高考复习点拨：二项分布与超几何分布辨析

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二项分布与超几何分布的区别

（1）从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球次数X的分布列和数学期望。 3k k k 解：由已知X~B(3,0.4)， PX k C3 0.4 1 0.4 , (k 0,1,2,3)
X 所以，X的分布列为: p
0
1
2
3
27 54 36 8 E X 3 0.4 1.2 125 125 125 125
k n－ k P(X＝k)＝Ck p (1 － p ) ，k＝0,1,2，…，n. n
则称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
2．超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
E X 3 0.6 1.8
0
1
2
3
8 36 54 27 125 125 125 125
变式：（3）把（2）改为：若随机在样本不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为Y，试求Y的分布列及数学期望E(Y). k 3 k C15 C10 解：由已知Y服从超几何分布， PY k , (k 0,1,2,3) 3 C25 所以，Y的分布列为: Y
2018届南宁市摸底考试18题
摸底考试18题第（1）问
（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为X，试求X的分布列及数学期望E(X). 用样本的频率估计概率应怎样理解？概率定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。在样本中，不赞成高考改革的家长中是城镇户口的频率为0.6，因此，估计全省从不赞成高考改革的家长中随机抽取1个，他是城镇户口的概率为0.6，抽取3个，即进行3次独立重复试验，所以， X~(n,p)

《二项分布与超几何分布》知识讲解

二项分布与超几何分布★ 知识梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。

特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ 0 1… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．6. 两点分布：X 0 1P 1－p p特别提醒：若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nk n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。

高考数学总复习考点知识专题讲解13 二项分布与超几何分布

高考数学总复习考点知识专题讲解专题13 二项分布与超几何分布知识点一 n 重伯努利试验及其特征 1．n 重伯努利试验的概念将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验． 2．n 重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n 次． (2)各次试验的结果相互独立．思考在相同条件下，有放回地抽样试验是n 重伯努利试验吗？答案是．其满足n 重伯努利试验的共同特征．知识点二二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )．知识点三二项分布的均值与方差若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【例1】（2023•大埔县月考）设随机变量~(,)B n p ξ，若() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则参数n ，p 的值分别为()A ．12，0.4B ．12，0.6C ．6，0.4D ．6，0.6【例2】（2023•永春县月考）设随机变量~(2,)B p ξ，~(3,)B p η，5(1)9P ξ=…，则(2)(P η=…)A ．19B ．727C ．59D ．89【例3】（2023•海门市期末）A 、B 两组各3人独立的破译某密码，A 组每个人译出该密码的概率均为1p ，B 组每个人译出该密码的概率均为2p ，记A 、B 两组中译出密码的人数分别为X 、Y ，且12112p p <<<，则()A ．()()E X E Y <，()()D X D Y <B ．()()E X E Y <，()()D X D Y >C ．()()E X E Y >，()()D X D Y < D ．()()E X E Y >，()()D X D Y >【例4】（2018•新课标Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，() 2.4D X =，(4)(6)P X P X =<=，则(p =)A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【例5】（2023•多选•琼中县模拟）若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X ，则()A ．3~(4,)5X B B ．4(3)25P X ==C ．X 的期望8()5E X =D ．X 的方差24()25D X =【例6】（2023•武汉模拟）已知离散型随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，其中*n N ∈，01p <<，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中正确的有()A ．1a b +=B ．12p =时，a b =C ．102p <<时，a 随着n 的增大而增大 D ．112p <<时，a 随着n 的增大而减小知识点四超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布． 2．均值：E (X )＝nM N. 3．超几何分布是不放回抽样，且超几何分布与二项分布的均值相同．二项分布与超几何分布的关系在n 次试验中，某事件A 发生的次数X 可能服从超几何分布或二项分布．l 联系：在不放回n 次试验中，如果总体数量N 很大，而试验次数n 很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布区别：①当这n 次试验是n 重伯努利试验时(如有放回摸球)，X 服从二项分布；②当n 次试验不是n 重伯努利试验时(如不放回摸球)，X 服从超几何分布。

二项分布与超几何分布的区别

二项分布与超几何分布
的区别
Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
二项分布与超几何分布的区别：
定义：若有N 件产品，其中M 件是废品，无返回．．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从超几何分布的。

概率为()k n K M N M n N
C C P X k C --==. 若有N 件产品，其中M 件是废品，有．返回．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从二项分布的。

概率为()()1n k k k n P X k C p p -==-，其中M p N
=. 区别：（1）二项分布是做相同的n 次试验（n 次独立重复试验），
（2）当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就相等，换而言之超几何分布的极限就是二项分布。

在废品为确定数M 的足够多的产品中，任意抽取n 个（由于产品个数N 无限多，无返回与有返回无区别，故可看作n 次独立重复试验）中含有k 个废品的概率当然服从二项分布。

在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是①产品个数应无限多，否则无返回地抽取n 件产品是不能看作n 次独立试验的.②在产品个数N 无限增加的过程中，废品数应按相应的“比例”增大，否则上述事实也是不成立的。

（3）实际上，在以样本估计总体时，从样本中无返回地任意抽取n 件，当然废品件数X 服从超几何分布的；而从总体中无返回地任意抽取n 件，理想认为．．．．
废品件数X 服从二项分布的。

高考培优微专题《超几何分布与二项分布》解析版

高考数学培优微专题《超几何分布与二项分布》【考点辨析】在高考概率题型中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的概率模型，它们在解决实际问题中发挥着关键作用。

其中，二项分布描述的是固定次数的独立实验中，成功的次数的概率分布。

而超几何分布则描述的是不返回抽样问题，即从有限的总体中抽取一定数量的样本时，其中含有特定种类的数量的概率分布。

在解题过程中，正确地区分题目条件是否涉及到放回或不放回抽样是解决超几何分布和二项分布问题的关键。

掌握这两个分布的定义、性质和计算方法，对于提高学生的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力具有重要意义。

【知识储备】（1）二项分布①背景：每次事件A p事件A1-p连续重复n次事件A发生的次数X~B(n,p)事件A发生的次数Y~B(n,p)②分布列X01⋯k⋯n P C0n p0q n C1n p1q n-1⋯C k n p k q n-k⋯C n n p n q0③数字特征：E(X)=np,D(X)=np(1-p)(2)超几何分布①背景：一次某-类 M另一类 N-M搭配n个某一类的个数X~H(n,N,M)另一类的个数Y~H(n,N,N-M)②分布列：X01⋯k⋯nP C0M C n-kN-MC n N C1M C n-1N-MC n N⋯C k M C n-kN-MC n N⋯C n M C0N-MC n N③数字特征：E(X)=n×MN,D(X)=n×MN×(1-n-1N-1)【例题讲解】类型一：有放回与无放回的区别1.一个袋子里10个大小相同的球，其中有黄球4个，白球6个(1)若从袋中随机摸出3个球作为样本，若有放回的摸球，求恰好摸到2个白球的概率；(2)若从袋中随机摸出3个球作为样本，若不放回的摸球，用X表示样本中白球的个数，求X的分布列和均值．【解析】【答案】解：(1)设恰好摸到2个白球为事件A，则P(A)=C23352⋅25=54125；(2)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知X服从超几何分布，则P(X=0)=C34C06C310=130，P(X=1)=C24C16C310=310，P(X=2)=C14C26C310=12，P(X=3)=C04C36C310=16，所以X的分布列为：X0 1 2 3 P130 3101216则E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95.类型二：占比与概率的区别2.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．(I)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(II)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；(III)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【解析】【答案】解：(I)设事件A“甲、乙两家公司共答对2道题”，由题意可知：所求概率P(A)=C14C22C36×C1323 11-232+C24C12C36×1-233=115.(II)设甲公司答对题数为X，则X的取值分别为1，2，3.P(X=1)=C14C22C36=15，P(X=2)=C24C12C36=35，P(X=3)=C34C02C36=15，则X的分布列为：X123P153515∴E(X)=1×15+2×35+3×15=2，D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25. (III)法一：设乙公司答对题数为Y，则Y取值分别为0，1，2，3. P(Y=0)=13 3=127，P(Y=1)=C13×23×13 2=29，P(Y=2)=C23×23 2×13=49，P(Y=3)=23 3=827，则Y的分布列为：Y0123P1272949827∴E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.D (Y )=(0-2)2×127+(1-2)2×29+(2-2)2×49+(3-2)2×827=23.所以E (X )=E (Y )，D (X )<D (Y )，所以甲公司竞标成功的可能性更大．法二：由题知：Y ~B 3,23，∴E (Y )=3×23=2，D (Y )=3×23×13=23，所以E (X )=E (Y )，D (X )<D (Y )，所以甲公司竞标成功的可能性更大．类型三：样本与总体的区别3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为490,495 、495,500 、⋯、510,515 ,由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列及期望；(3)样本估计总体，从流水线上任取5件产品，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的期望、方差.【解析】【答案】解：(1)由频率分布直方图得重量超过505克的产品频率为：(0.05+0.01)×5=0.3，∴重量超过505克的产品数量为：0.3×40=12(件).(2)由题意X 的可能取值为0，1，2，P (X =0)=C 228C 240=63130，P (X =1)=C 128C 112C 240=56130=2865，P (X =2)=C 212C 240=11130，∴X 的分布列为：X 0 1 2 P63130286511130随机变量X 的数学期望为E (X )=0×63130+1×2865+2×11130=35；(3)从流水线上任取5件产品服从二项分布：Y 可能取值有0、1、2、3、4、5，超过505克的产品发生的概率为p =0.3，则Y ~B (5,0.3)，Y 的期望E (Y )=5×0.3=1.5，方差D (Y )=5×0.3×0.7=1.05.类型四：一次与多次的区别4.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；(2)求在4次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X ).【答案】【答案】(1)①15，②710；(2)分布列见解析，145.【解析】【解析】(1)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i =0,1,2,3),①P (A 3)=C 23C 25·C 12C 23=15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3，又P (A 2)=C 23C 25·C 22C 23+C 13C 12C 25·C 12C 23=12,且A 2，A 3互斥，所以P (B )=P (A 2)+P (A 3)=12+15=710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，由(1)P (B )=710，P (B )=1-P (B )=310，P (X =0)=P (B ) 4=310 4=8110000，P (X =1)=C 14P (B )P (B ) 3=4×710×310 3=1892500，P (X =2)=C 24P (B ) 2P (B ) 2=6×710 2×310 2=13235000P (X =3)=C 34P (B ) 3P (B )=4×710 3×310=10292500P (X =4)=P (B ) 4=710 4=240110000所以X 的分布列是X 01234P811000018925001323500010292500240110000显然X ~B 4，710 ，所以X 的数学期望E (X )=4×710=145．【解题策略】____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【教考衔接】1.现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．(1)求a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X 的分布列；(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y 的期望．【答案】【答案】(1)a =0.0250，4人；(2)答案见解析；(3)34.【解析】【解析】(1)由频率分布直方图知：(0.0625+0.0500+0.0375+a +2×0.0125)×5=1，∴a =0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.0125+0.0375)×5=0.25，∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16=4人．(2)由已知可得X 的可能取值分别为0，1，2，3，P (X =0)=C 312C 316=1128，P (X =1)=C 212⋅C 14C 316=3370，P (X =2)=C 112⋅C 24C 316=970，P (X =3)=C 34C 316=1140，∴X 的分布列为X 0123P112833709701140(3)由已知得Y ~B 3,14 ，∴E (Y )=np =3×14=34，∴含有一级运动员人数Y 的期望为34.2.甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13.如果比赛采用“五局三胜”(即有一方先胜三局即获胜，比赛结束)规则，设比赛场次为随机变量X ．(1)求乙胜的概率；(2)求随机变量X 的概率分布列及数学期望、方差；．【解析】【答案】解：(1)记“乙获胜”为事件A ，则P A =13 3+C 2313 2×23×13+C 2413 2×23 2×13，即P A =1781，所以乙获胜的概率1781；(2)由题意可知，随机变量X 可以取：3、4、5，所以P X =3 =23 3+13 3=927=13，P X =4 =C 2323 3×13×23+C 2313 2×23 ×13=1027，P X =5 =C 2423 3×13 2×23+C 2413 2×23 2×13=827所以X 的分布列为：X 345P131027827所以随机变量X 的数学期望：E X =3×13+4×1027+5×827=10727；(3)随机变量X 的方差：D X =E (X 2)-(E (X ))2=32×13+42×1027+52×827 -10727 2=44127-10727 2=458729． 3.食品安全问题越来越受到人们的重视.某超市在进某种蔬菜的货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为13，第二轮检测不合格的概率为14，第三轮检测不合格的概率为15，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响．(1)求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率;(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利200元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有3箱这种蔬菜，求这3箱蔬菜总收益X 的分布列和数学期望．【解析】【答案】解：(1)设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件A ，则P (A )=1-13 ×1-14 ×1-15 =25，即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为25．(2)X 的所有可能取值为600，300，0，-300．因为P (X =600)=25 3=8125，P (X =300)=C 2325 2×35=36125，P (X =0)=C 13×25×35 2=54125，P (X =-300)=35 3=27125，所以X 的分布列为：X 6003000-300P8125361255412527125所以E (X )=600×8125+300×36125-300×27125=60． 4.体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平．某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：(1)从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；(2)从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为ξ，求ξ的分布列和期望、方差；【解析】(1)从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；(2)从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为ξ，求ξ的分布列和期望、方差；解：(1)设两人测试成绩都低于60分为事件A ，低于60分频率为(0.002+0.001)×10=0.03，所以在100人中有3人低于60分，故P (A )=C 23C 2100=11650,(2)70分以上的频率为1-10×(0.001+0.002+0.017)=0.8,用样本估计总体即100个样本的频率视为高一年男生总体的概率服从二项分布ξ~B (3,0.8),P (ξ=0)=C 03(1-0.8)3=0.008,P (ξ=1)=C 13(1-0.8)2×0.8=0.096,P (ξ=2)=C 23(1-0.8)×0.82=0.384，P (ξ=3)=C 330.83=0.512,故分布列为:ξ0123P0.0080.0960.3840.512E (ξ)=3×0.8=2.4；D (ξ)=3×0.8×(1-0.8)=0.485.2020·浙江台州市·高二期中)2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】【答案】(1)114400；(2)选择第二种方案更合算.【解析】【解析】(1)选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A，则P A=C22C11C310=1120，所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P A⋅P A=1 14400；(2)若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、500、700、1000.P X=0=C22C11C310=1120，P X=500=C22C17C310=7120，P X=700=C11C27C310=740，P X=1000=1-1120-7120-740=91120.故X的分布列为，X05007001000P1120712074091120所以E X=0×1120+500×7120+700×740+1000×91120=910(元).若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，由已知可得Y~B3,3 10，故E Y =3×310=910，所以E Z=E1000-200Y=1000-200E Y=820(元).因为E X>E Z，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.6.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)将频率视为概率，从这100个水果样本中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.(结果用分数表示)(2)用水果样本中的样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg)16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100个水果样本中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望.【解析】【答案】解：(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则P(A)=20100=15，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为Y，则Y~B4,1 5，∴恰好抽到2个礼品果的概率为：P(Y=2)=C241-15215 2=96625;(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为：E(ξ)=16×110+18×310+22×410+24×210=20.6，∵E(ξ)>20，∴从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案;(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X所有可能的取值为0,1,2,3，则P(X=0)=C36C310=16；P(X=1)=C26C14C310=12；P(X=2)=C16C24C310=310；P(X=3)=C34C310=130，∴X的分布列为：X0123P1612310130∴E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65.。

二项分布与超几何分布的区别

二项分布与超几何分布的区别：
定义：若有N 件产品，其中M 件是废品，无返回．．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从超几何分布的。

概率为()k n K M N M n N C C P X k C --==. 若有N 件产品，其中M 件是废品，有．
返回．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从二项分布的。

关于二项分布与超几何分布问题区别举例

关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件?X=k ?发生的概率为：P(X=k)= n N k n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,??,m ；其中，m =min ?M,n ?,且n ? N , M ? N . n,M,N ? N?为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n ?M N2.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中，事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,?,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X ? B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件✍每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.✍各次试验中的事件是相互独立的；✍每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；✍随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P YC ===．因此，Y 的分布列为例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X 表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A1)=C33 C103=1120, P(A2)=C32?C71C103=740,P(A3)= C31?C72C103=340; 所以，P =P(A1)+ P(A2)+ P(A3)= 31 120.(2)X=0，1，2，3; X服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413C C C C = 310 ; P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） = 3101423C C C = 110 ; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)= 3101433C C C = 130; P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3100433C C C= 1120; EX = nM N = 3 310= 0.9 说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：X B(3, 31 120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14 ，则X B(3,14 );P(X=0)= C 30( 14 )0(1- 14)3-0 = 2764; P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14)3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 964 ;P(X=3)= C 33( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164;EX = 3×14 = 34. 说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望”.那么X 服从“超几何分布”，即：P(X=k)= 3163124C C C k k ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3×416 = 34 .。

二项分布与超几何分布比较

精心整理二项分布与超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的。

下面举例进行对比辨析。

1.有放回抽样:每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。

2.不放回抽样:取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放3.在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.（Ⅰ）求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求ξ的分布列和数学期望．4.(2008年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验精心整理员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．5.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)(2)6.。

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二项分布与超几何分布辨析
二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．
例袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：
（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；
（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．
解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到
黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 03
31464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴； 12
131448(1)55125
P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212
31412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 30
3
3141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为
2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：
03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15
C C
P Y C ===．
因此，Y 的分布列为
到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．。