证明等积式的等量代换法
等量代换的概念
等量代换的概念
等量代换的定义:用一种量(或一种量的一部分)来代替和它相等的另一种量(或另一种量的一部分)。
"等量代换"是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础，狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性:如果a=b,b=c,那么a=c。
真正使用到的等量代换为:∀f(a=b∧f(a)→f(b))，其中f是合式公式广义的等量代换举例来说就是:"如果李四是张三的同义词，张三是人，那么李四是人"。
这个数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础，是一个非常重要的知识点，甚至到了大学都会使用。
初中数学常用的10种解题方法及业务学习材料
初中数学常用的 10 种解题方法第一次数学的解题方法是跟着对数学对象的研究的深入而发展起来的。
教师研究习题、精晓解题方法，能够促使教师进一步娴熟地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提升解题技巧，累积教课资料，提升业务水平易教课能力。
下边介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教课大纲领求掌握的。
1、换元法换元法是数学中一个特别重要并且应用十分宽泛的解题方法。
我们往常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去取代原式的一个部分或改造本来的式子，使它简化，使问题易于解决。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起侧重要的作用。
因式分解的方法有很多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还犹如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不单可用于计算面积，并且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的成效。
运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用概括法或剖析法证明平面几何题，其困难在添置协助线。
面积法的特色是把已知和未知各量用面积公式联系起来，经过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变为数目之间的关系，只需要计算，有时能够不添置补贴线，即便需要添置协助线，也很简单考虑到。
4、鉴别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a、b、 c 属于 R，a≠0）根的鉴别，△=b2-4ac ，不单用来判断根的性质，并且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程 ( 组 ) ，解不等式，研究函数以致几何、三角运算中都有特别宽泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有特别宽泛的应用。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
相似三角形之中间比(九年级下册湘教版)
C
又AD//BC ∴△BFC∽△DFG CF BF ∴
GF DF CF EF ∴ GF CF
∴CF2=GF· EF
第三环节——总结反思
畅谈本节课你在合作学习中收获了什么？ 遇等积，化比例，横找竖找定相似； 不相似，不用急，等线等比来代替。
【课后练习】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直 平分线段AD. 求证： FD2 FC FB
第二环节——合作探究
【问题1】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， CE//AB，求证：BF 2 FG FE A
证明：∵在△ABC中,AB=AC, AD⊥BC ∴ ∠BAD=∠CAD(三线合一) ∵ AF=AF ∴△ABF≌△ACF ∴∠ABF=∠ACF BF=CF ∵ CE//AB ∴∠ABF=∠E ∴ ∠E=∠DCA ∴∠ACF=∠E ∠CFE=∠GCF ∴△GCF∽△CEF ∴CF2=FG· FE ∵ BF=CF ∴BF2=FG· EF
∴AC2=AD· AB
【阅读感悟】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC， BE//CD.求证：OC2=OA· OE
E
A
O B
D
证明：∵在等腰梯形ABCD中 ∴ AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=CB ∴△ABC≌△DCB ∴∠DBC=∠ACB ∴ OB=OC ∠ABD=∠DCA ∵ BE//CD ∴ ∠E=∠DCA ∴∠ABD=∠E C ∠BOE=∠AOB ∴△BEO∽△ABO ∴OB2=OA· OE ∵ OB=OC ∴OC2=OA· OE
比例式（等积式）中的等量代换
——————专题学习
邵东实验学校九年级级数学组（2013）
第一环节——自主做学
如图已知：D是△ABC的边AB上的点,且 ∠ADC＝∠ACB． 求证： AC2＝AD· AB． A D B
初中数学常用解题方法(10种)
初中数学常用解题方法数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。
教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
比例式、等积式及其相关几何式的证明
． ．
经 检 验 ： ＝ ３ Ｘ ＝ 一７是 原 方 程 的 根 ． ，２
１ 巧 夹 遏 ２
即 面 南 １ ９ ÷解 ４ ， 得击 告
＝ ２或 ＝ ３或 ４
例 １ ２ （ 四届 “ 望 杯 ”韧 中 数 学 邀 请 赛 题 ） 第 希
Ｄ Ａ
思 考
将 求 证 式
圈 １
写 丽＝ ．按 向 成Ｂ 篙可 竖 Ａ
寻 找 相 似 三 角 形 ， 证
△Ａ ＢＥ — Ａ ＡＦＣ；也 可
ｒ １
横 向 寻 找 相 似 三 角 形
证 △ ＡＢＦ △Ａ ． ＥＣ
图 ３
图 ４
例２
如 图 ２，Ｄ是 ＾
例 ４ 在 ＡＡ Ｃ中 ， Ｂ
思 考 由 求 证 式 中 线 段 的 图 形 特 征 ， 证 占、 可 Ｂ、 Ｃ、 四 点 共 圆 ， 由 切 割 线 定 理 证 得 结 论 也 可 将 求 Ｆ 再
证 写 筹＝ 按 比 式 竖 证ＡＥ 式 成 ，该 倒 的 向 Ａ Ｆ
△ ＾Ｃ嚣
的 比铡线 段 ， 其 它 能 给 出 比倒 式 或 等 积式 的 定 理 或
数 解
趣 和解 题能 力 ， 高 他们 的 素质 提
比 例 式 、 积 式 及 其 相 关 几 何 式 的 证 明 等
李 新 卫
（ 肃省静 宁 县成 纪 中学 甘 ７３ ０ ４ ４ ９）
有 关 比 例 式 、 积 式 的 证 明 ． 平 面几 何 的 常 见 等 是 题 型 ． 文 举 倒 给 出 解 决 这 类 问 题 及 与 之 相 关 的 几 本 何 式 的思 考方 法 ． １ 基 本 比 例 式 与 等 职 式 的 证 明 思 路 １ 直 接 寻 找 相 似 三 角 形 或 被 平 行 线 分 戚
等量代换解题技巧
等量代换解题技巧在各类数学题目中，有一种通用解题方法，即等量代换。
它是通过将未知量使用等值替代的方法，将题目中的式子变形求解，达到解题的目的。
这种方法可以适用于各种数学问题的解题中，有很高的实用价值。
本文将讲解等量代换解题技巧。
一、定义等量代换是指用等式中一个量的代换，把式子变为新的形式，但式子的值不变。
等量代换的前提条件是等式的两边经过变形后，它们仍然相等。
例如，若有一个等式: 2x+1=5，则这个等式可以进行等量代换。
我们将2x+1中的2x替换成y，则方程变为：y+1=5, 其中，y=2x。
这样将原有的未知量进行了等值替代，达到了解题的目的。
二、等量代换的基本步骤等量代换需要涉及到一些基本的代数运算，下面将简要介绍等量代换的基本步骤：1. 确定要代换的未知量。
2. 根据代入值进行等式变形。
3. 将新的等式带入原题，验证是否符合要求。
举个例子，若要解方程式6x+10=28，则可以使用等量代换法进行解题。
首先，确定要代入的未知量为y，则 y=3x+5(将6x替换成y）。
进一步变形：3x+5=9,则3x=4, x=4/3.将这个值代入原式，6x+10=28，若x=4/3，则6(4/3)+10= 28，符合要求。
因此，我们得到解:x=4/3。
三、应用等量代换法是一种基础的解题方法，可以应用到各种数学问题的解决中。
例如，在有关几何问题中，常使用等量代换法来解决各种求解面积和周长的问题。
比如，求解一个三角形的面积，我们可以计算出其底边和高，并代入求解公式，最终解出面积值。
在一些实际应用问题中，等量代换也有着广泛的应用。
比如，我们要在一段规定长度的绳子中切割出多段相同长度的绳子，我们就可以使用等量代换法来解决问题。
总之，等量代换法是一种简单而实用的解决问题的方法，在学习和研究数学的过程中，我们应该注意学习和掌握这种方法。
初中数学题型经典解题方法汇总
初中数学题型经典解题方法汇总初中数学题型经典解题方法汇总一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题目的所求。
2、特殊值法：(特殊值淘汰法)有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关;在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略;每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
二、常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查;这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
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证明等积式的等量代换法
姓名
一.等线代换
例1.（1997年吉林）已知，如图，⊿ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点F是AD 上一点，过C点作C G∥AB交BF的延长线于点G,BG交AG于点E.求证：BF2=FE·FG
二.等比代换
中，点E是AD延长线上一点，连结BE交AC于点F，交例2. 已知，如图，在ABCD
CD于点G。
求证：FB2=F G·FE
三.等积代换
例3.已知，如图，A D、BE是⊿ABC的高线，D F⊥AB,垂足为F，A C、FD的延长线交于H，
B E、FD的交点为G。
求证:FD2=F H·FG
练习：
1.（1997年河北）已知，如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P,
点E 为⊙O 上一点， AE AC ,DE 交AB 于点F 。
求证：P F ·PO=PA ·PB
2.(1997年重庆改编)已知，如图，⊿PCD 是等边三角形，∠APB=1200,
求证:CD 2=AC ·BD
3.(1997年南京)已知：如图，在⊿ABC 的外接圆中，D 是 BC
的中点，AD 交BC 于点E ， ∠ABC 的平分线交AD 于点F 。
(1) 若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并逐一写出；
（2）求证：FD 2=AD ·ED
4.(1999年内蒙古)如图，已知⊿ABC的∠BAC平分线AD的中垂线(垂直平分线)交BC的延长线于F. 求证:FD2=FB·FC。