《二项分布与超几何分布》知识讲解

二项分布与超几何分布

★ 知 识 梳理 ★

1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =

为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。 特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；

②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

特别提醒：

①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_

B 都是相互独立事件

②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）

推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )

3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.

4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：

P n （k ）=C k n P k （1－P ）

n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．

于是得到随机变量ξ 0 1

… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …

0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式

011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，

记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．

6. 两点分布：

X 0 1

P 1－p p

特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.

7. 超几何分布：

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n N

k n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。 称分布列

X 0 1 … m

P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n N

m n M N m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n 次独立重复实验的模型及二项分布.

2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n 次独立重复实验解决一些简单的实际问题

3.重难点：.

(1) “互斥”与“独立”混同

问题1: 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?

错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，

P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=

点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．

正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中

两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 2222330.80.20.70.30.169c c ⨯+⨯≈．

（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同

问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．

错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293

=. 点拨：本题错误在于P(A ⋅B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ⋅B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。

正确答案：P （C ）= P(A ⋅B)=P （A ）P （B/A ）=46410915

⨯=。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验

题型1. 条件概率

[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；

⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；

⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率

[解题思路]：

⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？

⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？