1-二项分布
【高中数学选修第三册】第七章二项分布1
7.4 二项分布与超几何分布7.4.1 二项分布新版课程标准学业水平要求1.结合生活中的实例,了解二项分布;2.了解二项分布的均值和方差及其意义. 1.结合教材实例,了解二项分布的概念.(数学抽象)2.会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算)3.能利用二项分布概率模型解决实际问题.(数学建模)必备知识·素养奠基1.n重伯努利试验(1)伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)定义:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.(3)特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.定义中“重复”的含义是什么?提示:“重复”意味着各次试验成功的概率相同.2.二项分布(1)定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P=p k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布.(2)记法:X～B.(3)结论:P=1.(4)确定一个二项分布模型的步骤:①明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;②确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X～B.3.二项分布的均值与方差如果,X～B,那么E=np,D=np.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)依次投掷四枚质地不同的骰子,点数1出现2次的试验是4重伯努利试验.( )(2)若随机变量X～B,则X=1,2,…,n.()(3)若随机变量X～B,则P=·p k.( )提示:(1)×.因为骰子的质地不同,点数1出现的概率不同,因此不是4重伯努利试验.(2)×.X=0,1,2,…,n.(3)×.P=p k,k=0,1,2,…,n.2.(2020·钦州高二检测)某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为,现甲参加3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为,现甲参加3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为P=×=.3.某一批植物种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.由n重伯努利试验恰有k次发生的概率公式得:P==.关键能力·素养形成类型一求n重伯努利试验的概率【典例】1.(2020·临汾高二检测)随着二胎政策的开放,越来越多中年女性选择放下手中的工作,为二胎做准备.某公司为了使广大中年女性安心备孕,且不影响公司的正常效益,对公司所有中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6名中年女性,若每名中年女性倾向于生二胎的概率为,且各名中年女性之间不相互影响,则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为( )A. B. C. D.2.(2020·丰台高二检测)某篮球运动员在训练过程中,每次从罚球线罚球的命中率是,且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.(1)求他第1次罚球不中,后3次罚球都中的概率;(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.【思维·引】1.转化为6重伯努利试验,一次试验发生的概率为;2.(1)利用概率的乘法公式计算;(2)利用4重伯努利试验的概率公式计算.【解析】1.选C.依题意,所求概率为··=15××=.2.(1)设该篮球运动员第1次罚球不中,后3次罚球都中为事件A,则第i(i=1,2,3,4)次罚球命中为事件B i,则A=B2B3B4;因为每次罚球的结果相互独立,所以所求的概率为P(A)=P()P(B2)P(B3)P(B4)=×××=.(2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量,则X～B,所以所求的概率为P(X=3)=··=.【内化·悟】你能列举出几个常见的n重伯努利试验的例子吗?提示:(1)反复抛掷一枚质地均匀的硬币.(2)正(次)品率的抽样.(3)有放回抽样.(4)射手射击目标命中率已知的若干次射击.【类题·通】关于n重伯努利试验概率的计算首先要判断是否符合n重伯努利试验的特征,其次求出一次试验的概率,最后用n 重伯努利试验的概率公式计算.【习练·破】某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,设X表示击中目标的次数,则P(X≥2)等于________.【解析】击中目标的次数X≥2,则击中次数为3次或2次.P(x=3)=0.63=,P(x=2)=0.62×0.4=,所以P(x≥2)=P(x=3)+P(x=2)=.答案:类型二求服从二项分布的随机变量的分布列【典例】某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如表:一次购物款[0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞) (单位:元)顾客人数20 a 30 20 b统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%,该商场每日大约有4 000名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品.(1)试确定a,b的值,并估计每日应准备纪念品的数量;(2)现有4人前去该商场购物,求获得纪念品的数量ξ的分布列.【思维·引】(1)先计算购物款不低于150元的人数,再求b,a.(2)先计算1人获得纪念品的概率,再利用4重伯努利试验求概率、分布列.【解析】(1)由已知,100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b+20=100×30%,b=10;a=100-(20+30+20+10)=20.该商场每日应准备纪念品的数量大约为4 000×=2 400.(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率P==,故4人购物获得纪念品的数量ξ服从二项分布ξ～B,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,所以ξ的分布列为:ξ0 1 2 3 4P【内化·悟】利用二项分布求分布列的步骤是什么?提示:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.【类题·通】关于利用二项分布求分布列(1)关键是确定随机变量服从二项分布,以及二项分布中的相关参数;(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.【习练·破】高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率;(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列.【解析】(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,则P(X=3)=××=,P(X=4)=××=,P(X=5)=××=.所以至少有3次发芽成功的概率P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=++==.(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=5)=×1=.所以ξ的分布列为:ξ 1 2 3 4 5P【加练·固】在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.(1)求油罐被引爆的概率;(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率. 【解析】(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆,没有引爆的可能情况是:射击5次只击中一次或一次也没有击中,故该事件的概率为··+,所以所求的概率为1-=.(2)当X=4时记为事件A,则P(A)=···=.当X=5时,意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件B则P(B)=··+=,所以射击次数不小于4的概率为+=.类型三二项分布模型的应用角度1 求均值、方差【典例】(2020·广州高二检测)已知随机变量X～B,那么随机变量X的均值E(X)=( )A. B. C.2 D.【思维·引】利用二项分布的均值公式计算.【解析】选B.因为随机变量X～B,所以E(X)=4×=.答案:【素养·探】★本例考查二项分布的均值、方差的公差计算,同时考查了数学运算的核心素养.本例若随机变量X～B(n,p),若E(ξ)=3,D(ξ)=2,求n的值.【解析】因为随机变量X～B(n,p),所以E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p),因为E(ξ)=3,D(ξ)=2,所以np=3①;np(1-p)=2②.把①代入②得到1-p=,所以p=,把p的值代入①,得到n=9.答案:9角度2 解决实际问题【典例】(2020·海口高二检测)假定人们对某种特别的花粉过敏的概率为0.25,现在检验20名大学生志愿者是否对这种花粉过敏.(1)求样本中恰好有两人过敏的概率及至少有2人过敏的概率;(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于99.9%,则抽取的样本容量至少要多大?(3)若检验后发现20名大学生中过敏的不到2人,这说明了什么?试分析原因. 附:0.7518=0.005 6,0.7519=0.004 2,0.7520=0.003,lg 0.75=-0.124 9.【思维·引】(1)利用对立事件简化概率计算;(2)利用概率公式列出不等式,通过对数运算求样本容量的范围;(3)从假设、抽样检验的科学性分析.【解析】(1)设样本中对花粉过敏的人数为X,则X～B(20,0.25),所以P(X=2)=×0.252×0.7518=0.067,P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.7520-×0.25×0.7519=1-0.003-0.021=0.976.所以样本中恰好有两人过敏的概率为0.067,至少有2人过敏的概率为0.976.(2)设样本容量为n,该样本中检测到对花粉过敏的人数为Y,则Y～B(n,0.25), 所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.75n>99.9%,解得0.75n<0.001,取对数得nlg0.75<-3,解得n>=24.02,所以抽取的样本容量至少为25人.(3)由(1)知检验的20人中不到2人过敏的概率为1-0.976=0.024,此概率非常小,在正常情况下一次试验中几乎不会发生,出现这种情况的原因可能有:①原假设不成立,即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25.②检验的样本只针对大学生,没有随机性.③检验的环节出现了问题.【类题·通】关于二项分布的应用(1)若随机变量符合二项分布,则可直接利用公式求均值和方差;(2)在一些综合性的问题中,二项分布模型要与其他的概率知识,如独立事件同时发生,抽样等知识相结合应用.解题过程中要分清随机变量取值的实际意义,利用相关的概率知识解题.【习练·破】甲、乙两人进行投篮比赛,两人各投3球,谁投进的球多谁获胜,已知每次投篮甲投进的概率为,乙投进的概率为,求:(1)甲投进2球且乙投进1球的概率;(2)在甲第一次投篮未进条件下,甲最终获胜的概率.【解析】(1)甲投进2球的概率是×=,乙投进1球的概率是×=.所以甲投进2球且乙投进1球的概率为×=.(2)甲第一次未进最终获胜的情况有:①甲后2球都投进,乙投进1球或都不进: P1=×·=×=.②甲后2球进1球,乙都不进.P2=×××=×=,所以甲第一次投篮未进,最终获胜的概率为P1+P2=.课堂检测·素养达标1.下列随机变量X不服从二项分布的是( )A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数【解析】选B.选项A,试验出现的结果只有两种:点数为6和点数不为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为,每一次试验都是独立的,故随机变量X服从二项分布;选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种,每一次试验事件相互独立且概率不发生变化,但随机变量的取值不确定,故随机变量X不服从二项分布;选项C,甲、乙的获胜率相等,进行5局比赛,相当于进行了5次独立重复试验,故X服从二项分布;选项D,由二项分布的定义,可知被感染次数X～B(n,0.3).2.在比赛中运动员甲获胜的概率是,假设每次比赛互不影响,那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.由n次独立重复试验的概率计算公式,得·=.3.现有5个人独立地破译某个密码,已知每人单独译出密码的概率均为p,且<p<1,则恰有三个人译出密码的概率是( )A.p3B.p2(1-p)3C.p3(1-p)2D.1-(1-p)2【解析】选C.由题意可知,恰有三个人译出密码的概率P=p3(1-p)2.4.为响应国家“足球进校园”的号召,某校成立了足球队,假设在一次训练中,队员甲有10次的射门机会,且他每次射门踢进球的概率均为0.6,每次射门的结果相互独立,则他最有可能踢进球的个数是( )A.5B.6C.7D.8【解析】选B.某校成立了足球队,假设在一次训练中,队员甲有10次的射门机会,且他每次射门踢进球的概率均为0.6,每次射门的结果相互独立,他踢进球的个数X～B(10,0.6),E(X)=10×0.6=6,则他最有可能踢进球的个数是6.5.设X～B(4,p),且P(X=2)=,那么一次试验成功的概率p是________.【解析】P(X=2)=p2(1-p)2=,即p2(1-p)2=,解得p=或p=.答案:或【新情境·新思维】设随机变量Y满足Y～B,则函数f(x)=x2-4x+4Y无零点的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选A.因为函数f(x)=x2-4x+4Y无零点,所以Δ=(-4)2-4×1×4Y<0,所以Y>1,所以P(Y>1)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=++=.。
二项分布教学课件ppt
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
(0.2+0.8)3 二项分布示意图
构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现 的次数X的概率分布为：
P X CnX X 1 nX
其中X=0，1，2…，n。 n，π是二项分布的两个参数 。
对于任何二项分布，总有
中国福利彩票
发行量1500万元，特等奖100个，金额5万元； 每张彩票面值2元，中奖概率1/75000。
投入金额 未中概率 中奖概率
100元 1000元 1万元 10万元 100万元 0.99933 0.99336 0.93551 0.51341 0.00127 0.00067 0.00664 0.06449 0.48659 0.99873
例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60% 现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？
B(X;n,π)或B(n,π)。
二项分布的概率函数
• 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生
两种结果，发生的概率分别是: 和1－
• 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那 么X服从二项分布，记做 XB(n,) 或 B(X;n,π) 。
举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同 性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率， 即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率 为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为 ，相 应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡 的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，
例 实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率 π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数为
1-4 二项分布[26页]
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二項分布：
設白努利試驗成功的機率為 p，失敗的機率為 q 1 p，
其中 p 0，q 0。令隨機變數 X 的取值表示此試驗獨立 重複試驗 n 次中成功的次數，則隨機變數 X 的機率質量
函數為
P(X
k)
C
n k
p k q n k，
k
0
，1
，2 ，L
，n。
此隨機變數 X 的機率分布稱為二項分布，記為B(n , p)。
1-4 二項分布
重複試驗 二項分布 二項分布的性質
翰林版 1-4 二項分布 page 1/26
重複試驗 p.40~p.42
翰林版 1-4 二項分布 page 2/26
如果一個隨機試驗的結果僅有兩種情形，就稱為一個 白努利試驗。
「在相同條件下重複執行一個試驗」稱為重複試驗， 而當每次結果互不影響時，稱為獨立重複試驗。
5
5
由題意看出隨機變數
X
的機率分布為二項分布
B
10
,
2 5
則 X 的機率質量函數為
P(X
k)
C
10 k
2 k 5
3 5
10k，
k
0，1，2，L ，10
3 p.45
翰林版 1-4 二項分布 page 6/26
小聖是網球大砲型發球選手，根據對戰記錄，在每一發球局的 4
個發球中，發出 Ace 球(發球得分)的機率為 1 且符合二項分布， 4
其機率質量函數圖如右圖
4 p.47
翰林版 1-4 二項分布 page 13/26
假設隨機變數 X 的取值表示投擲一枚硬幣 4 次後，正面出現的
總次數，試於下列條件下繪出其機率質量函數圖，並求隨機變
二项分布概念与图表和查表方法
二项分布概念与图表二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：二项分布公式二项分布公式P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布。
其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)期望：Eξ=np；方差：Dξ=npq；其中q=1-p证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。
因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。
设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).因X(k)相互独立，所以期望：方差：证毕。
如果1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。
在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。
二项分布可二项分布，即x变量具有μ =np，的正态分布。
式中n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1- p。
由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用μ和σ而不用X和S表示。
它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数μ =np，成功次数的分散程。
7.4.1二项分布教学设计-高二下学期数学人教A版(2019)选择性
（15min）
通过课堂小测的形式及时把握学生本节课的学习情况。
【例题】
将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率。
总结归纳涉及二项分布的概率统计题目该如何处理。
结合本节课的所学知识完成例题。
解：设 =“正面朝上”
完整板书判定定理可以起到强调作用，并有利于课堂小结的时带领学生回顾。
用提问的形式对二项分布的定义进行补充解释说明。
【提问1】学习完二项分布的定义后，请同学们回答一下 各个参数的含义是什么呢？
【提问2】如何判断一个随机变量是否服从二项分布？
【提问3】二项分布的分布与我们之前学习过的什么长得பைடு நூலகம்相似？
【提问4】同学们可以写出二项式定理的公式吗？
则
用 表示事件 发生的次数，那么有
（1）令 ，则
（2）正片朝上的概率在[0.4,0.6]内等价于 ，则
通过一道简单的抛硬币问题让学生充分二项分布的定义，知道哪一些是易错知识点，在后续做题中进行规避。设置这一道例题难度不算大，主要是让学生了解解题过程应该如何书写会更加严谨，逻辑更加清晰明了。
课堂小结
（4min）
通过具体问题，一步步引出本节课的学习内容。
讲授新知
（10min）
如果在 重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概率为 ，用 表示事件 发生的次数，则 的分布列为： ，其中 ，如果随机变量 的分布列有上式的形式，则称随机变量 服从二项分布，记作
认真听老师讲解并学习二项分布的定义，明白二项分布的分布列的表示形式。
射中靶子与不射中靶子两种情况。
伯努利实验。
二项分布概念及图表和查表方法
目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例定义统计学定义在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。
实际上，当时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)二项分布公式式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。
所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。
概念二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。
二项分布公式如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
二项分布_卡方检验1
二项分布的概念
二项分布是一种重要的离散型分布，也 称为伯努利分布，是用来描述二分类变 量得两种观察结果的出现规律的一种离 散型分布。
常用于总体率的估计和两样本率的比较
等。
二项分布的概率
设总体中的每一观察单位具有相互对立的一种 结果，如有效或无效、阴性或阳性。 已知发生某一结果（如阳性）的概率为π，此概 率对于每一个个体是相同的；其对立结果（阴 性）发生的概率为1-π，各单位的观察结果相互 独立，则从该总体中随机抽取 n 例，其中恰有 X 例是某一结果（阳性）的概率为：
2 ARC （A T ) 2 ＝ ＝n ( 1) T n R nC 2
ν=（R-1）（C-1）
R×C表资料的2检验的注意事项
R×C表资料2检验中，如假设检验的结果拒绝H0， 只能认为各总体率或总体构成比不全相等，但不能 说明它们彼此之间都有差别，要解决这个问题必须 通过2分割进行率或构成比的多重比较。 对行×列表资料进行检验时，一般认为不能有 1/5以 上的格子的理论频数小于5，也不能有任何一个格子 的理论频数小于1，否则很容易导致分析结果出现偏 性。如果出现这种情况，可采取以下解决方法：
0.0 0 5 10 15 20 25
2 检验
2检验是一种用途非常广泛的以2分布
为理论依据的假设检验方法，主要用于：
– 两个或多个总体率或构成比的比较； – 两个分类变量之间的关联分析； – 频数分布资料的拟和优度检验等。
2 检验的基本思想
实际频数和理论频数差异的大小可以用 2 值的大 小来说明，当样本量n和各个按检验假设计算的理 ) 论频数T都足够大时，比如n≥40，T≥5， （A T值近 T 似于2分布，n越大，近似程度越好。
7.4.1二项分布课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
二、二项散布
思考: 如果连续射击4次, 类比上面的分析, 表示中靶次数 X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的散布列.
(1) 表示中靶次数X等于2的结果有： A1A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 ,
A1 A2 A3 A4 , A1A2 A3 A4 , A1A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4. 共6个.
P(X=5)= C150×0.55×(1-0.5)5
= C150×0.510
= 252 = 63 . 1024 256
(2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6, 于是
P(4≤X≤6)= C140×0.510+ C150×0.510 + C160×0.510
= 672 = 21. 1024 32
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三、二项散布的均值与方差 探究:假设随机变量X服从二项散布B(n, p), 那么X的均值和方差
各是什么？
从简单开始, 先考察n较小的情况. (1)当n=1时, X服从两点散布, 散布列为 P(X=0)=1-p, P(X=1)=p. 均值和方差分别为 E(X)=p, D(X)=p(1-p). (2)当n=2时, X的散布列为
p1 = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =C53×0.63×0.42+C54×0.64×0.41+C55×0.65 = 0.68256.
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利. 实际上, 比赛局数 越多, 对实力较强者越有利.
思考 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率? 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影
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例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次, 求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率; (2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
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分析理解
每次射击都有两种可能的结果：击中目标或没击 3 中目标，并且每次击中目标的概率都是p= — ，没击 4 1 中目标的概率均为1-p= — ，在对目标进行的4次射击 4 中，击中目标次数X的取值为0、1、2、3、4。
X=k
0
1
2
3
4
P(X=k)
在上面的问题中，如果将一次射击看成做了一次 试验，思考如下问题： 1.一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结 果？ 2.如果将每次试验的两个可能的结果分别称为“成功” （击中目标）和“失败”（没击中目标），那么，每 次试验成功的概率是多少？它们相同吗？ 3.各次试验是否相互独立？独立性在随机变量X的分布 列的计算中，具体应用在哪里？
交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
，
设X为途中遇到红灯的次数，求：
（1）随机变量X的分布列。 （2）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
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例8:n支步枪独立射击目标，每支步枪的命中率都 是0.001，求至少有一支步枪命中目标的概率，并 试讨论n充分大时的结果。 例9:一批机床，每台发生故障的概率均为0.01， 且发生故障后由一个维修工就可排除。现甲厂 订购了20台机床，配备了1名维修工,乙厂订购 了80台机床，配备了3名维修工。试问:甲、乙 两厂因机床故障又不能及时维修的概率各是多 少？比较这两个概率，有什么实际义？（可以 使用计算器完成习题）
例2:小明和小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则 如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷， 小明共投掷n次，X为“1”点出现的个数，小华 共投掷m次，Y为“2”点出现的个数。问随机变 量X，Y是否服从二项分布？ 例3:某车间有5台机床，每台机床正常工作与否 彼此独立，且正常工作的概率均为0.2。设每台 机床工作时需电力10kw，但因电力系统发生故障 现只能提供30 kw的电力，问此时车间不能正常 工作的概率有多大？
——二项分布的概率背景
二项分布定义
进行n次独立重复试验，如果满足以下条件： （1）每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别 称为“成功”和“失败”； （2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”概率 均为1-p； （3）各次试验是相互独立的。 用X表示这n次试验中成功的次数，则
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为 n，p的二项分布,简记为XB(n,p)。
二项分布
复习——超几何分布的概率背景
实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类含 有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这 n件中所含 这类物品件数X是一个随机变量,并且符合超几何分布。
新课——实例引入
某射击运动员进行了4次射击,假设每次射击击中目 3 标的概率都为 — ，且各次击中目标与否是相互独立的。 4 用X表示这4次射击中击中目标的次数，求X的分布列。
• 例4：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，求： (1) 恰好出现3个正面，一个反面的概率。 (2) 前3次正面，第4次反面的概率。
例5：甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目 1 标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 2 ， 2 3 求：
（1）甲恰好击中目标2次的概率。 （2）乙至少击中目标2次的概率。 （3）乙恰好比甲多击中2次的概率。
• 练习：
3 2 • 甲乙两人击各射一次击中目标的概率是 和 ， 3 4
每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概 率。 （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次 且乙恰好击中目标3次的概率。 （3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射 击，问：乙恰好射击5次被终止射击的概率是多 少？
• 例6：甲乙两围棋手进行比赛，已知每一局比赛中甲获 胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4. （1）如采用“三局两胜制”，求甲胜的概率。 （2）如采用“五局三胜制”，求甲胜的概率。 （3）在以上两种比赛的制度下，采用哪一种假设在各个
假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，
• 练习： 某射手进行设计训练，假设每次射击击中目标 的概率为0.6，且各次射击的结果互不影响。该 射手射击了5次，求： （1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率。 （2）其中恰有3次击中目标的概率。 （3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次 没有击中目标的概率。 。
概念强化及应用 （1）掷n枚相同的骰子子，X为出现“1”点的次数； （2）n个新生婴儿，X为男婴的个数； （3）某产品的次品率为p，X为n个产品中的次品数； （4）女性患色盲的概率为0.25%，X为任取n个女人中 患色盲的人数。 例1:某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且 发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9。求发生险 情时，下列事件的概率： （1）3台都没报警； （2）恰有一台报警； （3）恰有2台报警； （4）3台都报警； （5）至少有2台报警； （6）至少有1台报警。