相交弦定理求圆的半径的长．对于此种解法,请参照此评分标准相应给分〕9、图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD 都是20×20的等距网格〔每个小方格的边长均为1个单位长〕,其对称中央为点O ．如图14－1,有一个边长为6个单位长的正方形EFGH 的对称中央也是点O ,它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大〔即点O 不动,正方形EFGH 经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒,由8×8扩大为10×10；……〕,直到充满正方形ABCD ,再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小,然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ 从如图14－1所示的位置开始,以每秒1个单位长的速度,沿正方形ABCD 的内侧边缘按A →B →C →D →A 移动〔即正方形MNPQ 从点P 与点A 重合位置开始,先向左平移,当点Q 与点B 重合时,再向上平移,当点M 与点C 重合时,再向右平移,当点N 与点D 重合时,再向下平移,到达起始位置后仍继续按上述方式移动〕．正方形EFGH 和正方形MNPQ 从如图14－1的位置同时开始运动,设运动时间为x 秒,它们的重叠局部面积为y 个平方单位．〔1〕请你在图14－2和图14－3中分别画出x 为2秒、18秒时,正方形EFGH 和正方形MNPQ 的位置及重叠局部〔重叠局部用阴影表示〕,并分别写出重叠局部的面积；〔2〕①如图14－4,当1≤x ≤3.5时,求y 与x 的函数关系式；②如图14－5,当3.5≤x ≤7时,求y 与x 的函数关系式； ③如图14－6,当7≤x ≤10.5时,求y 与x 的函数关系式； ④如图14－7,当10.5≤x ≤13时,求y 与x 的函数关系式．〔3〕对于正方形MNPQ 在正方形ABCD 各边上移动一周的过程,请你根据重叠局部面积y 的变化情况,指出y 取得最大值和最小值时,相对应的x 的取值情况,并指出最大值和最小值分别是多少．〔说明：问题〔3〕是额外加分题,加分幅度为1～4分〕图14-6D 图14-2 图14-3 D D 图14-4D图14-1 (P ) D N 图14-5D图14-7E C BA DFG H M Q NOP[解析]〔1〕相应的图形如图2-1,2-2．当x =2时,y =3； 当x =18时,y =18．〔2〕①当1≤x ≤3.5时,如图2-3,延长MN 交AD 于K ,设MN 与HG 交于S ,MQ 与FG 交于T ,那么MK =6＋x ,SK =TQ =7－x ,从而MS =MK －SK =2x －1,MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕= x －1． ∴y=MT ·MS =〔x －1〕〔2x －1〕=2x 2－3x ＋1． ②当3.5≤x ≤7时,如图2-4,设FG 与MQ 交于T ,那么 TQ =7－x ,∴MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕=x －1． ∴y=MN ·MT =6〔x －1〕=6x －6．③当7≤x ≤10.5时,如图2-5,设FG 与MQ 交于T ,那么 TQ=x －7,∴MT =MQ －TQ =6－〔x －7〕=13－x ． ∴y = MN ·MT =6〔13－x 〕=78－6x ．④当10.5≤x ≤13时,如图2-6,设MN 与EF 交于S ,NP 交FG 于R ,延长NM 交BC 于K ,那么MK =14－x ,SK =RP =x －7,∴SM =SK －MK=2x －21,从而SN =MN －SM =27－2x ,NR =NP －RP =13－x ． ∴y=NR ·SN =〔13－x 〕〔27－2x 〕=2x 2－53x ＋351．〔说明：以上四种情形,所求得的y 与x 的函数关系式正确的,假设不化简不扣分〕 〔3〕对于正方形MNPQ ,①在AB 边上移动时,当0≤x ≤1及13≤x ≤14时,y 取得最小值0；当x =7时,y 取得最大值36．②在BC 边上移动时,当14≤x ≤15及27≤x ≤28时,y 取得最小值0；当x =21时,y 取得最大值36． ③在CD 边上移动时,当28≤x ≤29及41≤x ≤42时,y 取得最小值0；图2-4 E C B A D F G H Q N O P T 图2-5E C B A DF GH M N O PT 图2-6 E C B A DF G HK Q N OP R S 图2-3 E C B A D F G H M Q N OP S T 图2-2 E C B A D FG HMN O P 图2-1 E C B AD Q O P当x=35时,y取得最大值36．④在DA边上移动时,当42≤x≤43及55≤x≤56时,y取得最小值0；当x=49时,y取得最大值36．。
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案第一章：代数应用性问题的基本概念与解题方法1.1 代数应用性问题的定义与特点解释代数应用性问题的概念分析代数应用性问题的特点1.2 代数应用性问题的解题步骤提出问题建立代数模型求解代数模型检验解的合理性1.3 代数应用性问题的常见类型线性方程问题不等式问题函数问题第二章：线性方程应用性问题复习2.1 线性方程的定义与解法解释线性方程的概念介绍线性方程的解法：代入法、消元法、图解法等2.2 线性方程在实际问题中的应用分析实际问题，建立线性方程模型求解线性方程，得出实际问题的解答2.3 线性方程应用性问题的常见题型比例问题利润问题行程问题第三章：不等式应用性问题复习3.1 不等式的定义与解法解释不等式的概念介绍不等式的解法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到3.2 不等式在实际问题中的应用分析实际问题，建立不等式模型求解不等式，得出实际问题的解答3.3 不等式应用性问题的常见题型盈亏问题范围问题排序问题第四章：函数应用性问题复习4.1 函数的定义与性质解释函数的概念介绍函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等4.2 函数在实际问题中的应用分析实际问题，建立函数模型求解函数，得出实际问题的解答4.3 函数应用性问题的常见题型最大值与最小值问题函数图像问题函数性质问题第五章：代数应用性问题的综合训练5.1 综合训练的目的与意义强调综合训练的重要性说明综合训练对于提高解题能力的帮助5.2 综合训练的内容与方法设计与实际问题相关的综合训练题目引导学生通过自主学习、合作学习、讨论交流等方式进行训练5.3 综合训练的评估与反馈评估学生的训练成果给予学生反馈，帮助学生提高解题能力第六章：典型代数应用性问题解析6.1 典型问题的选材与分析选择具有代表性的代数应用性问题对问题进行深入分析，揭示其背后的数学原理6.2 典型问题的解答与讲解提供详细、清晰的解答步骤对解答过程进行讲解，帮助学生理解解题思路6.3 典型问题的拓展与延伸对典型问题进行拓展，提出相似或相关的问题引导学生思考问题的延伸，提高解决问题的能力第七章：中考代数应用性问题的解题策略7.1 中考代数应用性问题的特点与趋势分析中考代数应用性问题的特点探讨中考代数应用性问题的趋势7.2 中考代数应用性问题的解题技巧介绍解题技巧，如：审题、建模、求解、检验等引导学生运用解题技巧，提高解题效率7.3 中考代数应用性问题的备考建议给出备考建议，如：加强基础知识的复习、多做练习等鼓励学生积极备考，提高中考成绩第八章：代数应用性问题在生活中的应用8.1 代数应用性问题与实际生活的联系探讨代数应用性问题与实际生活的关系强调代数应用性问题在生活中的重要性8.2 生活实例中的代数应用性问题解析分析生活中的实际问题，将其转化为代数应用性问题引导学生运用数学知识解决实际问题8.3 代数应用性问题在生活中的实际应用训练设计生活化的代数应用性问题练习题鼓励学生积极参与，提高解决问题的能力9.1 代数应用性问题的解题思路引导学生运用解题思路，提高解题效果9.2 代数应用性问题的解题方法引导学生掌握解题方法，提高解题速度9.3 代数应用性问题的解题策略与方法的运用结合实际问题，运用解题策略与方法引导学生灵活运用解题策略与方法，提高解题能力第十章：代数应用性问题复习的评估与反思10.1 复习效果的评估评估学生的复习效果，如：知识掌握程度、解题能力等给予学生反馈，帮助学生了解自己的学习状况10.2 复习过程中的问题与反思引导学生反思复习过程中的问题，如：学习方法、时间管理等给出改进建议，帮助学生提高复习效果鼓励学生分享复习经验，共同提高学习能力重点和难点解析重点环节一：代数应用性问题的基本概念与解题方法补充说明：学生需要理解代数应用性问题是如何将实际问题转化为数学问题，以及如何按照步骤解决问题。
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2015年中考数学专题代数应用题一．计算题1．请你先化简，再选取一个使．．．原式有意义，而你又喜爱的数代入求值． 112223+----x x xx x x ．2．分别解不等式2x －3≤5（x －3）和13161>+--y y ，并比较x ，y 的大小． 3、化简：)9(322-•-x xx x ;4、解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+.11)1(2,231y x y x5．计算：2007(1)12sin 60-+°．6．化简：24214a a a+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭·7．先化简，再求值：(2)(1)(1)x x x x +-+-， 其中12x =-．8．计算：()()()2235423----+⨯-．9．先化简，再求值：232224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中3x =．10，解方程：x －2x ＋2 ＋4x 2－4＝1．11.先化简，再求值：2()11a aa a a+÷--，其中2 1.a =+12.解不等式组⎩⎨⎧>-+≥+,33)3(2,12x x x 并将解集在数轴上表示出来．13．先化简，再求值：12244222+-÷+-x xx x x x ，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．二．方程不等式1．有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校． （1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？2. 有三把楼梯，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的。
每把楼梯的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作联结点（如点A ）。
（1） 通过计算，补充填写下表：（2） 一把楼梯的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个个联结点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其它因素忽略不计）。
现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本。
3、设关于x 的一元二次方程0)1(242=---k x x 有两个实数根1x 、2x ，问是否存在2121x x x x •<+的情况？4、有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC 、BD 的长度分别为200厘米、300厘米，CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB 下方的点E 处，直立、单手上举时中指指尖（点F ）到地面的高度为EF ，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB 的点G 处，此时，就将EG 与EF 的差值y （厘米）作为此人此次的弹跳成绩. （1）设CE=x （厘米），EF=a （厘米），求出由x 和a 算出y 的计算公式； （2）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下表所示，由于某种原因，甲组C 同学的弹跳成绩认不清，但知他弹跳时的位置为150=x 厘米，a =205厘米，请你计算C 同学此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩。
5．2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？比赛项目票价（元／场）男篮1000足球800乒乓球5006．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？7．剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）老式剃须刀新式剃须刀刀架刀片售价 2.5(元/把) 1(元/把)0.55(元/片)成本2(元/把) 5(元/把) 0.5(元/片)某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架？多少片刀片？P30米三．统计与概率1．甲、乙两同学做“投球进筐”游戏．商定：每人玩5局，每局在指定线外将一个皮球投往筐中，一次未进可再投第二次，以此类推，但最多只能投6次，当投进后，该局结束，并记下投球次数；当6次都未投进时，该局也结束，并记为“×”．两人五局投球情况如下：第一局第二局第三局第四局第五局甲5次×4次×1次乙×2次4次2次×（1）为计算得分，双方约定：记“×”的该局得0分，其他局得分的计算方法要满足两个条件：①投球次数越多，得分越低；②得分为正数．请你按约定的要求，用公式、表格、语言叙述等方式，选取其中一种写出一个将其他局．．．的投球次数n换算成得分M的具体方案；（2）请根据上述约定和你写出的方案，计算甲、乙两人的每局得分，填入牌上的表格中，并从平均分的角度来判断谁投得更好．2．某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：方案1 所有评委所给分的平均数．方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3 所有评委所给分的中位数． 方案4 所有评委所给分的众数． 为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．3．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB DC = ②ABE DCE ∠=∠ ③AE DE = ④A D ∠=∠ 小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定BEC △是等腰三角形吗？说说你的理由； （2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使BEC △不能．．构成等腰三角形的概率．分数人数4．有两个不同形状的计算器（分别记为A，B）和与之匹配的保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．（1）若从计算器中随手取一个，再从保护盖中随手取一个，求恰好匹配的概率．（2）若从计算器和保护盖中任意取出两个，用树形图或表格，求恰好匹配的概率．A B a b5.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛. （1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率.6.有六张完全相同的卡片，分A,B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，√”，B组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1所示（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌面上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记的都是“√”的概率（请用“树形图法”或“列表法”求解（2）若把A,B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2所示，将卡片整么朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记.①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”求猜对的概率①②③7．某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中生进行了调查，依据相关数据绘制以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求样本容量及表格中a,b,c的值，并补全统计图；（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数；（3）○1根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；○2如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？8．为了了解甲、乙两同学对“字的个数”的估计能力，现场对他们进行了5次测试，测试方法是：拿出一张报纸，随意用笔画一个圈，让他们看了一眼后迅速说出圈内有多少个汉字．但不同的是：甲同学每次估计完字数后不告诉他圈内的实际字数，乙同学每次估计完字数后告诉他圈内的实际字数．根据甲、乙两同学5次估计情况可绘制统计图如下：（1）观察、分析上图，写出三条．．不同类型的正确结论；（2）若对甲、乙两同学进行第6次测试，①请你用统计知识分别预测他们估计字数的偏差率（从一个角度预测即可．．．．．．．．．）②若所圈出的实际字数为100，请根据①中预测的偏差率推算出他们估计的字数所在的范围．9．某市今年中考理、化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容.规定：每位考生必须在三个物理实验（用纸签A、B、C表示）和三个化学实验（用纸签D、E、F表示）中各抽取一个进行考试.小刚在看不到纸签的情况下，分别从中各随机抽取一个.（1）用“列表法”或“树状图法”表示所有可能出现的结果；（2）小刚抽到物理实验B和化学实验F（记作事件M）的概率是多少？10．经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：kg）：A：4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.25.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0B：4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.95.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3（（角度看，你认为推广哪种种植技术较好.11．如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．（1）求事件“转动一次，得到的数恰好是0”发生的概率；（2）写出此情境下一个．．不可能发生的事件；（3）用树状图或列表法，求事件“转动两次，第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等”发生的概率．Array12．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．（1）下列事件是必然事件的是（）．A．乙抽到一件礼物B．乙恰好抽到自己带来的礼物C．乙没有抽到自己带来的礼物D．只有乙抽到自己带来的礼物（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．13．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml 的矿泉水，会后对所发矿泉水的情况进行统计，大至可分为四种：A ．全部喝完；B ．喝剩约31；C ．喝剩约一半；D ．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中D 所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；（计算结果请保留整数）． （2）若开瓶不但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫．升．？ （3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60人，每次会议人数约在40至60人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml /瓶）约有多少瓶．？（可使用科学计算器）四．函数1.已知直线经过点（1，2）和点（3，0），求这条直线的解析式．2．如图，点A B C ，，的坐标分别为（0，1），（1-，0），（1，0），设点D 与A B C ，，三点构成平行四边形．（1）写出所有符合条件的点D 的坐标；（2）选择（1）中的一点D ，求直线BD 的解析式．3．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB 、OB 分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程．．．．．．．S （米）与所用时间t （分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）： （1）求点B 的坐标和AB 所在直线的函数关系式；（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？x（第21题）4. 如图，在平面直角坐标系中，Rt ∆PBD 的斜边PB 落在y 轴上，tan BPD ∠=21,延长BD 交x 轴于点C ，过点D 做DA ⊥x 轴，垂足为A ，OA=4，OB=3 （1）求点C 的坐标（2）若点D 在反比例函数y=）（0k xk 的图像上，求反比例函数的解析式5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数xky =(x >0)的图象和矩形ABCD 的第一象限，AD 平行于x 轴，且AB =2，AD =4，点A 的坐标为(2，6) ． （1）直接写出B 、C 、D 三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．6．已知抛物线y ＝－x 2＋b x ＋c 与x 轴的两个交点分别为A （m ，０），B （n ，０），且m ＋n ＝4，31=n m ．（1）求此抛物线的解析式；（2）设此抛物线与y 轴交点为C ，过C 作一条平行于x 轴的直线交抛物线于另一点P ，求△ACP 的面积S △ACP ．7、已知抛物线1)(2+--=m x y 与x 轴的交点为A 、B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C.(1)写出1=m 时与抛物线有关的三个正确结论;(2)当点B 在原点的右边,点C 在原点的下方时,是否存在△BOC 为等腰三角形的情形?若存在,求出m 的值；若不存在,请说明理由； （3）请你提出一个对任意的m 值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）.8．如图，已知经过原点的抛物线y＝－2x2＋4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m （m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，主说明理由；（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．9．已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是211y ax ax =--+，221y ax ax =--（其中a 为常数，且0a >）．（1）请写出三条．．与上述抛物线有关的不同类型的结论； （2）当12a =时，设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（M 在N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（E 在F 的左边），观察M N E F ，，，四点坐标，请写出一个．．你所得到的正确结论，并说明理由； （3）设上述两条抛物线相交于A B ，两点，直线12l l l ，，都垂直于x 轴，12l l ，分别经过A B ，两点，l 在直线12l l ，之间，且l 与两条抛物线分别交于C D ，两点，求线段CD 的最大值．11．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D .（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式.（第24题）12.将抛物线c1：y=2+x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.（1）请直接写出抛物线c2的表达式.（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.yxO备用图13．已知抛物线y n=-(x-a n)2+a n（n为正整数，且0<a1<a2<…<a n）与x轴的交点为A n-1（b n-1,0）和A n(b n，0)，当n=1时，第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（，）；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为（，）;所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是；（3）探究下列结论：①若用A n-1A n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出A n-1A n；②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．14.如图1，抛物线（a ＞0）的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高。