二项分布与Poisson分布
第十章 二项分布和Poisson分布及其应用
Poisson分布
• Poisson分布是描述当试验中成功的概率很小 (如0.05)，而试验的次数n很大的小概率事件
出现规律性的一种离散型随机分布。 • 用于描述在单位时间(空间)内稀有事件的发生数。
医学卫生领域中服从Poisson分布指标
恶性肿瘤的死亡率 ; 放射性物质在单位时间内的放射次数； 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 野外单位空间中的某种昆虫数等。
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 012 345
(b)
0.18 0.16 0.14
n =30 π =0.3
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
(d)
•由数理统计学的中心极限定理可知，当n较大、 不接近0也不接 近1时，二项分布B( n , )近似正态分布：
正态近似法
当n较大， p 和 1 p 均不太小，如 np 和 n(1 p) 均
大于5时，利用正态近似的原理，可作样本率p与已 知总体率的比较，检验统计量为：
Z p0 0 (1 0 ) n
例10.6 一项调查结果表明某市一般人群的艾滋病知识 知晓率为65%。现对该市吸毒人群进行调查，在150名 吸毒人员中有130人回答正确。问该市吸毒人群的艾滋 病知识知晓率是否高于一般?
X ~ N(n , n (1 ))
二项分布的应用
• 总体率的区间估计 – 查表法 – 正态近似法
• 单个样本率与总体率比较 – 直接计算概率法
– 正态近似法 • 两样本率的比较
总体率的区间估计
• 查表法：当n≤50时可查表求总体率的95%或 99%可信区间(附表7)。
二项分布及Posson分布
（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。
② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分
布近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，
当λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
P( X ) 1
X 0
n
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果
发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利
（Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件
发生的次数X服从二项分布。
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果 （如“阳性”）的概率π固定不变
样本均数与总体均数比较的检验目的 是推断样本均数所代表的总体均数λ与已 知的总体均数λ0是否相等。 可使用的检验方法有：直接计算概率 法和正态近似法
例6-13
有研究表明，一般人群精神发育
不全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚 配关系的后代25000人，发现123人精神发育不
全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育
第二节
Poisson分布
（Poisson distribution）
一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩· 德尼· 泊松 )研究二项
分布的渐近公式是时提出来的。
二项分布与泊松分布比较
二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。
一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。
二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。
泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。
三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。
2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。
3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。
二项分布与泊松分布
正态分布，； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而π<0.1或π>0.9时
，二项分布近似于泊松分布。
样本率均数 样本率标准差
p
x
n
n
n
pnx
n(1)
n
(1)
n
样本率p的标准差
pnx
n(1)
n
(1)
二项分布（binomial distribution）
贝努利试验列中成功次数k的概率为： P(X=k)=Cnk πk (1-π)n-k (0<π<1) ，
k=0 , 1 , …，n， 而 Cnk πk (1-π)n-k 二 项 式 恰 好 是 牛 顿 展 开 式 ((π+(1-π)) n的项，故又称为二项分布。
二项分布与泊松分布
n重贝努利试验
在同一条件下独立重复n次试验，每次试验只 有两个可能的对立结果，A与非A , 如成功与 失败 , 其概率P（A）=π , (0< π<1) , 则称这 一系列独立重复试验为n重贝努利试验（贝努 利试验序列）。
n重贝努利试验的三个条件
（1）每次试验只有两个可能的对立结果， A与非A （2）每次试验的条件不变，即每次试验中， 结果A发生的概率P（A）=π （3）各次试验独立，即任一次试验结果与 其它次试验结果无关。
医学中Poisson分布
单位时间（空间、面积）内某稀有事件 发生次数的分布。
如研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布，放射 性物质在单位时间内放射出质点数的分 布，在单位空间中某些野生动物或昆虫 数的分布，在一定人群中某种低患病率 的非传染性疾病患病数或死亡数分布。
二项分布、poisson分布和正态分布的关系
二项分布、poisson分布和正态分布的关系二项分布、Poisson分布和正态分布是概率论中常见的三种分布，它们之间有着密切的关系。
首先，二项分布和Poisson分布都属于离散型分布，而正态分布则是连续型分布。
二项分布指的是在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布，而Poisson分布则是描述在一段时间内某事件发生的次数的概率分布。
当n很大时，二项分布逐渐逼近Poisson分布。
其次，当n很大而p很小时，二项分布可以近似看作正态分布。
这是由于当n很大时，二项分布的均值和方差均趋近于无穷大，而正态分布的均值和方差也是无穷大的，因此两者可以近似看作相同的分布。
这种近似在统计学中被广泛使用，例如在假设检验和置信区间中的应用。
最后，Poisson分布和正态分布之间也有一定的关系。
当Poisson 分布的参数λ很大时，它也可以近似看作正态分布。
这是由于当λ很大时，Poisson分布的均值和方差趋近于相等，而正态分布的均值和方差也是相等的，因此两者可以近似看作相同的分布。
综上所述，二项分布、Poisson分布和正态分布之间有着密切的关系，在实际应用中它们经常会相互转化和近似。
这些分布的理解和掌握对于进行概率统计分析具有重要的意义。
- 1 -。
二项分布poisson分布的检验
二项分布与poisson分布的z检验
检验假设为：
H0 : 0 H1 : 0
当H0成立时，检验统计量为：
Z Z n 0 1 0 X n 0 p 0 n ~ N 0,1
0 1 0
~ N 0,1
二项分布与poisson分布的z检验
例6-12 某车间改革生产工艺前，测得三次粉尘浓度， 每升空气中 分别有38、29、36颗粉尘；改革工艺后， 测取两次，分别为25、18颗粉尘。问工艺改革前后 粉尘数有无差别？
38 29 36 X1 34.33, n1 3 3 25 18 X2 21.50, n2 2 2
H0 : 0 0.8 H1 : 0.8(单侧), 0.05
0.75 0.8 Z 0.968 0.8 0.2 60
二项分布与poisson分布的z检验
按ν=∞查t 临界值表： （单侧）Z0.10, ∞ =1.2816
׀Z < ׀Z0.10，得P>0.10
艺改革前后粉尘浓度不同，改革工艺后粉尘浓度较
低。
当n不太大时，需作连续性校正：
Z
X n 0 0.5 n 0 1 0
~ N 0,1
0.5 p 0 n ~ N 0,1 Z 0 1 0 n
二项分布与poisson分布的z检验
例6-8 某医院称治疗声带白斑的有效率为80%，今统计 前来求医的此类患者60例，其中45例治疗有效。试问该 医院宣称的疗效是否客观？
二项分布与poisson分布的z检验
H0 : 1 2 H1 : 1 2 , 0.05
Z
X1 X 2 X1 X 2 n1 n2
SPSS-二项分布与poisson分布
例：设一般人群食管癌患病率为30/10万， 某研究者随机抽查当地500人，问至少6 人患食管癌的概率为多少？ =500×30/10万=0.15，X=6 至少6人患食管癌的概率为： P（X≥6）= 1－ P（X≤5）
= 1－ CDF.POISSON（5，0.15 ）
笃 学
CDF.BINOM（X，n，p）－ CDF.BINOM（X － 1 ，n，p）。
笃 学 精 业 修 德 厚 生
1. SPSS数据录入： 随便录入一个数据 2. 采用函数计算发生阳性数为不同值时的概率大小： Transform →Compute ，弹出对话框，设置一个新变量为 概率px，然后在数学表达式空白栏中输入 CDF.BINOM（X，10，0.8）－ CDF.BINOM（X －1 ， 10，0.二、Poisson分布
在二项分布中，若某事件的发生率非常小，且 样本例数非常大时，则二项分布逼近Poisson分 布。常用于研究单位时间、面积、容积内某事 件的发生数。
Poisson分布累计分布函数为：CDF.POISSON （X，）。 为单位时间、面积、容积内某事 件的平均发生数，X为试验观察的发生数。
二项分布与Poisson分布
笃 学
精 业
修 德
厚 生
一、二项分布
（一）二项分布资料 满足三个条件：
各观察单位只能具有相互对立的一种结果；
已知发生某一结果的概率大小；
每个观察对象的观察结果互相独立。
笃 学
精 业
修 德
厚 生
设有10只小白鼠接受某种毒物，观察其生存或死亡， 已知死亡率为80%，每只小白鼠的死亡不受其它小 白鼠死亡的影响。则可能出现死亡0、1、2、…10只 的概率分布分别为： P（X=0）=C100 ·0· （1－ ）10 P（X=1）= C101 ·1· （1－ ）9 …… P（X=10）= C1010 ·10· （1－ ）0 相加为1
概率论中的二项分布与泊松分布
概率论中的二项分布与泊松分布概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的概率以及它们之间的关系。
在概率论中，二项分布和泊松分布是两个常见且重要的概率分布。
本文将分别介绍二项分布和泊松分布的定义、特点以及应用。
一、二项分布二项分布是指在一系列独立的、相同概率的伯努利试验中，成功事件发生的次数服从二项分布的概率分布。
其中，伯努利试验是指只有两个可能结果的试验，如抛硬币的结果只有正面和反面两种情况。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中，n代表试验次数，k代表成功事件发生的次数，p代表每次试验成功的概率，C(n,k)代表组合数。
二项分布的特点有以下几点：1. 二项分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...,n。
2. 二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
3. 当试验次数n趋向于无穷大时，二项分布逼近于泊松分布。
二项分布在实际应用中有广泛的应用，比如在质量控制中，可以使用二项分布来计算在一定数量的产品中出现不合格品的概率；在投资决策中，可以使用二项分布来计算在一系列投资项目中成功项目的数量等。
二、泊松分布泊松分布是指在一段时间或区域内，事件发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的概率很小，但试验次数很大的情况。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，其中，λ代表单位时间或单位区域内事件的平均发生率。
泊松分布的特点有以下几点：1. 泊松分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...。
2. 泊松分布的期望值和方差均为λ。
3. 当试验次数n趋向于无穷大，每次试验成功的概率p趋向于0，但np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
泊松分布在实际应用中也有广泛的应用，比如在电话交换机的排队系统中，可以使用泊松分布来描述单位时间内到达电话的数量；在可靠性工程中，可以使用泊松分布来描述设备的故障率等。
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px 7 1 px 8 1 p(x 8) x 9
1 C180 0.868 0.142 0.58 0.155
因此，10例患者中至少9例有效的概率为0.581，至多7例有效的概率 为0.155。
n
P( X K ) P(K ) P(K 1) P(K 2) P(n) P( X )
K
（3）至多有k例阳性的概率：
k
P( X K ) P(0) P(1) P(2) P(k) P( X )
X= 0, 1, 2, … k…n
0式
生存数 （X）
3
死亡数 （n-X)
0
2
1
1
2
0
3
甲乙 丙
生生 生 生生 死 生死 生 死生 生 生死 死 死生 死 死死 生 死死 死
每种组 每种排列的概率 合的概
px nx1 nx, x 率
0.2×0.2×0.2=0.008 0.2×0.2×0.8=0.032 0.2×0.8×0.2=0.032 0.8×0.2×0.2=0.032 0.2×0.8×0.8=0.128 0.8×0.2×0.8=0.128 0.8×0.8×0.2=0.128 0.8×0.8×0.8=0.512
他观察单位的结果。 6
三. 概率的计算：
从一个阳性率为π的总体中，随机抽取含量为n的样本，则 样本中阳性数X或阳性率p服从二项分布B （ n、π）。
（1）恰有k例阳性的概率：
P(X k) (nk ) k 1 nk
(
n k
)
n! k!(n
k )!
（2）至少有k例阳性的概率：
⑵污染样品数不超过一个的概率：
P( X 1) P(0) P(1) 0.810 (110 )0.21 0.8101 0.376
⑶ 污染样品数在9个以上的概率： P( X 9) P(9) P(10) (190 )0.29 0.8 0.210 0.00000420
10
四. 二项分布的图形
08n 3
11
二项分布的特点： （1）离散型 （2）当=1-=0.5时，两边对称 （3）当≠0.5时，呈偏态分布。当＜0.5时，呈左偏 态分布；当＞0.5时，呈右偏态分布。 （4）当n增大，二项分布逐渐逼近正态分布
一般认为，n 和 n（ 1-） 5时, 可近似看作正态分布。
7
例: 已知某地玉米的黄曲霉污染率近年为20%，
若抽取10个样品作检查，求
⑴污染样品数为3个的概率。 ⑵污染样品数不超过一个的概率。 ⑶ 污染样品数在9个以上的概率。
8
⑴污染样品数为3个的概率：
P( X 3) (130 )0.23 0.8103 0.201
120 0.008 0.2097
的概率呈二项分布。其概率计算式：
P( X
k)
(
n k
)
k 1
nk
式中：n、π为二项分布的参数。 若随机变量X服从以n、π为参数的二项分布记为X～B（ n.π）。
所以二项分布的应用条件就是Bernoulli试验的条件，即：
（1）二项分类资料：结果为A或非A （成功与失败） 。 （2）每次试验的条件不变：每次试验A的发生概率均为π。 （3）各次试验独立：每个观察单位的观察结果不会影响到其
9
例5.2 经统计，某省用“中药阑尾炎合剂”治疗急性阑尾炎性 腹
膜炎的有效率为86%，试分别估计： ①治疗10例中至少9例有 效的概率； ②治疗10例中至多7例有效的概率。
本例p有x 效9例 数pXx～B9（10p.x0.861）0， 依C190题意0.8，619 0例0.患14者 中0.8，610
(
n X
)
X
1 nX
n
二. 应用条件：
Bernoulli试验： 在只有两种可能结果（成功与失败）的 随机试验，每次试验时出现成功的概率π 是恒定的，而且 各次试验相互独立。这种试验在统计学上称之为贝努里试 验（ Bernoulli trial)。
5
在Bernoulli试验中，取得成功的次数X（X=0，1，2，……，n）
重点是二项分布的应用，难点是三种分布 的区别与联系
2
二项分布
一.概念：
为率的抽样分布，各种情况的概率等于二项式展开
后的各项。
px
n
x
x
1
nx
X=0.1.2…..n
例：设小鼠接受某种毒物一定剂量时，其死亡率 为80%，若随机用三只小鼠作试验，问出现各种死 亡情况的概率？
成功率P=X/n的概率分布图形与成功次数的概率分布图形是完 全一样的，只需要把横轴上的X变换成X/n就行了。
12
13
14
五. 二项分布的均数与标准差
1..若X～B（n , π），
X n
则X 的均数和标准差为： X n 1
2.若用率表示，则：
P
P
1
n
σp为率的标准误 表示率的抽样误差
当π未知时，常以样本率P来估计：
P(1 P)
SP
n
15
X的均数在这里可以理解为n次试验中结果A期望出现的次数， 而X的标准差则是衡量结果A出现次数的变异程度。
例5.3 求例5.1中平均死亡鼠数及其标准差。
0.008 0.096
0.384 0.512
4
(0.8 + 0.2)3=(0.2)3 + 3(0.8)(0.2)2 + 3(0.8)2(0.2) + (0.8)3
三生 二生一死 一生二死 三死
1 n
1 n
(
n 1
)
1
n1
(
n 2
)
2 1 n2
第五章 二项分布与Poisson分布
预防医学教研室
1
目的及要求
了解二项分布（binomial distribution） 与Poisson分布（ Poisson distribution）的 概念
掌握二项分布的特点、均数与标准差的计 算，Poisson分布与二项分布和正态分布的 关系；总体均数可信区间的估计、假设检 验及适用条件