自动控制原理 第五章ppt
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控制系统的稳定性分析
自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算：
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除 或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明：方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个 零点在左半平面 则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多 项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是：主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即
自动控制原理05ppt课件全284页PPT
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭Leabharlann 自己知道。——苏联自动控制原理05ppt课件全
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭Leabharlann 自己知道。——苏联自动控制原理05ppt课件全
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
自动控制原理第五章前半部分
ωn
1− ζ 2
e −ζωnt sin(ωn 1 − ζ 2 t )
Standard performance measures
Standard performance measures
Swiftness(快):Rise time , peak time closeness(准): percent overshoot, settling time Steady(稳): steady state error
For a system
1 1 RS ( s ) = YS ( s ) = ⋅ G ( s ) s s 1 RR ( s ) = 2 s 1 1 1 1 YR ( s ) = 2 ⋅ G ( s ) = ⋅ ⋅ G ( s ) = ⋅ YS ( s ) s s s s
It means that a system’s time response for a Ramp input is the integral of its time response for a step input.
So ωn is called natural frequency.
s + 2ζω n s + ω = ( s + s1 )( s + s2 )
2 2 n
s1, 2 = −ζω n ± ωn ζ − 1
2
if ζ > 1, s1, 2 are real;
And the condition is called over damping(过阻尼).
And the condition is called under damping(欠阻尼).
s1, 2 = −ζω n ± ωn ζ − 1
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
自动控制原理(胡寿松版)完整第五章ppt课件
-20
φ (ω )
ω=0.1 L(ω )=20lg0.1=-20dB 90
对数相频特性：φ (ω )=90o 0 0.1
1
10ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
4)．惯性环节
G(s)=Ts1+1
G(ωj
)=
jω
1 T+1
(1) 奈氏图
A(ω
)=
1 1+(ω T)2
φ (ω )= -tg-ω1 T
取特可殊以点证：绘明ω制：=0奈氏图近似方I法m : AA图心半A点(ω(ω(是 ， 圆ω，))=以 以 。惯=)0然=根ωω0(1性.171==/后据0/环2∞27为T将幅1节φ,jφo半φ它频的(ω)(ω径为(ω奈们特))=的圆)=氏平-性=09-o0滑4和o5连o相ω接频起∞特来0性-。求45ω=出T1特殊ω1=0Re
5）二阶微分环节 s 2 /n 2 2s /n 1(n 0 ,0 1 )
6）积分环节 1 / s
7）微分环节 s
第二节 典型环节与系统的频率特性
（2）非最小相位系统环节
1）比例环节 K (K0)
2）惯性环节 1/( T s1 ) (T0) 3）一阶微分环节 Ts1 (T0)
4）振荡环节 1 /( s 2 /n 2 2 s /n 1 )(n 0 ,0 1 )
第一节 频率特性
系统输入输出曲线 定义频率特性为:
r(t) c(t)
r(t)=Asinωt
G(ωj )
=|G(jω)|e j G(jω) =A(ω )e φj (ω )
A 0
幅频特性： t A(ω )=|G(jω)|
G(jω)
A G(jω )
相频特性： φ (ω )= G(jω)
自动控制原理--第5章 频域分析法
例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
自动控制原理(胡寿松) 第五章ppt
第五章
线性系统的频率特性
1
控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的 性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域 表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的 性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际 中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信 号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在 计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时， 采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
2
在工程实践中 , 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过
程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、
参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析 方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将 详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或 系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的 方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性 等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的
20
1.低频段
在T<<1(或<<1/T)的区段,可以近似地认为T0,从而有
L( ) 20 lg (T ) 2 1 20 lg1 0
故在频率很低时,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示,这称 为低频渐近线。
21
2.高频段
在T>>1(或>>1/T)的区段,可以近似地认为
14
5.2 典型环节的频率特性
5.2.1 比例环节
传递函数：G(s)=K 频率特性：G(jω)=K 幅频特性：A(ω)=K 相频特性：φ(ω)=0 对数幅频和相频特性： L(ω)=20lgA(ω)=20lgK
线性系统的频率特性
1
控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的 性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域 表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的 性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际 中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信 号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在 计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时， 采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
2
在工程实践中 , 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过
程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、
参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析 方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将 详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或 系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的 方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性 等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的
20
1.低频段
在T<<1(或<<1/T)的区段,可以近似地认为T0,从而有
L( ) 20 lg (T ) 2 1 20 lg1 0
故在频率很低时,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示,这称 为低频渐近线。
21
2.高频段
在T>>1(或>>1/T)的区段,可以近似地认为
14
5.2 典型环节的频率特性
5.2.1 比例环节
传递函数：G(s)=K 频率特性：G(jω)=K 幅频特性：A(ω)=K 相频特性：φ(ω)=0 对数幅频和相频特性： L(ω)=20lgA(ω)=20lgK
自动控制原理及应用课件(第五章)
系统的相频特性 () G(j) 系统的频率特性 G( j) A()ej() G( j) ejG( j)
事实上，只要将系统传递函数中的s用j 代替，便可得到
系统的频率特性，即有 G( j) G(s )
s j
可见，系统频率特性和系统传递函数之间存在直接的内在联
式中，T=RC为电路的惯 性时间常数。
图5-1 RC电路
设输入为正弦电压信号 r(t) Aim sin(t)
对应的拉普拉斯变换为
R(s) Aim s2 2
则有
C(s) 1 Aim Ts 1 s2 2
进行拉普拉斯逆变换，可得输出量的时域表达式为
c(t)
AimT
(6) 频率特性一般适用于线性系统(元件)的分析，但也可推广到 某些非线性系统的分析。
5.1.3 频率特性的图形表示 常用的频率特性曲线有以下两种。
1．幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线以 为参变量，将幅频特性A( )和相频 特性( )表示在复数平面上，复平面上的模值表示幅频值，
幅角表示相频值，实轴正方向为相角零度线。
值如下：
当 =0时，
A()
1 1
1 2T 2
() arctanT 0
当 =∞时， A() 1 0
1 2T 2
() arctanT 90°
当 =1/T时，A() 1 1 0.707 () arctanT 45°
系。频率特性G(j )是传递函数G(s)的一种特殊形式，它和系
统的微分方程、传递函数一样都反映了系统的固有特性。
频率特性G(j )是 的复变函数，既可分解为幅频特性和相频
特性，也可分解为实频特性和虚频特性，即有
事实上，只要将系统传递函数中的s用j 代替，便可得到
系统的频率特性，即有 G( j) G(s )
s j
可见，系统频率特性和系统传递函数之间存在直接的内在联
式中，T=RC为电路的惯 性时间常数。
图5-1 RC电路
设输入为正弦电压信号 r(t) Aim sin(t)
对应的拉普拉斯变换为
R(s) Aim s2 2
则有
C(s) 1 Aim Ts 1 s2 2
进行拉普拉斯逆变换，可得输出量的时域表达式为
c(t)
AimT
(6) 频率特性一般适用于线性系统(元件)的分析，但也可推广到 某些非线性系统的分析。
5.1.3 频率特性的图形表示 常用的频率特性曲线有以下两种。
1．幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线以 为参变量，将幅频特性A( )和相频 特性( )表示在复数平面上，复平面上的模值表示幅频值，
幅角表示相频值，实轴正方向为相角零度线。
值如下：
当 =0时，
A()
1 1
1 2T 2
() arctanT 0
当 =∞时， A() 1 0
1 2T 2
() arctanT 90°
当 =1/T时，A() 1 1 0.707 () arctanT 45°
系。频率特性G(j )是传递函数G(s)的一种特殊形式，它和系
统的微分方程、传递函数一样都反映了系统的固有特性。
频率特性G(j )是 的复变函数，既可分解为幅频特性和相频
特性，也可分解为实频特性和虚频特性，即有
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下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念：
6
示例：
如图所示一阶RC网络，ui(t)与uo(t)分别为输入与输出信号，其传递函数为
R
G(s)=
U 0(s)= 1
ui(t)
Ui(s) Ts+1
其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。
i(t)
C
u0(t)
RC网络
7
在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即
第五章
线性系统的频率特性
1
控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接 地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具 有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号 作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需 要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控 制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。
5
5.1.1 频率响应
频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正 弦响应。即一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输 出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入 正弦信号频率的函数。
)
稳态输出与输入幅值比为：
A
1
1+ T 2ω2
输出与输入相位差为：
输入信号为
ui(t)=Uisin t
= -arctanTω
二者均仅与输入频率，以及系统本身的结构与参数有关。
9
5.1.1 频率特性的定义
5.1 频率特性的基本概念
一个线性定常系统，在它的输入加一个振幅为Ar，角频率为ω和初相为φ1的正弦信号，那么经过一 段过渡过程而达到稳态后，系统的输出端也将输出一同频率的正弦 信号，只是输出信号的振幅Ac和初相φ2有所变化。
3
频率特性分析法的特点
频率特性分析法 ，又称为频域分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表 达式，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：
①根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳态性能, 得到定性和定量的结论，可以简 单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。
ui(t)=Uisin t Ui与分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域法求电路的输出。
输出的拉氏变换为：
Uo(s)=
1 Ts +1
Uiω s2 + ω2
对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：
8
lim
t
uo
t
U im 1+T 2ω2
sin t
arctan T Uo sin(t
13
Bode图
5.1 频率特性的基本概念
也称对数频率特性，就是将A(ω)和φ(ω)分别表示在两个图上，横坐标采用对数刻度。
L(ω)
ห้องสมุดไป่ตู้
对数频率特性定义为：
L(ω)=20lgA(ω) dB L(ω)的图形就是Bode图
G(s) 1 Ts 1
Bode图
对数相频特性： 纵轴均匀刻度， 标以φ(ω)值 (单位为度)； 横轴刻度及标 值方法与幅频 特性相同。
环节）的频率特性；反过来看，如果能用实验方法获得系统（或元部件）的频率特性，则可由
频率特性确定出系统（或元部件）的传递函数。
。
12
5.1.3 频率特性的图示方法
5.1 频率特性的基本概念
Nyquist图
也称幅相频率特性曲线，就是当ω从0→∞变化时，向量G(jω)的矢端轨迹。
G(s) 1
Ts 1
10
5.1 频率特性的基本概念
G( jω) C Ac 2 A(ω)(ω)
R
Ar 1
R 表示输入正弦量的相量 C 表示输出正弦量的相量
G(jω)称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下，稳态输出的振幅，相位随频率变化的关 系。
A() Ac G( j) 称为系统的幅频特性
ω
11
0
2
34
5
∞
2T T
T
TT
T
A()
1
1 (T )2
1
0.89 0.71
0.45
0.32 0.24 0.20
0
φ(ω)=-arctanωT(度)
0 -26 -45 -63.5 -71.5 -76 -78.7 -90
j
Nyquist图
注意:相角φ(ω)的大小与正负， 要从正实轴开始按送逆时针方 向为正，顺时针方向为负进行 计算。
Ar
φ(ω)= ∠G(jω) 称为系统的相频特性
频率特性的复数形式：
G( j) A()e j () A() ()
11
5.1.2 频率特性与传递函数的关系
5.1 频率特性的基本概念
频率特性和传递函数之间的关系
G( j) G(s) s j
如果已知系统（或环节）的传递函数，只要用jω置换其中的s，就可以得到该系统（或
14
5.2.1 比例环节
传递函数：G(s)=K 频率特性：G(jω)=K 幅频特性：A(ω)=K 相频特性：φ(ω)=0 对数幅频和相频特性：
L(ω)=20lgA(ω)=20lgK φ(ω)=0
②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式， 简化控制系统的分析与设计。
4
③具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的 频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统 尤其有利。 ④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。
2
在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直 观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统 性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性） 来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广 泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。
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示例：
如图所示一阶RC网络，ui(t)与uo(t)分别为输入与输出信号，其传递函数为
R
G(s)=
U 0(s)= 1
ui(t)
Ui(s) Ts+1
其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。
i(t)
C
u0(t)
RC网络
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在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即
第五章
线性系统的频率特性
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控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接 地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具 有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号 作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需 要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控 制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。
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5.1.1 频率响应
频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正 弦响应。即一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输 出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入 正弦信号频率的函数。
)
稳态输出与输入幅值比为：
A
1
1+ T 2ω2
输出与输入相位差为：
输入信号为
ui(t)=Uisin t
= -arctanTω
二者均仅与输入频率，以及系统本身的结构与参数有关。
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5.1.1 频率特性的定义
5.1 频率特性的基本概念
一个线性定常系统，在它的输入加一个振幅为Ar，角频率为ω和初相为φ1的正弦信号，那么经过一 段过渡过程而达到稳态后，系统的输出端也将输出一同频率的正弦 信号，只是输出信号的振幅Ac和初相φ2有所变化。
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频率特性分析法的特点
频率特性分析法 ，又称为频域分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表 达式，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：
①根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳态性能, 得到定性和定量的结论，可以简 单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。
ui(t)=Uisin t Ui与分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域法求电路的输出。
输出的拉氏变换为：
Uo(s)=
1 Ts +1
Uiω s2 + ω2
对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：
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lim
t
uo
t
U im 1+T 2ω2
sin t
arctan T Uo sin(t
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Bode图
5.1 频率特性的基本概念
也称对数频率特性，就是将A(ω)和φ(ω)分别表示在两个图上，横坐标采用对数刻度。
L(ω)
ห้องสมุดไป่ตู้
对数频率特性定义为：
L(ω)=20lgA(ω) dB L(ω)的图形就是Bode图
G(s) 1 Ts 1
Bode图
对数相频特性： 纵轴均匀刻度， 标以φ(ω)值 (单位为度)； 横轴刻度及标 值方法与幅频 特性相同。
环节）的频率特性；反过来看，如果能用实验方法获得系统（或元部件）的频率特性，则可由
频率特性确定出系统（或元部件）的传递函数。
。
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5.1.3 频率特性的图示方法
5.1 频率特性的基本概念
Nyquist图
也称幅相频率特性曲线，就是当ω从0→∞变化时，向量G(jω)的矢端轨迹。
G(s) 1
Ts 1
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5.1 频率特性的基本概念
G( jω) C Ac 2 A(ω)(ω)
R
Ar 1
R 表示输入正弦量的相量 C 表示输出正弦量的相量
G(jω)称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下，稳态输出的振幅，相位随频率变化的关 系。
A() Ac G( j) 称为系统的幅频特性
ω
11
0
2
34
5
∞
2T T
T
TT
T
A()
1
1 (T )2
1
0.89 0.71
0.45
0.32 0.24 0.20
0
φ(ω)=-arctanωT(度)
0 -26 -45 -63.5 -71.5 -76 -78.7 -90
j
Nyquist图
注意:相角φ(ω)的大小与正负， 要从正实轴开始按送逆时针方 向为正，顺时针方向为负进行 计算。
Ar
φ(ω)= ∠G(jω) 称为系统的相频特性
频率特性的复数形式：
G( j) A()e j () A() ()
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5.1.2 频率特性与传递函数的关系
5.1 频率特性的基本概念
频率特性和传递函数之间的关系
G( j) G(s) s j
如果已知系统（或环节）的传递函数，只要用jω置换其中的s，就可以得到该系统（或
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5.2.1 比例环节
传递函数：G(s)=K 频率特性：G(jω)=K 幅频特性：A(ω)=K 相频特性：φ(ω)=0 对数幅频和相频特性：
L(ω)=20lgA(ω)=20lgK φ(ω)=0
②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式， 简化控制系统的分析与设计。
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③具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的 频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统 尤其有利。 ④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。
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在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直 观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统 性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性） 来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广 泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。