二项分布
二项分布的分布列公式
二项分布的分布列公式二项分布是概率论和统计学中的一种离散概率分布，描述了在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率分布情况。
二项分布的分布列公式可以用来计算每个可能取值的概率。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能，成功和失败。
成功事件的概率记为p，失败事件的概率记为q，其中q=1-p。
在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，C(n,k)表示从n次试验中取k次成功事件的组合数，p^k表示成功事件发生k次的概率，q^(n-k)表示失败事件发生n-k次的概率。
通过二项分布的分布列公式，我们可以计算出在特定的n次试验中，成功事件发生k次的概率。
这对于很多实际问题的分析和预测都是非常有用的。
例如，假设有一个硬币，正面出现的概率为p，反面出现的概率为q。
现在我们进行了n次独立的抛硬币试验，每次试验的结果只有两种可能，正面或反面。
那么在n次试验中，正面出现k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
又如，在某个工厂的生产线上，有一种产品的合格率为p，不合格率为q。
现在我们进行了n次独立的产品检验，每次检验的结果只有两种可能，合格或不合格。
那么在n次检验中，合格产品出现k 次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式的应用非常广泛。
在实际问题中，我们经常需要计算某个事件发生的概率，而二项分布的分布列公式可以帮助我们进行计算。
通过对二项分布的分布列公式的使用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
二项分布的分布列公式是概率论和统计学中的重要工具，可以用来计算在n次独立的伯努利试验中成功事件发生k次的概率。
通过对二项分布的分布列公式的应用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
二项分布公式和基本特征
二项分布公式和基本特征二项分布是离散型概率分布中常用的一种，亦称为试验次数固定的伯努利分布。
它描述了在进行了n次独立重复的伯努利实验中，成功事件发生的次数的概率分布。
设每次试验中，事件A的概率为p（0≤p≤1），则事件A的概率为q=1-p。
每次试验只有两种结果，即成功（事件A）和失败（事件A的补事件），因此是离散型概率分布。
二项分布的公式可以通过以下方式得到：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，P(X=k)表示在n次试验中，事件A发生k次的概率；C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数（计算公式为C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)）；p^k和q^(n-k)分别表示事件A发生的概率p和事件A不发生的概率q。
二项分布的基本特征有以下几点：1.期望值：二项分布的期望值E(X)等于n乘以事件A发生的概率p，即E(X)=n*p。
期望值可以理解为对试验结果的平均预期。
2.方差：二项分布的方差Var(X)等于n乘以事件A发生的概率p乘以事件A 不发生的概率q，即 Var(X) = n * p * q。
方差可以理解为对试验结果的离散程度，其平方根称为标准差。
3.独立性：在二项分布中，每次试验是相互独立的，即每次试验的结果不会受到其他试验结果的影响。
这是二项分布能够描述多次独立重复试验的重要特征之一4.参数范围：二项分布的参数n表示独立重复试验的次数，p表示每次试验成功的概率，而q则表示每次试验失败的概率。
参数n通常是一个非负整数，而参数p的取值范围在0到1之间。
5.形状特征：根据参数n和p的取值，二项分布的概率分布可能具有不同的形状。
当n较大时，二项分布逼近于正态分布，这是由于大样本下的二项分布变得对称且连续。
6.概率计算：通过二项分布的公式，可以计算出事件A发生k次的概率P(X=k)。
通过计算不同的概率，可以进行二项分布的概率分布图像绘制、置信区间计算以及假设检验等各种统计分析。
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
概率与统计中的二项分布
概率与统计中的二项分布概率与统计是数学中的重要分支，涉及到随机事件的概率计算和统计数据的分析。
在这个领域中，二项分布是一种常见且重要的概率分布。
一、二项分布的定义及特点二项分布是离散型概率分布的一种，用于描述在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
伯努利试验指的是只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的正反面或者某产品合格与否等。
二项分布的特点如下：1. 每次试验的结果只有两个可能，记为成功（S）和失败（F）。
2. 每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
3. 每次试验独立重复进行，试验次数记为n。
4. 求得成功次数k的概率。
二、二项分布的概率计算对于二项分布而言，可以通过以下公式来计算成功次数k的概率：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，即二项分布的概率质量函数；C(n, k)表示从n次试验中取出k次成功的组合数；p^k表示k次成功的概率；(1-p)^(n-k)表示n-k次失败的概率。
三、二项分布的应用举例1. 投掷硬币的例子假设我们有一枚均匀硬币，投掷10次，成功定义为出现正面，失败定义为出现反面。
设定成功概率p为0.5，那么可以利用二项分布计算出在10次投掷中出现k次正面的概率。
2. 测试产品合格率的例子假设某产品的合格率为0.8，现从中抽取20个样本进行测试，成功定义为抽取的产品合格，失败定义为抽取的产品不合格。
可以利用二项分布计算出在20个样本中有k个合格产品的概率。
四、二项分布的性质二项分布具有以下重要性质：1. 期望与方差：二项分布的概率分布的期望值和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
其中，E(X)表示成功次数的平均值，Var(X)表示成功次数的方差。
2. 定理：当试验次数n足够大，成功概率p足够小（或足够大），则二项分布可以近似为泊松分布或正态分布。
五、总结在概率与统计中，二项分布是一种常见的离散型概率分布，适用于描述在多次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布
例 设某放射性物质平均每分钟放射计数为 5。 X3。则 Xi～P(5)，i=1,2,3。据Poisson分布的可
加性可得X1+X2+X3～P(15)。
现考虑测3个1分钟的放射计数，分别记为X1, X2,
0.2
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16
即该放射性物质平均每 30 分钟脉冲计数 的95%可信区间为322.8～397.2个。
样本均数与总体均数的比较
直接计算概率法 正态近似法
u
X 0
0
直接计算概率法
例5.16
H 0： 此地区患病率与一般患病率相等，即 0
H 1： 此地区患病率高于一般患病率，即 0
从某学校随机抽取 26 名学生，发现有 4 名
感染沙眼，试求该校沙眼感染率 95%可信区间
本例 n=26， X =4，查附表 3 的可信度为 95%的 可信区间为(4%，35%)。
总体率的可信区间(正态近似法）
p u
S , p u S p p
例5.4
估计显效率的95%的可信区间
10
20
Poisson分布的正态近似
当20时已接近正态分布，当50时则非 常接近正态分布。
Poisson分布的性质
当20时已接近正态分布，当50时则 非常接近正态分布。 方差等于均数: 2= 泊松分布资料的可加性
服从Poisson分布也有三个条件
二项分布的知识点
二项分布的知识点一、二项分布的定义。
1. 基本概念。
- 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率为1 - p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k，k = 0,1,2,·s,n，称随机变量X服从二项分布，记作Xsim B(n,p)。
- 例如，抛一枚质地均匀的硬币n = 5次，每次正面朝上（设为事件A）的概率p=(1)/(2)，那么正面朝上的次数X就服从二项分布Xsim B(5,(1)/(2))。
2. 独立重复试验的条件。
- 每次试验只有两种结果：事件A发生或者不发生。
- 任何一次试验中事件A发生的概率都是一样的，即p不变。
- 各次试验中的事件是相互独立的，即一次试验的结果不会影响其他试验的结果。
二、二项分布的概率计算。
1. 利用公式计算。
- 已知n、p和k，直接代入公式P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k计算。
- 例如，n = 3，p=(1)/(3)，求k = 2时的概率。
- 首先计算组合数C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3×2!)/(2!×1!)=3。
- 然后P(X = 2)=C_3^2×((1)/(3))^2×(1-(1)/(3))^3 -2=3×(1)/(9)×(2)/(3)=(2)/(9)。
2. 利用二项分布概率表（如果有）- 在一些情况下，可以查询专门的二项分布概率表来获取概率值，这样可以避免复杂的计算，尤其是当n较大时。
不过在考试等情况下，通常还是要求掌握公式计算。
三、二项分布的期望与方差。
1. 期望E(X)- 若Xsim B(n,p)，则E(X)=np。
- 例如，若Xsim B(10,(1)/(5))，则E(X)=10×(1)/(5)=2，这表示在大量重复试验下，事件A发生的平均次数为2次。
二项分布计算公式
二项分布计算公式
《二项分布计算公式》
二项分布（binomial distribution）是把某次独立随机试验的取值结果作为一个分布的一种概率分布，由微观经济学家P.S. 哈克（P.S. Hacke）最早提出。
它是统计学最具代表性和应用最广泛的分布之一，可以描述各种社会、经济、工业和生物学等多学科中的事件，是进行统计抽样的重要分布形式。
二项分布定义：对于满足关于以下参数的独立试验：n次试验；每次成功的概率为p；则这n次试验中成功次数的概率分布满足二项分布，记为 X＝X（n，p）。
二项分布的概率质量函数：
P(X=x)＝Cxn px（1－p）n－x
其中Cxn＝n！/[x！（n－x）！
- 1 -。
二项分布展开式公式
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
p^k表示成功的概率p乘以k次，q^(n-k)表示失败的概率q乘以(n-k)次。
通过计算不同的k值，可以得到二项分布的概率分布情况，即不同成功次数的概率。
二项分布展开式公式
二项分布展开式是项式定理在离散概率分布中的应用。假设有一次试验，成功的概率为 p，失败的概率为q=1-p，进行n次独立的重复试验，X表示成功的次数。那么，X服从二项分 布B(n, p)。
二项分布展开式的公式如下：
P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
二项分布展开式公式
需要注意的是，二项分布展开式只适用于离散的二项分布情况，且试验之间是独立的。
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一、二项分布的背景以及概率计算的简单介绍。
例：用淋菌培养方法，检查患者是否患有淋病。
该检查方法没有假阳性，只有假阴性。
对于淋病患者，若用该方法检查一次的检出率为0.8，问：1)重复检查3次，检查结果均为阴性的概率是多少？P=(1-0.8)3=0.0082)重复检查3次，检查结果中最少是阳性的概率是多少？P＝1-(1-0.8)3=0.9924) 检查4个患者，每人检查一次，第一个患者和第二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？P=0.820.22=0.02565) 检查4个患者，每人检查一次，其中二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？其中2C为4个患者中有2个阳性的各种不同情况总数。
4在医学上，经常需要研究或观察这样一类现象：其结果只有两种可能：如：抢救急性心肌梗塞患者，其结果可分为：抢救成功或失败如：检查幽门螺杆菌(HP)：＋或－。
上述类似研究中，我们把观察或治疗一个研究对象统称为一次试验(在上例中，把检查一个患者是否阳性视为一次试验)。
如果研究背景满足下列条件：1)每次试验的可能结果(Outcome)仅为两种(视为成功或失败，在上例中阳性或阴性)。
2)定义试验中其中一个可能的结果成功，另一种可能的结果为失败(在上例中把检查结果为阳性可视为成功，检查结果为阴性为失败)。
3)每次试验的条件相同。
每次试验成功的概率为π，失败的概率为π-1(在上例中把检出阳性的概率为π＝0.8，检查阴性的概率为π-1=0.2)。
3)试验次数为n(上例中n=4)。
则在n 次试验中，有X 次成功的概率(在上例中，4个患者检查，即：n=4;有x 个患者为阳性的)为X n X X n Xx n)1()!x n (!x !n )1(C )x (P --π-π-=π-π=。
n ,,2,1,0x =。
并记为X ～B(n,π)例：英语测试时，每道题有4个答案选择，随机选择答案，每道题正确的概率为0.25，问(1)做8道题，正好有2道题正确的概率是多少？(2)做20道题，正好有5道题正确的概率是多少? 解：(1)n=8，π＝0.25，311462.075.025.0278)2X (P 62=⨯== (2)n=20，π=0.25，202331.075.025.0543211617181920)5X (P 155=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 二、二项分布的图形。
(见P190)三、服从二项分布的变量X 的均数和标准差。
变量X 所对应的总体均数为n π，总体的标准差为)1(n π-π。
四、平均发生率P 的均数和标准差。
对于统计研究中，往往需要了解发生率π。
由于π往往是未知的，通常计算平均发生率nXp =估计总体发生率π，平均发生率对应的总体均数为πμ＝p 以及标准误为n)1(p π-πσ＝。
对应的样本标准误为n)p 1(p S p -=。
例：某医院治疗了50个HP ＋的患者，35个患者转阴，请计算样本转阴率和样本标准误(把治疗一个HP ＋患者视为一次试验，治疗50个患者，视为50次试验，把患者通过治疗后转阴的结果视为试验成功)。
解：转阴率7.05035P ==, 转阴率的标准误0648.050)7.01(7.0S p =-=。
五、大样本时，二项分布的总体发生率π的95%可信区间计算。
性质：设X 服从二项分布B(n,π)，n π>5以及n(1-π)>5，当n 充分大时，则π≈P 且P 近似服从正态分布，因此p s n)P 1(P n )1(=-≈π-π=σπ则π的95％可信区间(95%CI)为p 1.96S P ± 即： π的95%CI 为)1.96S P ,1.96S (P P P +-例：调查了1000名男性，检查出10名男性是色盲的，试求色盲患病率的95％可信区间。
解：色盲样本患病率01.0100010P ==，n=1000。
因此nP 与n(1-P)均大于5以及n 也充分大，003146.01000)01.01(01.0=-⨯=P S ，所以95％CI 为：(0.01-196×0.003146，0.01+1.96×0.003146)=(0.003834，0.016166)。
六、样本量较小时，计算比较复杂，因此建议查本书附表7(百分率的可信区间)例：治疗25个HP ＋患者，12个患者转阴，求转阴率的95％可信区间:解：n=25，X ＝12，查附表7，95%CI=(0.28，0.69)例：某医院抢救20个AMI 患者，14个抢救成功，求抢救成功率的95%CI 。
解：由于X 仅列出n/2的可信区间，不能直接查表求95％CI 。
本例n=20，6个抢救未成功，故可查未成功率1-π的95%CI 为： 0.12<1-π<0.54，因此-0.12>π-1>-0.54，所以0.88=1-0.12>π>1-0.54=0.46，即：95％CI 为(0.46，0.88)。
七、二项分布的正态近似问题。
大样本时 样本发生率XP n=近似服从正态分布(5>πn 且5)1(>π-n ，且n>40)。
X Z π-==近似服从标准正态分布N(0,1) 其中样本发生率nXP =。
例：用传统的治疗方案治疗HP ＋患者的治愈率为0.8。
某研究用一种新的治疗方案治疗了100个HP ＋患者，治愈了90个，问：用新的治疗方案的治愈率是否高于传统的治疗方案？ 解：用新的治疗方案的样本治愈率9.010090==P H 0：新的治疗方案的总体治愈率8.0=π vs H 1:8.0≠π5808.0100>=⨯=πn 且5202.0100)1(>=⨯=π-n 且n=100>40，故可用正态分布进行近似。
5.204.01.01002.08.08.09.01002.08.08.0==⨯-=⨯-=P U ，对于05.0=α，U 0.025=1.96U> U 0.025，差别有统计意义，P<0.05。
结论：新的治疗方案的治愈率高于传统治疗方案的治愈率，差别有统计意义，P<0.05。
八、小样本时，样本率P 与总体率π的比较。
直接计算：例：根据以往经验，一般的溃疡病患者的人群HP ＋的患病率为30%。
某医院在某社区随机检查了10名25岁以下的溃疡病患者，有1个溃疡病患者的HP ＋。
问：该地溃疡病患者的HP ＋率是否为30％？解：n=10，用X 表示10个中有HP ＋的患者个数。
则X 服从二项分布。
若π0＝0.30为真，则X 的总体均数n π0=10×0.3=3。
H 0：π=0.3 vs H 1:π≠0.3。
样本值X 0=1，若H 0：π=0.30 为真，则对应的概率为121061.0)7.0(3.0)1(9110===C X P 若X ＝1属于小概率事件，概率小于0.121061的事件均属于小概率事件，并属于拒绝域。
因此P 值＝所有那些概率1)P(X =≤的事件的概率之和。
由下列计算可知：那些概率1)P(X =≤的事件有X=0，10，9，8，7，6，5；反之那些概率1)P(X =>的事件有X=2，3，4。
因此P 值=P 0+P 1+P 10+P 9+P 8+P 7+P 6+P 5=0.028248+0.121061+0.00000595+0.000138+0.001447+0.009002+0.036757+0.102919=0.299578也可以这样计算：P 值=1-(那些概率1)P(X =>的事件的概率) =1-(P 2+P 3+P 4)=1-0.233474-0.266827-0.200121=0.299578 九、两个样本率比较的U 检验问题。
当n 1p 1>5、n 1(1-p 1)>5、n 2p 2>5且n 2(1-p 2)>5，n 1和n 2较大时，可以应用U 检验。
)n 1n 1)(p 1(p p p u 21c c 21+--=其中p c 为合并阳性率，即：2121c n n X X p ++=若n 1p 1>5、n 1(1-p 1)>5、n 2p 2>5且n 2(1-p 2)>5，但n 1和n 2不是足够大时，用校正公式：)n 1n 1)(p 1(p 2/)n /1n /1(|p p |u 21c c 2121+-+--=例：现有二种治疗方案治疗高血脂症：用A 方案治疗120个高血脂患者，其中30个患者治疗有效；用B 方案治疗110个高血脂患者，其中45个患者治疗有效。
问这两种治疗方案何种更好？ 解：H 0:π1=π2 vs H 1:π1≠π225.04030p ,120n 11===，409.011045p ,110n 22===,326.01101204530p c =++= 因为n 1p 1>5、n 1(1-p 1)>5、n 2p 2>5且n 2(1-p 2)>5，且n 1和n 2也较大，故用u 检验：57.211011201674.0326.0|409.025.0|u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=，查附表2：t 检验表(v=∞)，U 0.05=1.96，p<0.05故可以认为B 方案的治疗有效率显著地高于A 方案的治疗有效率。
十、Poisson 分布的背景及其简单计算。
在医学上研究中，经常需要研究某一事件在一定的时间内发生的次数。
如：24小时内发生早搏的次数；如：哮喘病患者在一年中发病的次数。
在医院管理中，要考虑前来门诊的患者个数(把有一个患者前来门诊视为一个事件发生)。
又如：无菌的水放在露天10分钟，细菌落到水里的个数等一些个体计数资料。
这些现象可以用Poisson 分布的变量进行描述。
变量X 表示某一个事件在固定的一段时间内随机发生的次数。
如果X 的总体平均发生次数为λ，则该事件发生k 次的概率为：λ-λ==e !k )k X (P k ，x=0，1，2，3…。
例：某市平均交通事故3起/天。
问：一天内发生2起或2起以下的交通事故的概率是多少？解：总体均数λ＝3，因此一天内发生2起或2起以下的交通事故的概率为4232.0e !23e3e)2X (P )1X (P )0X (P )2X (P 3233=++==+=+==≤--- 十一、Poisson 分布的图形(见p199)十二、Poisson 分布的总体均数和方差。
可以证明：Poisson 分布的总体均数为λ＝总体方差.十三、Poisson 分布的可加性(再生性)。
如果变量X 服从总体均数为λ1的Poisson 分布，变量Y 服从总体均数为λ2的Poisson 分布，且X 与Y 独立，则X ＋Y 服从总体均数为λ1＋λ2的Poisson 分布 十四、二项分布与Poisson 分布的关系:当二项分布资料中n 较大时，而且发生的次数非常稀少时(发生率π很小)，二项分布的概率计算可以用Poisson 分布公式近似。