二项分布课件
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医学统计学二项分布课件
医学统计学二项分布课件xx年xx月xx日•二项分布概述•二项分布数学模型•二项分布的参数估计•二项分布与其它分布的关系目•二项分布的应用实例•二项分布在SPSS和R语言中的应用录01二项分布概述二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立的是/非试验中成功的次数的概率分布。
其中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
定义B(n, p) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)公式二项分布的定义二项分布的特点二项分布在n次独立的是/非试验中成功的次数。
二项分布的随机变量取值为0，1，2，…，n。
在n次独立的是/非试验中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
描述病情变化在医学领域中，病情变化是一个二项分布的过程。
病情可能变好也可能变坏，每次试验可以看作是医生对病情的观察和评估。
临床试验设计在临床试验中，通常将二项分布应用于设计试验方案和分析数据。
例如，在随机对照试验中，将患者随机分为试验组和对照组，比较两组的有效率或成功率等指标。
诊断和预后在医学诊断和预后评估中，通常将二项分布应用于计算概率和可信区间。
例如，计算某疾病的发病率、某检查手段的阳性率等指标。
二项分布在医学统计学中的应用02二项分布数学模型二项分布概率函数公式：$P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$其中 $C(n, k)$ 表示组合数，$p$ 表示每次试验成功的概率，$n$ 表示试验次数二项分布概率函数二项分布的均值$E(X) = np$二项分布的方差$D(X) = np(1-p)$二项分布的均值和方差二项分布曲线是一个钟形曲线随着 $n$ 的增大，曲线越来越接近正态分布曲线二项分布曲线的形状03二项分布的参数估计样本大小的选择确定样本量医学研究中，样本量的选择是至关重要的。
通常根据研究目的、研究因素的数量和研究因素的水平数来决定样本量。
考虑变异性和研究因素在选择样本量时，需要考虑研究因素的变异性和水平数。
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
7.4.1二项分布PPT课件(人教版)
二、素养训练
1．某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率都为45，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的 概率是( )
12 A.125
48 B.125
16 C.125
96 D.125
解析 播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为 C23452×1－45＝14285.
答案 B
2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第 X 次首次测到正
解析 设出现正面向上的次数为 X，则 X～B5，12，故 P(X＝3)＝C351231－122＝156.
答案
5 16
3．某人射击一次击中目标的概率为0.6, 经过3次射击， 此人至少有两次击中目标的概 率为__________． 解析 设击中目标的次数为X，则X～B(3，0.6)． 故 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C230.62(1－0.6)＋C330.63＝0.648.
好发生 k 次的概率 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
(√)
[微训练]
1．已知 X～B6，13，则 P(X＝4)＝__________．
解析 P(X＝4)＝C461341－132＝22403.
答案
20 243
2．连续掷一枚硬币5次， 恰好有3次出现正面向上的概率是__________．
1．n重伯努利实验的概念 只包含__两__个可能结果的实验叫做伯努利实验，将一个伯努利实验独立地重 复进行n次所组成的随机实验称为n重伯努利实验．
2．n重伯努利实验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利实验重复做n次； (2)各次实验的结果相互独立．
3．二项散布 一般地，在n重伯努利实验中，设每次实验中事件A产生的概率为p(0<p<1)， 用X表示事件A产生的次数，则X的散布列为： P(X＝k)＝___C_nk_p_k_(1_－__p_)_n－_k____，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的散布列具有上式的情势，则称随机变量X服从二项散布，记作 __X__～__B_(_n_，__p_) ______． 4 ． 一 般 地 ， 可 以 证 明 ： 如 果 X ～ B(n ， p) ， 那 么 E(X) ＝ np ， D(X) ＝ ___n_p_(1_－__p_)_______．
二项分布教学课件ppt
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
(0.2+0.8)3 二项分布示意图
构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现 的次数X的概率分布为：
P X CnX X 1 nX
其中X=0，1，2…，n。 n，π是二项分布的两个参数 。
对于任何二项分布，总有
中国福利彩票
发行量1500万元，特等奖100个，金额5万元； 每张彩票面值2元，中奖概率1/75000。
投入金额 未中概率 中奖概率
100元 1000元 1万元 10万元 100万元 0.99933 0.99336 0.93551 0.51341 0.00127 0.00067 0.00664 0.06449 0.48659 0.99873
例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60% 现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？
B(X;n,π)或B(n,π)。
二项分布的概率函数
• 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生
两种结果，发生的概率分别是: 和1－
• 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那 么X服从二项分布，记做 XB(n,) 或 B(X;n,π) 。
举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同 性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率， 即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率 为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为 ，相 应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡 的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，
例 实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率 π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数为
二项分布及其应用 (2)ppt课件
中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
p
~
N
(
,
1
)
n
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
p u s p , p u s p
死 死 生 0.8 0.8 0.2 0.128
1
死 生 死 0.8 0.2 0.8 0.128
生 死 死 0.2 0.8 0.8 0.128
0
死 死 死 0.8 0.8 0.8 0.512
P（x） (5)
0.008
0.096
0.384 0.512 1.000
概率的乘法原理：几个相互独立的事件同时发生的概率等于各 事件发生概率的乘积。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
n
304
（3） 确定P值 , 做出推断结论。查表得, P<0.0005, 按 = 0.05
水准拒绝H0, 接受H1, 认为老年胃溃疡患者较一般患者更易发 生胃出血。
☺小贴士：注意事项
以上各例均为单侧检验, 若需进行双侧检验, 则P值为从H0
规定的总体中抽到现有样本以及更极端（即概率小于等于现有 样本概率）情形的累计概率。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
p
~
N
(
,
1
)
n
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
p u s p , p u s p
死 死 生 0.8 0.8 0.2 0.128
1
死 生 死 0.8 0.2 0.8 0.128
生 死 死 0.2 0.8 0.8 0.128
0
死 死 死 0.8 0.8 0.8 0.512
P（x） (5)
0.008
0.096
0.384 0.512 1.000
概率的乘法原理：几个相互独立的事件同时发生的概率等于各 事件发生概率的乘积。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
n
304
（3） 确定P值 , 做出推断结论。查表得, P<0.0005, 按 = 0.05
水准拒绝H0, 接受H1, 认为老年胃溃疡患者较一般患者更易发 生胃出血。
☺小贴士：注意事项
以上各例均为单侧检验, 若需进行双侧检验, 则P值为从H0
规定的总体中抽到现有样本以及更极端（即概率小于等于现有 样本概率）情形的累计概率。
二项分布公开课课件
概率生成函数是二项式定理的推广，用于计算在n次独立重复 试验中，随机事件恰好发生k次的概率，其公式为P(X=k) = [T^(k)] * (p * (1-p))^n，其中T是试验次数，p是随机事件发 生的概率。
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
二项分布(优秀公开课课件)
[方法技巧] n 重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及 对立事件的概率公式．
(2)运用 n 重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验 是否为 n 重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试 验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发 生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
(2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4.且 X～B4，12. 所以 P(X＝k)＝Ck412k1－124－k＝Ck4124(k＝0,1,2,3,4)． 所以随机变量 X 的分布列为
X0 1
P
1 16
1 4
2 34
3 11 8 4 16
题型三 二项分布的均值和方差 [学透用活]
[典例 3] (1)某运动员投篮投中的概率 p＝0.6，则重复 5 次投篮时投中次 数 Y 的数学期望等于________．
＝15×19×1861＝28403. 答案：28403
4．设随机变量 ξ～B6，12，则 D(ξ)等于________． 解析：因为随机变量 ξ～B6，12， 所以 D(ξ)＝6×12×1－12＝32. 答案：32
题型一 n 重伯努利试验 [学透用活]
在 n 重伯努利试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发 生的概率为 p，那么在 n 重伯努利试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率 P(X＝ k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
[学透用活] [典例 2] 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各个路口是否遇到红 灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2 min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min 的概率． [解] (1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件 A. 因为事件 A 等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯，在 第三个路口遇到红灯”， 所以事件 A 的概率为 P(A)＝1－13×1－13×13＝247.
二项分布(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
(1) 没有鸡感染病毒的概率；(2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率.
解：设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X , P( X 0) 0.85 0.32768.
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为
P(X
1)
C
1 5
0.2 0.84
0.4096.
解：由题意知,X服从二项分布,即X ~ B(4，0.5).
(1) X的分布列为
P(X
k)
C
k 4
0.54 ,k
0,1,2,3,4.
(2) E( X ) 4 0.5 2，
D( X ) 4 0.5(1 0.5) 1.
2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫 苗，求：
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概 率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用 5局3胜制对甲更有利？ 解法2：采用3局2胜制, 不妨设赛满3局, 用X表示3局比赛中 甲获胜的局数, 则X~B(3, 0.6). 甲最终获胜的概率为 p1 = P(X=2)+P(X=3)= C32×0.62×0.4+C33 ×0.63= 0.648. 采用5局3胜制, 不妨设赛满5局, 用X表示5局比赛中甲获胜 的局数, 则X~B(5, 0.6). 甲最终获胜的概率为
解：设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X , P( X 0) 0.85 0.32768.
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为
P(X
1)
C
1 5
0.2 0.84
0.4096.
解：由题意知,X服从二项分布,即X ~ B(4，0.5).
(1) X的分布列为
P(X
k)
C
k 4
0.54 ,k
0,1,2,3,4.
(2) E( X ) 4 0.5 2，
D( X ) 4 0.5(1 0.5) 1.
2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫 苗，求：
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概 率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用 5局3胜制对甲更有利？ 解法2：采用3局2胜制, 不妨设赛满3局, 用X表示3局比赛中 甲获胜的局数, 则X~B(3, 0.6). 甲最终获胜的概率为 p1 = P(X=2)+P(X=3)= C32×0.62×0.4+C33 ×0.63= 0.648. 采用5局3胜制, 不妨设赛满5局, 用X表示5局比赛中甲获胜 的局数, 则X~B(5, 0.6). 甲最终获胜的概率为
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（1）全部成活的概率为
9 4 6561 P ( X 4) C ( ) 4 10 10
4 4
（2）全部死亡的概率为
9 4 1 P ( X 0) C（1 ） 4 10 10
0 4
小结
1.二项分布
（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“ 成
功” 和“ 失败” ； （2）每次实验“ 成功” 的概率均为p，“ 失败” 的概率 均为1-p；
n投k中呢？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？ 问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？ 问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的
概率是多少？
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
分析： 令Ai
“ 第i次投中” （i 1， 2， 3， 4）
用X 表示4次投篮中投中的次数
P( X 4) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
0.8 4
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
学生探究：已知诸葛亮贡献正确意见的概率为0.9,五位谋士贡献
正确意见的概率都为0.7， 每个人必须单独征求意见，符合独立重复 试验模型.由二项分布可求出谋士团体7 (1 0.7)
k 3 k
n k
则三个人得出正确结论的概率为：
3 P 1 P(X 0) 1 C0 0.3 1 0.027 0.973 3
（3）各次实验是相互独立的.
用X 表示这n次试验中成功的次数，则 k k n k P ( X k ) Cn ( k 0,1, 2, n) p（1 p）
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X 服从参数 为n, p的二项分布，简记为X B( n, p).
2.利用二项分布解决实际问题
②有的同学可能会继续思考，10次投掷中恰有一半 朝上的可能性不大，那么增加投掷次数，比如100 次，恰好出现一半“正面朝上”的可能性会不会大 一些呢？
1 100 P(Y 50) C ( ) 0.08 2
50 100
动手实践
练习
9 种植某种树苗，成活率为 ，现在种植这种树苗 10 4棵，试求：
2 2 2 P ( X 2) C4 0.8（1 0.8） 3 3 1 P ( X 3) C4 0.8（ 1 0.8）
P ( X 4) 0.8 C 0.8（1 0.8）
4
4 4 4 0
连续投篮n次，恰好投中k次的概率为
P ( X k ) C 0.8（1 0.8） ( k 0,1, 2, n)
课后思考题：“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮” 吗? 刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有5名谋士 (不包括诸葛亮),假定对某事进行决策时,每名谋 士贡献正确意见的概率为0.7,诸葛亮贡献正确意 见的概率为0.9.现为此事可行与否而分别征求智 囊团每名谋士的意见,并按智囊团中过半数人的 意见作出决策,这样作出正确决策的概率与诸葛 亮作出正确决策的概率谁大？
3.各次实验是否相互独立？
每次实验都是相互独立的
抽象概括：
（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“ 成功”
和“ 失败” ； （2）每次实验“ 成功” 的概率均为p，“ 失败” 的概率
均为1-p； （3）各次实验是相互独立的.
用X 表示这n次试验中成功的次数，则 k k n k P ( X k ) Cn p（1 p） ( k 0,1, 2, n)
其参数各是什么？
（1）掷n枚相同的骰子，X 为出现“ 1” 点的骰子数； 1 X 服从二项分布 其参数n n，p 6 （2）n个新生儿，X 为男婴的个数（假定生男生女是等可能的）； 1 X 服从二项分布 其参数n n，p 2 （3）某产品的次品率为p，X 为n个产品中的次品数；
（4）女性患色盲的概率为0.25%，X为任取n个女人 中患色盲的人数.
2 4
9963 104
讲课： 郑海涛
俺投篮，也是 讲概率地！！
第一投，我要努力！
Ohhhh，进球拉！！！
第二投，动作要注意！！
又进了，不愧 是姚明啊 ！！
第三投，厉害了啊！！
第三次登场了！
这都进了！！ 太离谱了！
第四投，大灌蓝哦！！
……
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8， 假设他每次命中率相同，请问他4投3中的概率是 多少？
例 2. 某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击击中目标
3 的概率都为 ，且各次击中目标与否是相互独立的.用 4 X 表示这4次射击中击中目标的次数，求X的分布列.
解
3 X 服从参数为n 4，p 的二项分布 4 则它的分布列为
k 4
3 k 1 4 k P ( X k ) C（ ） ( k 0,1, 2, 3， 4) （ ） 4 4 即 1 2 4 0 3 X k
12 54 108 81 1 P( X k ) 256 256 256 256 256
目标被击中的 概率是多少？
二项分布的应用举例
掷硬币问题
①有人认为投掷一枚均匀的硬币10次，恰好5次正面 向上的概率很大。你同意他的想法吗？
1 10 p(X 5) C ( ) 0.25 2
5 10
动手实践
2 2 2 P ( X 2) C4 0.8（ 1 0.8）
恰好投中三次呢？
3 3 1 P ( X 3) C4 0.8（ 1 0.8）
0 0 4 4 C4 0.8（ 1 0.8） （1 0.8） P ( X 0)
1 1 3 P ( X 1) C4 0.8（ 1 0.8）
（1）全部成活的概率；
（2）全部死亡的概率；
（3）恰好成活3棵的概率；
（4）至少成活2棵的概率.
用X 表示4棵树苗中成活的棵数，那么X 服从参数 解： 9 为n 4，p 的二项分布，则它的分布列为 10 9 4 k k 9 k P ( X k ) C（ ） （1 ） 4 10 10
（3）恰好成活3棵的概率为
9 3 9 1 2916 P ( X 3) C ( )（1 ） 10 10 104
3 4
（4）至少成活2棵的概率为
P ( X 2) P ( X 2) P ( X 3) P( X 4)
9 2 9 2 9 1 3 9 3 4 9 4 C ( )（1 ） C4 ( ) (1 ) C4 ( ) 10 10 10 10 10
分析： P( X 0) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 )
4 （1 0.8）
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
分析：共有以下4种情况：
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4
k n k n k
思考：
在上面的投篮中，如果将一次投篮看成做了一次实验
1.一共进行了几次实验？每次实验有几个可能的结果？
4次试验
2个可能结果：投中和没投中
2.如果将每次实验的两个可能的结果分别称为“ 成功” 功的概率是多少？它们相同吗？
（投中）和“ 失败” （没投中），那么，每次实验成
每次实验成功的概率都是相同的，都为0.8
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称x服从参
数为n,p的二项分布。简记为
x～(n,p)
试验成功的概率
k n
实验失败的概率
k n k
P( X k ) C p (1 p)
（其中k= 0，1，2，· · · ，n ）
试验成功的次数 实验总次数
与二项式定理有联系吗？
例1. 下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布，
A1 A2 A3 A4
3 每种情况的概率都为： 0.81 （1 0.8）
3 P ( X 1) 4 0.81 （1 0.8）
1 3 =C1 0.8 （ 1 0.8 ） 4
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
分析：包含C2种情况 4
2 2 0.8 （ 1 0.8 ） 每种情况的概率都为：