线性代数--矩阵的特征值与特征向量
线性代数课件矩阵的特征值与特征向量
所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为 p 2 11
.
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
解 第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.
1 l 1
0
AlI 4 3 l 0 2ll120
1
0 2l
特征值为 l12 ,l2l3 1
第二步：对每个特征值l代入齐次方程组 AlIxO,
l l 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
l 当 1 = 2 时 , 对 应 的 特 征 向 量 应 满 足
32
1
1 x1 32x2
0 0
即11
1
1
x1 x2
00
例 求 A 3 1 3 1 的 特 征 值 和 特 征 向 量 .
l l 解 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
1 l
A . 且x仍然是矩阵 kA ,A m ,A 1,A 分别对应于
kl, lm,l1,1A 的特征向量. l
证 (3)当 A 可 逆 时 ,l0, 由 Axlx可 得
l l A 1 A x A 1 x A 1 xA1xl1x
l l 故 1 是 矩 阵 A 1 的 特 征 值 , 且 x 是 A 1 对 应 于 1 的 特 征 向 量 .
Amxlmx
l l 故 m 是 矩 阵 A m 的 特 征 值 , 且 x 是 A m 对 应 于 m 的 特 征 向 量 .
性质2 若A的特征值是l, X是A的对应于l的特征向量,
(1) kA的特征值是kl; (k是任意常数)
l (2 )A m 的 特 征 值 是 m ;(m是正整数)
《线性代数》矩阵的特征值与特征向量
《线性代数》矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。
在许多实际问题的分析和求解中，特征值和特征向量扮演着重要的角色。
本文将从定义、性质和应用三个方面来详细介绍矩阵的特征值与特征向量。
一、定义给定一个n阶方阵A，若存在非零向量x和标量λ，使得满足以下等式：Ax=λx则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征向量是描述线性变换的方向，在变换过程中保持方向不变，特征值是对应于特征向量的缩放因子。
二、性质1.特征值与特征向量的存在性和唯一性对于n阶方阵A，它一定存在n个特征值，但不一定有n个线性无关的特征向量。
每个特征值对应的特征向量也不一定唯一2.特征值的性质（1）特征值的和等于方阵的迹，即λ1 + λ2 + ... + λn =tr(A)。
（2）特征值的积等于方阵的行列式，即λ1 * λ2 * ... * λn = det(A)。
3.特征向量的性质（1）对于同一个特征值λ，存在无穷多个线性无关的特征向量。
（2）特征向量的线性组合仍然是一个特征向量。
三、应用矩阵的特征值与特征向量在多个学科和领域中都有广泛的应用。
1.物理学在量子力学中，特征值与特征向量的概念被用来描述量子态和量子测量。
2.工程学在结构力学中，特征值与特征向量可以用来分析弹性体的振动频率和振动模态。
3.数据分析特征值与特征向量可以用于主成分分析（PCA），以降低数据的维度并提取最重要的特征。
4.图像处理特征值与特征向量可以用于图像压缩和图像恢复等领域。
5.机器学习在机器学习算法中，特征值与特征向量可以用于降维、分类和聚类等任务。
总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有很多实际应用。
通过特征值与特征向量，我们可以分析矩阵的性质、求解特征方程、降低数据维度等。
理解和掌握矩阵的特征值与特征向量对于深入理解线性代数以及在实际问题中的应用都具有重要意义。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
在矩阵的运算中，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，具有很多重要的性质和应用。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法及其应用。
特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个n维非零向量X，使得AX=λX，其中λ为一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的计算方法求解矩阵的特征值与特征向量的计算方法主要有两种：特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，记为I_n。
（2）定义特征多项式为f(λ)=|A-λI_n|，其中|A-λI_n|表示A-λI_n的行列式。
（3）求解f(λ)=0的根，即为矩阵A的特征值。
（4）将特征值代入方程(A-λI_n)X=0，求解Ax=λX，即可得到矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
2. 迭代法迭代法是求解特征值与特征向量的一种数值方法。
它通过不断迭代矩阵的幂，逐渐逼近特征值与特征向量。
具体步骤如下：（1）选择一个任意的非零向量X_0作为初始向量。
（2）计算矩阵A与初始向量X_0的乘积AX_0。
（3）根据公式X_1=AX_0/|AX_0|，其中|AX_0|表示AX_0的模长。
（4）重复上述步骤，计算X_2=AX_1/|AX_1|，X_3=AX_2/|AX_2|，直到收敛。
（5）当向量X_k满足|AX_k-AX_{k-1}|<ε时，停止迭代，其中ε为预先设定的误差限。
特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的价值，下面将介绍其在不同领域的应用。
1. 物理学中的应用在量子力学和固体物理学中，特征值和特征向量描述了问题的能量和波函数。
通过求解薛定谔方程，可以得到物质的特征值与特征向量，从而研究其电子能级和波函数分布。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量一、定义与性质：1.特征值：设A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个非零列向量X使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
2.重要性质：(1)特征值与特征向量是一一对应的，即一个特征值对应一个特征向量，特征向量的倍数仍为特征向量。
(2) 设λ1，λ2，...，λn是A的n个特征值，则A的特征值的和等于A的主对角线元素之和，即λ1+λ2+...+λn=ΣAii(i=1,2,...,n)。
(3)A的特征值的积等于A的行列式值，即λ1λ2...λn=，A。
二、计算方法：1.方程法：设λ是A的一个特征值，则有，A-λE，=0，其中E是n阶单位矩阵。
将，A-λE，=0展开，可以得到一个n次的多项式，称为特征多项式。
解特征多项式，即可求得特征值。
2.特征向量法：对于方程A-λE=0，将其变形为(A-λE)X=0，其中X是一个n维列向量。
求解(A-λE)X=0可以得到特征向量。
三、应用：1.物理学中的应用：(1)量子力学中的量子态演化过程可以表示为一个特征值问题，特征值对应着能量，特征向量对应着量子态。
(2)电力系统中的节点电压和电流可以用矩阵的特征值和特征向量求解，用于电网稳定性的分析。
2.经济学中的应用：(1)马尔可夫过程中的平稳分布可通过马尔科夫矩阵的特征值和特征向量求解。
(2)输入输出模型中，矩阵表示产出与投入之间的关系，通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以得到经济系统的稳定性和发展趋势。
3.图像处理中的应用：(1)图像压缩算法中，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行信息提取和图像压缩。
(2)图像识别中，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量，进行目标物体的特征提取和分类。
总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它们的计算方法可以通过特征多项式和特征向量方程进行求解。
在物理学、经济学和图像处理等领域都有着重要的应用，可以对实际问题进行分析和求解。
第五讲 矩阵特征值与特征向量
第五讲
一、 矩阵的特征值与特征向量 1．特征值与特征向量的概念 定义 1
矩阵特征值与特征向量
设方阵 A = (aij ) n×n ，若有数 λ 和非零的 n维向量 X ，使
AX = λX
(5.1)
成立，则称数 λ 为 A 的特征值，称向量 X 为矩阵 A的对应于 λ 的特征向量. 又若 An×n 是一个不可逆矩阵，则方程组 AX = 0 有非零解 X 0，即 AX 0 = 0 = 0 ⋅ X 0 .故不 可逆矩阵必有零特征值 λ = 0 . 对一般的方阵 A而言，AX = λX 是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵 A 不 容易直接看出它的特征值和特征向量。为此，将(5.1)变形为： (λI − A) X = 0 则齐次线性方程组(5.2)有非零解的充要条件是 λI − A = 0 记 (5.2)
例 2． 设 n 阶方阵 A 满足等式 A 2 = A，证明 A 的特征值为 1 或 0. 证明 设 λ为A 的特征值，则存在向量 X ≠ 0 ，使 AX = λX .由此 A2 X = A( AX ) = A(λX ) = λ2 X 又 故有 即 因 X ≠ 0，所以λ2 − λ = 0，即λ = 1或 0 . 推论 2 设 λ0 是方阵 A 对应于特征向量 X 的特征值，则 A2 = A λ2 X = λX (λ2 − λ ) X = 0 .
n n
∑ λi = ∑ aii
i =1 i =1
这也称为方阵 A的迹，记为tr ( A) ，即 tr ( A) = ∑ λi = ∑ aii 推论 n 阶方阵 A可逆的充要条件是 A的 n 个特征值非零，即 λi ≠ 0，i = 1,2, L, n .
i =1 i =1 n n
线性代数矩阵的特征值与特征向量
线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。
在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。
希望能对读者理解这两个概念有所帮助。
1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。
（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。
（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。
（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。
3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。
具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。
具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。
6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。
（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。
（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，其特征值和特征向量也是矩阵理论中的核心内容。
本文将全面介绍矩阵的特征值和特征向量，包括定义、性质、求解方法以及应用等方面，为读者深入理解和应用矩阵的特征值和特征向量提供帮助。
一、特征值和特征向量的定义矩阵A是由m×n个数构成的矩形数表，其特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是矩阵A的特征值，而非零向量x称为A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的定义说明了矩阵在线性变换下的不变性。
特征向量表示了矩阵在该线性变换下的一个不变方向，而特征值则表示了该方向上的伸缩倍数。
二、特征值和特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。
对于n阶矩阵A，其特征值λ1, λ2, …, λn满足λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)，λ1 × λ2 × … × λn = |A|。
2. n阶方阵的特征向量个数不超过n，且特征向量线性无关。
3. 若λ是方阵A的特征值，则对于任意非零常数c，cλ也是A的特征值。
4. 若λ是方阵A的特征值，且x是A对应于λ的特征向量，则对于任意正整数k，λ^k是A^k的特征值，x是A^k对应于特征值λ^k的特征向量。
三、特征值和特征向量的求解方法求解特征值和特征向量是矩阵理论中一个重要的问题。
下面介绍两种常用的求解方法：1. 特征方程法：设A是一个n阶矩阵，λ是其特征值，x是对应于λ的特征向量，那么Ax = λx可以变形为(A - λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵。
由于x是非零向量，所以矩阵(A - λI)的行列式必须为零，即|A - λI| = 0，这样就可以得到特征值λ的值。
然后，通过解(A - λI)x = 0可以求得特征向量x。
2. 幂迭代法：这是一种迭代法的方法，通过矩阵的幂次迭代来逼近特征向量。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
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例1. 设
A
1 5
62,
u
65,
v
3 2
.
判断 u,v是否是 A 的特征向量？
y Au
Av
解：容易验证
Au 4u, Av v
v
x
u
所以u是对应于特征值-4的特征向量。
v不是A的特征向量.(也可从图看出)
-7-
例2. 设 n 阶方阵 A 满足：A2 A, 求 A 的特征值.
解： 设是A的 特 征 值,是A属 于的特征向 量, A .
第一节
矩阵的特征值与特征向量
1.概念的引入 2.特征值与特征向量的求法 3.特征值与特征向量的性质 4.矩阵的对角化 5.小结 6.思考与练习 7.背景材料
第五章
介绍性实例——动力系统与斑点猫头鹰
1990年,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问 题上,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果 采伐原始森林的行为得不到制止的话,猫头鹰将濒临 灭绝的危险。
0 1 1 x1 1 2 1 x2 0
1 1 0 x3
ห้องสมุดไป่ตู้同解方程组为
x2 x1
x3 x2
0 0
- 14 -
1
得基础解系为：2 1
1
即为 2 1 时的线性无关的特征向量。
同理得对应于 3 2 时的线性无关的特征向量为：
1
3 2 .
1
- 15 -
例4. 求矩阵
A
则称 为A 的特征值, 为A 的属于特征值 的特征向量。
特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因为一 个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的 数λ，确实有点奇妙！
注意.特征向量 0.
特征值问题仅对方阵而言。
-5-
二阶方阵特征值的几何意义
把方程 Ax y 中的 x 看成输入变量, y 看成输出变量, 则这个矩阵方程就代表了一种线性变换.
A A2 A( ) 2 , (2 ) 0,
而 0, 2 0.
1,或 0.
-8-
注1. 可类似证明,
(1) 若 Ak 0(k为正整数), 则 A 的特征值只能是零。
(2) 若 A2 I , 则 A 的特征值只能是1或-1。
注2.
(1) 设 0 是 A的特征值, g(x) 为任一多项式, 则g(0 )
是 g( A) 的特征值。
(2) 设 0 是 A 的特征值, 0m(m为正整数) 必为 Am
的特征值。
(3)
设0 是
A的特征值,
且
A 非奇异,
则
1
0
为 A1
的特征值。
-9-
二、特征值、特征向量的求法
A , 0 (I A) 0, 0 (1) 即特征向量 是(I A)X 0 的非零解.
(2)求 A 的特征向量：
➢ 当 1 2时, (1I A)X 0,即
1 1 1 x1
1 3 1 x2 0
1
1
1
x3
- 13 -
同解方程组为
x1
x2 x3 2x2 0
0
得基础解系为
1
1 0.
1
即为 1 2 时的线性无关的特征向量.
➢ 当 2 1时, (2I A)X 0,即
-2-
一、特征值与特征向量的定义
1. 相似关系
定义: 设A, B C nn , 若P C nn , P 0, s.t. P 1 AP B
则称A与B相似, 记作 A ∽ B
性质:
(1) A ∽ A
(反身性)
(2) A ∽ B B ∽ A
(对称性)
(3) A ∽ B, B ∽ C A ∽ C (传递性)
1 1 1 r1r3 2
fA() I A 1 1
r2 r3
1 0
2
1 1 1 1 1 1
- 12 -
按第1列展开 2 2
1 1 2
(2 2) (4 2 2 )
3 2 4 4
( 1)( 2)( 2)
A的 特 征 值 为1 2, 2 1, 3 2.
1 1 1 A 2 4 2
3 3 5
的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。
解: (1)求 A 的特征值： A 的特征方程为
1 1 1
fA() I A 2 4 2 ( 2)2( 6) 0
3 3 5
- 16 -
A的特征值为1 2(二重), 2 6.
(2)求 A 的特征向量：
数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研 究,并建立了种群模型形如 xk1 Axk 的差分方程。 这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移
变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键.
虽然讨论的是离散动力系统,但特征值和特征向量出 现的背景要广泛的多,还被用来研究连续动力系统,为 工程设计提供关键知识.另外还出现在物理、化学等 领域。
特征值与特征向量的求法：
(1)从fA I A 0
(2)对每一个特征值 ,求出(I A)X 0的基础解系.
即对应于特征值 的线性无关的特征向量.
- 11 -
例3.求矩阵
1 A 1
1 1
1 1
1 1
1
的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。
解: (1)求 A 的特征值： A 的特征方程为
I A 0
定义. 设A C nn ,
a11 a12
0 I A a21 a22
a1n
a2n (2)
an1 an2 ann
f () I A 是的n次多项式,称为A的特征多项式.
- 10 -
称 fA() I A 0 为A的特征方程, 其根为A的
特征值.
二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量 的方向上的放大量。
例如,
A
1 0
0
1 特征值为 1 1, 2 1.
对应的特征向量为
1
1 0
,
2
10 .
由 A1 1, A2 2 .
知横轴方向部分变换到负方向,纵轴方向尺度不变。
-6-
易证给定的向量是否是矩阵的特征向量,也易证判
断给出的数是否是特征值。
-3-
引入. 假设 A ∽ diag(1, , n ) 即存在可逆矩阵 P ，使得：
1
A P
P 1
AP
1
P
n
n
P (1 , ,n )
按列分块
A(1 ,
,n ) (11,
, nn )
Ai ii (i 1,2, , n.)
且1 ,
,
线
n
性
无
关
。
定义. 设 A C nn , 0, 若存在 C, s.t.
➢ 当 1 2时, (2I A)X 0,即
1 1 1 x1
2 2 2 x2 0