自动控制原理5
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
自动控制原理第5章(5)
六、已知系统开环传递函
k ( s + 2) G ( s) = 2 s ( s + 20)
1. 试求相角裕度γ=45o时的k值 2. 在1.的基础上在对数坐标系中绘制一条 开环对数幅频渐近曲线L(ω)； 3. 用频域稳定判据判断闭环系统稳定性。 ωc=2.6时k=41.56, ωc=15.4时k=385.49 系统稳定
三、某单位反馈系统，开环传递函数为
20k G ( s) = s ( s 2 + s + 10)
1).由奈氏判据判断使系统稳定的k值范围。 2).求幅值裕度h=20时系统的相角裕度γ 。
(1)0 < k < 1 / 2 (2) wc = 0.05, γ = 89.7°
四、已知单位反馈系统的开环传递函数为 9 ，要求：
3.系统的带宽(0~wb) 带宽频率定义为系统闭环幅频特性衰减 到0.707M(0)时所对应的频率，通常用 wb表示。 频率从0到wb的频率范围，称为系统的 带宽，带宽的大小，即带宽频率wb的高 低，反映了系统的快速性和复现输入信号 的能力。
若记 φ ( jω )为系统闭环频率特性曲线， 则有：当ω > ωb 时，
20 lg φ ( jω ) < 20 lg φ ( jo ) − 3 ( dB )
例如，对一阶系统，按定义应该满足 ：
20lg φ ( jωb ) = 20lg 1 1 + T 2ωb 2 1 = 20lg 2
1 可求得带宽为 ω b = T 性。
，系统具有低通特
又例如，典型二阶系统： 由带宽定义得：
G (s) =
s ( s + 3)
2
1.绘制 G(s)的幅相曲线G(jw)，并用奈奎斯特 稳定判据判断系统的稳定性。 2.在对数坐标纸上绘制对数幅频渐近线L(w)。 3.求系统的相角裕度γ和幅值裕度h。 4.求输入r(t)=cost时的稳态输出Css(t)。
自动控制原理第5章-频域分析
（4）频率特性主要适用于线性定常系统，也可以有条件 地推广应用到非线性系统中。
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
自动控制原理第五章
•表5-1 RC网络的幅频特性和相频特性数据
A( )
( )
0 1 0
1 0.707
45
2 0.45
5 0.196
0
63.4 78.69 90
图5-2 RC网络的幅频和相频特性
图5-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包 括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线， 其中，幅频特性曲线可以表示一个线性系 统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态 增益；而相频特性曲线则可以表示一个线 性系统或环节对不同频率正弦输入信号的 相位差。对数频率特性图通常绘制在半对 数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
图5-20控制系统结构图
将系统的开环频率特性函数按典型环节划分， 可以分解为： ( j 1) ( ( j ) 2 ( j ) 1) k
m1 m2
G ( j ) H ( j )
k
2 l
2
l l
( j )
0
k 1 n1
( i s 1) ( 2 ( j ) 2 2 j j ( j ) 1) j
图5-19 Ⅱ型三阶系统幅相频率特性图
讨论更一般的情况，对于如图5-20所示的闭 环控制系统结构图，其开环传递函数为 G( s) H ( s) ，可以把系统的开环频率特性写作如 下的极坐标形式或直角坐标形式：
G( j)H ( j) G( j)H ( j) e j () P() jQ()
•图5-6积分环节频率特性的极坐标图
在伯德图上，积分环节的对数频率特性为
L( ) lg A( ) lg G( j ) lg ( ) 2
图5-7积分环节的伯德图
自动控制原理第5章频率特性
自动控制原理第5章频率特性频率特性是指系统对输入信号频率的响应特点。
在自动控制系统设计中，了解和分析系统的频率特性是非常重要的，因为它可以帮助工程师评估系统的稳定性，性能和稳定裕度。
本章主要介绍频率特性的相关概念和分析方法，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性、对数坐标图等。
1.频率响应函数频率响应函数是描述系统在不同频率下的输出和输入之间的关系的函数。
在连续时间系统中，频率响应函数可以表示为H(jω)，其中j是虚数单位，ω是频率。
频率响应函数通常是复数形式，它包含了系统的振幅和相位信息。
2.频率幅频特性频率幅频特性是频率响应函数的模的图形表示，通常用于表示系统的增益特性。
频率幅频特性通常用对数坐标图绘制，以便更好地显示系统在不同频率下的增益特性。
对数坐标图上，增益通常以分贝（dB）为单位表示。
3.相频特性相频特性是频率响应函数的相角的图形表示，通常用于表示系统的相位特性。
相频特性可以让我们了解系统对输入信号的相位延迟或提前情况。
在相频特性图上，频率通常是以对数坐标表示的。
4. Bode图Bode图是频率幅频特性和相频特性的综合图形表示。
它将频率幅频特性和相频特性分别绘制在纵轴和横轴上，因此可以直观地了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
5.系统的稳定性分析频率特性可以帮助工程师判断系统的稳定性。
在Bode图上，当系统的相位角趋近于-180度，且增益在此处为0dB时，系统即将变得不稳定。
对于闭环控制系统，我们希望系统在特定频率范围内保持稳定，以便实现良好的控制性能。
6.频率特性的设计频率特性的设计是自动控制系统设计中的一个重要任务。
工程师需要根据系统对不同频率下的增益和相位的要求，设计出合适的控制器。
常见的设计方法包括校正器设计、分频补偿、频率域设计等。
总结：本章重点介绍了自动控制系统的频率特性，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性和Bode图。
频率特性的分析和设计对于掌握自动控制系统的稳定性、性能和稳定裕度非常重要。
自动控制原理 第五章 频率法
频率特性
在稳态下输出：e2 = E2Sin(wt +υ ) 仍是正弦信号, 频率不变, 幅值和相角发生变化. 变化与w有关. 1/jwC 1 写成矢量形式：e2 = ————— e1 = ———— e1 R + 1/jwC 1+jwRC e2 1
-— = ———— e1 1+jwRC
与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关
自动控制原理
蒋大明
幅相特性与传递函数之间的关系
输出输入的振幅比（幅频特性）： A(w) = Ac/Ar = | G(jw)| = G(S) | 输出输入的相位差（相频特性）： υ (w) = υ - 0 =∠G(jw) =∠G(S) | 所以：G(jw) = G(S)|S=jw 频率特性 传递函数 证毕
自动控制原理
蒋大明
一阶不稳定环节
一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所 不同，是在-180至-90范围内变化.
L ( )
0 -20
1
10
(a )
( )
0o
90o
(b)
180o
图5-20 一阶不稳定环节 的对数频率特性
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
传递函数： G(S) = e-τ
S
幅相频率特性：
G(jw) = e-jτ
A(w) = 1 υ (w) = -τ w
w
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
对数频率特性： L(w) = 20 lg A(w) = 20lg 1 = 0 υ (w) = -τ w
（横坐标对数分度，曲线）
自动控制原理
蒋大明
第三节
1.
《自动控制原理》第5章习题答案
jω
期望极点
期望极点
− p3
j
600
j0.58
− p2
-1
− p1
0 -j
-3
-2
σ
-2
19.150 -1
40.880 0.33 0
119.640
校核相角条件： 根据在图中主导极点位置的近似值－0.33 ± j 0.58 和开环极点的位置， 作由各开环极点到期望主导极点的向量，
Φ = －119.640 －40.880 －19.150 = －179.670≈－1800
− p2
-10 -5
− p1
0
σ
②计算期望主导极点位置。
超调量σ％ ≤ 20％，调整时间 ts ≤ 0.5s
4
ζω n
= 0.5s ， ζω n = 8
σ%=e
−
ζπ
1−ζ 2
= 0.2 ， ζ = 0.45 ， θ = 63.2 0
故，期望主导极点位置， s1, 2 = −8 ± j15.8
期望极点
Gc ( s ) =
4，控制系统的结构如图 T5.3 所示，Gc(s)为校正装置传递函数，用根轨迹法设计校正装置，
使校正后的系统满足如下要求，速度误差系数 Kv ≥ 20，闭环主导极点 ω n = 4 ，阻尼系数 保持不变。
R(s)
+ -
Gc(s)
4 s ( s + 2)
Y(s)
图 T5.3
解：①校核原系统。
14
+20
0dB
1
Φ (ω ) 度
900 00
5
ω rad/s
ω rad/s
2，控制系统的结构如图 T5.1 所示，试选择控制器 Gc(s)， 使系统对阶跃响应输入的超调量
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• 4、系统动态结构图的建立 • 其方法步骤如下： • （1）建立系统各元部件（或典型环节）的 微分方程。 • （2）对各微分方程进行拉氏变换，并做出 各元部件的动态结构图（方块图）。或者 d 用S 算子符代替 dt即将微分方程中的微分符 d2 d 2 , 号 dt dt 2 用算子符 S, s , 代替，并将 时域的变量均换成相应的复域中拉氏变换 后的符号，经简单运算可得到各元件的传 递函数，并填写在对应的方块内。
• 对上式进行拉氏变换，得
1 U r ( s) U c ( s) RI ( s) I ( s) [U r ( s) U c ( s)] R 1 I ( s) CsU c ( s) U c ( s) I ( s) Cs
• 绘制上式各子方程的方块图
三、结构图的等效变换
• （3）按照系统中各信号的传递顺序，依次于左端，输出变量（即被控量）于 右端，便得到系统的动态结构图. • 二、结构图的建立 • 如 RC网络的微分方程
u r (t ) Ri(t ) u c (t ) duc (t ) i (t ) C dt
四、结构图变换示例
• 变换步骤及需要注意的问题： • 1．确定输入量与输出量。如作用在系统上的输入量有多 个（可以分别作用在系统的不同部位），则必须分别对每 个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。 • 2．若结构图中有交叉联系，应运用移动法则，首先将交 叉消除。注意，一般情况下，应使比较点向比较点一方移 动，引出点向引出点一方移动。避免比较点向引出点一方 移动，否则将使问题变得更复杂。 • 3．对多回路结构，可由里向外进行变换，逐个减少内回 路，直到变成一个等效的方块，即得到所求的传递函数。
• 此结构有以下特性： • （1）结构图是线图方式的数学模型，可以用来描 述控制系统的系统结构关系。 • （2）结构图上可以表示出系统的一些中间变量或 者系统的内部信息。（3）结构图与代数方程组等 价。因此可以通过结构图化简的方法消去中间变 量，化简代数方程组，将结构图化为最简方块， 即一个方块，来求得控制系统的传递函数。 • 3、动态结构图的特点 • （1）动态结构图形象、直观、便于研究系统的动 态性能。 • （2）同一系统可画出不同的动态结构图，即结构 图不是惟一的。但得到的结果——系统的传递函 数是惟一的。
• 结构图化简需要遵守一定的基本原则，也 就是要保证化简前后的代数等价关系不变。 • （1）化简前后，前向通路传递函数的乘积 不变。 • （2）化简前后，回路传递函数的乘积不变。 • 等效变换法则： • （1）环节串联 • （2）环节并联
• • • • • • • •
（3）反馈回路化简 （4）相加点移动（又称为比较点移动） 比较点前移“加倒数 “ 比较点后移“加本身”。 （5）分支点移动（又称为引出点移动法则） 引出点前移“加本身” 引出点后移“加倒数” （6）相邻的比较点之间可以随意调换位置，也可 综合为一个比较点。相邻的引出点之间也可互相 调换位置。 • （7）相邻的比较点和引出点之间可以调换位置.
例2-5 求图2-29所示系统的闭环传递函数 C
R
• 总结：本节重点讲解了动态结构图的定义、 组成，动态结构图的特点及等效变换，讲 解了用梅森公式求系统的传递函数。 • 作业：2-3。
• 例题2-3
• 例题2-4
四、用梅森（Mason）公式求传递 函数
• 梅森公式为：
(s)
k 1
n
pk k
• 利用梅森公式求传递函数的注意事项： n 条前向通道是指从输入信号至输出信 • （1） 号前向通道的总数，不要漏掉，不要重复， 也不要错划。注意信号传递的单向性。 • （2）单独回路数和互不接触回路数不要漏 掉，也不要重复。 k 和 应计算无误。 • （3）反馈的极性应体现在回路传输的正负 上，一定要注意符号。
第五讲
复习、引入新课
• • • • • • 1、传递函数的概念及定义 2、求取系统传递函数的假设： （1）系统不带负载，即在系统的输出端不吸收能量。 （2）假设系统的参数为线性集中常数。 3、求取的方法与步骤： （1）首先确定系统的输出信号（被控量等）和输入信号 （如给定值、干扰等）。 • （2）把系统分成若干个典型环节，求出各环节的传递函 数，填写在方框内。用信号线把这些方框连接起来，得到 系统的动态结构图。 • （3）对动态结构图进行变换，得到所要求的传递函数。 • 4、传递函数零极点的概念。
2-3 动态结构图及其等效变换
• 一、动态结构图 • 1、定义： • 动态结构图又称为方块图。是图形化的数学模型，它是一 种系统输入和输出之间因果关系的简略图示法，表示了系 统输出、输入信号之间的动态传递关系。 • 2、组成要素： • 它是一种网络拓扑约束下的有向线图，由以下几部分构成： • （1）以传递函数来描述信号输入输出关系的传输方块。 • （2）标有信号流通方向的信号输入输出通路。（包括前 向通道和反馈通道） • （3）信号的分离点和会合点。（包括引出点和比较点）