二项分布的概念
第十章 二项分布和Poisson分布及其应用
Poisson分布
• Poisson分布是描述当试验中成功的概率很小 (如0.05)，而试验的次数n很大的小概率事件
出现规律性的一种离散型随机分布。 • 用于描述在单位时间(空间)内稀有事件的发生数。
医学卫生领域中服从Poisson分布指标
恶性肿瘤的死亡率 ; 放射性物质在单位时间内的放射次数； 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 野外单位空间中的某种昆虫数等。
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 012 345
(b)
0.18 0.16 0.14
n =30 π =0.3
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
(d)
•由数理统计学的中心极限定理可知，当n较大、 不接近0也不接 近1时，二项分布B( n , )近似正态分布：
正态近似法
当n较大， p 和 1 p 均不太小，如 np 和 n(1 p) 均
大于5时，利用正态近似的原理，可作样本率p与已 知总体率的比较，检验统计量为：
Z p0 0 (1 0 ) n
例10.6 一项调查结果表明某市一般人群的艾滋病知识 知晓率为65%。现对该市吸毒人群进行调查，在150名 吸毒人员中有130人回答正确。问该市吸毒人群的艾滋 病知识知晓率是否高于一般?
X ~ N(n , n (1 ))
二项分布的应用
• 总体率的区间估计 – 查表法 – 正态近似法
• 单个样本率与总体率比较 – 直接计算概率法
– 正态近似法 • 两样本率的比较
总体率的区间估计
• 查表法：当n≤50时可查表求总体率的95%或 99%可信区间(附表7)。
概率分布中的二项分布与多项分布
概率分布是统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在可能取值上的概率分布。
二项分布和多项分布是概率分布中的两种重要形式，它们在实际生活和科学研究中都有广泛的应用。
首先，我们来看一下二项分布。
二项分布描述了在进行重复的独立实验中，成功的次数的概率分布。
其中每次实验只有两个可能的结果，即成功和失败。
这样的实验称为伯努利试验。
二项分布的概率质量函数可以表示为f(x) = C(n, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中n是试验的次数，x是成功的次数，p是每次试验成功的概率。
其中C(n, x)是组合数，表示从n次试验中选择x次成功的组合数。
二项分布的应用非常广泛。
例如，在投掷硬币的实验中，假设每次投掷为伯努利试验，成功的定义为出现正面。
那么投掷n次硬币，出现x次正面的概率就可以用二项分布来描述。
又如，在药物治疗的实验中，每个病人是否痊愈可以看作是一个伯努利试验。
那么在治疗n个病人中，有x个病人痊愈的概率也可以用二项分布来描述。
接下来，我们来看一下多项分布。
多项分布描述了在进行重复的独立实验中，多个离散型结果的概率分布。
每次实验有多个可能的结果，且每个结果出现的概率是固定的。
多项分布的概率质量函数可以表示为f(x1, x2, ..., xn) =(n! / (x1! * x2! * ... * xn!)) * p1^x1 * p2^x2 * ... * pn^xn，其中n是试验的次数，xi是第i个结果出现的次数，pi是第i个结果出现的概率。
多项分布也有广泛的应用。
例如，在骰子的实验中，每次掷骰子都有六个可能的结果，分别是1、2、3、4、5、6。
如果我们连续掷n次骰子，求出现每个结果的次数的概率分布，就可以用多项分布来描述。
又如，在调查问卷中，每个问题的答案有多个可能的选项，我们希望了解每个选项出现的次数的概率分布，也可以用多项分布来描述。
二项分布和多项分布都属于离散型的概率分布，而且它们是两种特殊形式的多项分布。
医学统计学二项分布课件
二项分布的图形特征与参数影响
• 参数影响 • 试验次数n：随着n的增大，分布趋于正态分布。 • 成功概率p：p越接近0.5，分布越对称；p越小或越大，分布越偏态。 • 应用：了解二项分布的图形特征与参数影响，有助于我们选择合适的统计方法和解释试验结果。在实际医学研究中，我们
二项分布的应用场景
医学研究中，评估某种治疗方法的有效率，可以 看作是伯努利试验，成功率为治疗有效率，通过 二项分布来描述多次试验后治疗有效的次数分布 。
公共卫生领域，二项分布可用于描述某种疾病在 人群中患病次数的分布情况，进而评估疾病的流 行程度和控制效果。
临床试验中，病人对某种药物的反应可分为有效 和无效两类，药物疗效评估可通过二项分布进行 统计分析。
二项分布的累积分布函数
定义
二项分布的累积分布函 数表示在n次独立试验 中，成功次数小于或等 于k的概率。
公式
F(x) = sum(P(X=k))， 其中k从0到x。
应用
通过累积分布函数，我 们可以计算在某个成功 次数以下的累积概率， 有助于我们分析试验结 果的分布情况。
二项分布的图形特征与参数影响
不良反应发生率
在药物临床试验中，二项分布也可用于评估药物的不良反应 发生率。通过计算不良反应发生次数与总用药人数的比例， 并利用二项分布进行统计分析，可以判断药物安全性。
流行病学研究中的疾病发病率估计
估计疾病发病率
在流行病学研究中，利用二项分布可以估计某种疾病的发病率。通过观察一段时间内某地区或人群中患病的人数 ，结合二项分布的概率计算，可以得到该疾病的发病率估计值。
软件工具
常用的统计软件如R、SPSS、 SAS等都可以进行二项分布概率
二项分布教学课件ppt
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
(0.2+0.8)3 二项分布示意图
构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现 的次数X的概率分布为：
P X CnX X 1 nX
其中X=0，1，2…，n。 n，π是二项分布的两个参数 。
对于任何二项分布，总有
中国福利彩票
发行量1500万元，特等奖100个，金额5万元； 每张彩票面值2元，中奖概率1/75000。
投入金额 未中概率 中奖概率
100元 1000元 1万元 10万元 100万元 0.99933 0.99336 0.93551 0.51341 0.00127 0.00067 0.00664 0.06449 0.48659 0.99873
例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60% 现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？
B(X;n,π)或B(n,π)。
二项分布的概率函数
• 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生
两种结果，发生的概率分别是: 和1－
• 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那 么X服从二项分布，记做 XB(n,) 或 B(X;n,π) 。
举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同 性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率， 即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率 为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为 ，相 应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡 的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，
例 实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率 π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数为
二项分布
例 设某放射性物质平均每分钟放射计数为 5。 X3。则 Xi～P(5)，i=1,2,3。据Poisson分布的可
加性可得X1+X2+X3～P(15)。
现考虑测3个1分钟的放射计数，分别记为X1, X2,
0.2
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16
即该放射性物质平均每 30 分钟脉冲计数 的95%可信区间为322.8～397.2个。
样本均数与总体均数的比较
直接计算概率法 正态近似法
u
X 0
0
直接计算概率法
例5.16
H 0： 此地区患病率与一般患病率相等，即 0
H 1： 此地区患病率高于一般患病率，即 0
从某学校随机抽取 26 名学生，发现有 4 名
感染沙眼，试求该校沙眼感染率 95%可信区间
本例 n=26， X =4，查附表 3 的可信度为 95%的 可信区间为(4%，35%)。
总体率的可信区间(正态近似法）
p u
S , p u S p p
例5.4
估计显效率的95%的可信区间
10
20
Poisson分布的正态近似
当20时已接近正态分布，当50时则非 常接近正态分布。
Poisson分布的性质
当20时已接近正态分布，当50时则 非常接近正态分布。 方差等于均数: 2= 泊松分布资料的可加性
服从Poisson分布也有三个条件
二项分布的现实例子
二项分布的现实例子二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在现实生活中，我们可以找到许多与二项分布相关的实际例子。
本文将介绍几个常见的二项分布现实例子，并解释其应用。
一、硬币投掷硬币投掷是最常见的二项分布实例之一。
当我们投掷一枚硬币时，每次投掷都是一个伯努利试验，成功可以定义为正面朝上，失败可以定义为反面朝上。
假设我们投掷硬币10次，成功次数可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9或10。
通过计算每个成功次数的概率，我们可以得到一个二项分布。
二、产品质量检验在制造业中，产品质量检验是一个重要的环节。
假设某公司生产了1000个产品，每个产品都有一定的概率存在缺陷。
我们可以将每个产品是否存在缺陷定义为一个伯努利试验，成功表示存在缺陷，失败表示不存在缺陷。
通过对这1000个产品进行质量检验，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断产品质量的合格率。
三、选举投票选举投票是另一个与二项分布相关的实际例子。
假设某个选区有10000名选民，每个选民都有一定的概率投票给候选人A。
我们可以将每个选民是否投票给候选人A定义为一个伯努利试验，成功表示投票给候选人A，失败表示投票给其他候选人。
通过对这10000名选民进行投票，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断候选人A的选举胜率。
四、赌博游戏赌博游戏中的赌注结果也可以用二项分布来描述。
例如，在掷骰子游戏中，每次掷骰子都是一个伯努利试验，成功可以定义为掷出指定的点数，失败可以定义为掷出其他点数。
通过多次掷骰子，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断赌注的胜率。
五、市场营销市场营销中的广告点击率也可以用二项分布来描述。
假设某公司在互联网上投放了1000次广告，每次广告的点击率为0.1。
我们可以将每次广告是否被点击定义为一个伯努利试验，成功表示被点击，失败表示未被点击。
通过对这1000次广告的点击情况进行统计，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而评估广告的效果。
二项分布及其应用
本例0=0.01，n=400，x=1，根据题意需求最多有1例染
色体异常的概率，按二项分布的概率函数得
(3) 做出推断结论: P >0.05，按 =0.05检验水准不拒绝H0，尚 不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。
1、样本率与已知总体率的比较：
(2) 正态近似法: 当 n0 和 n(1-0) 均大于5时,
用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信区间得该 法近期有效率的95%可信区间为19%64%。
由于附表7百分率的可信区间中值只列出了x n/2的部分，当x>n/2时，应以n -x查表，再从100
中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
其中,
布的应用
（二）假设 检验1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法: 例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治 愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观 察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
（1）建立假设，确定检验水准。
（2） 计算检验统计量 。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
二项分布、泊松分布和正态分布的关系及其应用
二项分布、泊松分布和正态分布的关系及其应用二项分布、泊松分布和正态分布是统计学中常见的三种分布类型，它们在描述随机变量的分布和概率方面有着重要的应用。
本文将介绍这三种分布的基本概念和特点，探讨它们之间的关系，并结合实际应用场景进行分析。
一、二项分布二项分布是描述一组独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，其中每次试验有两种可能的结果：成功或失败。
假设试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，进行n次试验后成功的次数X服从二项分布。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)C(n, k)表示组合数，表示在n次试验中成功k次的概率。
二项分布在实际应用中有着广泛的应用，例如在质量控制中描述次品率、在市场营销中描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间或单位空间内事件发生次数的概率分布，常用于描述罕见事件的发生概率，如自然灾害的发生次数、电话交换机接到呼叫的次数等。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布的特点是均值和方差相等，且当n充分大、p充分小、np=λ时，二项分布可以近似地表示为泊松分布。
泊松分布在实际应用中有着丰富的场景，如在交通流量预测中描述交通事故发生的次数、在医学统计中描述疾病发作的次数等。
三、正态分布正态分布（又称高斯分布）是统计学中最常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟型曲线，具有单峰对称的特点。
正态分布在自然界和社会现象中均有广泛应用，如身高、体重、考试成绩等往往服从正态分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)μ表示均值，σ^2表示方差。
正态分布具有许多有用的性质，比如68-95-99.7法则，大部分数据分布在均值附近，以及许多随机变量的总和或平均值都近似服从正态分布等。
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二项分布的概念
统计学是现代科学中不可或缺的一个重要分支，而二项分布是其中一个重要的概念。
二项分布是一种离散的概率分布，在实际应用中广泛运用于各个领域。
本文将从二项分布的定义、性质以及实际应用等方面进行详细的介绍和分析。
一、二项分布的定义
二项分布是指在n次独立的伯努利试验中，成功的次数X服从的概率分布。
伯努利试验是指只有两种结果的随机试验，例如抛硬币、扔骰子等。
如果试验成功的概率为p，失败的概率为q，且p+q=1，则X的概率分布为：
P(X=k)=C(n,k)p^kq^(n-k)
其中C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，p表示试验成功的概率，q表示试验失败的概率，k表示成功的次数，n表示试验的总次数。
二、二项分布的性质
1. 期望值和方差
二项分布的期望值为：
E(X)=np
其方差为：
Var(X)=npq
其中n表示试验的总次数，p表示试验成功的概率，q表示试验失败的概率。
2. 二项分布的形态
二项分布的形态随着试验次数n和成功概率p的变化而变化。
当成功概率p较小，试验次数n较大时，二项分布的形态会变得比较宽扁，而当成功概率p较大，试验次数n较小时，二项分布的形态会变得比较尖锐。
3. 二项分布的特点
二项分布具有以下几个特点：
（1）二项分布是一种离散的概率分布，只有整数值。
（2）二项分布的概率密度函数是非对称的，且分布的形态会随着试验次数和成功概率的变化而变化。
（3）二项分布的期望值和方差可以通过试验次数和成功概率计算得出。
三、二项分布的实际应用
二项分布在实际应用中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 质量控制
在质量控制中，二项分布可以用来描述产品的合格率。
例如，某工厂生产了1000件产品，其中有50件不合格品。
如果我们想知道下一批产品中有多少个不合格品，就可以使用二项分布来计算概率。
2. 股票投资
在股票投资中，二项分布可以用来描述股票价格的涨跌。
例如，某股票有50%的概率上涨，50%的概率下跌，我们可以使用二项分布
来计算在n次交易中股票价格上涨k次的概率。
3. 医学研究
在医学研究中，二项分布可以用来描述药物治疗的疗效。
例如，某药物治疗成功的概率为60%，我们可以使用二项分布来计算在n次治疗中治疗成功k次的概率。
4. 气象预测
在气象预测中，二项分布可以用来描述天气状况的变化。
例如，某地区有30%的概率下雨，70%的概率不下雨，我们可以使用二项分
布来计算在n天中下雨k天的概率。
四、总结
二项分布是一种重要的概率分布，在实际应用中具有广泛的应用。
本文从二项分布的定义、性质以及实际应用等方面进行了详细的介绍和分析。
希望本文能够为读者对二项分布有更深入的理解和应用提供帮助。