分数指数幂公开课教案
高一数学上 第二章 函数分数指数幂优秀教案
城东蜊市阳光实验学校分数指数幂 教学目的1.分数指数幂的概念2.有理指数幂的运算性质教学重点1．分数指数幂的概念2．有理指数幂的运算法那么教学难点对分数指数幂概念的理解教学方法发现法教具准备十张幻灯片教学过程教学过程一、复习二、分数指数幂1．导入)0()0()0(4824831243125102510>==>==>==a a a a a a a a a a a a⇒231254(0)(0)(0)a a b b c c =>=>=> 事实上，kn n k a a =)(假设设a>0,*),1(N n n nm k ∈>=，那么m n n m n k a a a ==)()( 由n 次根式定义,n a a m n m的是次方根，即：n m n ma a =2．正分数指数幂的意义 规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a a a n mn m且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
3．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂注：1．分数指数幂是根式的另一种表示形式2．根式与分数指数幂可以进展6互化3．根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进展三、例题讲解练习1x 取何值时以下各式有意义？解：(1)10,1x x -≥∴≤(2)10,1x x -≠∴≠例1．求值 解：323(2)(3)61(1)()(2)22644----⨯-==== 例2．化简0a >解：313224()a a ====例3．化简求值11223x x -+=，求3322123x x x x --++++的值。
解：111222()27x x x x --+=+-=练习2：1．化简答案：4(1)a 2233(2)2x y ---2．30,3,na a >=求33n nn n a a a a --++的值 答案：73四、小结1．)1n ,,0(>∈>=+，N n m a a a n m n m2．分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进展6互化根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进展3．化简：将根式化为分数指数幂；立方和、立方差、平方和、平方差公式的灵敏运用。
分数指数幂教学案例二
分数指数幂教学案例二。
一、教学目标
1.学生能够理解分数幂的定义和基本性质。
2.学生能够应用分数幂的知识解决实际问题。
3.学生能够设计并解决与分数幂相关的问题。
二、教学内容
分数幂的概念、定义和基本性质。
三、教学过程及活动设计
1.活动一：引入知识点
通过展示实际问题引入分数幂的概念，例如物理学中所涉及的功率和液体中的密度。
2.活动二：呈现知识点
用课件或黑板呈现分数幂的定义和基本性质，包括“a的m/n次方根等于a的m次方的n次方根”。
3.活动三：示范应用
通过实际的例子，呈现分数幂的应用方法，例如计算火箭的推力和水平抛射的距离。
4.活动四：小组合作
让学生分成几个小组，设计相关问题并解决这些问题。
例如，一组学生可以设计一道问题：“如果一个物体的密度为1.5克/立方厘米，物体的质量是多少？”其他学生可以使用分数幂的知识点来解决这个问题。
5.活动五：辅助工具
在教学过程中，可以使用一些辅助工具来帮助学生更好地理解分数幂的知识点，例如计算器和图形化的展示方式。
四、教学效果及评价
通过这些活动，学生能够更好地理解分数幂的定义和应用方法，同时也能够设计和解决相关问题。
此外，这种图形化和实例化的教学方法有利于帮助学生更好地记忆和理解知识点。
五、教学总结
分数幂是数学中比较复杂的一种知识点，初学者很难理解其基本概念和应用。
本教学案例以图形化、实例化的方式来帮助初学者更好
地掌握分数幂的知识点。
通过本教学案例，学生能够更好地理解分数幂的定义和应用方法，同时也能够设计和解决相关问题。
高中数学《分数指数幂》精品公开课教案
分数指数幂（教师叙述：同学们，这一节课我们来学习分数指数幂.这一节课的主要活动还是大家先自学，自己归纳出结论，老师再提示，希望同学们能集中精力，集中注意力，认真学习） （教师叙述：我们知道，有理数分为整数和分数，我们在初中的时候学习过整数指数幂，也学习了它的有关性质，这一节课我们来学习分数指数幂，来研究它的一些性质.我们这一节课的目的就是把指数幂从整数指数幂推广到有理数指数幂） 一、【学习目标】（约2分钟）（教师注意：这一节课还是主要是学生自我的讨论，最后自己总结归纳出结论，老师重要的是引导，而不是讲解）（自学引导：这一节课关键是理解、认知分数指数幂含义，做好预习是关键） 1、初步理解认知分数指数幂的含义；2、会利用分数指数幂的基本知识解决简单的计算推理问题；3、渗透从特殊到一般的数学归纳思想.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生明确任务，认真学习. 二、【自学内容和要求及自学过程】（约25分钟）（自学引导：通过整数指数幂逐步归纳出分数指数幂的运算性质）（教师注意：下面的学习过程是通过整数指数幂逐步的归纳出分数指数幂的过程，如果把握的好的话，那么整个课程将是行云流水一般的顺畅，要是把握不好就只能流于形式，这关键是老师的一个定力问题）阅读教材第50—51页内容，回答下列问题（约15分钟） <1>整数指数幂的运算性质是什么？ <2>观察以下式子,并总结出规律：(a ＞0) ①510a =552)(a =a 2=a510；②8a =24)(a =a 4=a 28；③412a=443)(a =a 3=a412；④210a=225)(a =a 5=a210.<3>利用<2>的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).<4>你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？<5>你能推广到一般的情形吗？ 结论：<1>整数指数幂的运算性质：a n=a ·a ·a ·…·a,a 0=1(a ≠0)；00无意义；a -n=n a1(a ≠0)；a m ·a n =a m+n ；（a m )n =a mn；(a n )m=a mn；(ab)n=a n b n；<2>①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根. 实质上①510a=a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）；<3>利用<2>的规律,435=543,357=735,57a =a 57,n mx =x nm<4>53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m的n 次方根是x nm ,结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.<5>如果a>0,那么a m的n 次方根可表示为na m=a n m ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).【综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义】规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).思考：<1>类比正数的正分数指数幂，正数的负分数指数幂的意义是什么？零的分数指数幂的意义是什么？<2>指数的概念从整数指数推广到了有理数指数后，有理数指数幂的运算性质是什么？结论：<1>正数的负分数指数幂的意义是 amn =mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1)；零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.<2>有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ),②(a r )s =a rs(a>0,r,s ∈Q ),③(a ·b)r=a r b r(a>0,b>0,r ∈Q ).(教师注意：这一部分学生可能会问到为什么要规定a>0。
必修一第二章教案2分数指数幂
课题：分数指数幂
授课时间：
教学目标
知识与技能
理解分数指数幂的概念。
过程与方法
让学生感受由特殊到一般的数学思想方法，通过一般化促进学生在原有的基础上的自足构建，从而增强学生对数学本质的认识。
情感，态度与价值观
让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。
重点难点
重点：利用正分数有理指数幂的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。
难点：正分数有理指数幂的运算性质。
教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体。
课题： 2.2.1分数指数幂教案
课题： 2.2.1分数指数幂教案备课时间 2007-9-27上课时间： 主备：薛加付 审核：贾永亮 姓名：____学习目标 ：1、理解n 次方根的意义，会运用根式的两组运算性质解决有关问题2、学习重难点：会运用根式的两组运算性质解决有关问题3、学习方法：通过练习促进理解应用〖 点拨·导学 〗 一 知识要点1.式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数。
2.当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们是 ，这时正数a 的正n 次方根用 表示，负的用 表示，0的任何次方根都是 ， 没有偶次方根。
3.规定正分数指数幂：=nma，负分数指数幂：=-nm a4.指数幂的性质（其中s,t ∈Q,a>0,b>0）=⋅t s a a ，=t s a )( ，=tab )(二、 例题例1 用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0） （1）a a2（2）a a （3）323aa ⋅例2 化简（1）53542156585)(b a b a ÷÷ （2）313373329a a a a ⋅÷-- （选）例3 计算625625++-例4 已知,32121=+-aa 求下列各式的值（1）1-+aa （2）22-+aa（3）21212323----aa aa （选）〖 体会·问题 〗〖 测试·反馈 〗 1. 求下列各式的值（1）2)5(=___________ （2）33)2(-=___________（3）44)2(-=___________ （4）2)3(π-=___________2.求值（1）21100=________ （2）328=__________（3）239- =__________ （4）43)811(-=__________（5）5.02120)01.0()412(2)532(-⋅+--3..计算 （选）〖 归纳·整理〗 1、理解概念2、既含有根式又含有分数指数幂的代数式，计算和化简的一般步骤是什么？ 作业：习题2.1 1、2、（1）、（3） 4、（3）、（4）。
分数指数幂市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
分数、指数和幂是数学中非常重要的概念。
掌握这些概念对于学生在数学学习中是至关重要的。
本教案将介绍如何教授分数、指数和幂的概念以及相关的计算方法。
一、教学目标通过本节课的教学，学生应能够：1. 了解分数、指数和幂的概念；2. 掌握分数的四则运算规则；3. 掌握指数和幂的基本性质和计算方法；4. 能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学准备1. 教材：《数学学习》第六册；2. 教具：课件、黑板、粉笔。
三、教学过程1. 导入（5分钟）老师简单介绍什么是分数、指数和幂的概念，以及它们在生活中的应用，激发学生对本节课的兴趣。
2. 分数（20分钟）（1）概念讲解：老师通过示例展示分数的定义和表示方法，并解释分子和分母的含义。
帮助学生理解分数的意义和基本性质。
（2）基本运算：接下来，老师介绍分数的加减乘除规则，并通过具体的例子进行讲解。
在讲解过程中，鼓励学生积极回答问题，加深对分数运算规则的理解。
3. 指数与幂（30分钟）（1）概念讲解：老师通过例子，引入指数和幂的定义和概念，帮助学生理解指数和幂的含义和基本性质。
（2）指数运算：老师重点讲解指数运算的基本规则和性质，包括指数相同、指数相加、指数相减的计算方法，并通过实例进行讲解和练习。
（3）幂运算：老师介绍幂运算的基本规则和性质，包括幂的乘方法则和幂的倒数法则，并通过例题和练习加深学生对幂运算的理解。
4. 实际应用（20分钟）老师提供一些与分数、指数和幂相关的实际问题，并指导学生如何应用所学知识解决这些问题。
通过解决实际问题，加深学生对所学知识的理解和掌握。
5. 总结（5分钟）老师对本节课的内容进行总结，并强调学生在日常学习中要多加练习，将所学知识应用到实际生活中。
四、作业布置布置相关的习题作为课后作业，巩固学生对分数、指数和幂的掌握程度。
以上是本节课的教案，通过有序的教学过程，学生应能够掌握分数、指数和幂的概念、运算规则以及应用方法。
希望本节课能够帮助学生在数学学习中取得更好的成绩。
精品获奖公开课教案 3 1分数指数幂(2)教案 苏教版必修1
3.1.1 分数指数幂（2）教学目标：1． 理解正数的分数指数幂的含义，了解正数的实数指数幂的意义；2． 掌握有理数指数幂的运算性质，会进行根式与分数指数幂的相互转化，灵活运用乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简．教学重点：分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简．教学难点：分数指数幂含义的理解；有理数指数幂的运算和化简．教学过程：一、情景设置1．复习回顾：说出下列各式的意义，并说出其结果（1= = （2= =（3）4=5= （4==2=25=24推广到一般情况有：（1）当m 22m =；（2）当m 为n 2m n=．表示成2s的形式，s 的最合适的数值是多少呢？ 二、数学建构1．正数的正分数指数幂的意义：m na = （ ） 2．正数的负分数指数幂的意义： mn a -= （ ）3．有理数指数幂的运算法则：t s a a ∙= ， ()ts a = ，()tab =三、数学应用 （一）例题：1．求值：（1）12100 ； （2）238 ；（3）329-（4）()3481-2．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中a ＞0）（1）2a （2）3a ；（3（4小结：有理数指数幂的运算性质．34．化简：（1（2）()222222223333x y x y x y xyxy--------+--≠+-．5．已知817,,2771a b =-=133327a a a b- （二）练习：化简下列各式： 1；2．()11122x x x x x --⎛⎫++- ⎪⎝⎭；3(a ＞0，b ＞0) 4．当18t =时，求131211333311111t t t t t t t t +--+-+++-的值 四、小结：1．分数指数幂的意义； 2．有理数指数幂的运算性质；3．整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用；4．指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂，同样可以推广到实数指数幂． 五、作业：课本P63习题3.1（1）2，4，5．2.2.1 圆的方程（1）教学目标：1．理解建系解决轨迹方程的求法；2．能根据已知条件求出圆的标准方程．教材分析及教材内容的定位：培养学生用坐标法研究几何问题的能力，增强学生用代数的方法解决几何问题的意识．圆的方程研究是基础，为后续研究位置关系作下铺垫．在高考考点要求中是C 级要求，是必考内容，也是高考当中的热点和重点，需要掌握基础题型，并有很好的计算能力，才能解决好本节问题，综合体现了新课标下高考的要求，是非常重要的一节内容．教学重点：根据已知条件求出圆的标准方程．教学难点：运用几何法和待定系数法求圆的标准方程．教学方法：3．讨论归纳：总结出圆的标准方程（222()()x a y b r -+-=），并推广到一 般性的轨迹求法(建系，设点，列方程，化简)．三、建构数学1．引导学生回顾知识，对于垂径定理要突出介绍，对以后的解题有很大帮 助，为以后作铺垫；2．推导圆的方程并总结步骤，在推导中明确指出解析法在解决几何问题中的作用，充分体现平面解析几何的主旨，让学生形成一种意识，几何问题可以用计算来解决，而有些代数问题，又可以用图形来直观体现，让学生深刻体会数形结合思想的重要性；3．运用圆的方程解决例题，例题主要是给出相关条件求圆的标准方程，在 解决这类问题时有两种思路：（1）几何法，利用平面几何知识来确定圆心和半径；（2）待定系数法，设圆的标准方程，通过已知建立方程组，解方程组． 四、数学运用 1．例题．例1 求圆心是C (2，－3)，且经过坐标原点和圆的标准方程．例2 已知两点A (6，9)和B (6，3)，求以AB 为直径的圆的标准方程，并且 判断点M (9，6)，N (3，3)，Q (5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？例3 已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行 驶，一辆宽为2. 7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？2．练习．求满足下列条件的圆的标准．．方程： （1）经过点(0，4)，(4，6)，且圆心在直线x －2y －2＝0上； （2）与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x －3y ＋5＝0上；。
《分数指数幂》教学设计
教学设计：《分数指数幂》教学目标〖知识与技能〗（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
（2） 会对根式、分数指数幂进行互化。
（3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。
教学情景设计1、复习讨论（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：a a a a n⨯⨯⨯= 运算性质：n n n mn n m nm nmb a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。
2、问题情境设疑问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…… 21，2)21(，3)21(，……是正整数指数幂。
当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(。
设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？ 分析：66236263332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？3、分数指数幂 实例引入：5102552510)(a a a a===，4123443412)(a a a a===问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a nm分析：)1,,,0(1*00>∈>===--n N n m a a aa a anmnm nm nm如：3434515=-，)0(13232>=-a aa。
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《分数指数幂》教学设计
陈炜明(2013/3/5公开课)
一、教学目标：
知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。
通过具体实例了解实数指数幂的意义。
过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。
情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。
二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质
三、教学难点：分数指数幂的概念
四、教学过程：
【问题情境】
里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。
它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。
假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则
（1）第3级地震所释放的能量为多少？
31.6227
答：3
（2）第x级地震所释放的能量为多少？
y
答：31.6227x
（3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？
教师举例
引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？
（此时教师在黑板上画出函数2,x y x Z =∈的图像辅助说明该问题的提出）
【温故知新】
问题一：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运
算都有哪些运算性质？
答：m 个a 相乘。
,
,(,0)(),
()m n m n m
m n n m n mn m m m
a a a a a m n a a
a a a
b a b +-==>≠== （此处板书） 在这里,m n 均为正整数。
问题二：若在计算m n a -时，遇到m n =时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？
若m n <呢？
答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到
01a =(0)a ≠。
同理，可以对负分数指数幂进行规定。
小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。
在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。
（对刚刚运算性质的板书修改）。
问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？
答：引入负指数幂可以使我们对许多数学问题书写方便，计算简单。
（可口头举几个简单的例子）
【意义建构】
问题四：类似上面的推广，当把整数指数幂推广到分数指数幂的时候，你想保留什么性质不变？用具体的例子试一试。
1
11112222a a a a a +⨯===
a =
12a =
1
111111333333a
a a a a a ++⨯⨯===
a =
1
3a =一般地，1
_____n a =（形式上的认为）
同理
2
222222333333a a a a
a ++⨯⨯== 2
323()a a =
2
3a = 一般地，______m
n a =（形式上的认为）
【数学理论】
假设指数运算律“()(,)k n kn
a a k n Z =∈”对分数指数幂运算也适用。
令m k n =，*()n N ∈，那么()()m m
n k n n m n n a a a a ===，由n 次方根的定义，就可以把m n a 看成m a 的n
次方根，即m n a
=一般地，我们规定
m
n a =0,,a m n >均为正整数）
仿照负整数指数幂的意义，我们规定
1
m
n m
n a a -=（0,,a m n >均为正整数）
问题五：分数指数幂的意义中，为什么规定0a >，去掉这个规定会产生什么后果？ （可先举具体的例子让学生感知）
答：根式与分数指数幂既有联系，又有区别。
分数指数幂的实质是根式。
只要根式有意义，不论a 为何值，都可以写成分数指数幂的形式。
但是要注意的此时指数m n
是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数，不能参与约分，通分等运算。
当0a >时，对指数
m n
进行约分，通分等运算的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果一致。
此时m n 与传统意义上的分数作用效果是相同的。
这时把指数m n 看作普通分数是合理的。
注：绝大部分根式计算，尤其是只有乘除，乘方，开放的根式运算，化为分数指数幂按幂的运算法则去计算要简便的多。
有了分数指数幂的意义以后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数，对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变。
【数学运用】
例1求下列各式的值
（1）
1
2
100（2）
2
3
8（3）
3
2
9-（4）
3
4
1
()
81
-
例2用分数指数幂的形式表示下列各式（0
a>）
（1）a（2
【反思与提升】
1．分数指数幂是根式的另一种写法。
2．熟练掌握有理数指数幂的运算法则，它是化简的基础。
3．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算。
4．分数指数幂和整数指数幂的运算性质是一致的。
5．继续推广到实数指数幂（P61）。
【练习与作业】
课本P62 2,3,4,5
创新课时训练P35-36 数学之友P29-30。