自动控制原理第5章(5)

六、已知系统开环传递函
k ( s + 2) G ( s) = 2 s ( s + 20)
1. 试求相角裕度γ=45o时的k值 2. 在1.的基础上在对数坐标系中绘制一条 开环对数幅频渐近曲线L(ω)； 3. 用频域稳定判据判断闭环系统稳定性。 ωc=2.6时k=41.56, ωc=15.4时k=385.49 系统稳定
三、某单位反馈系统，开环传递函数为
20k G ( s) = s ( s 2 + s + 10)
1).由奈氏判据判断使系统稳定的k值范围。 2).求幅值裕度h=20时系统的相角裕度γ 。
(1)0 < k < 1 / 2 (2) wc = 0.05, γ = 89.7°
四、已知单位反馈系统的开环传递函数为 9 ，要求：
3.系统的带宽(0~wb) 带宽频率定义为系统闭环幅频特性衰减 到0.707M(0)时所对应的频率，通常用 wb表示。 频率从0到wb的频率范围，称为系统的 带宽，带宽的大小，即带宽频率wb的高 低，反映了系统的快速性和复现输入信号 的能力。
若记 φ ( jω )为系统闭环频率特性曲线， 则有：当ω > ωb 时，
20 lg φ ( jω ) < 20 lg φ ( jo ) − 3 ( dB )
例如，对一阶系统，按定义应该满足 ：
20lg φ ( jωb ) = 20lg 1 1 + T 2ωb 2 1 = 20lg 2
1 可求得带宽为 ω b = T 性。
，系统具有低通特
又例如，典型二阶系统： 由带宽定义得：
G (s) =
s ( s + 3)
2
1.绘制 G(s)的幅相曲线G(jw)，并用奈奎斯特 稳定判据判断系统的稳定性。 2.在对数坐标纸上绘制对数幅频渐近线L(w)。 3.求系统的相角裕度γ和幅值裕度h。 4.求输入r(t)=cost时的稳态输出Css(t)。
3.wc = 1, γ = 53.1°; wx = 3, 20 lg h = 15.56db 9 4.css (t ) = cos(t + 69.4°) 73
kG0 ( s ) C (s) = ν R ( s ) s + kG0 ( s )
当ν=0，闭环幅频特性的零频率值
kG 0 ( jw ) k M ( 0 ) = lim = <1 w → 0 ( jw ) ν + kG ( jw ) 1+ k 0
当ν>=1时，
kG 0 ( jw ) =1 M ( 0 ) = lim ν w → 0 ( jw ) + kG 0 ( jw )
五、系统的结构如图所示： R(s) G (s ) τs +1 10 G (s) = 2 s (2 s + 1)
C(s)
1.绘制τ=0时的开环幅相曲线，并用奈氏稳 定判据判断系统的稳定性。 2.τ>0，若使截止频率wc为4，问能否满足 相角裕度γ>=20度的要求。 3.讨论参数对系统稳定性的影响。
2.τ = 3.2, γ = 2.66° 不满足要求
将wb/wn与ξ,wntp与ξ的关 系同时画在一张图
由图可见：wb /wn和wntp随ξ的变化趋 势相反。 若wn一定，则wb愈大，ξ愈小，tp愈 小， wr愈高，系统的反应速度愈快。但从抑 制噪声角度来说，带宽不宜过大。
希望：在频率域方法和时间域方法之间 建立直接、准确的联系。
在欠阻尼二阶系统中，我们能做到这一 点，但在一般情况下，只能求助于经验公式。
二.二阶系统的频域指标与时域指标的关系
当 0 < ξ < 0.707 时，我们可绘制二阶系统 的闭环幅频特性曲线M(w)
1.闭环幅频曲线的零频率值M(0) 设单位反馈系统的开环传递函数为
k G ( s ) = ν G0 ( s ), lim G0 ( s ) = 1 s →0 s
则闭环传递函数为
M
r
= M (ω r ) =
1 2ξ 1− ξ
2
谐振频率为：
ω r = ω n 1 − 2ξ
2
二阶系统的超调量（时域指标）
σ% = e
还可得到
−πξ 1−ξ 2
× 100%
σ%
与Mr的关系式：
σ % = exp(−π
M r − M −1
2 r
M r + M −1
2 r
) × 100%
将Mr与ξ的关系曲线以 及 σ 与ξ的曲线同时画在 一张图上，可以看出， σ 与Mr均随ξ的减小而 增大。因此，对同一系 统，在时域里的 σ 大， 反映在频域里的Mr也大, 反之亦然。 谐振峰值Mr是度量系 统振荡程度的一项频域指 标。
∴闭环幅频特性的零频率值表征了系统的 类型。 当M(0)<1时，系统为0型系统. 当M(0)=1时，系统为Ⅰ型以上的系统。
2、谐振峰值 M r 和谐振频率 ω r
谐振峰值是指闭环系统幅频响应的最大幅值，出现 该最大值的对应频率就称为谐振峰值。 对欠阻尼二阶系统而言，其幅频特性曲线，在 0 < ξ < 0.707 时 ， 会 在 需 要 修 正 的 中 频 段 出 现 一 个 尖 峰，可以求得，该峰值为：
ω n2 φ (s) = 2 S + 2ξω n s + ω n2
2
1 2
ω b2 2 ω b2 (1 − 2 ) + 4ξ 2 2 = ωn ωn
于是有：
ωb = ωn ⎡(1 − 2ξ 2 ) + (1 − 2ξ 2 )2 + 1⎤
tp =
π
wd
=
π π
1− ξ
2
⎣
⎦
wn 1 − ξ 2
∴ wnt p =
ωc = ωn
2ξ 1 + 4ξ − 2ξ
4
1+ 4ξ 4 − 2ξ 2
2
γ = 180 + G ( jωc ) = arctan
相角裕度
ξ ≈ 0.01γ
ξ
30 ≤ γ ≤ 70
σ %, ts
作业
5-3，5-4，5-6，5-7，5-9(2)(3)， 5-10，5-12，5-13，5-14，5-15， 5-16，5-17
对欠阻尼二阶系统而言， 其开环频域指标截止频 率、相角裕度也都能准确建立起与时域参数 ξ 和 ω n 的 关系，如： ω n2 G ( jω ) = jω ( jω + 2 ξ ω n )
=
ω n2 ω ω 2 + 4 ξ 2 ω n2
ω − 9 0 − a rc ta n 2ξ ω n
G
(
jω c ) = 1
wn φ（jw） = = 2 2 ( jw) + 2ξwn ( jw) + wn = M ( w)e jα ( w)
M ( w) =
2 n
1
w 2 w 1 − ( ) + j 2ξ wn wn
1
则幅频特性：
w2 2 w 2 (1 − 2 ) + (2ξ ) wn wn
2ξ w / w n 相频特性： α （ w ） − arctg = 2 2 1 − w / wn
5.6 闭环系统频域性能指标
通常采用的开环频率特性特征量有： 开环增益K，相角裕度γ，截止 频率wc等。 常采用的闭环频率特性特征量有： 谐振峰值Mr ,谐振频率wr 和带宽 频率wb等。 这些特征量通常又称为频域指标。源自一.典型二阶系统的闭环频率特性
w φ（s） 2 = 2 s + 2ξwn s + wn 二阶系统(振荡环节)的闭环频率特性为： 2
一、某单位反馈系统，其开环传递函数为最小 相位系统，开环对数幅频特性曲线如图 1.写出G(s)表达式。 2.求相角裕度γ。 3.应用奈氏稳定判据判断系统稳定性。
10(0.8s + 1) G ( s) = 2 s (0.05s + 1)
γ = 59.2
系统稳定
二、如图所示，输入为r(t)=cos2t,已知当扰动 n(t)=0时系统的稳态输出为Css(t)=2sin2t (1).求系统的相角裕度γ和幅值裕度h； (2).求r(t)=0,n(t)=1+2sin3t时系统的稳 态误差ess(t) N(s) R(s) k C(s) s ( T s + 1) (1) K = 4, T = 1; ωc = 1.88, γ = 28°, h = ∞ 8 (2)ess = −1 + sin(3t + 31°) 34