二项分布概念及图表和查表方法
二项分布 卡方检验.ppt
P(
X
)
(
n X
)
X
(1
)nX
X=0，1，2，…，n
二项分布的应用条件
每次试验只会发生相互对立的两种结果之一， 如阳性或阴性，生存或死亡；
每次试验产生某种结果的概率固定不变，已 知发生某一结果（如阳性的概率为π，其对 立结果的概率则为1-π；
重复试验是相互独立的，即每次试验的观察 结果不会影响到其它试验的结果，也不会受 其它试验的结果的影响。
n (b d )(c d )
n
n
a
(ad bc)2 n
bc d a cb
d
四格表2检验的校正公式
2界值表是根据连续性的2分布计算出来的，但原 始数据是分类资料，不是连续的，由此计算的2 值也是不连续的，它仅仅是连续性的2分布的一种 近似。
n≥40&T ≥ 5时，这种近似效果较好。
但在样本例数较少或出现理论频数小于5时，算出 的2值可能偏大，既求出的概率P值可能偏小，此 时须根据具体情况作不同的处理。
u p1 p2 s P1 P2
S p1 p2
X1 X 2 (1 X1 X 2 )( 1 1 )
n1 n2
n1 n2 n1 n2
例：为研究某职业人群颈椎病患病率的性别差异,随 机抽查了该职业人群男性120人和女性110人,检查出 男性中有36人患有颈椎病,女性中有22人患有颈椎病, 试比较不同性别的颈椎病患病率的差异。
பைடு நூலகம்
n=5 π=0.3
.2
.1
0.0
0
1
2
3
4
5
二项分布的图形
.2 n=20 π=0.3
.1
0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二项分布及Posson分布
（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。
② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分
布近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，
当λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
P( X ) 1
X 0
n
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果
发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利
（Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件
发生的次数X服从二项分布。
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果 （如“阳性”）的概率π固定不变
样本均数与总体均数比较的检验目的 是推断样本均数所代表的总体均数λ与已 知的总体均数λ0是否相等。 可使用的检验方法有：直接计算概率 法和正态近似法
例6-13
有研究表明，一般人群精神发育
不全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚 配关系的后代25000人，发现123人精神发育不
全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育
第二节
Poisson分布
（Poisson distribution）
一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩· 德尼· 泊松 )研究二项
分布的渐近公式是时提出来的。
二项分布
谢谢观看
在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量 （dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的 感染与未感染等。二项分布（binomialdistribution）可以对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规 律性进行描述。
应用
管理学 经济学
医学
在保险业务中，我们经常需要根据实际情况适当调整保费问题，以保证保险公司的利润达到一定要求，同时 保险公司的业务量也达到要求，对于这一类问题，可以对已知实际情况做一定的概率分析。例如某保险公司有客 户购买人身意外保险，该公司规定每人每年付公司120元，若遇意外死亡，公司将赔偿元。若每人每年死亡率为 0.006，从而不难利用二项分布算出公司获利、亏本的各种情形了。实际上对于随机现象，了解其分布非常有意 义，利用概率论讨论得到的结果对保险公司有一定的指导意义。
图形特点
从图1中可以看出，对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减 少。可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且:
注：[x]为取整函数，即为不超过x的最大整数。 图1二项分布概率分布 图2二项分布概率分布
关系
两个二项分布的和 如果X~ B(n,p)和Y~ B(m,p)，且X和Y相互独立，那么X+Y也服从二项分布；它的分布为： 伯努利分布 伯努利分布是二项分布在n= 1时的特殊情况。X~ B(1,p)与X~ Bern(p)的意思是相同的。相反，任何二项分 布B(n,p)都是n次独立伯努利试验的和，每次试验成功的概率为p。 泊松近似 当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为λ=np的泊松分布可以 作为二项分布B(n,p)的近似，近似成立的前提要求n足够大，而p足够小，np不是很小。 正态近似 n=6、p=0.5时的二项分布及正态近似如果n足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适 当的连续性校正，那么B(n,p)的一个很好的近似是正态分布: 当n越大（至少20）且p不接近0或1时近似效果更好。
医学统计学二项分布课件
医学统计学二项分布课件xx年xx月xx日•二项分布概述•二项分布数学模型•二项分布的参数估计•二项分布与其它分布的关系目•二项分布的应用实例•二项分布在SPSS和R语言中的应用录01二项分布概述二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立的是/非试验中成功的次数的概率分布。
其中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
定义B(n, p) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)公式二项分布的定义二项分布的特点二项分布在n次独立的是/非试验中成功的次数。
二项分布的随机变量取值为0，1，2，…，n。
在n次独立的是/非试验中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
描述病情变化在医学领域中，病情变化是一个二项分布的过程。
病情可能变好也可能变坏，每次试验可以看作是医生对病情的观察和评估。
临床试验设计在临床试验中，通常将二项分布应用于设计试验方案和分析数据。
例如，在随机对照试验中，将患者随机分为试验组和对照组，比较两组的有效率或成功率等指标。
诊断和预后在医学诊断和预后评估中，通常将二项分布应用于计算概率和可信区间。
例如，计算某疾病的发病率、某检查手段的阳性率等指标。
二项分布在医学统计学中的应用02二项分布数学模型二项分布概率函数公式：$P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$其中 $C(n, k)$ 表示组合数，$p$ 表示每次试验成功的概率，$n$ 表示试验次数二项分布概率函数二项分布的均值$E(X) = np$二项分布的方差$D(X) = np(1-p)$二项分布的均值和方差二项分布曲线是一个钟形曲线随着 $n$ 的增大，曲线越来越接近正态分布曲线二项分布曲线的形状03二项分布的参数估计样本大小的选择确定样本量医学研究中，样本量的选择是至关重要的。
通常根据研究目的、研究因素的数量和研究因素的水平数来决定样本量。
考虑变异性和研究因素在选择样本量时，需要考虑研究因素的变异性和水平数。
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
医学统计学二项分布课件
二项分布的图形特征与参数影响
• 参数影响 • 试验次数n：随着n的增大，分布趋于正态分布。 • 成功概率p：p越接近0.5，分布越对称；p越小或越大，分布越偏态。 • 应用：了解二项分布的图形特征与参数影响，有助于我们选择合适的统计方法和解释试验结果。在实际医学研究中，我们
二项分布的应用场景
医学研究中，评估某种治疗方法的有效率，可以 看作是伯努利试验，成功率为治疗有效率，通过 二项分布来描述多次试验后治疗有效的次数分布 。
公共卫生领域，二项分布可用于描述某种疾病在 人群中患病次数的分布情况，进而评估疾病的流 行程度和控制效果。
临床试验中，病人对某种药物的反应可分为有效 和无效两类，药物疗效评估可通过二项分布进行 统计分析。
二项分布的累积分布函数
定义
二项分布的累积分布函 数表示在n次独立试验 中，成功次数小于或等 于k的概率。
公式
F(x) = sum(P(X=k))， 其中k从0到x。
应用
通过累积分布函数，我 们可以计算在某个成功 次数以下的累积概率， 有助于我们分析试验结 果的分布情况。
二项分布的图形特征与参数影响
不良反应发生率
在药物临床试验中，二项分布也可用于评估药物的不良反应 发生率。通过计算不良反应发生次数与总用药人数的比例， 并利用二项分布进行统计分析，可以判断药物安全性。
流行病学研究中的疾病发病率估计
估计疾病发病率
在流行病学研究中，利用二项分布可以估计某种疾病的发病率。通过观察一段时间内某地区或人群中患病的人数 ，结合二项分布的概率计算，可以得到该疾病的发病率估计值。
软件工具
常用的统计软件如R、SPSS、 SAS等都可以进行二项分布概率
二项分布概念及图表和查表方法
目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例定义统计学定义在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。
实际上，当时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)二项分布公式式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。
所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。
概念二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。
二项分布公式如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
二项分布
例 设某放射性物质平均每分钟放射计数为 5。 X3。则 Xi～P(5)，i=1,2,3。据Poisson分布的可
加性可得X1+X2+X3～P(15)。
现考虑测3个1分钟的放射计数，分别记为X1, X2,
0.2
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16
即该放射性物质平均每 30 分钟脉冲计数 的95%可信区间为322.8～397.2个。
样本均数与总体均数的比较
直接计算概率法 正态近似法
u
X 0
0
直接计算概率法
例5.16
H 0： 此地区患病率与一般患病率相等，即 0
H 1： 此地区患病率高于一般患病率，即 0
从某学校随机抽取 26 名学生，发现有 4 名
感染沙眼，试求该校沙眼感染率 95%可信区间
本例 n=26， X =4，查附表 3 的可信度为 95%的 可信区间为(4%，35%)。
总体率的可信区间(正态近似法）
p u
S , p u S p p
例5.4
估计显效率的95%的可信区间
10
20
Poisson分布的正态近似
当20时已接近正态分布，当50时则非 常接近正态分布。
Poisson分布的性质
当20时已接近正态分布，当50时则 非常接近正态分布。 方差等于均数: 2= 泊松分布资料的可加性
服从Poisson分布也有三个条件
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二项分布概念及图表
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
目录
1 定义
▪统计学定义
▪医学定义
2 概念
3 性质
4 图形特点
5 应用条件
6 应用实例
定义
统计学定义
在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。
实际上，当
时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
医学定义
在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)
二项分布公式
二项分布公式
P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布。
其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)
期望：Eξ=np；
方差：Dξ=npq；
其中q=1-p
证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。
因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。
设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).
因X(k)相互独立，所以期望：
方差：
证毕。
如果
1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；
2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；
3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。
在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。
二项分布可
二项分布
若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。
C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。
性质
（一）二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。
因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适，用直方图表示只是为了更形象些。
1．当p=q时图形是对称的
例如，，p=q=1/2，各项的概率可写作：
2．当p≠q时，直方图呈偏态，p<q与p>q的偏斜方向相反。
如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。
故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。
何谓n很大呢一般规定：当p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。
（二）二项分布的平均数与标准差
如果二项分布满足p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)时，二项分布接近正态分布。
这时，也仅仅在这时，二项分布的x变量(即成功的次数)具有如下性质：
即x变量具有μ =np，的正态分布。
式中n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1- p。
由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用μ和σ而不用X和S表示。
它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数μ =np，成功次数的分散程。
例如一个掷10枚硬币的试验，出现正面向上的平均次数为5次(μ= np=)，正面向上的散布程度为√10×（1/2）×（1/2)= (次)，这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近。
图形特点
（1）当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值；
（2）当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。
注：[x]为不超过x的最大整数。
应用条件
1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。
2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。
二项分布公式
3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。
如要求疾病无传染性、无家族性等。
应用实例
二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。
所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由猜测而造成的。
比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。
凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。
下面给出一个例子。
已知有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素
分析：此题，即猜对猜错的概率各为。
，故此二项分布接近正态分布：
根据正态分布概率，当Z=时，该点以下包含了全体的95%。
如果用原分数表示，则为
它的意义是，完全凭猜测，10题中猜对8题以下的可能性为95%，猜对8、9、10题的概率只5%。
因此可以推论说，答对8题以上者不是凭猜测，而是会答。
但应该明确：作此结论，也仍然有犯错误的可能，即那些完全靠猜测的人也有5%的可能性答对8、9、10道题。
此题的概率值，还可用二项分布函数直接计算，亦得与正态分布近似的结果：
b(8 10 =10*9/2** = 45/1024
b(9 10 =10** = 10/1024
b(10 10 = 1/1024
根据概率加法，答对8题及其以上的总概率为：45/1024+10/1024+1/1024=56/1024 = 同理，可计算8题以下的概率为 95%。
(近似)
⎜ ⎜
附表 1 二项分布表
P {X x } ⎜ n ⎜
p (1 p )
k
⎜k ⎜
n
x p
2 0 2 1
查表方法：本表对于n、p、x给出二项分布函数P（x；n，p）的数值。
例：对于n=11，p=和x=0，P（x；n，p）=。