负二项分布NB (r, p) 参数的点估计
负二项分布(研究生)
负二项分布均数和方差
k 1
2 k 1
2
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5
若令P=μ/k,q=1+P 则
P0 qk
X=0
PX k X 1p PX 1 X≥1
也可变为
Xq
kp
2 2
k
7张
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6
负二项分布的参数估计
负二项分布有两个参数即μ和k。
检验条件: (1) f0/N=30/60=0.5>1/3
(2) X 1.033 10
均数
X 0.17 f0 0.32 0.217 0.20 条件
N
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13
零频数法
先尝试K1=0.90
k1
lg1
X k1
0.90lg1
1.033Leabharlann 0.900.299下一张
22
步骤:
计算两组的均数和方差
X1
X
N
7 10
0.70...................X. 2
X
N
4 0.40 10
S12
X2
X
N 1
2/N
0.90...S2 2
X2
X 2/N
0.49
N 1
计算Kc KC
计算转按值
X1 S12 X1 X 2 S22 X 2 S12 X1 2 S22 X 2 2
X f X 62 1.033
S 2
N
60
fX2
fX 2 / N
N 1
186 622 / 60 2.067 60 1
二项分布和泊松分布参数的区间估计
令：
n
X
X
xi x
i 1
n
（近似服从） （近似服从）
（近似服从）
u X / n ~ N (0,1), n
X /n
对于给定的 查标1 准正态分布双侧临界值表：
（近似服从）
P{u / 2 u u / 2 } 1
P{u / 2
解： Q X 12, 0.01
查附表9可得总菌落数nλ的置信区间的上限： 上限：24.14，下限：4.94 所以同样条件下该菌落数的99%置信区为:
(4.94,24.14)
小结
1.二项分布总体率 P 的置信区间
p(1 p)
p u / 2
n , p u / 2
1 D(
n
n i 1
xi )
n
x
1 n
n i 1
xi
~
N ( , ),
n
n
（近似服从）
x
1 n
n i 1
xi
~
N ( , ),
n
n
u x ~ N(0,1), n /n
Q
x
1 n
n i 1
xi
u x ~ N(0,1), n
1.总体率与样本率的定义
总体率:设总体的容量为N,其中具有某种特点的个体数为M,则称
P M N
为具有某种特点的个体的总体率。
置信区间
样本率:设总体中抽取容量为n的样本，其中具有某种特点的个体数为m,则 称
p m n
为具有某种特点的个体的样本率。
负二项分布(研究生)
2 2
k
2
1
k
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7
矩法
K的估计：
2 2
k
kˆ
2
kˆ
2
X
2 X
S2 X
计算
5张
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8
例---矩法
在研究某种毒物的致死作用时，对60 只小白鼠进行了显性致死试验,得到资 料见表.若服从负二项分布,试估计参 数μ和K.
lg
N f0
lg
60 30
0.301
K2取1.1
k2
lg1
X k2
1.1lg1
1.033 1.1
0.316
lg
N f0
lg
60 30
0.301
计算K
kˆ 1.1 0.90 1.1 0.301 0.316 0.924
0.299 0.316
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最大似然法
2.34
Yi=ln(Xi+0.5Kc)
对转换值进行t检验: t=0.827 ν=20-2=18
P>0.05 不拒绝H0,尚不能认为两组胚胎死亡
数有差别
上一张
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Autumn, 2004
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X
负二项分布均数和方差
k 1
2 k 1
2
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负二项分布的数学期望和方差的一种求法
（上接第 54 页）
参考文献：
[1] 刘春麟．构造性方法在矩阵证明题中的应用[J]．数学学习与研究，2017（19）：14-15 [2] 史秀英．构造法在高等代数中的应用研究[J]．赤峰学院学报：自然科学版，2013，29（6）：11-13 [3] 王玉华．高等代数中构造方法的应用[J]．乐山师范学院学报，2013，28（12）：14-15 [4] 姚裕丰．高等代数中的几类数学思想方法[J]．高师理科学刊，2016，36（5）：62-65 [5] 北京大学数学系．高等代数[M]．3 版．北京：高等教育出版社，2003 [6] 同济大学应用数学系．高等代数与解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2005 [7] 于增海．高等代数考研选讲[M]．北京：国防工业出版社，2016 [8] 周金土．高等代数解题思想与方法[M]．杭州：浙江大学出版社，2008 [9] 李志慧，李永明．高等代数中的典型问题与方法[M]．北京：科学出版社，2008 [10] 刘洪星．考研高等代数辅导——精选名校真题[M]．北京：机械工业出版社，2013
rpr Crri (1 p)i i0
令 k r i ，则 E( X ) rpr
C r11 r 1i1
(1
p)i
i0
rpr
1 (1 p)
(r 1)
rpr p(r1)
r p
．
E X2
k
C 2 r1 k 1
pr
(1
p)kr
kr
k(k 1 1)Ckr11 pr (1 p)kr
(1 r)!
p)kr
E( X
)
r(r 1) pr Ckr11(1 p)k r E( X )
k r
令 i k r ，有 k r i, i 0, 1, 2, L ，则 E X 2 r(r 1) pr
负二项分布和伽马分布
负二项分布和伽马分布负二项分布和伽马分布是概率论和统计学中的两个经典分布。
它们各有其特点，分别在不同的领域有着重要的应用。
本文将着重介绍这两个分布的性质、应用以及相关的公式和推导。
一、负二项分布负二项分布是二项分布的推广。
在二项分布中，我们考虑了固定的试验次数，但是在每次试验中，我们只有两个结果中的一个出现的可能性。
如果将试验次数进行扩展，同时考虑到多次试验中发生某一次成功所需要的次数，我们就得到了负二项分布。
具体来说，设试验次数为n，每次试验成功的概率为p，那么发生r次成功所需要的试验次数x就是负二项分布。
其概率质量函数为：P(X=r) = C(r-1, x-1) * p^x * (1-p)^(r-x)其中，C(r-1, x-1)表示从r-1个位置中选择x-1个位置的组合数。
负二项分布的期望和方差分别为：E(x) = r * p / (1-p) Var(x) = r * p / (1-p)^2对于负二项分布，我们需要注意一些与二项分布不同的性质。
首先，负二项分布中，试验次数可以取任意正整数，而不是只能取到某个固定值。
其次，负二项分布是一个无记忆的分布，即不同的试验结果之间不会互相影响。
负二项分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用负二项分布来计算某家企业在进行营销活动时，需要向多少个客户发放优惠券才能让销售额增加到一定程度。
同时，负二项分布也可以用来模拟二项分布模型中的随机过程。
二、伽马分布伽马分布是一种连续性分布，用于描述正值随机变量的分布情况。
具体来说，伽马分布定义域为正实数集R+，概率密度函数为：f(x) = (x^(α-1) * e^(-x/β)) / (β^α *Γ(α))其中，α和β均为正实数，Γ(α)表示伽马函数。
伽马分布的期望和方差分别为：E(x) = α * β Var(x) = α * β^2伽马分布有着许多重要的性质。
首先，它可以用来描述某些随机事件发生的时间间隔。
伽马分布 泊松混合 负二项分布
伽马分布、泊松混合和负二项分布是统计学和概率论中的重要概念，它们在各自领域具有广泛的应用和重要的理论意义。
接下来，我将分别介绍这三个概念，并探讨它们在实际中的应用和意义。
一、伽马分布伽马分布是连续概率分布的一种，它常用于描述随机变量的等待时间或寿命。
伽马分布的概率密度函数形式为：f(x|α,β) = (1/(β^αΓ(α))) * x^(α-1) * exp(-x/β)其中，α和β是分布的参数，Γ(α)是伽马函数。
伽马分布具有一定的特点，比如它是右偏的，具有实际的应用价值。
在实际中，伽马分布可以用来描述诸多现象，比如等待时间、寿命分布等。
比如在工程领域，伽马分布常用来描述零部件的寿命分布；在金融领域，伽马分布则可以用来描述股票价格的波动。
二、泊松混合泊松分布是描述随机事件在一定时间内发生次数的概率分布，而泊松混合就是指若干泊松分布的线性组合。
泊松混合在实际中有广泛的应用，比如在人口统计学中，可以用泊松混合来描述不同芳龄段的人口增长情况。
泊松混合的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = Σi(pi * f(k|λi))其中，pi为混合系数，λi为不同的泊松分布参数，f(k|λi)表示泊松分布的概率质量函数。
泊松混合在模式识别和聚类分析中也有广泛的应用，它可以用来描述复杂的数据分布，从而更好地理解和处理数据。
三、负二项分布负二项分布是描述试验成功次数服从二项分布并进行第k次成功时所需的独立试验次数的概率分布。
负二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = (k-1)C(r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)其中，r为成功次数，p为成功的概率。
在实际中，负二项分布常用来描述离散事件的发生次数，比如在放射性衰变实验中，可以用负二项分布来描述放射性元素的衰变次数。
结语伽马分布、泊松混合和负二项分布是统计学和概率论中重要的概念，它们在实际中有广泛的应用和重要的理论意义。
通过深入理解这些概念，可以更好地处理实际问题，并且丰富了我们对概率分布的认识。
负二项分布离散型随机变量的分布特性
负二项分布离散型随机变量的分布特性负二项分布是概率论中常见的离散型随机变量分布，用来描述重复进行独立的二项试验，直到出现一定数量的成功次数的情况。
在负二项分布中，我们关注的是达到指定数量的成功之前，所需进行的试验次数。
1. 定义负二项分布是定义在非负整数集上的概率分布。
设X为负二项分布随机变量，n为进行试验的次数，p为每次试验成功的概率，则X的概率函数为：P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)，其中C(k-1, r-1)为组合数，表示从k-1个试验中选出r-1次成功的组合方式，r为所需达到的成功次数。
2. 期望和方差负二项分布的期望和方差可以通过分布的定义计算得到。
期望E(X) = r/p，在进行试验的每一次中，成功的期望次数为1/p。
方差 Var(X) = r(1-p)/p^2，每次成功或失败的结果都是独立的，因此方差为r(1-p)/p^2。
3. 特性3.1. 概率质量函数的性质负二项分布的概率质量函数具有如下性质：- P(X=k) ≥ 0，对于任意的k ≥ r；- ΣP(X=k) = 1，其中Σ表示求和运算，和为从r到∞的所有概率之和。
3.2. 概率累积函数的性质负二项分布的概率累积函数是指随机变量取值小于等于某个值的概率，可以通过对概率质量函数进行累积得到。
- F(X=k) = P(X≤k) = ΣP(X=i)，其中i为从r到k的整数。
- 概率累积函数是递增的，即F(X=k)≤F(X=k+1)。
3.3. 随机变量的取值范围负二项分布随机变量X的取值范围为正整数集合{r, r+1, r+2, ...}，表示达到所需成功次数之前的试验次数。
3.4. 与二项分布的关系负二项分布可以看作是二项分布的推广形式。
在二项分布中，我们关注在指定次数的试验中成功的次数，而在负二项分布中，我们关注在达到指定成功次数之前所需进行的试验次数。
4. 应用负二项分布在实际问题中具有广泛的应用，例如：- 在市场调研中，我们可能需要进行多次问卷调查才能达到一定的有效样本量；- 在质量控制中，我们可能需要进行多次检验才能发现一定数量的次品；- 在客户服务中，我们可能需要进行多次电话沟通才能达到一定数量的满意反馈。
负二项分布参数的贝叶斯区间估计问题
南通大学学报（ 自然 科 学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｎ ａ ｎ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
ｏ ｎ ｔ ｈｅ Ｐａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｏ ｆ Ｎｅ ｇ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ Ｂｉ ｎｏ ｍｉ ａ ｌ Ｄｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕｔ ｉ ｏ ｎ
Ｊ Ｉ ＡＮＧ Ｐ ｅ ｉ ｈｕ ａ， Ｊ Ｉ Ｘｉ ｘ ｉ ，ＷＵ Ｌ ｉ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｉ ｔ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ， Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｗｕ ｈ ｕ ２ ４ １ ０ ０ ０， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
文献标志码 ： Ａ
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ３ — ２ ３ ４ ０ ｛ ２ ０ １ ４ ） ０ ２ — ０ ０ ８ ５ — ０ ６
Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｂａ ｙ ｅ ｓ ｉ ａ ｎ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｖ ａ ｌ Ｅｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍｓ ｏ ｆ ｐ ｒ ｉ ｏ ｒ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｉ ｔ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｂｅ ｔ ａ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｉ ｔ ｏ ｎ，ｔ ｈｅ Ｂａ ｙ ｅ ｓ ｉ ａ ｎ ｅ ｓ ｉ ｔ ｍａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ｏ ｎ ｈｅ ｔ ｕ ｎ ｋ ｎ ｏ ｗｎ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ － ｔ ｃ ０ ｏ ｆ ｎ ｅ ｇ ａ ｉ ｔ ｖ ｅ ｂ ｉ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ｉｓ ｄ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｉ ｔ ｏ ｎ ｗａ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ． Ｂｙ ｍｅ ｎｓ ａ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ Ｂｅ ａ ｔ ｉｓ ｄ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｉｏ ｔ ｎ ａ ｎ ｄ ｈｅ ｔ Ｆ ｉｓ ｄ — ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｉ ｆ ｏ ｎ ｈｅ ｔ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ｌ ａ ｐ ｏ ｓ ｔ ｅ ｒ ｉ ｏ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｖ ａ ｌ ｅ ｓ ｉ ｔ ｍａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｏ ｆ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ０ ｗａ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ，ａ ｎｄ ｈｅ ｔ ｓ ｈ ｏ ｒ ｔ ｅ ｓ ｔ ｐ ｏ ｓ ｔ ｅ ｉｏ ｒ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｖ ａ ｌ ｅ ｓ ｉ ｔ ｍａ － ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ｙ ｍｅ ｎｓ ａ ｏ ｆ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｉ ｔ ｏ ｎ ａ ｌ ｅ ｘ ｔ ｒ ｅ ｍｅ ｗａ ｓ ｇ ｍｎ ｅ ｄ ． Ｂｙ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｉ ｎ ｇ ｈｅ ｔ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｎａ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｎｄ ａ ｎ ｕ ｍｅ ｉｃ ｒ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ｄ ｅ ｎ — ｓ ｉ ｔ ｙ Ｃ ｕ ｖｅ ｒ ｓ ｈ ａ ｐ ｅ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｐ ａ ｒ ｍ ｅ ａ ｔ ｅ ｒ ｓ ，ｉ ｔ ｗａ ｓ ｃ ｏ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｅ ｄ ｈａ ｔ ｔ ｉ ｎ ｈｅ ｔ ｃ ａ ｓ ｅ ｏ ｆ ｓ ｍａ ｌ ｌ ｓ ｍ ｐ ａ ｌ ｅ ｓ ，ｔ ｈｅ ｓ ｈ ｏ ｔ ｒ ｅ ｓ ｔ ｃ ｏ ｎ ｉ ｆ — ｄ ｅ ｎ ｃ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｖａ ｒ ｌ ｅ ｓ ｉ ｔ ｍａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓ ｗｏ ｒ ｔ ｈ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ．