负二项分布(研究生)

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负二项分布(研究生)

X
负二项分布均数和方差
k 1
2 k 1
2
福建医科大学流行病与统计教研室（胡志坚）
5
若令P=μ/k,q=1+P 则
P0 qk
X=0
PX k X 1p PX 1 X≥1
也可变为
Xq
kp
2 2
k
7张
福建医科大学流行病与统计教研室（胡志坚）
6
负二项分布的参数估计
负二项分布有两个参数即μ和k。
检验条件: (1) f0/N=30/60=0.5>1/3
(2) X 1.033 10
均数
X 0.17 f0 0.32 0.217 0.20 条件
N
福建医科大学流行病与统计教研室（胡志坚）
13
零频数法
先尝试K1=0.90
k1
lg1
X k1
0.90lg1
1.033Leabharlann 0.900.299下一张
22
步骤:
计算两组的均数和方差
X1
X
N
7 10
0.70...................X. 2
X
N
4 0.40 10
S12
X2
X
N 1
2/N
0.90...S2 2
X2
X 2/N
0.49
N 1
计算Kc KC
计算转按值
X1 S12 X1 X 2 S22 X 2 S12 X1 2 S22 X 2 2
X f X 62 1.033
S 2
N
60
fX2
fX 2 / N
N 1
186 622 / 60 2.067 60 1

负二项分布参数

负二项分布参数负二项分布（Negative Binomial Distribution）是一种离散概率分布，适用于描述多次独立伯努利试验中，达到指定次数的成功所需要的独立伯努利试验次数的分布。

在本文中，我们将详细介绍负二项分布的定义、特征以及其在概率统计学中的应用。

负二项分布可以看作是几何分布的一个自然扩展。

几何分布描述的是在一系列独立伯努利试验中，第一次成功所需要的试验次数的分布。

而负二项分布则描述的是在一系列独立伯努利试验中，获得指定次数的成功所需要的试验次数的分布。

负二项分布的定义如下：设X为负二项分布的随机变量，n为成功的次数，p为每次试验成功的概率。

那么X会取到整数k的概率可以表示为：P(X=k) = C(k-1,n-1) * p^n * (1-p)^(k-n)，其中C(k-1,n-1)表示组合数。

负二项分布的期望值与方差的计算公式如下：E(X) = n/pVar(X) = n*(1-p)/p^2负二项分布的几个特征值可总结如下：1. 分布的值域为正整数集合，即X的取值只能是自然数。

2. 分布函数的形状呈现出右偏的特点，即大部分质量集中在较小的数值上。

3. 分布的均值与方差与分布参数n和p相关，当n固定时，p越大，均值越大；方差越小。

当p固定时，n越大，均值越大；方差越大。

负二项分布在概率统计学中有着重要的应用。

以下是几个负二项分布的典型应用场景：1. 在风险管理中，负二项分布可以用于描述某件事发生特定次数以后才出现成功或失败的风险概率。

例如，某公司希望在某个项目中获得10个以上的成功案例才视为成功，那么可以使用负二项分布来计算项目成功的风险。

2. 在金融领域，负二项分布可以用于描述某个事件发生特定次数以后再次发生的概率。

例如，某交易员交易股票，希望在10次交易中至少有2次赚钱，那么可以使用负二项分布来计算赚钱的概率。

3. 在医学领域，负二项分布可以用于描述治疗某种疾病所需的试验次数。

伽马分布和负二项分布的关系

伽马分布和负二项分布的关系伽马分布和负二项分布是概率统计学中常见的两种分布形式。

它们在描述随机事件发生的概率分布以及在实际问题中的应用方面都具有重要意义。

尽管它们有一些相似之处，但也存在着一些差异。

下面将详细介绍伽马分布和负二项分布之间的关系及其特点。

伽马分布是一种连续概率分布，它描述了正实数上的随机变量的概率分布。

伽马分布的概率密度函数具有如下形式：f(x) = (1 / (Γ(α) * β^α)) * x^(α-1) * e^(-x/β)其中，Γ(α)表示伽马函数，α和β是分布的两个参数。

伽马分布在很多实际问题中都有广泛的应用，例如描述风险事件发生的时间间隔、可靠性分析以及金融建模等。

伽马分布的特点是具有正偏斜性，即分布的尾部向右延伸，同时具有一定的灵活性，可以通过调整参数来适应不同的数据分布。

负二项分布是一种离散概率分布，它描述了二项分布中成功次数的概率分布。

负二项分布的概率质量函数具有如下形式：P(X = k) = C(k+r-1, k) * p^r * (1-p)^k其中，X表示成功次数，k表示成功的次数，r表示失败的次数，p 表示成功的概率。

负二项分布常用于描述重复试验中，出现r次失败之前成功的次数。

负二项分布的特点是具有右偏斜性，即分布的尾部向右延伸，同时具有离散性，适用于描述离散的随机事件。

伽马分布和负二项分布之间的关系可以通过负二项分布的期望与伽马分布的参数之间的联系来描述。

负二项分布的期望为E(X) = r * (1-p) / p，而伽马分布的期望为E(X) = α * β。

通过比较两个期望的表达式可以得出：r * (1-p) / p = α * β这表明，在满足上述等式的条件下，负二项分布的期望与伽马分布的参数之间存在一种对应关系。

这种对应关系对于实际问题的建模和分析具有重要意义。

例如，在风险事件发生的时间间隔建模中，可以通过负二项分布的参数来确定伽马分布的参数，从而对风险事件的发生概率进行预测和分析。

泊松分布负二项分布曲线特征

泊松分布、负二项分布和曲线特征1. 引言在统计学和概率论领域，泊松分布和负二项分布是两个重要的概率分布。

它们在描述离散型随机变量的分布特征、事件发生的概率等方面具有广泛的应用。

在本文中，我们将深入探讨泊松分布和负二项分布的定义、特征和应用，并对它们的曲线特征进行分析和讨论。

2. 泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积等）内随机事件发生次数的概率分布。

在泊松分布中，随机事件的发生是相互独立的，并且在给定时间或空间内的发生概率是恒定的。

泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间内随机事件的平均发生次数，k为实际发生的次数，e为自然对数的底。

泊松分布的期望值和方差均为λ。

3. 负二项分布负二项分布是描述进行一系列独立的伯努利试验，直到出现r次成功所需的试验次数的概率分布。

负二项分布与泊松分布不同，它描述的是成功次数而非事件发生次数。

负二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (k-1 choose r-1) * (p^r) * (1-p)^(k-r)其中，p为每次独立伯努利试验中成功的概率，r为成功的次数。

负二项分布的期望值为r/p，方差为r(1-p)/p^2。

4. 曲线特征泊松分布和负二项分布的曲线特征均落在离散型分布的范畴中。

泊松分布的概率质量函数呈现出一个单峰形态，随着λ的增大，峰值不断右移，分布变得更加集中；而负二项分布的形态则呈现出右偏的特点，随着成功次数r的增加，分布形态趋向于单峰。

在实际应用中，泊松分布常用于描述单位时间内随机事件的发生次数，如通信方式交换机接到的通信方式数、客户到达的数量等；而负二项分布则常用于描述成功次数的分布，如一次广告点击的次数、一次销售中获得的订单数等。

5. 总结与展望通过本文的讨论，我们对于泊松分布和负二项分布的定义、特征以及曲线特征有了更进一步的了解。

负二项分布两种定义下的概率母函数及生物学应用

计算方法，并结合生物学意义解释了纯生过程服从负二项分布．
１负二项分布的两种定义在伯努利试验中… ，记每次试验中事件Ａ成功发生的概率为Ｐ，不成功发生的概率为ｑ＝１一Ｐ．
定义１在伯努利试验序列中，如果为事件Ａ第ｎ次成功发生时的试验次数，则Ｘ的可能取值为ｎ，ｎ＋１， …，称服从负二项分布或帕斯卡分布，其分布列为Ｐ（Ｘ＝）＝ … ｎ－Ｉｐｑ，ｋ＝ｎ，ｎ＋１， …，记Ｘ～
结构在国内外有很多研究＿１．２Ｊ．概率母函数在研究离散型随机变量的性质时有着非常重要的作用，它也是研究网络传播动力学建模的一种新方法］．本文主要给出了负二项分布两种不同定义下概率母函数表达式的
ｌｖｂ（ｎ，Ｐ），（当ｒｔ＝１时，即为几何分布）．
定义２在伯努利试验序列中，如果ｌ，表示事件Ａ第ｎ次成功发生时事件Ａ不成功发生的次数，则ｌ，的可能取值为０，１，２， …，称ｙ服从负二项分布，其分布列为尸（Ｙ＝ｋ）＝ｃｎ－Ｉ一Ｐ（１一Ｐ），ｋ＝０，１，２， …．
２０１５焦
赣南师范学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧａｎｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ห้องสมุดไป่ตู้

伽马分布和负二项分布的关系

伽马分布和负二项分布的关系伽马分布和负二项分布是两种常见的概率分布，它们之间存在着密切的关系。

本文将从概率分布的定义、性质以及应用等方面，探讨伽马分布和负二项分布之间的关系。

我们来了解一下伽马分布和负二项分布的定义。

伽马分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数为：$$f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},\quad x>0$$其中，$\alpha$和$\beta$是分布的两个参数，$\Gamma(\alpha)$是欧拉伽马函数。

负二项分布是一种离散概率分布，它的概率质量函数为：$$P(X=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^rp^k,\quad k=0,1,2,\cdots$$其中，$r$和$p$是分布的两个参数，$\binom{k+r-1}{k}$是组合数。

接下来，我们来探讨伽马分布和负二项分布之间的关系。

事实上，负二项分布可以看作是伽马分布的一种特殊情况。

具体来说，当伽马分布的参数$\alpha$为正整数时，它就可以表示为$r$次独立伯努利试验中成功$k$次的概率，即：$$P(X=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^rp^k,\quad k=0,1,2,\cdots$$其中，$p=\frac{\beta}{\beta+1}$，$r=\alpha$。

这就是负二项分布的概率质量函数。

我们来看一下伽马分布和负二项分布的应用。

伽马分布在统计学中有着广泛的应用，例如用于描述连续随机变量的等待时间、寿命等。

而负二项分布则常用于描述离散随机变量的二项分布中成功次数的分布。

在实际应用中，我们可以通过伽马分布和负二项分布之间的关系，来更好地理解和应用这两种概率分布。

伽马分布和负二项分布之间存在着密切的关系。

负二项分布可以看作是伽马分布的一种特殊情况，它们在统计学中都有着广泛的应用。

对于学习和应用概率分布的人来说，了解伽马分布和负二项分布之间的关系，将有助于更好地理解和应用这两种概率分布。

负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用

负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用【摘要】给出了负二项分布的分解定理，进一步研究了负二项分布的有关性质及参数的无偏一致估计，以及在流行病学该分布的生物学意义。

【关键词】负二项分布；无偏一致估计；应用负二项分布是概率论中常用的重要的离散型随机分布，它在医学中主要用于聚集性疾病及生物、微生物、寄生虫分布模型等的研究。

具体地说，当个体间发病概率不相等可以拟合负二项分布，如单位人数内某传染病的发病人数，某地方病、遗传病的发病人数等，这些均可通过负二项分布进行处理。

本文从概率论的角度阐述负二项分布的性质及参数的最小方差无偏估计，并且以该分布在流行病学中应用为例证讨论了其生物学意义。

1 负二项分布的概率模型负二项分布又称帕斯卡分布（Pascal）,它有两种基本模型［1］：模型Ⅰ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，直到恰好出现r （指定的一个自然数）次成功所需试验次数X,则X的概率分布为：p(X=K)=πCr-1k-1πk-1(1-π)k-r=Cr-1k-1π-(1-π)k-rk=r,r+1 (1)模型Ⅱ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，试验进行到r次成功为止，记X为试验共进行的次数,则X 的概率分布为［3］：p(X=k)=Cr-1k+r-1πk(1-π)k k=0,1,2, (2)此分布的概率是πr(1-(1-π))-r 的幂级数展开式的项，负二项分布由此而得名记作 X～f(k,r,π) ，或 X～NB(r,π)一个重要的特例是 r=1。

这时（2）成为p(X=k)=π(1-π)k k=0,1,2, (3)称为几何分布。

2 性质特征为研究负二项分布的性质，我们先给出一个重要的结论：引理：设X～NB(r,π)，则其特征函数为ψx(t)=πr(1-(1-π)eit)-r 证明：ψx(t)=E（eitx)=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr(1-π)i eitr=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr((1-π) e)rti=πr∑∞i=0Cr-1i+r-1((1-π) ert)i=πr(1-(1-π)eit)-r定理1 设: X1,X2,…,Xr（3）的iid样本，如果X=∑ri=1Xi, 则X=∑ri=1Xi～NB(r,π)证明：因为X1，X2，…，Xr独立同分布，又有引理知X=∑ri=1Xi 的特征函数为：φ(t)=πr(1-(1-π) eit)-r=πr∑∞k=0(-r)(-r01)…(-r-k+1)k! ((1-π) eit)k(-1)keitr=πr∑∞k=0(r+k-1)!(r-1)!k! (1-π)k eit(k+1)=∑∞k=0πr(1-π)k eit(k+r) Cr-1r+k-1这正是 p(X=k)=Cr-1r+k-1(1-π)k 的概率分布则X=∑ri=1Xi～NB(r,π)定理2 设：X=X1,X2,…,Xn)是（1）的iid样本，则T（X）=∑ni=0Xi～NB(nr,π),则有p(T=k)=Cnr-1k-1πnr(1-π)k-nr k=nr,nr+1, (4)证明：设ξ的特征函数为f(t) ，那么f(t)=∑∞x=reitxCr-1N-1πN(1-π)N-r =πeit1-(1-π)eitr因为x是ξ的iid样本，所以Xi 的特征函数fi(t)=f(t),i=1,2,…,n 有特征函数的性质得T的特征函数为:∏ni=1fi(t)πeit1-(1-π)eitr由于特征函数与概率分布唯一对应，所以T～f(k,nr,π) ，其概率分布便是（4）。

负二项分布随机变量数字特征的求解

（ｙ— ）一Ｃｒｒ－＋１ — １ｑＹｐ，Ｙ＝０，１， … （２）
此时称随机变量ｙ服从参数为ｒ，Ｐ的负二项分布，记为ｙ～ＮＢ（ｒ，声）．定义３设Ｘ，Ｘ， …，Ｘ为来自总体Ｘ～
Ｇ（）的样本，即（Ｘ— ｚ）一ｑ一Ｐ，ｚ一１，２， …，Ｏ＜
本文将对负二项分布的定义、数字特征的求解
及其与其它一些分布之间的关系进行详细说明和论证，以期对应用者有一定帮助．
ｐ＜ｌ，ｑ一１一Ｐ，则丁一 ∑ ｒＸ服从等价于定义１的负二项分布．（３）
；（）一（
ｌ一口ｅｊ一ｏｅ
２负二项分布的定义
定义１设独立重复试验中每次试验成功概率
２．ＴｈｅＨｉｇｈＳｃｈｏｏｌＡｆｆｉｌｉａｔｅｄｔＯＭｉｎｇＺｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｂｅｉｊｉｎｇ，１０００８１，ＰＲＣ）
ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓｆｉｖｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆｎｅｇａｔｉｖｅｂｉｎｏｍｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈｉｓｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｐｒａｃｔｉｃｅ，ａｎｄｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅｉｒｎｕｍｅｒｉｃａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｓｕｃｈａｓｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，ｖａｒｉａｎｃｅ，ｅｔｃ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒａｌｓｏ

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K为聚集指数：其大小用来衡量分布的离散程度即聚信趋向的程度。按公式（6-30）
2 2
k
2
1
k
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7
矩法
K的估计：
2 2
k
kˆ
2
kˆ
2
X
2 X
S2 X
计算
5张
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8
例---矩法
在研究某种毒物的致死作用时，对60 只小白鼠进行了显性致死试验,得到资料见表.若服从负二项分布,试估计参数μ和K.
lg
N f0
lg
60 30
0.301
K2取1.1
k2
lg1
X k2
1.1lg1
1.033 1.1
0.316
lg
N f0
lg
60 30
0.301
计算K
kˆ 1.1 0.90 1.1 0.301 0.316 0.924
0.299 0.316
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14
最大似然法
2.34
Yi=ln(Xi+0.5Kc)
对转换值进行t检验: t=0.827 ν=20-2=18
P>0.05 不拒绝H0,尚不能认为两组胚胎死亡
数有差别
上一张
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23
End of slides for Lectures
Autumn, 2004
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X
负二项分布均数和方差
k 1
2 k 1
2
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5
若令P=μ/k,q=1+P 则
P0 qk
X=0
PX k X 1p PX 1 X≥1
也可变为
Xq
kp
2 2
k
7张
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6
负二项分布的参数估计
负二项分布有两个参数即μ和k。
P1 k胚胎XXq死表1p6-观P3察X负雌二1项累分计布频的拟合理优论度概检率验结理果论
0.9711亡210.0数6141.064鼠P3数01f1
数AX 30
P(X) 频数T 0.494785 29.69
K 上一张 (T-f)2/T 0.00330
0.9711.0164 1 2.0624
P0
14
lg
N f0
k2
lg 1
X k2
lg
N f0
插入法计算公式
kˆ
k2
k1 lg1
k1 k2
X k1
k2
lg1
X k2
lg
N f0
k2
lg1
X k2
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12
表6-14 不同胚胎死亡数的雌鼠数分布情况胚胎死亡数X 0 1 2 3 4 5 6 合计观察雌鼠数f 30 14 8 4 2 0 2 60
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下一张
9
表6-14 不同胚胎死亡数的雌鼠数分布情况胚胎死亡数X 0 1 2 3 4 5 6 合计
观察雌鼠数f 30 14 8 4 2 0 2 60
fX 30 0 141 ... 2 6 62
f X 2 30 02 14 12 ... 2 62 186
检验条件: (1) f0/N=30/60=0.5>1/3
(2) X 1.033 10
均数
X 0.17 f0 0.32 0.217 0.20 条件
N
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13
零频数法
先尝试K1=0.90
k1
lg1
X k1
0.90lg1
1.033 0.90
0.299
染性疾病的分布和致病生物的分布，在毒理学上
显性致死试验或致癌试验。
独立重复试验次数n不固定，n=X+k，k为大于0 的常数。
若要求X+K次试验，出现“阳性”的次数恰为X
次的概率分布为负二项分布： 1
1
1
k
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4
递推公式
P0 k
X=0
PX k X 11 PX 1 X≥1
X f X 62 1.033
S 2
N
60
fX2
fX 2 / N
N 1
186 622 / 60 2.067 60 1
题公
kˆ 1.0332
1.032
零
2.067 1.033
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10
零频数法
利用样本计数X=0时,所对应的频数f0占观
察单位总数的比例即(f0/N)来估计K。
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19
假设检验过程
1.建立假设： H0 ：不同胚胎死亡数的雌鼠分布服从负二项分布 H1 ：不同胚胎死亡数的雌鼠分布不服从负二项分布
2.确定显著性水平，取0.10。 3.计算统计量：ν=组数-3=4-3=1,χ2=0.08 4.确定P值：P＞0.10 5.做出推论：按水准,不拒绝H0,即尚不能拒绝不同胚胎
Finally, in the NB distribution there are slightly larger probabilities for larger counts
.
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3
负二项分布的概念
常用于描述生物的群聚性，如钉螺在土壤的
分布、昆虫的空间分布等。医学上可用于描述传
k lg 1
X k
lg
N f0
条件;
(1)(f0/N)>1/3
表
(2)当 X 10 : X 0.17 f0 0.32 0.20 计算
N
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11
零频数法
找两个满足以下条件的K1和K2一个，利用
插入法计算K 。 k1 lg 1
X k1
插入法计算公式
kˆ
k2
k2 z2
k1 z1
z2
Z1与Z2在0的左右两侧相距越近,K估计越精确,比两种方法精确
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16
最大似然法
先尝试K1=0.90
z1
m
AX
X 0 0.9
X
60 ln1 1.033 0.420 0.9
0
K2取1.0
z2
m
AX
X 01.0 X
16
80.2476667841
0.247667 14.86 0.04977 0.125822 7.55 0.02690
3
4
4 0.064235 3.85
4
2
2 0.032875 1.97 0.00127
5
08 2
0.016848 1.01 7.90
6
2
0 0.017770 1.07
合计
60
— 1.000000 60.0 0.08124
死亡数的雌鼠分布服从负二项分布
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20
2.两样本均数比较
先将观察数据进行转换
Yi=ln(Xi+0.5Kc)
按下式计算Kc
KC
X1 S12 X1 S12 X1 2
X2 S22 X2 S22 X2 2
福建医科大学流行病与统计教研室（胡志坚）
21
满足下面式子的z=0的K值:
m
z
AX
X 0 k X
N ln 1
X k
m=Xmax------样本计数X取得到最大值
在例中是最大死胎数为6
m
AX fi ----样本计数大于X的频数和 i X 1
福建医科大学流行病与统计教研室（胡志坚）
15
最大似然法
取两个K,使一个K对应的Z大于0,一个对应的Z小于0
负二项分布（Negative Binomial Regression）福建医科大学流行病与统计教研室
1
负二项分布（Negative Binomial Regression）
Introduction
Scott Long notes that the Poisson regression model rarely fits in practice since in most applications the variance of the count data is greater than the mean
0 0.1570
5
0 0.1570 5
0 0.1570
6
1 0.7747 6
0 0.1570
7
3 1.4279 7
0 0.1570
8
0 0.1570 8
1 0.7747
9
1 0.7747 9
0 0.1570
10 合计
1 0.7747 10 7 5.3117
0 0.1570 4 3.8021
福建医科大学流行病与统计教研室（胡志坚）
60 ln1 1.033 0.171 0 1.0
计算K
kˆ
k2

1.0 0.9 0.171 0.420
0.171
0.971
回表
福建医科大学流行病与统计教研室（胡志坚）
17
负二项分布应用
1.似合优度检验
用上例计算: P=μ/k=1.033/0.971=1.064 q=1+P =1+1.064=2.064

负二项分布(研究生)