二项分布与poission分布
第十章 二项分布和Poisson分布及其应用
Poisson分布
• Poisson分布是描述当试验中成功的概率很小 (如0.05)，而试验的次数n很大的小概率事件
出现规律性的一种离散型随机分布。 • 用于描述在单位时间(空间)内稀有事件的发生数。
医学卫生领域中服从Poisson分布指标
恶性肿瘤的死亡率 ; 放射性物质在单位时间内的放射次数； 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 野外单位空间中的某种昆虫数等。
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 012 345
(b)
0.18 0.16 0.14
n =30 π =0.3
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
(d)
•由数理统计学的中心极限定理可知，当n较大、 不接近0也不接 近1时，二项分布B( n , )近似正态分布：
正态近似法
当n较大， p 和 1 p 均不太小，如 np 和 n(1 p) 均
大于5时，利用正态近似的原理，可作样本率p与已 知总体率的比较，检验统计量为：
Z p0 0 (1 0 ) n
例10.6 一项调查结果表明某市一般人群的艾滋病知识 知晓率为65%。现对该市吸毒人群进行调查，在150名 吸毒人员中有130人回答正确。问该市吸毒人群的艾滋 病知识知晓率是否高于一般?
X ~ N(n , n (1 ))
二项分布的应用
• 总体率的区间估计 – 查表法 – 正态近似法
• 单个样本率与总体率比较 – 直接计算概率法
– 正态近似法 • 两样本率的比较
总体率的区间估计
• 查表法：当n≤50时可查表求总体率的95%或 99%可信区间(附表7)。
二项分布及Posson分布
（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。
② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分
布近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，
当λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
P( X ) 1
X 0
n
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果
发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利
（Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件
发生的次数X服从二项分布。
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果 （如“阳性”）的概率π固定不变
样本均数与总体均数比较的检验目的 是推断样本均数所代表的总体均数λ与已 知的总体均数λ0是否相等。 可使用的检验方法有：直接计算概率 法和正态近似法
例6-13
有研究表明，一般人群精神发育
不全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚 配关系的后代25000人，发现123人精神发育不
全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育
第二节
Poisson分布
（Poisson distribution）
一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩· 德尼· 泊松 )研究二项
分布的渐近公式是时提出来的。
二项分布与泊松分布比较
二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。
一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。
二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。
泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。
三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。
2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。
3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。
二项分布与Poisson分布
px 7 1 px 8 1 p(x 8) x 9
1 C180 0.868 0.142 0.58 0.155
因此，10例患者中至少9例有效的概率为0.581，至多7例有效的概率 为0.155。
n
P( X K ) P(K ) P(K 1) P(K 2) P(n) P( X )
K
（3）至多有k例阳性的概率：
k
P( X K ) P(0) P(1) P(2) P(k) P( X )
X= 0, 1, 2, … k…n
0式
生存数 （X）
3
死亡数 （n-X)
0
2
1
1
2
0
3
甲乙 丙
生生 生 生生 死 生死 生 死生 生 生死 死 死生 死 死死 生 死死 死
每种组 每种排列的概率 合的概
px nx1 nx, x 率
0.2×0.2×0.2=0.008 0.2×0.2×0.8=0.032 0.2×0.8×0.2=0.032 0.8×0.2×0.2=0.032 0.2×0.8×0.8=0.128 0.8×0.2×0.8=0.128 0.8×0.8×0.2=0.128 0.8×0.8×0.8=0.512
他观察单位的结果。 6
三. 概率的计算：
从一个阳性率为π的总体中，随机抽取含量为n的样本，则 样本中阳性数X或阳性率p服从二项分布B （ n、π）。
（1）恰有k例阳性的概率：
P(X k) (nk ) k 1 nk
(
n k
)
n! k!(n
k )!
（2）至少有k例阳性的概率：
二项式分布和泊松分布
二项式分布和泊松分布二项式分布和泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布。
它们在不同的应用场景中具有重要的意义。
本文将分别介绍二项式分布和泊松分布的概念、特点以及应用，并通过实例来说明它们的实际意义。
一、二项式分布二项式分布描述了在n次独立重复实验中成功次数的概率分布。
其中，每次实验只有两个可能的结果：成功或失败。
成功的概率记为p，失败的概率记为q=1-p。
用X表示在n次实验中成功的次数，则X服从二项式分布B(n,p)。
二项式分布的特点是：每次实验之间相互独立，实验结果只有两种可能，成功和失败的概率不变。
二项式分布的应用场景很广泛。
例如，在工程质量控制中，可以使用二项式分布来计算在一批产品中不合格品的数量；在医学研究中，可以使用二项式分布来计算某种疾病在人群中的患病率。
例如，某公司生产的产品合格率为90%，现在从该公司的产品中随机抽取10个进行质量检测，问有几个产品合格的概率是多少？这个问题可以使用二项式分布来解决。
假设成功事件为产品合格，失败事件为产品不合格，成功概率为p=0.9，失败概率为q=0.1。
那么在10次实验中，成功的次数X服从二项式分布B(10,0.9)。
我们可以使用概率计算公式来计算出有几个产品合格的概率。
二、泊松分布泊松分布是描述在一段固定时间或空间内，事件发生次数的概率分布。
它适用于描述独立事件在单位时间或单位空间内发生的次数。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内平均发生的事件次数。
泊松分布的特点是：事件之间独立，事件在单位时间或单位空间内平均发生率不变。
泊松分布在实际应用中有很多场景。
例如，在电话交换机的研究中，可以使用泊松分布来描述单位时间内通话请求的数量；在网络流量分析中，可以使用泊松分布来描述单位时间内收到的数据包数量。
例如，某个餐厅在一小时内平均接待10个客人，问在下一个小时内接待超过15个客人的概率是多少？这个问题可以使用泊松分布来解决。
假设事件为接待客人，单位时间内平均接待的客人数为λ=10。
二项分布与泊松分布
正态分布，； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而π<0.1或π>0.9时
，二项分布近似于泊松分布。
样本率均数 样本率标准差
p
x
n
n
n
pnx
n(1)
n
(1)
n
样本率p的标准差
pnx
n(1)
n
(1)
二项分布（binomial distribution）
贝努利试验列中成功次数k的概率为： P(X=k)=Cnk πk (1-π)n-k (0<π<1) ，
k=0 , 1 , …，n， 而 Cnk πk (1-π)n-k 二 项 式 恰 好 是 牛 顿 展 开 式 ((π+(1-π)) n的项，故又称为二项分布。
二项分布与泊松分布
n重贝努利试验
在同一条件下独立重复n次试验，每次试验只 有两个可能的对立结果，A与非A , 如成功与 失败 , 其概率P（A）=π , (0< π<1) , 则称这 一系列独立重复试验为n重贝努利试验（贝努 利试验序列）。
n重贝努利试验的三个条件
（1）每次试验只有两个可能的对立结果， A与非A （2）每次试验的条件不变，即每次试验中， 结果A发生的概率P（A）=π （3）各次试验独立，即任一次试验结果与 其它次试验结果无关。
医学中Poisson分布
单位时间（空间、面积）内某稀有事件 发生次数的分布。
如研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布，放射 性物质在单位时间内放射出质点数的分 布，在单位空间中某些野生动物或昆虫 数的分布，在一定人群中某种低患病率 的非传染性疾病患病数或死亡数分布。
二项分布、poisson分布和正态分布的关系
二项分布、poisson分布和正态分布的关系二项分布、Poisson分布和正态分布是概率论中常见的三种分布，它们之间有着密切的关系。
首先，二项分布和Poisson分布都属于离散型分布，而正态分布则是连续型分布。
二项分布指的是在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布，而Poisson分布则是描述在一段时间内某事件发生的次数的概率分布。
当n很大时，二项分布逐渐逼近Poisson分布。
其次，当n很大而p很小时，二项分布可以近似看作正态分布。
这是由于当n很大时，二项分布的均值和方差均趋近于无穷大，而正态分布的均值和方差也是无穷大的，因此两者可以近似看作相同的分布。
这种近似在统计学中被广泛使用，例如在假设检验和置信区间中的应用。
最后，Poisson分布和正态分布之间也有一定的关系。
当Poisson 分布的参数λ很大时，它也可以近似看作正态分布。
这是由于当λ很大时，Poisson分布的均值和方差趋近于相等，而正态分布的均值和方差也是相等的，因此两者可以近似看作相同的分布。
综上所述，二项分布、Poisson分布和正态分布之间有着密切的关系，在实际应用中它们经常会相互转化和近似。
这些分布的理解和掌握对于进行概率统计分析具有重要的意义。
- 1 -。
二项分布poisson分布的检验
二项分布与poisson分布的z检验
检验假设为：
H0 : 0 H1 : 0
当H0成立时，检验统计量为：
Z Z n 0 1 0 X n 0 p 0 n ~ N 0,1
0 1 0
~ N 0,1
二项分布与poisson分布的z检验
例6-12 某车间改革生产工艺前，测得三次粉尘浓度， 每升空气中 分别有38、29、36颗粉尘；改革工艺后， 测取两次，分别为25、18颗粉尘。问工艺改革前后 粉尘数有无差别？
38 29 36 X1 34.33, n1 3 3 25 18 X2 21.50, n2 2 2
H0 : 0 0.8 H1 : 0.8(单侧), 0.05
0.75 0.8 Z 0.968 0.8 0.2 60
二项分布与poisson分布的z检验
按ν=∞查t 临界值表： （单侧）Z0.10, ∞ =1.2816
׀Z < ׀Z0.10，得P>0.10
艺改革前后粉尘浓度不同，改革工艺后粉尘浓度较
低。
当n不太大时，需作连续性校正：
Z
X n 0 0.5 n 0 1 0
~ N 0,1
0.5 p 0 n ~ N 0,1 Z 0 1 0 n
二项分布与poisson分布的z检验
例6-8 某医院称治疗声带白斑的有效率为80%，今统计 前来求医的此类患者60例，其中45例治疗有效。试问该 医院宣称的疗效是否客观？
二项分布与poisson分布的z检验
H0 : 1 2 H1 : 1 2 , 0.05
Z
X1 X 2 X1 X 2 n1 n2
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2 C3 0.62 (1 0.6) (32) 0.432
表1 治疗3例可能的有效例数及其概率 有效人数(x) 0 1 2 3 C nx 1 3 3 1
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
2
摸球实验
一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球。 摸球游戏，每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概 率是0.6。
这个实验有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二是
每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；三是每次 摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。
p 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 1 2 3 4 5 m 6 7 8 9 10
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
19
四、二项分布的应用
利用二项分布的正态近似性条件，可简化计算
k 0.5 n P( X k ) P( X ) n (1 ) X 0
k
n
k 0.5 n P( X k ) P( X ) 1 n (1 ) X k
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
20
四、二项分布的应用
二项分布的实际应用广泛：预测、管理决策、疾病的家 族聚集性等 例：新生儿窒息在非顺产婴儿中会经常出现。据北京几
家医院的记载，1070例住院新生儿中有107例发生新生
儿窒息。抢救新生儿需要长时间使用呼吸机。如果一家 医院每天平均接受10名新生儿，那么该医院需准备多少
可利用正态分布原理解决二项分布的问题
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
13
三、二项分布的特征
二项分布的均数和标准差 若x～Ｂ（n，π） Ｘ的总体均数为：μ= nπ
Ｘ的总体方差为σ2= nπ(1- π)
Ｘ的总体标准差为
n (1 )
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
P( A) P( A) 1
记P( A)
独立：指各次试验出现的结果之间是无关的 重复：每次试验的条件不变 P( A)
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
4
二项分布(binomial distribution)的定义
任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两种结果，发 生和不发生的概率分别是： 和1－ 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，用x 表示这 n
第五章 常用概率分布 (二)
10
三、二项分布的特征
二项分布的图形：取决于两个参数（n，π)
π=0.5时（ n =6， n =10， n =15， n =20， n =50）
p 0.32 0.31 0.30 0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 1 2 3 m 4 5 6
次试验中事件A发生的次数
那么x服从二项分布，记做 x ～B (n，)，也叫Bernolli分 布。
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
5
二项分布(binomial distribution)
例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果 不是有效就是无效，每一例有效的 概率为π。某医生用此方法治疗头痛
第五章 常用概率分布 (二)
15
四、二项分布的应用
Ｘ～Ｂ（ｎ，π ），计算恰有k例“阳性”的概率：
P( X k ) C (1 )
K n k
n k
例5-3
如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，
其中有10人感染钩虫的概率有多大？
150 ! P( X 10) 0.1310 0.87140 0.0055 10!(150 10)!
台呼吸机，才能保证90％以上的概率够用？
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
21
四、二项分布的应用
例：现用同类设备300台，各台设备工作是相互独立的， 且发生故障的概率都为0.01，在通常情况下，一台设备 的故障可由一人来处理。问至少需要配备多少工人，才
A1A2 A3 A 4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A 4 A5 A1A2 A3 A 4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5
患者5例，2例有效的概率是多少？
第五章 常用概率分布 (二)
11
三、二项分布的特征
二项分布的图形：取决于两个参数（n ,π)
π ≠0.5时（0.2， n =6， n =10， n =15， n =20， n =30， n =50 ）
p 0.40 0.38 0.36 0.34 0.32 0.30 0.28 0.26 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 1 2 3 m 4 5 6 p 0.31 0.30 0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 1 2 3 4 5 m 6 7 8 9 10
p 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 10 m 20
p 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 10 m 20 30
的人数X的概率分布为二项分布，记作B（n，π）。
二项分布的概率函数P(X) 公式为
P( X ) C (1 )
x n x
n x
x n
n! 其中C x !(n x)!
2013-2-2 第五章 常用概率分布 (二) 7
二项分布(binomial distribution)的概念
p 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 m 8 9 10 11 12 13 14 15
X ~ B(n, )
恒有
K 0
P( X k ) 1
第五章 常用概率分布 (二) 9
n
2013-2-2
二、二项分布的适用条件
每次实验只会出现两种对立的可能结果之一
（结果对立）
每次实验出现某种结果的概率固定不变，即每次实验条 件不变； （概率固定） 每次实验相互独立 （相互独立）
2013-2-2
具备这三点， n 次中有x 次摸到黄球（或白球）的概率分
布就是二项分布。
第五章 常用概率分布 (二) 3
2013-2-2
二项分布(binomial distribution)的定义
Bernoulli试验：只有两个互斥结果A和 A 的随机事件。 n次独立、重复的Bernoulli试验需满足下列条件 每次试验只有两个互斥的结果
x
0.60=1 0.6 0.6×0.6 0.6×0.6×0.6
(1－) n-x 0.4×0.4×0.4 0.4×0.4 0.4 0.40
出现该结果概率 P(x) 0.064 0.288 0.432 0.216
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
8
二项分布
如果随机变量Ｘ服从二项分布，记为：
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
16
四、二项分布的应用
Ｘ～Ｂ（ｎ，π）, 计算累积概率 出现“阳性”的次数至多为k次的概率
P( X k ) P( X )
X 0
k
出现“阳性”的次数至少为k次的概率
P( X k ) P( X ) 1 P( X k 1)
14
三、二项分布的特征
二项分布的均数和标准差
若x～Ｂ（n，π）
若以p表示阳性率，则p的取值可为0、1/n、2/n、 …、
k/n、…、n/n,
则样本率p的总体均数为 样本率p的总体方差为 样本率p的总体标准差为
p
2 p
(1 )
n
p
(1 )
n
2013-2-2
X k n
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
17
二项分布
根据公式（4-10）至多有2名感染钩虫的概率为