二项分布和泊松分布参数的区间估计
二项分布与泊松分布比较
二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。
一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。
二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。
泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。
三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。
2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。
3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。
二项分布与泊松分布
二项分布在实际 生活中广泛应用 于成功率已知的 n次独立重复试 验中，例如抛硬 币、扔骰子等。
二项分布的公式和参数
二项分布公式：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X表示成功次数，n表示试验次数， p表示每次试验成功的概率 参数解释：n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，X表示成功次数
定义上的区别和联系
二项分布：表示在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数概率分布。
泊松分布：表示在单位时间内（或单位面积上）随机事件发生的次数概 率分布。 联系：两者都是离散概率分布，但二项分布强调的是成功次数，而泊松 分布强调的是发生次数。
区别：二项分布需要满足独立重复的条件，而泊松分布则没有这个限制。
它以法国数学家西莫 恩·德尼·泊松的名字 命名，他在19世纪早 期研究了这种分布。
泊松分布适用于描述 在固定时间段内独立 随机事件发生的次数， 例如电话呼叫、到达 的顾客等。
泊松分布的参数是平 均发生率，决定了分 布的形状。
泊松分布的公式和参数
公式：P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k! 参数：λ (lambda)，表示单位时间内随机事件的平均发生率 适用场景：泊松分布常用于描述单位时间内随机事件发生的次数 特点：当λ较小时，泊松分布与二项分布接近
公式中各符号的含义：C(n, k)表示组合数，即从n次试验中选取k次成功的组合方式数
二项分布的应用场景：适用于独立重复试验，例如抛硬币、扔骰子等概率试验
二项分布在概率论中的应用
描述独立重复试验的概率 模型
计算概率和期望值
应用于保险、生物统计学 等领域
与泊松分布的关系和区别
二项分布在统计学中的应用
描述：二项分布是统计学中用来描述成功或失败次数的一种概率分布。 应用场景：在生物统计学、医学统计、可靠性工程等领域有广泛应用。 实例：在医学统计中，二项分布常用于研究某种疾病的发生率、治疗成功率等。 注意事项：在使用二项分布时，需要注意数据的独立性和试验次数的限制。
泊松分布与二项分布的关系
泊松分布与二项分布的关系在统计学中，泊松分布和二项分布都是常见的概率分布类型。
虽然它们看起来非常不同，但实际上它们之间存在一定的联系和相互影响。
本文将讨论泊松分布和二项分布之间的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解一下泊松分布和二项分布的定义和特点。
泊松分布是一种用于估计在特定时间或空间内某事件发生的次数的离散概率分布。
它的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^-λ) / k!其中，λ是事件发生频率的参数，k是事件发生的次数，e是自然对数的底数。
而二项分布则是一种用于描述在n次试验中，成功次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率，C(n,k)是组合数。
二项分布可以看作是将n次独立的伯努利试验加和得到的结果，因此也称为伯努利分布之和。
而泊松分布则是在极大n的情况下，二项分布的近似值。
通常情况下，n都很大且p较小的时候二项分布就可以近似为泊松分布，这个规律被称为泊松定理。
那么，我们来看一下泊松分布和二项分布的关系具体是如何体现的。
在实际问题中，我们往往需要推测某一事件在一定时间或者空间中发生的次数。
如果我们知道了该事件的发生概率p和该时间或空间内事件的频率λ，我们可以使用二项分布或者泊松分布进行估计。
当n很大p很小时，我们可以使用泊松分布，即：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!而当n相对较小或p较大时，则需要使用二项分布计算成功或失败的概率，再根据概率推出发生次数的期望值。
另外，泊松分布也是一种极限分布，它可以解释一些实际现象。
比如，在大型超市里，商品的销售数量一般是服从泊松分布的，即售出数量与时间和地点无关，只与其具体的特性有关。
同样，在医院里，急诊室的病人数量也是服从泊松分布的，即在一段时间内出现病人的数量与该时间的长度无关。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。
一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。
可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。
2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。
通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。
3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。
通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。
二项分布到泊松分布的推导
二项分布到泊松分布的推导二项分布和泊松分布是概率论中常见的两种离散分布。
二项分布描述了在一系列相互独立的重复试验中，成功的次数的概率分布。
而泊松分布则描述了在一个固定时间段内，事件发生的次数的概率分布。
在某些情况下，当试验次数很大，但成功的概率很小的时候，二项分布可以近似为泊松分布。
本文将从二项分布出发，推导出泊松分布。
我们先来回顾一下二项分布的定义和性质。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验中成功的概率，C(n,k)表示组合数。
接下来，我们假设当试验次数n趋向于无穷大，而每次试验成功的概率p趋向于0，同时n*p保持不变。
我们来推导一下当n趋于无穷大时，二项分布可以近似为泊松分布。
我们将二项分布的概率质量函数进行简化：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)= n! / (k! * (n-k)!) * p^k * (1-p)^(n-k)接下来，我们对n!进行近似处理。
根据斯特林公式，当n趋于无穷大时，n!可以近似表示为：n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n将这个近似式代入二项分布的概率质量函数中，得到：P(X=k) ≈ √(2πn) * (n/e)^n * (1/√(2πk) * (k/e)^k * (1/√(2π(n-k)) * ((n-k)/e)^(n-k)) * p^k * (1-p)^(n-k)我们可以将这个式子进一步简化。
首先，我们将√(2πn)和√(2πk)和√(2π(n-k))合并在一起，得到一个常数A：P(X=k) ≈ A * (n/e)^n * (k/e)^k * ((n-k)/e)^(n-k) * p^k * (1-p)^(n-k)接下来，我们将 (n/e)^n * (k/e)^k * ((n-k)/e)^(n-k)进行合并，得到一个常数B：P(X=k) ≈ A * B * p^k * (1-p)^(n-k)我们可以看到，A和B都是与n和k无关的常数。
二项分布与泊松分布
正态分布，； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而π<0.1或π>0.9时
，二项分布近似于泊松分布。
样本率均数 样本率标准差
p
x
n
n
n
pnx
n(1)
n
(1)
n
样本率p的标准差
pnx
n(1)
n
(1)
二项分布（binomial distribution）
贝努利试验列中成功次数k的概率为： P(X=k)=Cnk πk (1-π)n-k (0<π<1) ，
k=0 , 1 , …，n， 而 Cnk πk (1-π)n-k 二 项 式 恰 好 是 牛 顿 展 开 式 ((π+(1-π)) n的项，故又称为二项分布。
二项分布与泊松分布
n重贝努利试验
在同一条件下独立重复n次试验，每次试验只 有两个可能的对立结果，A与非A , 如成功与 失败 , 其概率P（A）=π , (0< π<1) , 则称这 一系列独立重复试验为n重贝努利试验（贝努 利试验序列）。
n重贝努利试验的三个条件
（1）每次试验只有两个可能的对立结果， A与非A （2）每次试验的条件不变，即每次试验中， 结果A发生的概率P（A）=π （3）各次试验独立，即任一次试验结果与 其它次试验结果无关。
医学中Poisson分布
单位时间（空间、面积）内某稀有事件 发生次数的分布。
如研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布，放射 性物质在单位时间内放射出质点数的分 布，在单位空间中某些野生动物或昆虫 数的分布，在一定人群中某种低患病率 的非传染性疾病患病数或死亡数分布。
泊松分布和二项分布的区别
泊松分布和二项分布的区别泊松分布和二项分布是统计学中常见的两种概率分布。
它们在不同的情境下应用，具有各自独特的特点和适用范围。
本文将从几个方面来探讨泊松分布和二项分布的区别。
泊松分布和二项分布在定义上有所不同。
二项分布是一种离散型概率分布，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
而泊松分布则用于描述在一定时间或空间范围内随机事件发生次数的概率分布，适用于事件发生的次数是不确定的情况。
泊松分布和二项分布的参数设置也不同。
在二项分布中，我们需要知道试验次数和成功的概率，即n和p，来描述成功次数的概率分布。
而在泊松分布中，我们只需要知道单位时间或单位空间内事件的平均发生率λ，即可描述事件发生次数的概率分布。
泊松分布和二项分布在应用场景上也有所区别。
二项分布通常适用于具有固定试验次数和成功概率的情况，比如抛硬币、掷骰子等。
而泊松分布更适用于描述在一定时间或空间范围内事件发生次数的情况，比如描述单位时间内电话呼叫次数、单位空间内汽车事故发生次数等。
泊松分布和二项分布在概率分布形状上也有所不同。
二项分布是对称的，随着试验次数的增加，会逐渐趋向于正态分布。
而泊松分布是右偏的，随着平均发生率λ的增加，分布形状会变得更加陡峭。
泊松分布和二项分布在计算方法和推导过程上也有差异。
二项分布可以通过组合数学公式直接计算概率，而泊松分布则需要通过极限推导或泊松定理等方法来得到概率分布。
泊松分布和二项分布在定义、参数设置、应用场景、概率分布形状以及计算方法等方面都存在明显的区别。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的概率分布来进行建模和分析，以更好地解决问题并做出合理的决策。
通过深入理解和比较泊松分布和二项分布的特点，可以更好地应用于实际问题中，提升统计分析的准确性和有效性。
二项分布与泊松分布参数的区间估计
二项分布与泊松分布参数的区间估计一、二项分布的参数估计二项分布是一种离散型概率分布，适用于一次试验中只有两个可能结果的情况，如抛硬币、掷骰子等。
在二项分布中，参数p表示成功的概率，n表示试验次数，X表示成功的次数。
在实际问题中，可以通过对样本进行观测，来估计二项分布的参数p。
设样本总数为N，其中成功的次数为n。
首先，我们可以计算样本中成功的比例估计值p'=n/N，称为样本比例。
根据大数定律，当N充分大时，样本比例p'趋近于成功概率p。
为了对p进行区间估计，常用的方法是使用二项分布的置信区间。
假设样本比例服从正态分布，根据格林估计法，二项分布的置信区间为：p' ± Z * sqrt(p' * (1 - p') / N)其中，Z是标准正态分布的分位数，代表置信水平的选择，N是样本总数。
二、泊松分布的参数估计在实际问题中，可以通过对样本进行观测，来估计泊松分布的参数λ。
设样本总数为N，其中事件发生的次数为n。
根据大数定律，当N充分大时，样本事件发生的平均发生率n/N趋近于参数λ。
为了对λ进行区间估计，常用的方法是使用泊松分布的置信区间。
假设样本事件发生的平均发生率服从正态分布，根据格林估计法，泊松分布的置信区间为：λ' ± Z * sqrt(λ' / N)其中，Z是标准正态分布的分位数，代表置信水平的选择，N是样本总数。
需要注意的是，对于二项分布和泊松分布的参数估计，以上所述的置信区间都基于大样本的情况。
当样本量较小时，可以采用Wilson方法或Agresti-Coull方法进行参数估计。
综上所述，二项分布和泊松分布的参数估计涉及到样本比例和样本事件平均发生率的计算，然后使用置信区间来估计参数的范围。
这对于对概率分布的参数进行推测和决策具有重要的意义。
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0.8(1 0.8) 100
0.722,0.878
3.泊松分布参数 的区间估计
医药数理统计方法
设总体X服从参数为λ的泊松分布，x1, x2 , , xn 为总体的一个样本，则有：
P{X k} k e ,
k!
E( X ) , D( X )
k 0,1, 2,
E( x)
1 E(
20
解： X xi 11286, n 20, 0.05, u0.05/ 2 1.96 i 1 所以20分钟内总脉冲数的95%置信区间为： X u0.05/ 2 X , X u0.05/ 2 X (11078,11494)
每分钟平均脉冲数的95%置信区间为：
X
XX
X
n u0.05/ 2 n , n u0.05/ 2 n (553.9, 574.7)
复习1：
1.参数点估计 (1)矩估计法
(2)最大似然估计法
2.估计量的判别标注
(1)无偏性 (2)有效性 (3)一致性
复习2：
1.正态总体均值 的置信区间
x u / 2
n , x u / 2
n
2 已知 2 未知
S
S
x t (n 1)
2
n
,
x
t
2
(n
1)
n
S
S
x u
x/n
令： X
n i 1
xi x
X n
医药数理统计方法
u X / n ~ N (0,1), n （近似服从）
X /n
对于给定的 1 查标准正态分布双侧临界值表：
P{u / 2 u u / 2 } 1
P{u / 2
X
/n
X /n
u / 2 } 1
P{
X n
u / 2
X n
例5-11.对100只小鼠给予有机磷农药100mg/kg灌胃后 有80只死亡,试求给予该有机农药100mg/kg灌胃引起 小鼠死亡率的95%置信区间.
样本死亡率: p 80 0.80 100
总体死亡率: P
95%置信区间
1.总体率与样本率的定义
医药数理统计方法
总体率:设总体的容量为N,其中具有某种特点
的个体数为M,则称 P M N
为具有某种特点的个体的总体率。
置信区间
样本率:设总体中抽取容量为n的样本，其中具 有某种特点的个体数为m,则称
p m n
为具有某种特点的个体的样本率。
2.二项分布总体率 P 的区间估计
医药数理统计方法
推导过程：
p m ~ N (P, P(1 P))
n
n
u p P ~ N (0,1) P(1 P)
(4.94,24.14)
小结
医药数理统计方法
1.二项分布总体率 P 的置信区间
p u / 2
p(1 n
p) ,
p
u / 2
2.泊松分布参数 的置信区间
p(1 p) n
X u /2 X , X u /2 X
大样本正态近似法
2
, n
x u
2
n
大样本非正态总体
2.正态总体方差 2 的置信区间
(n 1)S 2
2
(n
1)
2
,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
2
第五章 参数估计
第三节 二项分布和泊松分布参数的区间估计
主要内容
一、大样本正态近似法 二、小样本精确估计法
一、大样本正态近似法
医药数理统计方法
所以总体率 P 的99%置信区间为:(7.7%,80.9%)
医药数理统计方法
2.泊松分布参数 λ 的区间估计 例5-15.用一种培养基培养某种细菌，经过一段时间 后的菌落有12个，试估计同样条件下该菌落数的99% 置信区间.
解： X 12, 0.01 查附表9可得总菌落数nλ的置信区间的上限： 上限：24.14，下限：4.94 所以同样条件下该菌落数的99%置信区为:
n
n i 1
xi
)
,
D( x)
1 D(
n
n i 1
xi )
n
x
1 n
n i 1
xi
~
N ( , ),
n
n
（近似服从）
医药数理统计方法
x
1 n
n i 1
xi
~
N ( , ),
n
n
（近似服从）
u x ~ N (0,1), n （近似服从） /n
x
1 n
n i 1
xi
u x ~ N(0,1), n （近似服从）
X n
u / 2
X }1
n
所以总体参数 λ 的置信区间为：
X n u / 2
X n
X n
u / 2
X n
X
XX
X
n u / 2 n , n u / 2 n
所以总体参数 nλ 的置信区间为：
X u /2 X , X u /2 X
医药数理统计方法
医药数理统计方法
例5-13.用计数器记录某放射性标本的脉冲数，已知 20分钟的读数为11286，试求20分钟内总脉冲数和每 分钟平均脉冲数的95%置信区间。
n
P
p
m
n
u
p P ~ N (0,1) p(1 p)
n
u p P ~ N (0,1) p(1 p) n
医药数理统计方法
对于给定的 1 查标准正态分布双侧临界值表：
P{u / 2
p P p(1 p)
u / 2 } 1
n
P{ p u / 2
p(1 p) n P p u / 2
二、小样本精确估计法
医药数理统计方法
1.二项分布总体率 P 的区间估计 例5-14.给10只同品系的动物分别注射某药物，结 果有4只死亡，试求总体死亡率的99%置信区间.
解：n=10为小样本，不宜采用正态近似法。 n 10, m 4, 0.01
查附表8可得总体率P的置信区间的上下限： 上限：0.809，下限：0.077
有80只死亡,试求给予该有机农药100mg/kg灌胃引起
小鼠死亡率的95%置信区间.
解：
n
100,
p
80 100
0.80,
0.05, u0.05/ 2
1.96;
p(1 p)
p(1 p)
p u / 2
n , p u / 2
n
0.8 1.96
0.8(1 0.8) , 0.8 1.96 100
p(1 p) } 1
n
所以总体率P的 1 的置信区间为：
医药数理统计方法
p u / 2
p(1 n
p)
P
p
u / 2
Байду номын сангаас
p(1 p) n
p(1 p)
p(1 p)
p u / 2
n , p u / 2
n
大样本正态近似法
医药数理统计方法
例5-11.对100只小鼠给予有机磷农药100mg/kg灌胃后