二项分布、多项分布
二项分布的分布列公式
二项分布的分布列公式二项分布是概率论和统计学中的一种离散概率分布，描述了在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率分布情况。
二项分布的分布列公式可以用来计算每个可能取值的概率。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能，成功和失败。
成功事件的概率记为p，失败事件的概率记为q，其中q=1-p。
在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，C(n,k)表示从n次试验中取k次成功事件的组合数，p^k表示成功事件发生k次的概率，q^(n-k)表示失败事件发生n-k次的概率。
通过二项分布的分布列公式，我们可以计算出在特定的n次试验中，成功事件发生k次的概率。
这对于很多实际问题的分析和预测都是非常有用的。
例如，假设有一个硬币，正面出现的概率为p，反面出现的概率为q。
现在我们进行了n次独立的抛硬币试验，每次试验的结果只有两种可能，正面或反面。
那么在n次试验中，正面出现k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
又如，在某个工厂的生产线上，有一种产品的合格率为p，不合格率为q。
现在我们进行了n次独立的产品检验，每次检验的结果只有两种可能，合格或不合格。
那么在n次检验中，合格产品出现k 次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式的应用非常广泛。
在实际问题中，我们经常需要计算某个事件发生的概率，而二项分布的分布列公式可以帮助我们进行计算。
通过对二项分布的分布列公式的使用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
二项分布的分布列公式是概率论和统计学中的重要工具，可以用来计算在n次独立的伯努利试验中成功事件发生k次的概率。
通过对二项分布的分布列公式的应用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
三大分布--二项分布
三、常见的题型：
1.
明考 暗考
单变量 2. 双变量 a b
多变量 a b
练习1.背定义、熟公式：
(1)若 X ~ B(n , 3) ,且 P(X 1) 96 ,则 n =_____
5
625
析:由题意得
PX
1
C1n
( 3 )(1 5
为ξ的数学期望或均值，简称为期望.
② 则称 D (x1 E )2 p1 (x2 E )2 p2 ... (xn E )2 pn
为ξ的方差 ，称 ＝ D 为ξ的标准差
随机变量期望与方差的作用(目的)
(1)期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件 体现了总体的平均水平(聚中性)
(2)方差：体现了总体的稳定性(波动性)
注1.三大步骤
S1.将样本空间Ω划分成n个基本事件
S2.计算出所求事件A中基本事件的个数
S3.套用公式
P(
A)
A中基本事件的个数 Ω中基本事件的个数
注2.使用的两前提
①有限性
②等可能性
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
几何定义法(几何概型)求概率
③和积互补公式 P(A1 A2 An ) 1 P(A1 • A2 • • An ) 注：若A，B对立，则有 P( A) P(B) 1，反之则不然 ④对偶律 P(A• B •C) P(A B C) P(A• B •C) P(A B C)
古典定义法(等可能概型)求概率
一分二算三相除 有限等分是前提
2.表示：三大语言……
3.分类：
①
离散型 连续型
②
有限型 无限型
13种常见的统计分布
为常数，故首选威布尔分布
理解
是指数分布的一种推广形式
在药学和生存率研究中，常出现一些变量不符合正态、对
数正态及其它常用模型分布
例如能力的高低，学生成绩的好坏等都属于正态分布
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置
理解
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远 不与横轴相交 均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧 逐渐均匀下降 正态分布有两个参数，即均数μ 和标准差σ，可记作N（μ ，σ）
7
属性
Chi-square Distribution
连续型分布 检验资料的实际频数与理论频数是否相等
若n个相互独立的随机变量ξ ₁、ξ ₂、……、ξ n ，均服从标准
理解
正态分布则这 n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和构 成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度 n很大时， 分布近似为正态分布
9
属性
F分布 F Distribution
连续型分布 用于方差的齐性检验和方差分析
理解
10
属性
Γ分布 Γ Distrቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbution or Gamma Distribution
连续型分布 正偏态分布，常用于正偏态分布的拟合
11
属性
圆形分布 Circular Distribution
连续型分布 用于描述以方向、位置、周期性（环形）时间、角度等为测度
单位的数字特征
应用
医学领域内一些现象是以方向或时间度量，具有周期性特点， 如某疾病在一年内各月份的发生数、胎儿在一昼夜间各时点 分娩的频度 有些数据本身就是以角度来表示：如脑电阴图的上升角，气 象环境的风向玫瑰图 这些数据不能用通常的均数、标准差描述
二项分布的现实例子
二项分布的现实例子二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在现实生活中，我们可以找到许多与二项分布相关的实际例子。
本文将介绍几个常见的二项分布现实例子，并解释其应用。
一、硬币投掷硬币投掷是最常见的二项分布实例之一。
当我们投掷一枚硬币时，每次投掷都是一个伯努利试验，成功可以定义为正面朝上，失败可以定义为反面朝上。
假设我们投掷硬币10次，成功次数可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9或10。
通过计算每个成功次数的概率，我们可以得到一个二项分布。
二、产品质量检验在制造业中，产品质量检验是一个重要的环节。
假设某公司生产了1000个产品，每个产品都有一定的概率存在缺陷。
我们可以将每个产品是否存在缺陷定义为一个伯努利试验，成功表示存在缺陷，失败表示不存在缺陷。
通过对这1000个产品进行质量检验，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断产品质量的合格率。
三、选举投票选举投票是另一个与二项分布相关的实际例子。
假设某个选区有10000名选民，每个选民都有一定的概率投票给候选人A。
我们可以将每个选民是否投票给候选人A定义为一个伯努利试验，成功表示投票给候选人A，失败表示投票给其他候选人。
通过对这10000名选民进行投票，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断候选人A的选举胜率。
四、赌博游戏赌博游戏中的赌注结果也可以用二项分布来描述。
例如，在掷骰子游戏中，每次掷骰子都是一个伯努利试验，成功可以定义为掷出指定的点数，失败可以定义为掷出其他点数。
通过多次掷骰子，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断赌注的胜率。
五、市场营销市场营销中的广告点击率也可以用二项分布来描述。
假设某公司在互联网上投放了1000次广告，每次广告的点击率为0.1。
我们可以将每次广告是否被点击定义为一个伯努利试验，成功表示被点击，失败表示未被点击。
通过对这1000次广告的点击情况进行统计，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而评估广告的效果。
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称：binｏｍｉal distribution定义:描述随机现象得一种常用概率分布形式,因与二项式展开式相同而得名。
所属学科:大气科学(一级学科);气候学(二级学科)本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布二项分布二项分布即重复ｎ次得伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能得结果,而且就就是互相对立得，就就是独立得,与其它各次试验结果无关,结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
目录概念医学定义二项分布得应用条件二项分布得性质与两点分布区别编辑本段概念二项分布（Biｎoｍial Distｒibｕtion),即重复n次得伯努力试验(Ｂｅrnouｌli Experiment),用ξ表示随机试验得结果、如果事件发生得概率就就是P,则不发生得概率ｑ=1-p,N次独立重二项分布公式复试验中发生Ｋ次得概率就就是P(ξ=K）=Cｎ（k）P(ｋ）q(n-k)注意!:第二个等号后面得括号里得就就是上标，表示得就就是方幂。
那么就说这个属于二项分布、、其中Ｐ称为成功概率。
记作ξ～B(n，ｐ)期望:Eξ=np方差:Dξ=npq如果1、在每次试验中只有两种可能得结果，而且就就是互相对立得;2、每次实验就就是独立得，与其它各次试验结果无关;３、结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验、在这试验中,事件发生得次数为一随机事件，它服从二次分布、二项分布可二项分布以用于可靠性试验、可靠性试验常常就就是投入n个相同得式样进行试验T 小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验得概率、若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次得概率为:P=C(k,n)×p^k×(1－p)^(n-ｋ)、C(ｋ,ｎ)表示组合数，即从n个事物中拿出k个得方法数、编辑本段医学定义在医学领域中，有一些随机事件就就是只具有两种互斥结果得离散型随机事件,称为二项分类变量(diｃｈotｏmｏｕs vaｒiable）,如对病人治疗结果得有效与无效,某种化验结果得阳性与阴性,接触某传染源得感染与未感染等。
二项分布
二项分布一、二项分布的概念及应用条件1. 二项分布的概念:如某实验中小白鼠染毒后死亡概率P为0.8,则生存概率为=1-P=0.2，故对一只小白鼠进行实验的结果为：死（概率为P）或生（概率为1-P）对二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果为：甲乙均死（概率为P2）、甲死乙生[概率为P(1-P)]、乙死甲生[概率为(1-P）P]或甲乙均生[概率为(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]2依此类推，对n只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n 其中n为样本含量,即事件发生总数，x为某事件出现次数,cnxPx(1-P)n-x为二项式通式，cnx=n!/x!(n-x)!, P为总体率。
因此，二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结果为x次的概率分布。
其概率密度为：P(x)=cnxPx(1-P)n-x, x=0,1,...n。
2. 二项分布的应用条件:医学领域有许多二分类记数资料都符合二项分布(传染病和遗传病除外)，但应用时仍应注意考察是否满足以下应用条件：(1) 每次实验只有两类对立的结果；(2) n次事件相互独立；(3) 每次实验某类结果的发生的概率是一个常数。
3. 二项分布的累计概率二项分布下最多发生k例阳性的概率为发生0例阳性、1例阳性、...、直至k例阳性的概率之和。
至少发生k例阳性的概率为发生k例阳性、k+1例阳性、...、直至n例阳性的概率之和。
4. 二项分布的图形二项分布的图形有如下特征：(1)二项分布图形的形状取决于P 和n 的大小；(2) 当P=0.5时，无论n的大小，均为对称分布；(3) 当P<>0.5 ,n较小时为偏态分布,n较大时逼近正态分布。
5. 二项分布的均数和标准差二项分布的均数µ=np，当用率表示时µ=p二项分布的标准差为np(1-p)的算术平方根，当用率表示时为p(1-p)的算术平方根。
第06章二项分布及其应用
二项分布概念：二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。
该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.，p为事件发生的概率，k是发生的次数，其中k=1,2,3...n，Ek=np，方差:Dk=np(1-p)例6-1某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为0.70，无效率为0.30。
今用该药治疗该疾病患者10人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人有效的概率(《医学统计学》，第三版，孙振球)。
#源代码例6-1：dbinom(6,10,0.7)#二项分布函数dbinom(7,10,0.7)dbinom(8,10,0.7)#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率>#源代码例6-1：>dbinom(6,10,0.7)[1]0.2001209>dbinom(7,10,0.7)[1]0.2668279>dbinom(8,10,0.7)[1]0.2334744>#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率例6-2在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，试据此资料估计该吻合术受孕率的95%可信区间。
#源代码例6-2：binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)>#源代码例6-2：>binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)Exact binomial testdata:6and13number of successes=6, number of trials=13, p-value=1alternative hypothesis:true probability of success is not equal to0.461538595percent confidence interval:0.19223240.7486545sample estimates:probability of success0.4615385例6-3在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计该药物治疗有效率的95%可信区间。
二项分布的原理及应用
二项分布的原理及应用1. 什么是二项分布？二项分布是概率论中的一种离散概率分布，描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，只有两个可能结果，成功（记为S）和失败（记为F），且这两个结果的概率是固定不变的。
二项分布将这些独立的试验作为一系列重复的伯努利试验，并计算在给定试验次数和成功概率下，成功次数的概率分布。
2. 二项分布的概率计算公式设每次伯努利试验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
进行n次独立的伯努利试验，成功的次数X服从二项分布。
其概率计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
3. 二项分布的特征与性质•期望：二项分布的期望为n*p，即试验次数乘以成功的概率。
•方差：二项分布的方差为n p q，其中q=1-p。
•归一性：二项分布的概率和为1，即所有可能的事件的概率之和等于1。
•对称性：若p=0.5，则二项分布是对称的，即成功和失败的概率相等。
4. 二项分布的应用二项分布在实际中有广泛的应用，并且具有很高的实用性。
以下列举了几个常见的应用场景：4.1 质量控制在质量控制领域，二项分布被广泛用于评估和控制产品的质量。
例如，一家医药公司生产的药丸中，有5%的概率出现无效的药丸（成功），95%的概率是有效的药丸（失败）。
为了控制产品质量，公司每次从生产线上随机抽取50个药丸进行检验。
利用二项分布，可以计算出在这50个样本中出现指定个数的成功（无效药丸）的概率。
如果成功的个数超过了一定的阈值，就需要进一步调查和控制生产过程。
4.2 市场调研二项分布还可以用于市场调研中，用来确定产品推广的成功率。
例如，一个公司推出了一个新产品，通过市场调研得知每个潜在客户购买该产品的概率为0.2。
为了确定在推广活动中需要投入的资源和费用，可以利用二项分布来计算在不同投入条件下，达到指定销量目标的概率。
这样可以帮助公司制定合适的推广策略，并为销售预期做出合理的评估。
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二项分布
两点分布: 又称伯努利分布或0-1分布，是离散型的随机变量，变量只能取两个值，非0即1.
两点分布如下：
二项分布是重复n次的伯努利试验，当n等于1时，为伯努利分布。
在每次试验中只有两种可能的结果（0或者1），而且两种结果发生与否互相对立，相互独立。
抛硬币例子：现在抛硬币n次，确定k次正面朝上的概率，已知正面朝上的概率为p.
在n次实验中，选择k次正面朝上，有种可能，每一种可能的发生概率为p k(1-p)n-k。
即：k次正面朝上（n-k负面朝下）的概率为：
由此，二项分布的分布列（律）为：
多项分布
多项分布是二项分布的推广，同样是重复n次实验，不同的是每次实验的取值不只2种，而有k种。
抛骰子例子：现在抛骰子n次，该骰子有6个面，已知每一个面的概率分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6. 现在想知道各个面出现次数分别为k1,k2,k3,k4,k5,k6的概率是多少？
在n次实验中，分别让各个面出现次数为k1,k2,k3,k4,k5,k6次，有
种可能，每一种可能的发生概率为。
即：该概率为：
由此，对于n次实验，每次实验的取值有k种，k种情况分别发生了x1…xk次，概率分别为p1…pk.
即：多项分布的分布列（律）为：。