数学分析习题答案(陈纪修第二版)
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
陈纪修《数学分析》(第2版)(上册)名校考研真题【圣才出品】
但
（
也可说
明）。
2．对数列 和
若 是有界数列，则 是有界数列。（ ）[北京大学研]
【答案】对
【解析】设｜Sn｜<M，则
3．数列
存在极限
的充分必要条件是：对任一自然数 p，都有
（ ）[北京大学研]
【答案】错
【解析】反例：
，但 不存在．
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二、解答题
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陈纪修《数学分析》（第 2 版）（上册）名校考研真题
第 2 章 数列极限
一、判断题
1．对任意的 p 为正整数，如果
，则
存在。（ ）[重
庆大学研]
【答案】错
【解析】根据数列收敛的 Cauchy 收敛准则，可举出反例：
，虽然对任意的
n p1
对任意 0, 存在正整数 N ,使得对任意正整数 p ，成立 ak , kN
(N p)aN p ln(N p) (N p)aN p ln N ,
在上式中，令 p ，取极限，则得
0
lim ( N
p
p)aN p
ln( N
p)
,
由 0 的任意性，则得
lim ( N
．[南开大学
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2011 研]
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证明：（1）因为
{nan}
为正的单调递减数列，由单调有界定理得
lim
n
nan
L
存在，
由 an 收敛，可知必有 L 0 n1
an
n1
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--15章
后 答
x⎞ ⎛ 1 + ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠ 2．设 f ( x, y ) 当 y 固定时，关于 x 在 [a, b] 上连续，且当 y → y 0 − 时，它
0
n→∞
案
lim ∫
1
dx
n
网
（2）由连续性定理，
=∫
−x 1 de dx 2e = − = ln 。 ∫ x − x 01+ e 01+ e 1+ e 1
∫a
就有
b
( f ( x, y ) − φ ( x))dx ≤ ∫ f ( x, y ) − φ ( x) dx < (b − a )ε ，
∫ f ( x, y )dx = ∫a φ ( x)dx 。 y → y0 − a
lim
b
以下用反证法证明 lim f ( x, y ) = φ ( x) 关于 x ∈ [a, b] 是一致的。
k k
子列为 {xn }, {y n } ，其中 {y n } 是递增的， lim yn = y0 。设 lim xn = ξ 。 n →∞ n →∞
f (ξ , y ) − φ (ξ ) <
ε0
n→∞
2 又 f ( x, y K ) − φ ( x) 在 x = ξ 点连续以及 lim xn = ξ ， ∃N > 0, 当 n > N 时，
F ′( y ) = − ∫ f ( x) dx ， F ′′( y ) = 0 ；
a b b
b
当 y ≥ b 时， F ( y ) = ∫a f ( x)( y − x)dx ，于是
a
b
7. 设函数 f ( x) 具有二阶导数， F ( x) 是可导的，证明函数
陈纪修《数学分析》(第2版)配套模拟试题及详解
陈纪修《数学分析》（第2版）配套模拟试题及详解一、判断题（3分×4＝12分）1．两个周期函数的和一定是周期函数．（）【答案】×【解析】可举反例如：令F（x）＝f（x）＋g（x），则f（x）周期为2π，g（x）周期为有理数．可以证明F（x）不是周期函数，用反证法，设F（x）有周期T（>0）．若T=r为有理数，则F（0）＝1，而，故F（0）≠F（0＋r），矛盾．若T为无理数．则由可得再由也得矛盾．2．若函数f（x，y）在点（x，Y0）处的方向导数存在，则函数在该点一定可微．（）【答案】×3．收敛．（）【答案】√【解析】因为由柯西判别法的极限形式可知瑕积分收敛．4．拉格朗日中值定理的“中值”是指f（x）在[a，b]上的函数值的平均值．（）【答案】×二、填空题（3分×4＝12分）1．由方程所确定的隐函数，在点处的全微分______．【答案】2．向量函数，f在一点a连续的充要条件是：f的每个分量函数______连续。
【答案】都在点a3．若则，f（z）=＿＿＿＿．【答案】4．若是某二元函数的全微分，则m= ．【答案】1三、选择题（7×3分＝21分）1．若是xOy平面上方的抛物线且，则曲面积分的物理意义为（）．A．表示面密度为1的曲面的质量B．表示面密度为1的曲面对z轴的转动惯量C．表示面密度为的曲面对z轴的转动惯量D．表示体密度为1的流体过曲面指定侧的流量【答案】B2．若f（x）在x0的某邻域内有三阶导数，且导数连续，则（）．A．f（x）在x0没有极值B．当f'''（x0）≠0时，f（x）在x0取到极值C．当f'''（x0）≠0时，f（x）在x0没有极值D．当f'''（x0）＝0时，f（x）在x0没有极值【答案】C3．A．B．C．D．以上都不对【答案】B4．设函数处不连续，则f（x，y）在该点处（）．A．必无定义B．极限必不存在C．偏导数必不存在D．全微分必不存在【答案】D5．设，g（x）=2x，在x→0时（）．A．f（x）=O（g（x））B．f（x）=O（g（x））C．f（x）～g（x）D．无法比较【答案】B6．若f（x）在[a，b]上连续且既有极大值又有极小值，则（）．A．极大值一定是最大值B．极小值一定是最小值C．极大（小）值不一定是最大（小）值D．极大值一定比极小值大【答案】C7．设为在第一卦限中的部分，则有（）．A．B．C．D．【答案】C四、解答题（共105分）1．（15分）设证明：在[0，1]上一致收敛．证明：由可求得从而由于，关于n单调，又、x在[0，1]上连续，故由Dini定理知在[0，1]上一致收敛．2．（15分）求由曲面所围的均匀物体的重心坐标．解：物体的质量为重心的横坐标为同理可求得而于是，重心坐标为3．（15分）设函数f（x）在x=0连续，并目求证：存存，并且证明：于是，有。
陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(反常积分)
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（2）定义函数
用 的 Gauss-Legendre 公式计算：
计算结果 积分近似值 （3）定义函数
用 的 Gauss-Legendre 公式计算：
计算结果 积分近似值 （4）定义函数
由于积分收敛较慢，根据 Gauss-Legendre 公式计算特点，取 再求和，编写程序如下
得到的结果精度丌高，这是
§2 反常积分的收敛判别法
1．（1）证明比较判别法（定理 8.2.2）；
（2）丼例说明，当比较判别法的极限形式中 或 时，
和
的
敛散性可以产生各种丌同的情况．
解：（1）定理 8．2．2（比较判别法）的求证
设在
上恒有
其中 是正常数，则
当
收敛时
也收敛；
当
发散时
电发散．
①当
收敛时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理，
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成立
于是
所以 ②当于是源自也收敛； 发散时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， 成立
所以
也发散．
（2）①设在
上有
也发散；但当
丼例：
敛，而对于
则当
②设在
上有
敛时
也收敛；但当
丼例：
散，而对于
则当
且
则当
发散时，
（4）当 时， 当 时，
此结果等于在 时的结果中以 代入后的结果． （5）当 时积分发散；当 时，
（6）当 时积分发散；当 时，
（7）令
则
（8）令
则
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陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-含参变量积分(圣才出品)
7．设函数 具有二阶导数， 是可导的，证明函数
满足弦振动方程
以及初始条件
。
证明：直接计算，可得
所以
且显然成立
。
8．利用积分号下求导法计算下列积分：
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解：（1）设
于是
令
则
所以
（2）设
作变换
得到
则
。
。
则
。设 由于
。研究函数
的连续性。
解：设
由于
在
在 处连续。
设
则
。由于 在 上连续，且
上的最小值
当 时，成立
于是
上连续，可知 所以 在
由 连续。
可知
即
在
处不
§2 含参变量的反常积分
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1．证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛：
与
在
上一致收敛。所以
在
上一致收敛。
（ ii ） 当
对于
取
取
则当 充分大时，
由 Cauchy 收敛准则，
在
上不一致收敛，同理
在
上也不一致收敛，所以
在
上不一致收敛。
（3）（i）当
而
收敛，由 Weierstrass
判别法
在
上一致收敛。
（ii）当 取
由于
由 Cauchy 收敛准则，可知
在
（ 4 ）（ i ） 当
即
关于
一致有界，以及 单调，当
时 关于
致趋于零，由 Dirichlet 判别
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--6章
1 x
7
+
1
3
x
2
案 网
+
1 6 2 3 x +C。 + x )dx = 2 x − 6 +3 3 x + 2 x + 3 x x
169
x （9） ∫ ⎛ ⎜2 +
⎝
1 ⎞ 2 1 ⎛ dx = ∫ ⎜ 4 x + 2 ⋅ ( ) x + x x ⎟ 3 3 ⎠ 9 ⎝
2
⎞ ⎟dx ⎠
=
1 x 2 2 1 1 4 + ( )x − +C。 ln 4 ln 2 − ln 3 3 ln 9 9 x
题
6.2
换元积分法和分部积分法
⒈
求下列不定积分： ; ⑴ ∫ 4x − 3 ⑶ ∫ x −x ; e −e ⑸ ∫ ( 2 x + 3x )2 dx ; ⑺ ∫ sin 5 xdx ; ⑼ ∫ sin 5x cos 3xdx ; ⑾ ∫ ( x 2 + 4 x + 5) 2 ;
x 2 dx ; ⒀ ∫4 1 − 2x 3
aw .c om
3
11
4 7
7
4 15 x4 +C。 15
就是所求曲线方程的所有可能形式。 （2）将点 (11 , ) 代入上述方程，可得 C = ，所以过点 (11 , ) 的曲线方 程为 y = x 3 − x + 。
3 4
4
5 4
5 4
课
后 答
案 网
w.c om
习
y=∫ dy 1 = ，于是 dx x
dx = ln x + C ，将点 (e,−1) 代入，得 C = −2 ，所以曲线的方程为 x
数学分析第二版答案
数学分析第二版答案LtD数学分析第二版答案【篇一：?数学分析?第三版全册课后答案(1)】class=txt>------------------------------------------------- 密---------------------------------- 封----------------------------- 线---------------------------------------------------------第页(共)------------------------------------------------- 密---------------------------------- 封----------------------------- 线---------------------------------------------------------【篇二：复旦大学数学分析课后习题解陈纪修】> 4．〔1〕?x|?2?x?3?；〔2〕?(x,y)|x?0且y?0?；〔3〕?x|0?x?1且x?q?；〔4〕?x|x?k2,k?z?.?7．〔1〕不正确。
x?a?b?x?a或者x?b；〔2〕不正确。
x?a?b?x?a并且x?b.第2节2．〔1〕f:[a,b]?[0,1] x?y?x?ab?a.〔2〕f:(0,1)?(??,??) x?tan[x(?12)?]3．〔1〕y?log2a(x?3)，定义域：,?33,，值域：(??,??)；〔2〕y?arcsin3x，定义域：,0?，值域：???0,??；2??〔3〕y?tanx，定义域：k?k?z?2,k2?，值域：??0,；〔4〕y?x?1x?1，定义域：,?11,，值域：?0,11,. 5．〔1〕定义域：??2k?,(2k?1)??，值域：,0?；k?z〔2〕定义域：?2k??,2k，值域：?0,1?；k?z?22?1〔3〕定义域：??4,1?，值域：0,；?25??32 〔4〕定义域：,00,，值域：?,???2??. ??7．〔1〕f(x)?2x3?21x2?77x?97；〔2〕f(x)?2x?14x?1。