正态分布与二项分布解析
概率论中的二项分布与正态分布的关系
概率论是数学中一个非常重要的分支，研究的是随机事件发生的概率和规律。
而二项分布和正态分布是概率论中两个重要的概率分布，它们之间有着密切的关系。
首先，让我们来看一下二项分布。
二项分布是一种离散型概率分布，描述的是在一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，我们都有两种可能的结果，通常分别称为成功和失败。
成功的概率记为p，失败的概率记为q，且p+q=1。
而在进行n次独立的伯努利试验后，成功的次数的概率分布就是二项分布。
二项分布的概率质量函数为f(x) = C(n,x) * p^x * q^(n-x)，其中C(n,x)是组合数，表示从n次试验中选择x次成功的组合数。
二项分布的期望值为E(x) = n * p，方差为Var(x) = n * p * q。
从这个公式我们可以看出，二项分布的期望值和方差与试验次数n以及成功的概率p有关。
接下来，我们来看一下正态分布。
正态分布是一种连续型概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布在自然界中非常常见，例如身高、体重等连续型随机变量就可以用正态分布来描述。
正态分布的概率密度函数为f(x) = (1 / (sqrt(2*pi)sigma)) * exp(-(x-mu)^2 / (2sigma^2))，其中mu是均值，sigma是标准差。
正态分布的均值和方差分别就是mu和sigma的值。
正态分布具有对称性，曲线呈钟形，均值处的概率最高。
那么，二项分布和正态分布之间有何种关系呢？事实上，当试验次数n很大时，二项分布在逼近正态分布。
这是由于中心极限定理。
中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理，它表明在一定条件下，独立随机变量之和的分布在试验次数足够大的情况下逼近于正态分布。
具体来说，对于n次独立的伯努利试验，成功的次数之和x满足二项分布B(n,p)，当n足够大时，x的分布近似于参数为μ=np，标准差为σ=sqrt(npq)的正态分布N(μ,σ^2)。
这个关系可以通过计算来进行验证。
二项分布和正态分布的关系
二项分布和正态分布的关系二项分布和正态分布是概率统计中常用的两种分布。
虽然它们的形态不同，但是它们之间有着密切的关系。
二项分布是指在n次独立重复试验中，成功的次数服从参数为n和p的二项分布。
其中，p表示每次试验成功的概率。
二项分布的形态呈现出一种类似梯形的形状。
当试验次数越多，成功概率越小时，梯形的左侧越陡峭，右侧越平缓。
这种形态的分布，适合描述二元事件的概率分布，如抛硬币正反面的概率分布等。
而正态分布则是一种具有对称性的连续概率分布。
其形态呈现出钟形曲线的形状。
正态分布的均值和方差是其分布的两个重要参数。
在实际应用中，许多自然现象和人类行为都可以用正态分布来描述。
例如，身高、体重等连续变量的分布，以及IQ、学习成绩等离散变量的分布等。
二项分布和正态分布之间的关系，主要体现在以下两个方面：1.大样本情况下，二项分布可以近似为正态分布当试验次数n足够大，成功概率p足够小（或足够大），二项分布可以近似为正态分布。
这是因为，二项分布的期望和方差分别为np 和np(1-p)，当n足够大时，np和n(1-p)都足够大，从而使得二项分布的形态逐渐接近于正态分布。
这种近似关系，可以用中心极限定理来证明。
2.正态分布可以用来近似计算二项分布的概率由于二项分布的计算比较繁琐，而且在一些情况下，二项分布的参数也不易确定，因此可以用正态分布来近似计算二项分布的概率。
具体方法是，将二项分布的期望和方差分别用正态分布的均值和方差进行替换，从而得到一个近似的正态分布。
需要注意的是，这种近似计算方法的精度，取决于二项分布的参数和正态分布的均值和方差的选择。
一般来说，当试验次数n足够大时，正态分布的均值和方差可以分别取为np和np(1-p)，此时的近似效果较好。
二项分布和正态分布之间存在着密切的关系。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点，选择合适的分布来描述概率分布，并采用相应的数学方法来求解问题。
同时，也需要注意分布的参数和近似方法的选择，以保证计算结果的准确性和可靠性。
正态分布和二项分布的关系
正态分布和二项分布的关系
1 正态分布
正态分布是以均值为中心，以特定的标准差表示散布趋势的，即
服从“正态分布”的随机变量之总体的概率密度分布。
正态分布也称
为高斯分布，它是一种连续概率分布，其中大部分的值出现在均值附近，而少数出现在均值很远的地方。
事实上，正态分布是用来描述连
续随机变量概率分布的标准分布模型，是一种实用性很强的分布模型。
2 二项分布
二项分布是描述随机变量的定义在一组取值中发生的频次的概率
分布。
它是二项实验的概率分布，即对多次重复的独立实验，每次实
验只有有限的两种结果，称为二项分布。
二项分布的概率值只与重复
次数、试验的两种结果出现的概率有关。
一般情况下，当重复次数越多，二项分布就会越接近正态分布。
3 正态分布与二项分布之间的关系
从数学上讲，正态分布与二项分布之间有很大的不同：正态分布
是一种连续分布，而二项分布是一种离散分布。
尽管其绝对的概率分
布形状不同，但事实上，当样本数量足够大时，正态分布与二项分布
有着相当大的相似度。
事实上，一般认为，当样本大小足够大时，若
以正态模型估计样本和可以得到满意的结果。
正态分布和二项分布的最大区别在于，二项分布只能用来估计定义在一组取值中发生的次数，而正态分布可以用来估计任何满足正态分布条件的连续随机变量的概率分布。
不过，即使是正态分布，当样本数量变得越来越大时，这两种分布的结果也会越来越接近。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布与正态分布是概率统计学中两个重要的分布模型。
它们在实际应用中发挥着重要的作用，对于描述随机事件和现象的分布规律具有重要意义。
本文将分别介绍二项分布和正态分布的基本概念和性质，并对它们之间的关系进行探讨。
一、二项分布二项分布是概率统计学中最基本的离散型概率分布之一。
它描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
其中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验次数n和成功次数X（取值范围为0到n）是二项分布的两个重要参数。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个物体中取出k个的组合数。
二项分布具有以下性质：1. 期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
2. 归一性：二项分布的概率之和为1，即∑P(X=k) = 1，其中k的取值范围为0到n。
二、正态分布正态分布是概率统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它以钟形曲线的形式描述了大量随机变量分布的特征。
正态分布由两个参数决定，即均值μ和标准差σ。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，exp表示自然指数函数，sqrt表示开方。
正态分布具有以下性质：1. 对称性：正态分布呈现出关于均值对称的特点，即其左右两侧的曲线是镜像关系。
2. 均值和方差：正态分布的均值即为μ，方差即为σ^2。
3. 中心极限定理：当样本容量较大时，多个独立随机变量的均值近似服从正态分布。
三、二项分布与正态分布的关系在一些情况下，二项分布可以近似看作正态分布。
当试验次数n较大，成功概率p较接近0.5时，二项分布的概率分布形状逐渐接近于正态分布。
根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布的均值和方差趋近于正态分布的均值和方差，因此可以用正态分布来近似描述二项分布的概率分布。
二项分布与正态分布详解
在二项分布和正态分布中的应用举例
二项分布参数估计
正态分布参数估计
二项分布假设检验
正态分布假设检验
对于二项分布B(n, p)，可以使 用样本比例作为成功概率p的 点估计。同时，根据二项分布 的性质，可以构造出p的置信 区间进行区间估计。
对于正态分布N(μ, σ^2)，可 以使用样本均值作为总体均值 μ的点估计，样本方差作为总 体方差σ^2的点估计。同样地 ，可以构造出μ和σ的置信区间 进行区间估计。
02
通过对二项分布和正态分布进行深入剖析，探讨它们之间的联
系和区别，以便更好地理解这两种分布。
为后续概率论与数理统计学习打下基础
03
二项分布和正态分布是概率论与数理统计中的重要内容，掌握
它们对于后续学习具有重要意义。
预备知识
概率论基础知识
要理解二项分布和正态分布，首先需要具备概率论的基础知识， 如事件、概率、随机变量等概念。
正态分布转化为二项分布的条件
在实际应用中，如果某个连续型随机变量可以取整数值，且这些整数值出现的概率可以 用二项分布来描述，那么可以将这个连续型随机变量近似为二项分布。但需要注意的是
，这种转化通常需要在一定的精度范围内进行。
实际应用中的选择依据
• 在实际应用中，选择使用二项分 布还是正态分布通常需要考虑以 下因素：首先，需要判断随机变 量是离散的还是连续的；其次， 需要考虑随机变量所描述的实际 情况是否符合二项分布或正态分 布的定义和性质；最后，还需要 考虑样本量大小、数据分布情况 等因素来选择最合适的分布类型 进行建模和分析。
方差
正态分布的方差等于其标准差的平方，即D(X)=σ^2。
正态分布的应用举例
01 02
质量控制
二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用
二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用二项分布与正态分布二项分布和正态分布是概率统计学中两个重要的分布形式。
二项分布适用于独立重复试验，每次试验只有两种可能的结果，成功或失败；而正态分布则是一种连续性的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。
本文将介绍二项分布和正态分布的性质与应用。
一、二项分布二项分布，又称为伯努利分布，是最基本的离散型概率分布之一。
它描述了在一系列相互独立的、同类的随机试验中，成功的次数的概率分布。
一次伯努利试验中，只有两个可能的结果，例如抛硬币的正反面。
二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X表示成功的次数，n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
从公式中可以看出，二项分布的参数为n和p。
二项分布的性质：1.期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
2.形状特点：二项分布的形状呈现对称性，随着试验次数n的增加，其形状逐渐接近正态分布。
二项分布的应用：1.质量控制：在质量控制中，可以使用二项分布来描述合格品和不合格品的比例，判断产品是否符合生产标准。
2.市场调查：通过市场调查统计来预测某个事件的发生概率，例如选举候选人的支持率。
3.投资决策：根据二项分布的特点，可以计算在不同投资情况下的预期收益和风险。
二、正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种连续型的概率分布。
在自然界和社会科学中，许多现象都可以被正态分布描述，例如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数如下：f(x) = 1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，x表示连续随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布的参数为μ和σ。
正态分布的性质：1.对称性：正态分布是对称分布，其均值和中位数重合。
2.标准正态分布：当μ=0、σ=1时，得到标准正态分布。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布（Binomial Distribution）和正态分布（Normal Distribution）是统计学中常用的两种分布类型，它们在描述概率和随机变量的分布特征上有着重要的应用。
一、二项分布二项分布是一种离散概率分布，适用于两个互斥事件（成功和失败）发生的多次独立重复实验。
每个实验的结果只有两种可能性，并且各试验之间的概率不会发生变化。
该分布以两个参数来描述：n（实验次数）和p（事件成功的概率）。
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X为成功事件发生的次数，k为取值范围，C(n, k)表示组合数。
例如，某外卖平台的数据显示，在送达100份订单中，正好有20份遇到问题，成功率为0.2。
如果我们想要了解在送达下一个订单时会出现多少问题的概率分布，我们就可以使用二项分布来计算。
二、正态分布正态分布是一种连续概率分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，正态分布常常用来描述一组数据中心性的表现，其图形呈钟形曲线。
正态分布由两个参数来描述：均值（μ）和标准差（σ^2）。
正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x-μ)^2 /2σ^2)，其中x为取值范围。
例如，在考试成绩分析中，如果我们知道某门考试的平均分是80分，标准差是10分，我们就可以使用正态分布来计算不同分数段的比例和概率。
三、二项分布与正态分布的关系当二项分布的参数n（实验次数）足够大，同时p（事件成功的概率）也足够接近0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。
根据中心极限定理（Central Limit Theorem），当样本容量足够大时，无论数据服从什么分布，其样本均值的分布均近似服从正态分布。
由于二项分布和正态分布之间的关系，我们可以利用正态分布的性质对二项分布进行近似计算。
这种近似计算可简化复杂的二项分布计算，并提高效率。
初中数学中的二项分布与正态分布
二项分布和正态分布都可以用于描述数据的分布情况，但应用场景不同
二项分布和正态分布都可以通过中心极限定理进行转换，从而扩大其应用范围
性质和特点的区别和联系
二项分布：离散随机变量，只有两种可能结果，如硬币正反面
添加标题
正态分布：连续随机变量，结果在特定范围内，如身高、体重
正态分布的集中性：正态分布的随机变量大部分集中在均值μ附近，离均值越远，概率越小。
正态分布的标准差σ决定了曲线的宽度和陡度，σ越大，曲线越宽，陡度越小；σ越小，曲线越窄，陡度越大。
二项分布与正态分布的区别和联系
04
定义上的区别和联系
二项分布：指在n次独立重复试验中，每次试验只有两种可能的结果，且每次试验的结果互不影响。
μ：正态分布的均值，表示数据分布的中心位置
σ^2：正态分布的方差，表示数据分布的离散程度平方
正态分布的曲线形状：对称、单峰、中间高、两边低
正态分布在初中数学中的应用
正态分布的应用：在初中数学中，正态分布可以用于描述各种数据的分布情况，如考试成绩、身高、体重等
正态分布的概念：数据分布的一种规律，大多数数据集中在平均值附近，两端逐渐减少
概率计算：用于计算随机事件发生的概率
决策制定：用于制定决策，如风险评估、投资决策等
实验设计：用于设计实验，如抽样调查、实验研究等
统计分析：用于分析数据的分布情况
二项分布的性质和特点
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正态分布
03
正态分布的定义
添加标题
二项分布的概率计算公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数，p为成功概率，n为试验次数，k为成功次数
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正态分布与二项分布主要内容正态分布的概念和特征标准正态分布正态分布曲线下的面积医学参考值范围二项分布的基本概念和性质二项分布的概率计算方法体重分布65.062.560.057.555.052.550.047.545.042.540.06050403020100Std. Dev = 5.76Mean = 51.5N = 300.00正态分布正态分布（normal distribution）又称高斯（Gauss）分布，是以均数为中心，左右两侧基本对称的钟型分布。
越接近均数，频数分布越多，离均数越远，频数分布越少。
正态分布是一种重要的连续型分布，是许多统计方法的理论基础。
正态分布的概率密度函数将正态分布曲线用函数形式表达，称为正态分布的概率密度函数，记为f(x)，即正态分布曲线的方程为：一般用N （μ，σ2）表示均数为μ，方差为σ2的正态分布。
222)(21)(σμσπ--=x e x f正态分布曲线3210-1-2-3μ-σμ+σμ正态分布曲线密度曲线图中，横轴表示测量指标x，纵轴表示密度函数值f(x)。
⏹观察值x附近个体值分布越密集，f(x)值越大；⏹x附近的个体值分布越稀疏，f(x)值就越小。
密度函数f(x)的大小，反映了x附近的测量值的密集程度。
正态分布的特征正态曲线为位于横轴上方的钟形曲线。
正态分布以μ为中心，左右两侧对称。
正态分布曲线以横轴为其渐近线，但两端与横轴永不相交。
正态分布有两个参数，即μ和σ。
可通过标准化变换将一般正态分布N（μ，σ2）转化为标准正态分布N（0，1）。
正态分布曲线下的面积具有一定的规律性。
正态分布的两个参数：μ和σμ是位置参数，用以描述正态分布的集中位置。
⏹当σ恒定，改变μ，则曲线沿x轴平移，但形状不变，⏹μ越大，则曲线沿横轴越向右移动；μ越小，则曲线沿横轴越向左移动。
σ是变异度参数或形状参数，用以描述曲线的离散程度。
⏹当μ恒定时，改变σ，则曲线的形状会发生变化，而曲线的中心位置不变，⏹σ越大，表示数据越分散，曲线越扁平，变异越大；σ越小，表示数据越集中，曲线越陡峭，变异越小。
如果一个随机变量X取对数后，其值的分布为正态分布，则称随机变量X服从对数正态分布。
如果进行标准化变换（u 变换），并使μ＝0，σ＝1，正态分布的中心位置就由μ移到0，一般正态分布N （μ，σ2）转化为标准正态分布N （0，1）。
σμ-=x u标准正态分布曲线-2-3-1132标准正态分布标准正态分布也称为u 分布（Z 分布），u 称为标准正态变量或标准正态离差。
标准正态分布可用N （0，1）表示。
标准正态分布的概率密度函数为：2221)(u e u -=πϕ标准正态分布（u分布）的特征u分布曲线为位于横轴上方的钟形曲线。
u分布以 ＝0为中心，左右两侧对称。
u分布曲线以横轴为其渐近线，但两端与横轴永不相交。
u分布的μ＝0，σ＝1。
u分布曲线下的面积具有一定的规律性。
正态曲线下面积（AUC)可根据正态分布曲线下某个区间的面积(Area Under the Curve)，以估计该区间的例数占总例数的百分数（频率分布），或变量值落在该区间的概率（概率分布）。
正态曲线下的面积，可以通过对正态变量X 的累计分布函数F （X ）的积分来求得，它反映了正态曲线下，自-∞到X 的面积，即左侧累计面积。
XXx d e X F ⎰∞---=222)(21)(σμσπ曲线下横轴上的总面积为100%或1。
服从正态分布的随机变量在一区间上曲线下的面积与其在这一区间上取值的概率相等。
当μ、σ和X 已知时，可先进行u 转换：然后对u 的累计分布函数Φ(u)进行积分。
σμ-=x u uuu d e u ⎰∞--=Φ2221)(π为了计算方便，统计学家已按公式编制成附表2，标准正态分布曲线下的面积。
即在实际应用中，经u变换后，再用该附表，可把求解任意一个正态分布曲线下面积的问题，转化成标准正态分布曲线下相应的面积。
曲线下对称于0的区间，面积相等。
区间（-∞，-u）和区间（u，+∞）的面积相等，因而附表2中只列出Φ(-u)的值，Φ(u)=1-Φ(-u)。
正态曲线下面积的计算公式为：P(u1<U<u2)=Φ(u2) Φ(u1)。
正态曲线下面积的分布规律Φ(1.96)=1-Φ(-1.96)=1-0.025=0.975，从u=-1.96到u=1.96的面积：P(-1.96<U<1.96)=Φ(1.96)-Φ(-1.96)=0.975-0.025=0.95正态曲线下面积的分布规律Φ(2.58)=1-Φ(-2.58)=1-0.005=0.995，从u=-2.58到u=2.58的面积：P(-2.58<U<2.58)=Φ(2.58)-Φ(-2.58)=0.995-0.005=0.99正态曲线下面积的分布规律例：由160名7岁男孩身高测量的数据算得，S=4.8cm ，已知身高数据服从正态分布。
试估计该地当年7岁男孩身高介于119cm 到125cm 范围所占的比例。
u 1=(119-122.6)/4.8=-0.75u 2=(125-122.6)/4.8=0.5122.6x cm正态曲线下面积的分布规律Φ(u 1)= Φ(-0.75)=0.2266Φ(u 2)= Φ(0.5)=1-Φ(-0.5)=1-0.3085=0.6915P(119<X<125)=Φ(u 2)-Φ(u 1)=0.6915-0.2266=0.4649该地当年7岁男孩身高介于119cm 到125cm 范围所占的比例为46.49%。
正态曲线下面积的分布规律例：经大量调查成年女子的胸围（X）服从正态分布N（86.5,7.62）,求：⏹X<76cm的概率；⏹X>96cm的概率；⏹X在76~96cm间的概率。
P(X<76)=Φ[(76-86.5)/7.6]=Φ(-1.38)=0.0838正态曲线下面积的分布规律P(X>96)=1-Φ[(96-86.5)/7.6]=1-Φ(1.25)=1-1+Φ(-1.25)=0.1056P(76<X<96)=P(X<96)-P(X<76)=Φ(1.25)-Φ(-1.38)=0.8944-0.0838=81.06%医学参考值范围的制定医学上常要确定某群体“正常人”（特定健康状况的人群）的解剖、生理、生化等各种指标大多数个体的波动范围，称为医学参考值范围或正常值范围，常作为划分正常与异常的参考依据。
医学参考值范围是指按一定概率所确定的医学参考值的波动范围。
保证研究对象的同质性一般选择“正常人”，这里所谓的正常人不是指机体任何器官、组织的形态和功能都正常的健康人，而是排除了对研究指标有影响的疾病或因素之后的同质人群。
例如，制定ALT的参考值范围，“正常人”的条件是：①无肝、肾、心、脑、肌肉等疾患；②近期未服用对肝有损伤的药物（如氯丙嗪、异烟肼）；③测定前未做剧烈运动、未暴饮暴食等。
样本含量制定参考值范围必须要有足够的观察单位数。
确定具有实际意义的统一测量标准检测过程中严格控制系统误差和随机误差，对一些易受主观因素影响的指标，如测定方法、仪器、试剂、熟练程度等要做到标准化。
判定分组组间差别明显并有实际意义应分开制定，否则应合并。
确定单、双侧根据专业知识确定单侧和双侧。
选定适当的百分范围一般取95%、99%的参考值范围。
选择估计参考值范围的方法根据资料的分布类型，样本含量的多少和研究目的等，选用适当的方法确定参考值范围。
⏹正态近似法；⏹百分位数法。
正态近似法确定参考值范围当资料服从正态或近似正态分布时，可根据正态分布曲线下面积分布规律进行参考值范围的估计，该法得到结果稳定，双侧（-u α/2s ，+u α/2s ）单侧（-∞，+u αs ）或（-u αs ，+∞）x x x x（毫克%），求双侧95%参考值范围？胆固醇分组频数f累计频数累计频率85~ 105~ 125~ 145~ 165~ 185~ 205~ 225~ 245~52028403924105352553931321561661711742.8714.3730.4653.4575.8689.6695.4098.28100.00（毫克%），求双侧95%参考值范围？本资料近似服从正态分布，该地农民35~39岁男性胆固醇测定值的双侧95%参考值范围为：±u α/2s =162.93±1.96×34.19=（95.92，229.94）mg%%93.162mg x =%19.34mg s =x百分位数法确定参考值范围当资料不能满足正态性要求时，可用百分位数法按照下式估计参考值范围。
（P 2.5，P 97.5）（双侧）（-∞，P 95）或（P 5，+ ∞）（单侧）例：某市1974年为了解该地居民发汞的基础水平，调查了留住该地一年以上，无明显肝、肾疾病，无汞作业接触史的居民238人的发汞含量（ mol/kg ）：试估计该地居民发汞值的95%参考值范围？发汞值人数累计频数累计频率（%）1.5～20208.43.5～668636.15.5～6014661.37.5～4819481.59.5～1821289.1 11.5～1622895.8 13.5～623498.3 15.5～123598.7 17.5～023598.7 19.5～21.53238100.0合计238该资料为偏态分布，用百分位数法估计单侧95%参考值范围。
则该地居民发汞值的95%参考值范围为0-13.3 μmol/kg 。
mol/kg13.3)212%95238(1625.1195μ=-⨯+=P二项分布的概念❖二项分布是一种重要的离散型分布，也称为伯努利分布，是用来描述二分类变量的两种观察结果的出现规律的一种离散型分布。
❖常用于总体率的估计和两总体率的比较等。
二项分布的概念设小白鼠接受某种毒物一定剂量时，其死亡率为80%，对于每只小白鼠来说，其死亡概率为80%，生存概率为20%；若每组各用甲乙丙三只小白鼠逐只做实验，观察每组小白鼠的存亡情况，如果计算生与死的顺序，则共有8种排列方式，如果只计生与死的数目，则只有4种组合方式，如下表所示。
Xn x n XX P --=)1()()(ππ白鼠死亡的组合方式排列方式每种排列的概率每种组合的概率生存数（X ）死亡数（n-X ）甲乙丙3生生生0.2×0.2×0.2=0.0080.00821生生死0.2×0.2×0.8=0.0320.096生死生0.2×0. 8×0.2 =0.032死生生0. 8×0.2×0.2 =0.03212生死死0.2×0.8×0.8=0.1280.384死生死0.8×0.2×0.8=0.128死死生0.8×0.8×0.2=0.12803死死死0.8×0.8×0.8=0.5120.5121.0001.000每种组合方式的概率可以用二项式概括，二项式展开的各项就是每种组合的概率。