第十一章 多重多元回归分析
多元回归分析原理
多元回归分析原理多元回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xk是自变量，β0、β1、β2、..、βk是模型参数，ε是误差项。
1.模型假设：多元回归模型基于一系列假设，包括线性关系、常数方差、误差项具有正态分布、误差项之间相互独立等。
这些假设为模型的参数估计和统计推断提供了基础。
2.参数估计：多元回归模型的参数估计采用最小二乘估计法，即通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定参数的取值。
参数估计求解具有闭式解，可以通过矩阵运算快速得到。
3. 模型评估：建立多元回归模型后，需要对模型进行评估，判断模型的拟合程度和预测能力。
常用的评估指标包括决定系数(R-squared)、调整决定系数(adjusted R-squared)、残差分析、F检验和t检验等。
4.假设检验：在多元回归分析中，可以对回归方程中每一个自变量的系数进行显著性检验，以判断自变量是否对因变量有显著影响。
常用的假设检验方法包括F检验和t检验。
5.多重共线性：多元回归分析中常常面临多重共线性的问题，即自变量之间存在高度相关性。
多重共线性会导致参数估计不准确、系数解释困难等问题。
对于存在多重共线性的情况，可以通过变量选择、主成分分析等方法处理。
6.模型改进：如果模型表现不佳，可以通过多种方法对模型进行改进。
常用的改进方法包括变量选择、非线性变换、交互作用项加入等。
多元回归分析具有广泛的应用领域，包括经济学、金融学、社会科学、医学科学等。
它可以帮助我们理解和预测各种复杂现象，为决策提供科学依据。
然而，多元回归分析也存在一些局限性，例如对数据的要求较高、假设前提较严格、模型解释力有限等。
因此，在实际应用中要注意适当选择适合的回归模型，并且结合领域知识和实际情况进行分析和解释。
管理统计学习题参考答案第十一章
十一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
多元回归分析
模型诊断
• Jackknife 验证法(Jackknife validation)
• 适用于样本量不是很大时 • 利用n-1个样本进行参数估计，并根据所估计的参数
计算剩余1个样本的预测值 • 计算拟和优度，并与利用全部样本时的拟和优度进
行比较。如果拟和优度降低，则说明该拟和优度可 能是更客观的，原本的高拟和可能是“机会”引起 的
• 多元回归分析引入多个自变量. 如果引入的自变量个数较少,则 不能很好的说明因变量的变化;
• 并非自变量引入越多越好.原因: – 有些自变量可能对因变量的解释没有贡献 – 自变量间可能存在较强的线性关系,即:多重共线性. 因而不能 全部引入回归方程.
多元线性回归分析中的自变量筛选
(二)自变量向前筛选法(forward): • 即:自变量不断进入回归方程的过程. • 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程,
多元线性回归分析中的自变量筛选
• SPSS操作：options选项:
– stepping method criteria:逐步筛选法参数设置. • use probability of F:以F值相伴概率作为变量进入和剔除方 程的标准.一个变量的F值显著性水平小于entry(0.05)则进 入方程;大于removal(0.1)则剔除出方程.因此:Entry<removal • use F value:以F值作为变量进入(3.84)和剔除(2.71)方程的 标准
U ns tandardi zed Coeff icients
B
Std. Error
10396.060
625.869
539.803
60.961
6840. 963
633.280
多元回归分析
( 1 , 2 , , n )
( 0 , 1 ,
T
, p )T
1 x11 1 x21 X 1 xn1
x12 x22 xn 2
x1 p x2 p xnp
矩阵 X 是一 n ( p 1) 阶矩阵，称 X 为回归设计矩阵或 资料矩阵。
二、多元线性回归模型的基本假定
为了方便地进行模型的参数估计，对回归方程(7.2)式有如 下一些基本假定。 1、解释变量 x1 , x2 , , x p 是确定性 变量，不是随机变量，而 且要求 rank ( X ) p 1 n 。
2、随机误差项具有0均值和等方差（高斯-马尔柯夫条件），即
2
7.2.3 参数估计量的性质 ˆ 为 的线性无偏估计，且 D( ˆ ) Var ( ˆ ) 2 ( X T X )1 1 、 ˆ ) 0, Cov( ˆ) 2( I H ) 2、 E ( 2 3 、（Ｇauss-Markov定理）在假定 E (Y ) X , D(Y ) I n 的任一线性函数 T 的最小方差线性无偏估计（BLUE）为 时， ˆ ，其中 为 p 1维向量， 为 ˆ 的最小二乘估计。 T
在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变 量，也可以是非随机的确定变量；而在相关分析中，变量x和变 量y都是随机变量。 相关分析是测定变量之间的关系密切程度，所使用的工具是 相关系数；而回归分析则是侧重于考察变量之间的数量变化规律， 并通过一定的数学表达式来描述变量之间的关系，进而确定一个 或者几个变量的变化对另一个特定变量的影响程度。
ˆ) 0 X T (Y X
二、误差方差 2的估计
ˆ HY 为 Y 的拟合值(估计值)，其中 ˆ X 1、设Y ˆ ( I H )Y ， H X ( X T X )1 X T ，此时残差向量 ˆ Y Y n 满足以下结论： （1） H 与I n H 都是 n 阶对称幂等矩阵； T ˆ T ˆ 0 ，Y ˆ 0 ，( I n H ) X 0 ； （2） X ˆT ˆ T ( I n H ) （4）
第十一章多重多元回归分析
X1 11.5 9 7.9 9.1 11.6 13 11.6 10.7 11.1
X2 95.3 97.7 110.7 89 88 87.7 79.7 119.3 87.7
Y1 26.4 30.8 39.7 35.4 29.3 24.6 25.6 29.9 32.2
Y2 39.2 46.8 39.1 35.3 37 44.8 43.7 38.8 35.6
第十一章 多重多元回归分析
第一节 什么是多重多元回归分析
– 在工厂里研究产品的质量指标,而反映产品质量指标 有好几个，产品的质量指标可作为多个因变量；而 影响产品质量指标的因素也有多个，可作为自变量， 如何从数量上揭示这种相互依赖关系，又如何建立 它们的回归式以及预测预报就是一个多重多元回归 分析问题。
回归方程的检验：
即检验
这里，P=2，m2=m=2，N=9
在 所以，回归方程是显著的。
回归系数的检验 （1）检验
即检验
对
有无作用，在
之下，
表明
对
作用显著
（2）再检验
即检验 对
有无作用，在
之下，
表明
对
作用不显著
设
在 其中：
之下的剩余阵为：
且
独立，所以，
例：下表为某农学院育种研究室2002年品种区试的部分资料，其中x1为冬季分 蘖（单位：万），x2为株高（单位：厘米），y1为每穗粒数，y2为千粒重（单 位：克），进行y1、y2关于x1、x2的归归分析。
品种 小偃6号 7576/3矮790 68G(2)8 79190-1 9615_1 9615-13 73(36) 丰产3号 矮丰3号
称为回归方程
将数据写成矩阵的形式：
将n组数据带入到回归模型中：
多元回归分析
Multi Regression
22
Adjusted R2
在迴歸分析中，如果自變項的個數很多，有時 候就要用調整後的判定係數代替原先的判定係 數，因為增加新的自變項後，均會使R2變大。
「Adjusted R2」為調整後的判定係數：
SSE 2 2 n k 1 1 n 1 (1 R 2 ) Adjusted R R a 1 SST n k 1 n 1
平均平方和MS SSR MSR k SSE MSE n k 1
F F MSR MSE
ˆ Note: 殘差 ei yi yi ,i 1, 2,, n
K為預測變數個數(不含β0)
Multi Regression 18
模式檢定(1)
迴歸分析之假說檢定包括總檢定與邊際檢定兩種。 總檢定： – 目的在探討迴歸模式中的所有斜率係數是否全部 為0。 – 當斜率係數不全為0時，Y與(X1,X2,…,XK)才具有 某種程度的函數關係 。 – 總檢定之虛無假說與對立假說可列示如下： H0: j=0，對所有j H1: j0，對某些j (j=1,2,…,K) – 檢定統計量: F=MSR/MSE
2 iid
或
Y1 1 X11 X1k 0 1 Y2 1 X21 X2k 1 2 Yn 1 Xn1 Xnk k n
Yn1 Xn(k1)β(k1)1 ε n1
Multi Regression
17
迴歸分析 ―變異數分析表
變異來源 迴歸 隨機 總和 平方和SS
ˆ ˆ SSR y 2 (Y Y ) 2
SSE e 2 (Y Y ) 2
多元回归分析 ppt课件
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3
汽车销售
若公司管理人员要预测来年该公 司的汽车销售额y时，影响销 售额的因素---广告宣传费x1
还有个人可 支配收入x2, 价格x3
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4
研究地区经济增长GDP，受劳动力投入人数 x1影响!
还有：资本要素Ｘ２，科 技水平Ｘ３的影响
ppt课件
5
多元回归应用
25.96732 2.85478 0.01449
Lower 95% 57.58835 -48.57626 17.55303
Upper 95%
555.46404 -12.237392
130.70888
多元回归方程
Sales 306.526- 24.975(Prci e) 74.131(Advertising)
Sales 306.526- 24.975(Prci e) 74.131(Advertising) 306.526- 24.975(5.50) 74.131(3.5) 428.62
预测销量为 428.62 pies
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注意：单位百元，$350 意味 X2 = 3.5
24
模型的Ｆ检验 系数的Ｔ检验 拟合度检验－－决定系数
描述因变量 y 依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型
y 0 1x1 2 x2 k xk
β0 ，β1，β2 ，，βk是参数
是被称为误差项的随机变量
包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解释
的变异性
价格 Price
($) 5.50 7.50 8.00 8.00 6.80 7.50 4.50 6.40 7.00 5.00 7.20 7.90 5.90 5.00 7.00
多元回归分析法的介绍及具体应用
多元回归分析法的介绍及具体应用————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ多元回归分析法的介绍及具体应用在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。
要了解变量之间如何发生相互影响的,就需要利用相关分析和回归分析。
回归分析的主要类型:一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。
这里主要讲的是多元线性回归分析法。
1. 多元线性回归的定义说到多元线性回归分析前，首先介绍下医院回归线性分析,一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下,分析某一个因素（自变量)是如何影响另一事物(因变量）的过程,所进行的分析是比较理想化的。
其实，在现实社会生活中,任何一个事物(因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量)的影响。
一元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量,但在实际问题中，影响因变量的因素往往有多个。
例如，商品的需求除了受自身价格的影响外，还要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响;影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照时数、平均湿度等。
因此,在许多场合,仅仅考虑单个变量是不够的,还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察,才能获得比较满意的结果。
这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下,两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式,称为多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似,只是在计算上更为复杂，一般需借助计算机来完成。
２. 多元回归线性分析的运用具体地说,多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。
（1)、确定几个特定的变量之间是否存在相关关系,如果存在的话,找出它们之间合适的数学表达式;(２）、根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;（3)、进行因素分析。
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Y2 39.2 46.8 39.1 35.3 37 44.8 43.7 38.8
矮丰3号
11.1
87.7
32.2
35.6回归方程的检验： 即检验 来自里，P=2，m2=m=2，N=9
在
所以，回归方程是显著的。
回归系数的检验 （1）检验 即检验 对 有无作用，在 之下，
表明
对
作用显著
（2）再检验
品种 小偃6号 7576/3矮790 68G(2)8 79190-1 9615_1 9615-13 73(36) 丰产3号
X1 11.5 9 7.9 9.1 11.6 13 11.6 10.7
X2 95.3 97.7 110.7 89 88 87.7 79.7 119.3
Y1 26.4 30.8 39.7 35.4 29.3 24.6 25.6 29.9
即检验
对
有无作用，在
之下，
表明
对
作用不显著
记
于是，多重多元回归模型为
二、多重多元回归式的求法
仍然用最小平方法计算回归式的系数，
和一元回归类似：
可以证明：
是
的无偏估计；
三、回归系数向量的假设检验
设 中前m1个分量对
有影响，而后m2=m-m1个分量对Y没有影响，这就相当于检验：
设
在
其中：
之下的剩余阵为：
且
独立，所以，
例：下表为某农学院育种研究室2002年品种区试的部分资料，其中x1为冬季分 蘖（单位：万），x2为株高（单位：厘米），y1为每穗粒数，y2为千粒重（单 位：克），进行y1、y2关于x1、x2的归归分析。
用最小平方法可求出
的估计值,b0,b1
于是
多元回归数学模型:
根据最小平方法：
第二节 多重多元线性回归模型
一、多元回归模型 设有m个自变量 假定他们之间有线性关系式： ，对应p个因变量
用矩阵表示为：
略去误差项而得到的关系式：
称为回归方程
设有n组自变量和因变量的实测数据：
将数据写成矩阵的形式：
将n组数据带入到回归模型中：