第10章 多元线性回归
多元线性回归模型(总)
目录第一章课程设计的名称、目的、任务及要求 (1)1.1 课程设计的名称 (1)1.2 课程设计的目的 (1)1.3 课程设计的任务 (1)1.4 课程设计的要求 (2)第二章问题分析 (3)2.1 背景资料 (3)2.2 问题重述 (3)2.3 问题分析 (3)第三章假设与符号约定 (5)3.1 模型假设 (5)3.2 模型符号约定 (5)第四章模型的建立与求解 (6)4.1数据分析 (6)4.2模型的建立 (7)4.3模型求解过程 (10)4.3.1问题二的求解过程 (10)4.3.2问题三的求解过程 (10)4.3.3问题四的求解过程 (11)第五章模型结果分析及检验 (14)5.1模型分析及检验 (14)5.2模型评价 (20)结论 (22)参考文献 (23)结束语 (24)第一章 课程设计的名称、目的、任务及要求1.1 课程设计的名称本文研究的课题的名称为：多元线性回归问题。
1.2 课程设计的目的养猪生产的最终目的是为满足消费者对瘦肉的要求，一般瘦肉率越高的猪卖的价格更高一些，而瘦肉率就是指猪含有的瘦肉量，瘦肉在整个中所占的比率。
我们知道猪的瘦肉总产量与许多因素有关，包括猪的眼肌面积、猪的腿瘦肉量及猪的腰瘦肉量。
这三者的多少直接影响猪瘦肉的产量，究竟哪些因素对猪瘦肉的产量影响更大一些，针对上诉问题本文采用多元线性回归方法，分析猪的瘦肉量与哪个因素联系更加密切，且与三个因素之间存在着怎么的线性关系。
1.3 课程设计的任务根据下表1中的某猪场25头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y 对眼肌面积（1x ）、腿肉量(2x )、腰肉量(3x )的多元线性回归分析。
1.4 课程设计的要求根据表1的数据完成下面问题的求解：1）画出散点图y 与1x ，y 与2x ，y 与3x 并观察y 与1x ，2x ， 3x 的关系； 2）求y 关于1x ，2x ， 3x 的线性回归方程：0112233ˆˆˆˆˆya a x a x a x =+++ （1） 求出0123,,,a a a a 的值；3）对上述回归模型和回归系数进行检验；4）再分别求y 关于单个变量1x ，2x , 3x 的线性回归方程：10111ˆˆˆy a a x =+ （2） 20222ˆˆˆy a a x =+ （3） 30333ˆˆˆya a x =+ （4） 求出ij a 的值； 分别求y 关于两个变量1x ，2x , 3x 的线性回归方程：10111122ˆˆˆˆy a a x a x =++ (2’) 20222233ˆˆˆˆy a a x a x =++ （3’） 30311333ˆˆˆˆy a a x a x =++ （4’） 求出系数ij a 的值；并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。
多元线性回归模型的矩阵表示课件
直线计算 Yi的理论值，然后计算回归残差序列，
再结合样本数据进行计算。
25
第四节 统计推断和预测
一、参数估计量的标准化 二、统计推断和检验 三、预测
26
一、参数估计量的标准化
在满足模型假设的情况下，多元线性回归模型 参数的最小二乘估计量是线性无偏估计。
Y1 0 1 X 11 K X K1 1
Yn 0 1 X 1n K X K n
Y1
Y
Yn
X i1
X i
X i n
1
l
1
0
K
1
n
1 X11 X K1
X l, X1,, X K
1 X1n X Kn
Y 0 1 X 1 2 X 2 K X K X
S.E. of regression 0.007246 Akaike info criterion -6.849241
Sum squared resid 0.000683 Schwarz criterion -6.704381
Log likelihood 57.79393 F-statistic
(1)、变量Y和X1,X K 之间存在多元线性随
机函数关系 Y 0 1X1 K X K ；
(2)、Ei 0 对任意 i 都成立；
(3)、Vari 2 ,与 i 无关；
(4)、误差项不相关，当 i j 时，E i j 0
(5)、解释变量都是确定性的而非随机变量， 且解释变量之间不存在线性关系；
bk k
seˆ(bk )
= bk
seˆ(bk )
t / 2(n-K-1)
如果t 统计量数值不满足上述不等式，意味着 可以拒绝原假设，不能认为第k个解释变量是 不重要的，称模型的第k个解释变量通过了显
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
回归分析(5)概要
(1) 新引进的自变量只能依赖于 原始变量，而不能与未知参数有关。 若模型 1 中的 b 未知，则模型 1 不能线 性化。 可线性化的非线性回归模型称为 本质线性回归模型，不可线性化的非 线性回归模型称为本质非线性回归模 型。
2018/10/29 7
(2) 非线性化模型能否线性化不 仅与回归函数的形式有关，而且与误 差项的形式也有关。 例如，模型 3 的误差项为乘性误 差项，可以线性化，而模型 4 的误差 项为加性误差项，不可以线性化。 在对非线性回归模型进行线性化 时，总是假定误差项满足可线性化条
34
具体回归方程为 y 62.349 0.840 x1
5.685 x2 其标准化形式为 0.164 x2
2 0.037 x1
y 62.349 0.164 x1
2 0.785 x1
2018/10/29
35
例10.3 用均匀设计法研究从烤烟 中提取粗蛋白的实验条件。目标变量 y 是提取的蛋白质尝试，三个实验因 子分别为：提取液pH值x1，提取时间 x2的，提取温度x1。 采用U7(73)均匀设计表, 试验安排 与结果如下表：
, xp x
p
原模型化为多元线性回归模型
5
y 0 1 x1
pxp
对模型3，可先两边取对数，得 ln y ln a bx 然后再令
y ln y, 0 ln a, 1 b 原模型化为线性回归模型 y 0 1 x
2018/10/29 44
由于本例中最好的实验条件是 x1 13.1, x2 48.0, x3 60 根据前述分析，影响蛋白提取浓度的 最主要因素是提取时间，提取时间应 在48h以上；提取液pH值是第二重要 因素， pH 值应比 13.10 再低些；提取 温度应该控制在60º C以上。
第10章路径分析
两个非饱和模型中将路径较多的称为模型1，路径较少的 称为模型2，模型2嵌套在模型1中。将模型1作为基准模型 ，模型2作为检验模型。
设模型 1中包含p个方程，它们的决定系 数分别为：
2 Rc21 , Rc22 ,...,Rcp , 那么，该模型能够解释 的方差为： 2 Rc2 1 1 Rc21 1 Rc22 1 Rcp ,
量划分为自变量和因变量，而是分为 外生变量(exogenous variable)和内生 变量(endogenous variable)。路径分 析的主要功能是将自变量对因变量的 毛作用（简单相关系数或简单回归系 数）分解为直接作用和各种形式的间 接作用，使整个模型中变量的因果关 系更为具体，因果关系的机制更清楚。
探索性：事先没有明确的理论假设，而是完全依赖统计 得到较高拟合度的模型。
验证性：事先已有理论依据及假设设置的模型，检验经 过修正的模型与原假设模型是否不同。
路径模型的识别
模型的识别
模型中所有变量间的相关系数都可以用路径系数函数的 形式来表示，那么所有变量间的路径系数是否能够完全 以相关系数来表示，就是模型的识别问题。
相关原因模型
z1 e1
e1 z1 p31 p21 z2 e2 p32 z3 e3 r 1 12
z 2 p21 z1 e2 z3 p31 z1 p32 z 2 e3 1 z1 p21 z1 e2 n n z1 z1 p z1e2 p 0 p 21 21 21 n n 1 1 r13 z1 z3 z1 p31 z1 p32 z 2 e3 n n z1 z1 z1 z 2 z1e3 p31 p32 n n n 1 p31 r12 p32 0 p31 p21 p32
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
计量经济学-综合练习题：多元线性回归模型
第二部分：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。
主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。
只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。
本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。
与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。
本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。
这里需要注意各回归参数的具体经济含义。
本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。
参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。
检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。
参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。
它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然χ分布为检验统计原理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2量的分布特征。
非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。
第10章事物间的因果关系回归分析
多元回归常使用调整的确定 系数R2 ：此时说明x1和x2两 个自变量能共同解释90.7% 的因变量的变化。
对回归模型的显著性检验
如果p值小于0.05，说明至少 一个自变量的回归系数不为0， 所建立的回归模型有统计意 义。
回归系数
自变量 的回归 系数
标准化回归系数 表明年轻人人数 对销售收入的影 响更大。
女
本科新生（参照类） 其他高年级本科生
xusex=1,else=0
xugrade1=1,else=0
grade=3
grade=4
硕士研究生
博士研究生
xugrade2=1,else=0
xugrade3=1,else=0
用recode命令建立新的虚拟变量。
转换后，增加了4个虚拟变量
以参加社团活动的时间为因变量，以新建的四个虚拟变量为自 变量，迚行回归分析。设想的回归方程为： time=b0+b1· xusex+b2 · xugrade1+b3 · xugrade2+b4 · xugrade3
第10章
10.1 回归分析概述 10.2 一元线性回归 10.3 多元线性回归
10.4 引入虚拟变量迚行回归
3
为确定变量之间的联系，用一些变量的变化说明另一个变 量的变化，幵迚一步对另一个变量的取值迚行预测，这就 是回归分析。
y b0 b x1 b2 x2 bk xk e 1
25
以上所列回归分析，其因变量和自变量都为定距变量戒定 比变量，即数量型的变量；
而在社会科学的研究中，会大量地涉及到名义型的变量即 定类变量。如性别、职业、学历等； 对于定类变量，可以引入虚拟变量来迚行回归分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第10章
1．在多元线性回归分析中，t 检验是用来检验（ ）。
A ．总体线性关系的显著性
B ．各回归系数的显著性
C ．样本线性关系的显著性
D ．H 0：β1＝β2＝…＝βk ＝0，
2．在多元线性回归模型中，若自变量x i 对因变量y 的影响不显著，那么它的回归系数βi 的取值（ ）。
A ．可能接近0
B ．可能为1
C ．可能小于0
D ．可能大于1
3．在多元线性回归方程01122i k k y x x x ββββ=++++中，回归系数k β表示
（ ）。
A ．自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β
B ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β
C ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的总变动总量为k β
D ．因变量y 变动一个单位时，自变量x i 的变动总量为k β
4．在多元回归分析中，通常需要计算调整的多重判定系数R 2，这样可以避免R 2的值（ ）。
A ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1
B ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近0
C ．由于模型中样本量的增加而越来越接近1
D ．由于模型中样本量的增加而越来越接近0
5．在多元线性回归分析中，如果F 检验表明线性关系显著，则意味着（ ）。
A ．在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系显著
B ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著
C ．在多个自变量变中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著
D ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著
6．在多元线性回归分析中， 如果t 检验表明回归系数βi 不显著，则意味着（ ）。
A ．整个回归方程的线性关系不显著
B ．整个回归方程的线性关系显著
C ．自变量x i 与因变量之间的线性关系不显著
D ．自变量x i 与因变量之间的线性关系显著
7．在多元线性回归分析中，多重共线性是指模型中（ ）。
A ．两个或两个以上的自变量彼此相关
B ．两个或两个以上的自变量彼此无关
C．因变量与一个自变量相关
D．因变量与两个或两个以上的自变量相关
8．在多元线性回归分析中，如果F检验表明回归方程的线性关系显著，则（）。
A．表明每个自变量与因变量的关系都显著
B．表明至少有一个自变量与因变量的线性关系显著
C．意味着每个自变量与因变量的关系都不显著
D．意味着至少有一个自变量与因变量的关系不显著
9．如果回归模型中存在多重共线性，则（）。
A．整个回归模型线性关系不显著
B．肯定有一个回归系数通不过显著性检验
C．肯定导致某个回归系数的符号与预期相反
D．可能导致某些回归系数通不过显著性检验
10．如果某个回归系数的正负号与预期相反，则表明（）。
A．所建立的回归模型是错误的
B．该自变量与因变量之间的线性关系不显著
C．模型中可能存在多重共线性
D．模型中肯定不存在多重共线性
11．虚拟自变量的回归是指在回归模型中含有（）。
A．分类自变量B．数值型自变量
C．分类因变量D．数值型因变量
12．在多元线性回归分析中，利用逐步回归法可以（）。
A．避免回归模型的线性关系不显著
B．避免所建立的回归模型存在多重共线性
C．提高回归方程的估计精度
D．使预测更加可靠。