课本PPT_二项分布
合集下载
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
1-二项分布PPT课件
分析理解
每次射击都有两种可能的结果：击中目标或没击中
目标，并且每次击中目标的概率都是p= ，—3没击中目
标的概率均为1-p= ，在—1 对目标进行的4次射4 击中，
击中目标次数X的取值为04、-1、2、3、4。
2
X=k
0
1
2
3
4
P(X=k)
在上面的问题中，如果将一次射击看成做了一次试
验，思考如下问题：
例9:一批机床，每台发生故障的概率均为0.01， 且发生故障后由一个维修工就可排除。现甲厂 订购了20台机床，配备了1名维修工,乙厂订购 了80台机床，配备了3名维修工。试问:甲、乙 两厂因机床故障又不能及时维修的概率各是多 少？比较这两个概率，有什么实际义？（可以 使用计算器完成习题）
-
9
• 练习： • 甲乙两人击各射一次击中目标的概率是 2 和 ，3
例5：甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目
标的概率为 1 ，乙每次击中目标的概率为 2 ，求：
2
3
（1）甲恰好击中目标2次的概率。
（2）乙至少击中目标2次的概率。 （3）乙恰好比甲多击中2次的概率。
-
7
• 例6：甲乙两围棋手进行比赛，已知每一局比赛中甲获 胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4. （1三胜制”，求甲胜的概率。 （3）在以上两种比赛的制度下，采用哪一种比赛甲获 胜的可能性较大？
例7：从学校到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个
交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ， 设X2 为途中遇到红灯的次数，求：
5
（1）随机变量X的分布列。 （2）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
-
8
例8:n支步枪独立射击目标，每支步枪的命中率都 是0.001，求至少有一支步枪命中目标的概率， 并试讨论n充分大时的结果。
7.4.1二项分布课件共28张PPT
示事件A发生的次数，则X的分布列为
= = × × ( − )− ， = , , …,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial
distribution），记作X~B(n,p).
X
p
0
0
n
1
0
n
1 n 1
C pq C pq
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).
甲最终获胜的概率为 =P(X=2)+P(X=3)= × . × . + × . =0.648.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B(5，0.6).甲最终获胜的概
小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右
下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的
过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下
落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一
个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等
于向右落下的次数,因此X服从二项分布。
典型例题
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但
1
n
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
…
C nk p k q n k
…
…
n
C nn p n q 0
1.二项分布中，各个参数的意义？
n：重复试验的次数；k：事件A发生的次数；p：在一次试验中，事件A发生的概率.
2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：
一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；
二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
= = × × ( − )− ， = , , …,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial
distribution），记作X~B(n,p).
X
p
0
0
n
1
0
n
1 n 1
C pq C pq
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).
甲最终获胜的概率为 =P(X=2)+P(X=3)= × . × . + × . =0.648.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B(5，0.6).甲最终获胜的概
小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右
下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的
过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下
落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一
个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等
于向右落下的次数,因此X服从二项分布。
典型例题
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但
1
n
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
…
C nk p k q n k
…
…
n
C nn p n q 0
1.二项分布中，各个参数的意义？
n：重复试验的次数；k：事件A发生的次数；p：在一次试验中，事件A发生的概率.
2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：
一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；
二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
二项分布公开课课件
概率生成函数是二项式定理的推广，用于计算在n次独立重复 试验中，随机事件恰好发生k次的概率，其公式为P(X=k) = [T^(k)] * (p * (1-p))^n，其中T是试验次数，p是随机事件发 生的概率。
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
统计学二项分布PPT资料(正式版)
查表法 对于n 50的小样本资料，直接查附表6百分率的95%或99%可信区间表，即可得到其总体率的可信区间。
验结果的出现不会影响其它试验结果出
接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 此时若用样本资料计算样本率p=X/n作为π的估计值，则
（2）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为
的估计为:
今对10名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。
概率π固定不变；
3. 重复试验是相互独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。
(二) 二项分布的性质
1. 二项分布的均数与标准差 在n次独立重
复试验中，出现“阳性”次数X的
总体均数为
n
总体方差为 2n(1)
总体标准差为 n(1)
若以率表示，则样本率p的
较为常见。 每次试验只会发生两种对立的可能结果
样本率的标准差也称为率的标准误，可用来描述样本率的抽样误差，率的标准误越小，则率的抽样误差就越小。
检验统计量u值的计算公式为:
之一，即分别发生两种结果的概率之和
如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效 如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效；
随机变量有连续型和离散型之分，相应的概率分布就可分为连续型分布和离散型分布。
感染等。 否则，拒绝H0，接受H1。
按 а水准，拒绝H0，接受H1，即新的治疗方法比常规疗法的效果好。
若从阳性率（死亡率、感染率等） 为π的总体中随机抽取大小为n的样本， 则出为X～B(n，π).
二项分布有两个参数：
的 可信区间为：
总体率 本例n=13，X=6。
2.二项分布的图形 对于二项分布而言， 当π时，分布是对称的，见图；
验结果的出现不会影响其它试验结果出
接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 此时若用样本资料计算样本率p=X/n作为π的估计值，则
（2）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为
的估计为:
今对10名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。
概率π固定不变；
3. 重复试验是相互独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。
(二) 二项分布的性质
1. 二项分布的均数与标准差 在n次独立重
复试验中，出现“阳性”次数X的
总体均数为
n
总体方差为 2n(1)
总体标准差为 n(1)
若以率表示，则样本率p的
较为常见。 每次试验只会发生两种对立的可能结果
样本率的标准差也称为率的标准误，可用来描述样本率的抽样误差，率的标准误越小，则率的抽样误差就越小。
检验统计量u值的计算公式为:
之一，即分别发生两种结果的概率之和
如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效 如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效；
随机变量有连续型和离散型之分，相应的概率分布就可分为连续型分布和离散型分布。
感染等。 否则，拒绝H0，接受H1。
按 а水准，拒绝H0，接受H1，即新的治疗方法比常规疗法的效果好。
若从阳性率（死亡率、感染率等） 为π的总体中随机抽取大小为n的样本， 则出为X～B(n，π).
二项分布有两个参数：
的 可信区间为：
总体率 本例n=13，X=6。
2.二项分布的图形 对于二项分布而言， 当π时，分布是对称的，见图；
二项分布(上课)ppt课件
【分析】
（1）有放回的抽取，则每次抽到白球的概率相同， 黑球个数x服从二项分布；
（2）无放回的抽取，则每次抽到白球的概率不同，
黑球个数x服从超几何分布；
（1）P1
C32
3 8
2
5 8
135 512
(2)P2
C32C51 C83
15 56
二项分布与超几何分布有什么区别和联系？
一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中取n 个球，记下红球的个数 .
1.离散型随机变量定义
如果随机变量 X 的所有可能的取值都 能一一列举出来，则 X 称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
3求离散型随机变量的分布列的方法和步骤：
①确定离散型随机变量的可能取值；
②分别计算出随机变量取每个值时的概率；
③列出概率分布表，即分布列.
变式二:5次中恰有3次针尖向上的概率是多少？
引申推广:
P C53 0.63 (1 0.6)53
连续掷n次，恰有k次针尖向上的概率是
P Cnk 0.6k (1 0.6)nk
定义建构
一般地，在 n 次独立重复试验中，
用X表示事件A发生的次数，设每次试验中
事件Ａ发生的概率为p，则:
P
(X
k)
P
(X
k)
C
k n
pk
(1
p)nk
（其中k = 0，1，2，···，n ）
此时称随机变量X服从二项分布，记X~B(n,p) 并称p为成功概率。
基础训练 成功体验
一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有3个交通
（1）有放回的抽取，则每次抽到白球的概率相同， 黑球个数x服从二项分布；
（2）无放回的抽取，则每次抽到白球的概率不同，
黑球个数x服从超几何分布；
（1）P1
C32
3 8
2
5 8
135 512
(2)P2
C32C51 C83
15 56
二项分布与超几何分布有什么区别和联系？
一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中取n 个球，记下红球的个数 .
1.离散型随机变量定义
如果随机变量 X 的所有可能的取值都 能一一列举出来，则 X 称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
3求离散型随机变量的分布列的方法和步骤：
①确定离散型随机变量的可能取值；
②分别计算出随机变量取每个值时的概率；
③列出概率分布表，即分布列.
变式二:5次中恰有3次针尖向上的概率是多少？
引申推广:
P C53 0.63 (1 0.6)53
连续掷n次，恰有k次针尖向上的概率是
P Cnk 0.6k (1 0.6)nk
定义建构
一般地，在 n 次独立重复试验中，
用X表示事件A发生的次数，设每次试验中
事件Ａ发生的概率为p，则:
P
(X
k)
P
(X
k)
C
k n
pk
(1
p)nk
（其中k = 0，1，2，···，n ）
此时称随机变量X服从二项分布，记X~B(n,p) 并称p为成功概率。
基础训练 成功体验
一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有3个交通
二项分布 ppt
P = C 0.9 × (1 − 0.9)
2 4 2
4− 2
次射击看成进行4次相互独立的重复试验 这4次射击看成进行 次相互独立的重复试验。 次射击看成进行 次相互独立的重复试验。 因而射击4次击中 3 次的概率可算为 因而射击 次击中
P = C 0.9 × (1 − 0.9)
3 4 3
4− 3
推广： 推广： 2、这个射手射击5次恰好击中 次的概率是： 、这个射手射击 次恰好击中 次的概率是： 次恰好击中2次的概率是
例题.某射手射击 次 例题 某射手射击1次，击中目标的概率 某射手射击 他射击4次恰好击中 是0.9,他射击 次恰好击中 次的概率 他射击 次恰好击中3 是多少？ 是多少？
分别记在第i次射击中， 分别记在第 次射击中，这个射手击中目标为事件 次射击中 Ai(i=1,2,3,4),未击中目标为事件 i(i=1,2,3,4), 未击中目标为事件A 未击中目标为事件 那么，射手射击 击中3 次共有以下情况： 那么，射手射击4 次，击中 次共有以下情况：
A ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 1 A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4
P ( A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ) = 0.9 × 0.9 × 0.9 × (1 − 0.9) = 0.9 3 × 0.1 P ( A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ) = 0.9 × 0.9 × 0.9 × (1 − 0.9) = 0.9 3 × 0.1
P = C 0.9 × (1 − 0.9)
2 4 5 2
4 5− 2
次射击看成进行4次相互独立的重复试验 这4次射击看成进行 次相互独立的重复试验。 次射击看成进行 次相互独立的重复试验。 因而射击4次击中 3 次的概率可算为 因而射击 次击中
7.4.1 二项分布课件ppt
从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概
率.
(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范
围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件
求概率.
变式训练3在一次抗洪抢险中,相关人员准备用射击的办法引爆从上游漂
流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,
所以所求的概率为
4
5
2
1
1
232
1
1- C5 ·3 · 3 + 3
= 243.
(2)当 X=4 时记为事件 A,
2
2
1
2
4
1
则 P(A)=C3 · ·
· = .
3 3
3 27
当 X=5 时,意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件 B.
3
4
2
1
1
1
1
则 P(B)=C4 · ·
+
= ,
行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很高,但他很谦虚,
自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有一个人可以做
自己的老师.这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢?我们不妨从
概率的角度来看一下.
知识梳理
二项分布
1.伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2
× =
1
,故
4
ξ~B
1
10, 4
.因此
微思考
在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗?
提示 在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试
率.
(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范
围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件
求概率.
变式训练3在一次抗洪抢险中,相关人员准备用射击的办法引爆从上游漂
流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,
所以所求的概率为
4
5
2
1
1
232
1
1- C5 ·3 · 3 + 3
= 243.
(2)当 X=4 时记为事件 A,
2
2
1
2
4
1
则 P(A)=C3 · ·
· = .
3 3
3 27
当 X=5 时,意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件 B.
3
4
2
1
1
1
1
则 P(B)=C4 · ·
+
= ,
行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很高,但他很谦虚,
自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有一个人可以做
自己的老师.这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢?我们不妨从
概率的角度来看一下.
知识梳理
二项分布
1.伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2
× =
1
,故
4
ξ~B
1
10, 4
.因此
微思考
在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗?
提示 在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
搭配課本第 32 頁
職籃選手阿鼎罰球命中率是 8 成，如果每次罰球命中是獨立事 件，4 次罰球全命中的機率是多少？
解 阿鼎 4次罚球全命中的机率是 ( 0.8 )4＝0.4096。
一般重复丢一个铜板、重复掷一个骰子或重复由一袋中抽球 ( 取后放回 ) 都是假设前后试验所得的结果是独立事件。但在实 务上常遇到取样不放回的情况，下面例题说明当母体样本数很大， 而取样次数不是很多时，则不放回的方式与放回的方式所得机率 值很接近。
(1) 若取球后放回袋中，则两事件独立。 (2) 若取球后不放回袋中，则两事件不独立。 在丢铜板与掷骰子的问题中有一个共同点，我们会假设上 次试验结果不会影响下次，即所谓独立事件。这些概念都将是 学习统计与机率十分重要的部分。
搭配課本第 31 頁
上面我们谈的是两个事件独立，n个事件A1，A2，…，An， 1 ≤ i＜j＜k＜… ≤ n，独立的定义为 (1) P ( Ai∩Aj )＝P ( Ai )．P ( Aj )， (2) P ( Ai∩Aj∩Ak )＝P ( Ai )．P ( Aj )．P ( Ak )，
P ( B│A )≠P ( B ) 时，我们称 A，B是相关事件。
搭配課本第 29 頁
日常生活中在很多状况下，事件间独立或相关的现象常被误 用。例如：某彩券行这一期开出头彩后，生意特别兴隆，表示人 们错误认知到这一家彩券行买彩券，中奖的机率会比较高。其实 每张彩券中头彩的机率是相同的，与到哪一家彩券行买是无关的。
多少？ (2) 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是多少？
解 (1) 打出安打的机率是0.3，而没打出安打的机率是0.7， 再因每次打击打出安打是独立事件，所以4次上场打击， 前两次都打出安打，后两次没安打的机率是 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.0441。
(2) 4次上场打击，共击出两次安打， 其安打出現次序有 C42種，而每一種次序的機率都是 ( 0.3 )2 ×( 0.7 )2， 所以 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是 C42 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.2646。
独立事件 重复试验 二项分布 二项分布的性质
1-2
二项分布
习题 1-2
1-2 大考试题
搭配課本第
頁
在第二册第三章我们介绍过条件机率，条件机率是当提供某 种新的信息 ( 事件A ) 后，如何重新计算某事件 ( 事件B ) 发生的 机率 ( P ( B│A ) )。我们会问两个事件是否有相关？ 如果两事件A，B无关，也就是事件A发生与否不会影响到事件B发 生的机率，即P ( B│A )＝P ( B ) 时，这种状况我们就称A，B两事 件是独立事件。 反之，如果事件A发生后，事件B发生的机率受影响，即
搭配課本第 30 頁
擲公正骰子一次，設 A 是點數不大於 3 的事件，B 為擲出 2，4 點的事件， C 是點數不小於 3 的事件。試問： (1) A，B 是否為獨立事件？ (2) A，C 是否為獨立事件？
搭配課本第 31 頁
上面例子以袋中取球为例，说明两事件是否独立受试验过程 的影响。
大明从袋中随机拿两次球，第一次取到某色球的事件与第二 次取到某色球的事件是否独立，受取球后放回袋中与否的影响。
当两事件独立时，则此两事件都发生的机率，就等于个别事件发 生的机率相乘，所以若事件A，B独立，则 P ( A∩B )＝P ( A )．P ( B )。
搭配課本第 29 頁
在某些试验里我们常会做重复的测试，
例如：掷一个骰子3次，观察其出现的点数，或是丢一个铜板5次，
观察出现正面的次数，或是由一袋中随机抽球几次 ( 取后放回 )，
… (3) P ( A1∩A2∩…∩An )＝P ( A1 )．P ( A2 )．…．P ( An )。
如果同一试验重复n次，每次试验结果互相独立，那么根据 上式就可以很容易算出n个事件同时发生的机率。
搭配課本第 31 頁
2
某位職棒選手打擊率 3 成，如果每次打擊打出安打是獨立事件。 (1) 4 次上場打擊兩次都打出安打，後兩次沒安打的機率是
机率的加法原理说明互斥两事件A，B中至少一个发生的机 率，等于个别事件发生机率的和，
若 A∩B＝○ ／，則 P ( A∪B )＝P ( A )＋P ( B )。 而利用条件机率可以得到机率的乘法原理，即 P ( A∩B )＝P ( B )．P ( A│B )， 此乘法原理可以处理两个事件A， B都发生的机率。
搭配課本第 30 頁
解
(1) 設 S1 為樣本空間，因為抽球後放回袋中，所以 n (S1)＝5 ×5＝25， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件，
所以 n ( A∩B )＝3 ×3＝9，P ( A∩B )＝ 9 。 25
另一方面，P (A)＝ 35 ＝ 3 ，P (B)＝ 53 ＝ 3 ，
出現正面的機率仍是
1 2
。
独立事件 两个离散型随机
搭配課本第 29 頁
变量独立
1
袋中有 3 個紅球，2 個藍球，每球被取中之機會均等，大 明每次從袋中抽取一球，抽球兩次。設 A，B 分別代表第 一次抽中紅球與第二次抽中紅球的事件。 (1) 若抽球後放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？ (2) 若抽球後不放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？
25 5
25 5
可以得到 P ( A∩B )＝P (A) ·P (B)，因此 A，B 是獨立事件。
搭配課本第 30 頁
解
(2) 設 S2 為樣本空間，因為抽球後不放回袋中，所以 n (S2)＝5 ×4＝20， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件， 所以 n ( A∩B )＝3 ×2＝6，故 P ( A∩B )＝ 6 。 20 另一方面，P(A)＝ 3 4 ＝ 3 ， 20 5 P (B)＝ 3 2 ＋ 23 ＝ 3 20 20 5 ( 分成紅球、紅球與藍球、紅球兩種情形 )， 可以得到 P ( A∩B )≠P (A) ·P (B)，因此 A，B 不是獨立事件。
观察抽出球的颜色，
在这些试验里我们常假设每次重复试验所得结果都与前面所得结
果无关 ( 即独立 )，也就是每次重复试验时的环境是相同的。
例如：在丟銅板的試驗裡，若前 3 次都丟出反面，我們假設試驗
者不會因為心想丟出正面，而改變其丟銅板的方式或技術，來提
高丟出正面的機率，如果這樣的假設是正確的，則第四次丟銅板
職籃選手阿鼎罰球命中率是 8 成，如果每次罰球命中是獨立事 件，4 次罰球全命中的機率是多少？
解 阿鼎 4次罚球全命中的机率是 ( 0.8 )4＝0.4096。
一般重复丢一个铜板、重复掷一个骰子或重复由一袋中抽球 ( 取后放回 ) 都是假设前后试验所得的结果是独立事件。但在实 务上常遇到取样不放回的情况，下面例题说明当母体样本数很大， 而取样次数不是很多时，则不放回的方式与放回的方式所得机率 值很接近。
(1) 若取球后放回袋中，则两事件独立。 (2) 若取球后不放回袋中，则两事件不独立。 在丢铜板与掷骰子的问题中有一个共同点，我们会假设上 次试验结果不会影响下次，即所谓独立事件。这些概念都将是 学习统计与机率十分重要的部分。
搭配課本第 31 頁
上面我们谈的是两个事件独立，n个事件A1，A2，…，An， 1 ≤ i＜j＜k＜… ≤ n，独立的定义为 (1) P ( Ai∩Aj )＝P ( Ai )．P ( Aj )， (2) P ( Ai∩Aj∩Ak )＝P ( Ai )．P ( Aj )．P ( Ak )，
P ( B│A )≠P ( B ) 时，我们称 A，B是相关事件。
搭配課本第 29 頁
日常生活中在很多状况下，事件间独立或相关的现象常被误 用。例如：某彩券行这一期开出头彩后，生意特别兴隆，表示人 们错误认知到这一家彩券行买彩券，中奖的机率会比较高。其实 每张彩券中头彩的机率是相同的，与到哪一家彩券行买是无关的。
多少？ (2) 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是多少？
解 (1) 打出安打的机率是0.3，而没打出安打的机率是0.7， 再因每次打击打出安打是独立事件，所以4次上场打击， 前两次都打出安打，后两次没安打的机率是 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.0441。
(2) 4次上场打击，共击出两次安打， 其安打出現次序有 C42種，而每一種次序的機率都是 ( 0.3 )2 ×( 0.7 )2， 所以 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是 C42 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.2646。
独立事件 重复试验 二项分布 二项分布的性质
1-2
二项分布
习题 1-2
1-2 大考试题
搭配課本第
頁
在第二册第三章我们介绍过条件机率，条件机率是当提供某 种新的信息 ( 事件A ) 后，如何重新计算某事件 ( 事件B ) 发生的 机率 ( P ( B│A ) )。我们会问两个事件是否有相关？ 如果两事件A，B无关，也就是事件A发生与否不会影响到事件B发 生的机率，即P ( B│A )＝P ( B ) 时，这种状况我们就称A，B两事 件是独立事件。 反之，如果事件A发生后，事件B发生的机率受影响，即
搭配課本第 30 頁
擲公正骰子一次，設 A 是點數不大於 3 的事件，B 為擲出 2，4 點的事件， C 是點數不小於 3 的事件。試問： (1) A，B 是否為獨立事件？ (2) A，C 是否為獨立事件？
搭配課本第 31 頁
上面例子以袋中取球为例，说明两事件是否独立受试验过程 的影响。
大明从袋中随机拿两次球，第一次取到某色球的事件与第二 次取到某色球的事件是否独立，受取球后放回袋中与否的影响。
当两事件独立时，则此两事件都发生的机率，就等于个别事件发 生的机率相乘，所以若事件A，B独立，则 P ( A∩B )＝P ( A )．P ( B )。
搭配課本第 29 頁
在某些试验里我们常会做重复的测试，
例如：掷一个骰子3次，观察其出现的点数，或是丢一个铜板5次，
观察出现正面的次数，或是由一袋中随机抽球几次 ( 取后放回 )，
… (3) P ( A1∩A2∩…∩An )＝P ( A1 )．P ( A2 )．…．P ( An )。
如果同一试验重复n次，每次试验结果互相独立，那么根据 上式就可以很容易算出n个事件同时发生的机率。
搭配課本第 31 頁
2
某位職棒選手打擊率 3 成，如果每次打擊打出安打是獨立事件。 (1) 4 次上場打擊兩次都打出安打，後兩次沒安打的機率是
机率的加法原理说明互斥两事件A，B中至少一个发生的机 率，等于个别事件发生机率的和，
若 A∩B＝○ ／，則 P ( A∪B )＝P ( A )＋P ( B )。 而利用条件机率可以得到机率的乘法原理，即 P ( A∩B )＝P ( B )．P ( A│B )， 此乘法原理可以处理两个事件A， B都发生的机率。
搭配課本第 30 頁
解
(1) 設 S1 為樣本空間，因為抽球後放回袋中，所以 n (S1)＝5 ×5＝25， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件，
所以 n ( A∩B )＝3 ×3＝9，P ( A∩B )＝ 9 。 25
另一方面，P (A)＝ 35 ＝ 3 ，P (B)＝ 53 ＝ 3 ，
出現正面的機率仍是
1 2
。
独立事件 两个离散型随机
搭配課本第 29 頁
变量独立
1
袋中有 3 個紅球，2 個藍球，每球被取中之機會均等，大 明每次從袋中抽取一球，抽球兩次。設 A，B 分別代表第 一次抽中紅球與第二次抽中紅球的事件。 (1) 若抽球後放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？ (2) 若抽球後不放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？
25 5
25 5
可以得到 P ( A∩B )＝P (A) ·P (B)，因此 A，B 是獨立事件。
搭配課本第 30 頁
解
(2) 設 S2 為樣本空間，因為抽球後不放回袋中，所以 n (S2)＝5 ×4＝20， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件， 所以 n ( A∩B )＝3 ×2＝6，故 P ( A∩B )＝ 6 。 20 另一方面，P(A)＝ 3 4 ＝ 3 ， 20 5 P (B)＝ 3 2 ＋ 23 ＝ 3 20 20 5 ( 分成紅球、紅球與藍球、紅球兩種情形 )， 可以得到 P ( A∩B )≠P (A) ·P (B)，因此 A，B 不是獨立事件。
观察抽出球的颜色，
在这些试验里我们常假设每次重复试验所得结果都与前面所得结
果无关 ( 即独立 )，也就是每次重复试验时的环境是相同的。
例如：在丟銅板的試驗裡，若前 3 次都丟出反面，我們假設試驗
者不會因為心想丟出正面，而改變其丟銅板的方式或技術，來提
高丟出正面的機率，如果這樣的假設是正確的，則第四次丟銅板