几何分布和负二项分布高阶矩的递推公式
几种常见的分布
十一、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：射击比赛等。
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十二、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
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取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
负二项分布与超几何分布的区别练习题
负二项分布与超几何分布的区别练习题1. 什么是负二项分布和超几何分布？负二项分布是描述在一系列独立的伯努利试验中，进行了多少次试验才能达到指定数量成功的离散概率分布。
超几何分布是描述在不放回抽样中，从有限大小的总体中选择指定数量的成功实验的离散概率分布。
2. 负二项分布和超几何分布的参数有什么区别？负二项分布的参数是成功概率p和成功次数r，表示进行r次试验中成功的次数，而超几何分布的参数是总体中成功元素数量N、总体中元素数量K以及一次抽样中成功实验的数量n。
3. 如何计算负二项分布和超几何分布的概率？- 负二项分布的概率可以通过使用概率质量函数来计算。
负二项分布的概率质量函数公式为：P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)，其中k >= r，C(k-1, r-1)是组合数。
- 超几何分布的概率可以通过使用概率质量函数来计算。
超几何分布的概率质量函数公式为：P(X=k) = (C(K, k) * C(N-K, n-k)) / C(N, n)，其中K >= n，C(K, k)和C(N, n)分别是组合数。
4. 负二项分布和超几何分布的适用场景有什么区别？- 负二项分布通常适用于描述连续进行一系列独立的伯努利试验，且试验结果为成功或失败的情况下。
- 超几何分布通常适用于描述不放回抽样的情况下，从总体中选择指定数量的成功实验的概率分布。
5. 判断下列问题应使用负二项分布还是超几何分布来解决：a) 从一个扑克牌组中连续抽取直到获得第四张A的概率。
- 使用负二项分布，因为是连续进行选择的试验。
b) 从一个扑克牌组中不放回抽取5张牌，其中包含2张红桃的概率。
- 使用超几何分布，因为是不放回抽样的情况。
6. 如果给出具体的参数值，如何计算负二项分布和超几何分布的期望值和方差？- 负二项分布的期望值和方差可以通过以下公式计算：E(X) = r/pVar(X) = r(1-p)/p^2- 超几何分布的期望值和方差可以通过以下公式计算：E(X) = n * (K/N)Var(X) = n * (K/N) * ((N-K)/N) * ((N-n)/(N-1))以上是负二项分布与超几何分布的区别练习题的相关内容，希望能对您有所帮助。
10.6二项分布超几何分布与正态分布课件(42张)
1 x＝μ
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移， 如图(1)所示．
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线 “瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线 “矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．
X～N（μ，σ2）
μ
σ2
× √
√ √
2．(教材改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果
有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( )
A．
B．
C．0.5
D．
答案：A
0.158 5
答案：B
5．(易错)已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1) ＝P(X<c＋3)，则c＝________．
第六节 二项分布、超几何分布与正态分布
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的 实际问题.
2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其 含义．
必备知识·夯实双基
望．
题后师说 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个 体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对 象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型， 其实质是古典概型．
巩固训练2
共享电动车是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共 享．某校园旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色 两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率 为P＝，若从这些共享电动车中任意抽取3辆．80正常Fra bibliotek超重 肥胖
高中试卷-7.4 二项分布与超几何分布(精练)(含答案)
7.4 二项分布与超几何分布（精练）【题组一 二项分布】1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C æöæö=´´=ç÷ç÷èøèø故选：B 2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =【答案】D【解析】随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120【答案】D【解析】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5X B æöç÷èø:，所以()320125E X =´=，()3324201555D X æö=´´-=ç÷èø，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =´=，方差为()224551205D X =´=.故选：D4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（ ）A ．2B ．1C ．3D ．5【答案】C【解析】根据题意可得出63()()(33kk m k m P X k C m m-==++ ，即3(6,)3X B m ~+ 所以()36333E X m m=´=Þ=+故选C 5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B 1(5,)3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】依题意5512()33kkk P k C x -æöæö==ç÷ç÷èøèø，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243.故当k=2或1时，P (ξ=k )最大.故选：AB .．6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于5.6秒，则称为“好体能”.（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取3人，记X 表示抽到“好体能”学生的人数，求X 的分布列【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）19140；（3）分布列见解析；【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）设至少有2人是“好体能”的事件为A ，则事件A 包含得基本事件个数为；2134124C C C +g 总的基本事件个数为316C ，213412431619()140C C C P A C +==g （3）X 的可能取值为0，1，2，3，由于该校男生人数众多，故X 近似服从二项分布1(3,)4B 3327(0)()464P x ===，1231327(1)()4464P x C ===g ，223139(2)(4464P x C ===g ，311(3)(464P x ===X 的分布列为：X123P276427649641647．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]L 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m 、n 、t 的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.25m = ， 1.25n =， 3.5t =；（2）分布列见详解；2.1.【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为180.15120= 记d 为学生身高，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120p p d d ££=<£== ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120p p d d <£=<£==()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352p p d d <£=<£=-´-´=所以0.0250.250.1m == ，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==；（2）由（1）知学生身高在[]1.41.6, 的概率20.350.7p =´=随机变量X 服从二项分布()~3,0.7X B 则()()33010.70.027p x C ==´-= ()()213110.70.70.189p x C ==´-´=()()1223210.70.70.441p x C ==´-´=()33330.70.343p x C ==´=所以X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34330.7 2.1EX =´=8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X ，求X 的分布列；（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为110（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为13，抽到白球的概率为23，依题意，X 的取值可能为90，110，130，150.且30328(90)327P X C æö==×=ç÷èø，1213124(110)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø223122(130)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø，33311(150)327P X C æö==×=ç÷èø其分布列为X 90110130150p8274929127（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为8421()90110130150110279927E X =´+´+´+´=（元），选择方案二时，设摸到红球的次数为Y ，最终可能获得返金券金额为Z 元，由题意可知，1~3,3Y B æöç÷èø，得1()313E Y =´=()(100)100()100E Z E Y E Y ===由()()E X E Z >可知，该顾客应该选择方案一抽奖.【题组二 超几何分布】1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）910；（2）13.【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3，所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===， ()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===．所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =´+´+´+´=.（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ×====，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：员工编号12345678910捐款数额120802155013019530090200225（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65.【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：1136210182455C C P C ===（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()4741035102106C P X C ====，()133********12102C C P X C ====，()2237410623221010C C P X C ====()313741071321020C C P X C ====则X 的分布列为X0123P1612310130()1131601236210305E X =´+´+´+´=；（用超几何分布公式()366105nM E X N ´===计算同样得分）3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a ，b 的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）10a =，3b =.（2）61天（3）见解析【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a =，950.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P ==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616´=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042C P X C ====，135510505(1)21021C C P X C ====，225541010010(2)21021C C P X C ====，3551410505(3)21021C C P X C ====，4541051(4)21042C P X C ====，X 的分布列为X1234P142 521 1021521 142故151051()0123424221212142E X =´+´+´+´+´=.4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量x 为取得红球的个数.（1）求x 的分布列；（2）求x 的数学期望()E x 和方差()D x .【答案】（1）详见解析（2）6()5E x =，9()25D x =【解析】（1）x 的取值为0,1,2.()0232251010C C P C x ===，()113225631105C C P C x ====，()2032253210C C P C x ===，则x 的分布列为：x012P11035310（2）()1336012105105E x =´+´+´=，2226163639()0125105551025D x æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15´+´+´+´+´+´´=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-=解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ====()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ====X012P371021221所以()31022012721213E X =´+´+´=6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）715；（2）见解析.【解析】（1）记事件:A 取出的4个球中恰有1个红球，事件1:A 取出的4个球中唯一的红球取自于甲盒，事件2:A 取出的4个球中唯一的红球取自于乙盒，则12A A A =U ，且事件1A 与2A 互斥，由互斥事件的概率公式可得()()()1221134324122246715C C C C C P A P A P A C C +=+==，因此，取出的4个球中恰有1个红球的概率为715；（2）由题意知随机变量x 的可能取值为0、1、2、3，()22342246105C C P C C x ===，()7115P x ==，()111223243222463210C C C C C P C C x +===，()123222461330C C P C C x ===.所以，随机变量x 的分布列如下表所示：x123P15715310130因此，随机变量x 的数学期望为17317012351510306E x =´+´+´+´=.7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平．【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =U ．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =È=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B æöç÷èø，故()39344E X =´=，设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===，故随机变量Y 的分布列为Y123P153515所以，()1311232555E Y =´+´+´=，则()()E X E Y >，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=；（2）同解法二．8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A 、B 、C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列．【答案】（1）79120（2）见解析【解析】()1令事件A 表示“3个来自于两个不同专业”，1A 表示“3个人来自于同一个专业”，2A 表示“3个人来自于三个不同专业”，()3335131011120C C P A C +==，()111235231030120C C C P A C ==，3\个人来自两个不同专业的概率：()()()1211307911120120120P A P A P A =--=--=．()2随机变量X 有取值为0，1，2，3，()0337310350120C C P X C ===，()1237310631120C C P X C ===，()2137310212120C C P X C ===，()307331013120C C P X C ===，X \的分布列为：X123P3512063120211201120【题组三 二项分布与超几何分布综合运用】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记x 表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求x 的分布列及数学期望；（3）以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，x 服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，x 的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C x ===，()116921518135C C P C x ===，()2069215512357C C P C x ====，所以x 的分布列为：x012P1235183517()121814012353575E x =´+´+´=.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为h ，则3365,5B h æöç÷èø:，33652195E h =´=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求A 恰好答对两个问题的概率；（2）求B 恰好答对两个问题的概率；（3）设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)35 ;(2)49；(3)选择A .【解析】(1) A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=；(2) B 恰好答对两个问题的概率为223214339C æö´=ç÷èø；(3) X 所有可能的取值为1,2,3. ()124236C C 11C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =´+´+´=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-´+-´+-´=；而23,3Y B æö-ç÷èø，2()323E Y =´=，212()3333D Y =´´=，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A .3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数x 的分布列和数学期望()E x 【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C æö=ç÷èø所以拿2次得分不小于1分的概率为2211311244C æö-=-=ç÷èø（2）x 可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P x æö=ç÷èø==()13141112124C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()22241132228C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()31341112324C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()404411122164P C x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==分布列x01234P116143814116满足二项分布概率1~42B x æöç÷èø，1()=4=22E x \´4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记x 表示成绩优良的人数，求x 的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；()2E x =；（Ⅱ）7k =.【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，x 可能的取值为0，1，2，3，()343121055C P C x ===，()128431212155C C P C x ×===，()218431228255C C P C x ×===，()3831214355C P C x ===，所以x 的分布列为：x0123P155125528551455数学期望()1122814 01232 55555555E x=´+´+´+´=；（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,3X Bæöç÷èø∼，所以()10 102133k k kP X k C-æöæö==××ç÷ç÷èøèø，0,1,210k=×××，令()()10110111010101101110102121333321213333k k k kk kk k k kk kC CC C------+-++ìæöæöæöæö×׳××ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíïæöæöæöæö×׳××ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，解得192233k££，又kÎN，所以7k=，所以当7k=时，抽到k人的成绩是优良的可能性最大.。
保险精算原理与实务讲义下
对于二维随机变量（X，Y），当Y给定时计算X的数学期望即得X的条件期望
。
当Y给定时计算X的方差即得X的条件方差为
E( X | Y ) 如果允许Y可以随机取值而不是给定取值，则E (X|Y)和Var（X|Y）都是随机变量。
（1）E (X ) = E[E (X |Y )]
（2）Var(X) = E[Var(X|Y )]+Var[E(X|Y )]
（t + ln(r)，t2）。 3. 对数正态分布总是右偏的。 4. 对数正态分布的均值和方差是其参数（，）的增函数。 5. 对给定的参数，当 趋于零时，对数正态分布的均值趋于exp()，方差趋于零。
三、伽玛分布
f (x) x1 ex ()
E(X)/ Var(X)/2
伽玛分布具有下述性质： 1. 当固定尺度参数q 时，改变形状参数 的取值会改变伽玛密度函数的形状。 2. 当 趋于无穷大时，伽玛分布近似于正态分布。 3. 当 = 1时，伽玛分布就是参数为q的指数分布。 4. 当尺度参数q 相同时，伽玛分布具有可加性。 5. 伽玛分布乘以正常数r以后，仍然是伽玛分布，参数变为（，q/ r）。
在Gompertz 死亡律下的估计 当(x)在(y)之前死亡时，陪付1单位保险金的n 年期条件保险的趸缴净保费为，
在Makeham 死亡律下的估计
在Makeham 死亡律下，当(x)在(y)之前死亡时，陪付1单位保险金的n 年期条件保险的趸缴净保 费为，
第十章 损失模型
第一节 风险与保险
第二节 损失模型的基本概念
一、随机变量
随机变量是指其取值依赖于随机现象的观察结果的变量。
在非寿险精算中，最常见的随机变量就是损失金额（用X表示）和损失次数（用N表示）。
《二项分布》教学设计
（二）、问题导引
问题 1 姚明的罚球命中率为 0.8，假设他每次命中率相同,请问他某次
比赛中 3 罚 2 中的概率是多少?
问题 2 随机抛掷一枚均匀硬币 100 次, 求恰好出现 50 次正面的概
率?
以上问题是否为超几何分布，若不是，总结他们的特点
共同点：
1).每次试验是在同样的条件下进行的;
2).n 次试验中的事件是相互独立的；
《二项分布》教学设计
一、 教材分析 本课是选修 2-3 部分的重要内容，从知识结构看，本节课是
在学生学习了超几何分布的问题之后的内容，是离散型随机变 量的另一个重要的分布。在本节课的教学中，力图让学生感知 二项分布的关特点，学会观察、归纳的数学方法，抽象概况的 思想。 二、 教学目标 1、知识与技能：知道二项分布的关特点，并能根据问题解决 二项分布的问题；并能理解 n 次独立重复实验的概念会用二项 分布的公式解决问题。 2、过程与方法，培养学生归纳，概况的能力，并能通过理解 n 次独立的重复试验的模型（n 重伯努利试验）及其意义；理解二 项分布，并能解决一些简单的实际问题．
⑷3 台都报警；
⑸至少有 2 台报警；
80% 2 某气象站天气预报的准确率为
，计算（结果保留两个有效
数字）： （1）5 次预报中恰有 4 次准确的概率； （2）次预报中至少有 4 次准确的概率
新疆 王新敞
奎屯
（七）、课后作业 P56. 2、3 （八）、课堂小结 本节课学习了以下内容：
1．n 次独立重复试验的模型及其意义； 2．二项分布的特点及分布列．
3 情感态度价值观：通过经历由“回顾——质疑—引入—自 主探索——归纳——得出结论——练习巩固”的数学思维活动 过程。 三、教学重难点 教学重点：．二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列 教学难点：二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列．
超几何分布与二项分布的联系
超几何分布与二项分布的联系超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别。
课本对于超几何分布的定义是这样的：一般的，若一个随机变量X 的分布列为C k C n -kP(X = k ) = M N M ，其中k = 0,1, 2— l ，l = min(n ,M )，则称X 服从超几何分布，记为C nNX □ H (n , M , N )。
其概率分布表为:对于二项分布的定义是这样的：若随机变量X 的分布列为P(X = k ) = C k p k (1- p)n -k ，则称X n服从参数为n , p 的二项分布，记为X □ B (n , p )。
其概率分布表为:超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然 不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点，如：随机变量X 的取值都从0连 续变化到l ，对应概率和N ,n ,l 三个值密切相关.可见两种分布之间有着密切的联系.课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N 件产品，其中M 件是废品，无返回地任意抽取n 件，则其中恰有 的废品件数X 是服从超几何分布的。
而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。
若 将但超几何分布的概率模型改成：若有N 件产品，其中M 件是废品，有返回的任意抽取n 件，则其 中恰有的废品件数X 是服从二项分布的。
在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要 将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化。
“返回”和“不 返回”就是两种分布转换的关键。
如在2.2节有这样一个例题：高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10 个红球、20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球1个白球就是 一等奖，求获一等奖的概率。
本题采用的解法是摸出球中的红球个数X 服从超几何分布，但是如果 将“一次从中摸出5个球”改为“摸出一球记下颜色，放回后再摸一球，反复5次”，则摸出球中的红球 个数X 将不再服从超几何分布，而是服从二项分布。
第8节二项分布与超几何分布、正态分布课件
＝k)＝______C_Nn______，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，
M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量 X 的
分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布.
2.(202X·济南模拟)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰
好是2个白球、1个红球的概率是C( )
4 A.35
6
12
B.35
C.35
36 D.343
解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布 问题，故所求概率为 P＝CC23C37 14＝1325.
3.(易错题)甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛
可看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为6634，则甲恰好取胜一次的
概率为( C )
A.14
B.43
C.694
D.2674
解析 假设甲取胜事件为A，设每次甲胜的概率为p，
由题意得，事件 A 发生的次数 X～B(3，p)，则有 1－(1－p)3＝6634，得 p＝43， 则事件 A 恰好发生一次的概率为 C13×34×1－342＝694.
4.(2022·石家庄模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5 局 3 胜制，每局甲赢的
概率是23，乙赢的概率是13，则甲以 3∶1 获胜的概率是( A )
8
16
A.27
B.27
16 C.81
32 D.81
解析 甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，
课件3：7.4.2 超几何分布
所以 X 的分布列为：
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
1
3
3
10
5
10
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的村庄数，下列概率等于CC74C110586的是(
)
A．P(X＝2)
B．P(X≤2)
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
【解析】15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，8 个村 庄交通方便，C47C68表示选出的 10 个村庄中恰有 4 个交 通不方便，6 个交通方便的村庄，故 P(X＝4)＝CC47C110568. 【答案】C
探究二 超几何分布的概率
例 2.某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名男生，4 名女生，从中选出 4 人参加数学竞赛考试， 用 X 表示其中的男生人数． (1)求 X 的概率分布； (2)求至少有 2 名男生参加数学竞赛的概率．
解：(1)依题意知随机变量 X 服从超几何分布，
∴P(X＝r)＝Cr6CC41440－r(r＝0,1,2,3,4)． ∴P(X＝0)＝CC60C14044＝2110，
【解析】号数至少有一个奇数有两种情况，而其对立 事件则全为偶数，其概率为CC2429＝61，故答案为 1－16＝56. 【答案】56
2．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只 红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量 ξ，则 P(ξ≤6)＝________.
P(X＝2)＝P(A1·A2·A3 )＝342×14＝694，
P(X＝3)＝P(A1·A2·A3·A4 )＝343×14＝22576. P(X＝4)＝P(A1·A2·A3·A4)＝344＝28516.
几何分布数学期望的两种简便计算方法
结果只有 两 种 可 能，针 对 首 次 试 验 的 结 果，若 首 次 试 验 失
败，则令 η = 0； 若首次试验成功，则令 η = 1． 显然，根据几
何分布的定义知，P｛ η = 0｝ = 1 － θ，P｛ η = 1｝ = θ．
若 η = 0 时，则 ξ ＞ 1，令 γ = ξ － 1，此时，有 E（ ξ | η =
【关键词】几何分布； 数学期望； 无记忆性 【基金项目 】南 京 林 业 大 学 大 学 生 创 新 训 练 计 划 项 目 （ 2018NFUSPITP285） ； 2018 年校级“教学质量提升工程”项 目（ 163101813） ．
几何分布（ geometric distribution） 是一个重要的离散型
n =1
∞
∑ 3｝ + … = nP｛ ξ = n｝ = E（ ξ） ． n =1
（ 二） 两种计算方法
方法 Ⅰ （ 基于引理 2） 设 ξ ～ G（ θ） ，则由引理 2 和结
论 1，易得
∑ ∑ E（ ξ）
=
∞
P｛ ξ ≥ n｝
=
∞ （ 1 － θ） n－1 = 1 ．
n =1
n =1
θ
方法 Ⅱ （ 基于无记忆性） 设 ξ ～ G（ θ） ． 因为每次试验
概率分布，其概率模型可描述如下： 在独立的 Bernoulli 试验
中，若所考虑事件 首 次 出 现，则 试 验 停 止，此 时 所 进 行 的 试
验总数服从几何 分 布，事 件 发 生 的 概 率 即 为 几 何 分 布 的 参
数． 常规几何分布数学期望的计算涉及级数求和与逐项求
导等方法，技巧性高，计算较为烦琐． 一些学者研究过这类 问题［1 － 4］，本文利用一个引理和几何分布的无记忆性给出
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１ 预 备 知识
，
、
Ｙ一∑Ｘ，
＝ １ ２， ， ， … ．
定义 ｉ幻 设 Ｘ 是 随机 变量 ， 果 Ｘ 的分 布 ｒ 如
其 中 Ｘ Ｘ２ … ， ， ， Ｘ 相互 独立 ， 且
Ｘ ｆ ｇ（ ， ～ ｐ）
Ｐ ｘ＝ 五 （ ）一 口 ， 卜 Ｐ
其 中
０＜ Ｐ ＜ １， ｑ＝ １一 Ｐ， ｋ ＝ １ ２， ， ， …
０＜ Ｐ ＜ １ ， ｑ一 １一 ｐ’
Ｅ ∑ Ｅ ｘ Ｘ一 ｘＥ 一 ＋
， Ｉ ０ ｌ
÷Ｅ ｘ
（ ≥ ２． ， ） ｚ
忌 ＝ ，，＋ １ ｌ ２，… ， ｌ ，，＋
证 明 由引理 １ 可得 Ｘ 的特 征 函数 （）对其 ，
关于 ｔ 导， 求 有
则称 Ｘ 服从 负二 项 分布 ． 为 Ｘ ～ Ｂ ） 记 一（ ， ．
Ｃ Ｅ Ｘ。 ＋ Ｌ 。 ｌＸ Ｅ 一 Ｅ Ｘ
，
Ⅸ
一
ｑ
。
ｐ Ｅ Ｅ Ｅ ２＋÷ ｘ ＝ Ｘ ＋６Ｘ． Ｘ） Ｅ 。 （ ａ
（ Ｐ ＋ ） Ｐ ＝ 。 。 。 ， Ｐ ＋ 。
（ １＋ １ ｑ＋ １ ｑ ＋ ｑ ） １ １。 。．
将 其代 入前式 即知定 理 １成立 ．
Ｔ
Ｔ
显 然此极 限也 与 ｂ值相关 ， 原极 限也 不存在 ． 故 此外 ， 有理分 式 函数 的极 限
［ ］吴传生 ， ２ 陈盛 双， 典安 ， 经济 数学 ： 管 等． 微积分［ ．北 Ｍ］
京： 高等教育 出版社 ， ０ ３ ３ ６ ２ ０ ：１ ．
Ｏｎ ｔ ｎ ｅ ｉｔ ｎｃ ｆＤｏ ｂ ｅ Ｌｉ ｉｓ ｈｅ Ｎｏ － ｘ ｓ ｅ ｅ ｏ ｕ ｌ ｍ ｔ
Ｙ ＝ （ ＋ Ｘ２＋ … ＋ Ｘ ＝ Ｘ１ ）
所 以
ＥＹ ＝ ３ ＥＸ — ３
，
¨
＋ ＾！Ｉ ｎ ｆ 橐． ！ ’ ２． 一 耳 ．
ｋ
ｋ
ｋ
一
ｋ ＋ｋ ２
∑
赢 垂 一
一 （ Ｅｙ） 。＝ ，
两边取 期望 ， 注 意 到 Ｘ Ｘ。 … ， 并 ， ， Ｘ 的独立 性 ， 即 得定理 ２成 立．
。
Ｙ一∑ ， ，
其 中 Ｘ ， ， ， 相 互独 立 ， Ｘ。 … Ｘ 且
ｐ
Ⅱ
ｐ
．
ＥＸ 。一 ｌ＋ ｑ
ｘＪ ｇ ｐ ， ～ （ ）
这 里不妨记
一 １２ ・ ＇ ． ， ，． ， －１
ＥＸ 。
隧
，
，
ＥＸ ＝ Ｅ ． Ｘ
当 ｋ≥ ２时 ， 利用 多项 式定 理有
＝
ｃ ｌ ∑
Ｃ
ｇ— ｐ
Ｐ‘
∑
Ｅ Ｘ３一 旦 ’
Ｐ
－
ＥＸ ＥＸ ＋ ￣ＥＸ 一
Ｐ
＿ ＿
一 夕
ｉｔ ［ ∽ ， ｑ） １ ￣∽ ＋ ］ ＂ －
／
．
ｑ
－
（ ＥＸ２＋ ２ ＥＸ ．ＥＸ ）＋ ｔ ＥＸ。＝
Ｐ
从 而有
卜 Ｄ
（
，
Ｏ ．
（ ＋ ） １ｌｑ 多十 ・ 一 ＋
墨 ± 旦 ２ 旦 ＋ ！ ±
Ｐ 。 。Ｐ 。
Ｐ
±望 一
± 垡 ： ± 垡
Ｐ。
’
（ 下转 第 ２ ８页）
高 等 数 学 研 究
２１ ０ １年 ３月
是不存在的． 这是因为 ， ｚ 沿二次 曲线 ｓ 当（ ，） 趋近
于（ ， ）时 ， ＯＯ 有
ｉ ）＋ ” ［ ∽ ＝
１ ６
高 等 数 学 研 究
２１ ０ １年 ３月
Ｏ
Ｅ Ｐ ｘ十Ｐ ｘ＝墨 ＋ １＝ Ｘ ＝ｑＥ 。 Ｅ ｌ Ｐ‘ ＝ ‘ ＝
，
ｃ ｌ ∑ Ｃ
Ｄ
，
ｉ－ ［ ∽ ｑ１ １ ￣∽ ＋ ］ （ － － ）
旦 夕
ｉ ＋ ｉ ） ｉ）＋ ． ） ￡ ［ ∽． － １ ］
利 用 Ｌ ｉｎｚ ｅｂ ｉ公式 ， ／≥ ２时 ， 当 ＇ ／ 得 （）的 阶导数
９ ｔ 一 ［ ］ （ ） （ ‘ ＝ ） ’
究． ｍ ｉ ｃｅ ｇ ａ 备ｈ Ｔ０ ａ ｏ ．ｏ ． ｎ Ｅ ａ ｈ ｎ ｕ ｌ ｓ ｕ ６ ＠ｙ ｈ ｏ ｃｍ ｃ ． ｌ ｊ ｉ
基金项目： 江苏省教育厅 自然科学基金资助项 目（ ５ Ｊ Ｉ ０ １ ） ０ Ｋ Ｂ １ ０ ２ 作者简介 ｔ 王新利（ ９ ５ ） 女 ， １ ５ － ， 江苏淮安 人 ， 教授 ， 副 从事 基础数学 研究． ｍａｌｘｎｉ Ｅ ｉ ｉｌ ｌ —ｗａｇ ５０ ６ ．Ｏ ｎ ５ １ ＠１ ３ Ｃ１． 陈光曙（ ９ １ ） 男 ， １ ６ － ， 江苏沭 阳人， 教授 ， 事概率统计研 从
引理 ２。 设 随机 变量 Ｘ有 ｚ Ｅ 阶矩存 在 ， Ｘ的 则
特 征 函数 ９ ￡ （）可微 分 Ｚ ， 对 ｋ≤ ｚ有 次 且 ，
“（ ） ？ Ｘ ． ’ｏ 一 Ｅ
引理 ３ ［ 设 ｙ是 随机变 量 ， Ｙ～ Ｂ ， ） 则 一（ ｐ
的充 分必要 条 件是 ｙ可 分解 为 ，个独立 几何分 布 的 ｚ 随机 变量 的和 ． 即
王 新 利 ，陈光 曙
（ 江苏财经职业技术学院 ， 苏 淮安 ２ ３ ０ ） 江 ２ ０ ３
摘
要 给出几何分布 、 负二项分布高阶矩的递推公式．
文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号
关键 词 几何分布 ｌ 负二项分布 ＃ 递推公式 Ｉ 高阶矩
中圈 分 类 号 Ｏ２ １ １ １．
２ 几 何 分 布 、 二 项 分 布 高 阶 矩递 推 公 式 负
定理 １ 设 随机 变 量 Ｘ ～ ｇ ） 则 （ ，
则 称 随机变量 Ｘ 服从几 何 分布 ， 为 Ｘ ～ ｇ ｐ ． 记 （） 定义 ２。 设 Ｘ 是 随机 变量 ， ［ 如果 的分 布
Ｐ（ 一 忌 Ｘ ）＝ Ｃ ｇ ， ｝ ｈ 其 中 是 正 整数 ， 且
ＹＡＮ ｏ — ｉ Ｈ ｎｇ ｘ ａ
（ ｐ ｒ ｎ ｆ ｃ ｎｅａｄ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ Ｃｈｎ ｉｅｓ ｙｏ ｏｉｃｌＳ ｅ ｃ ｎ ａ Ｄｅａｔ ｔ ｉ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ， ｉａＵｎｖｒｉ ｆＰ ｌｉ ｄ ｎｅａ ｄＬ ｗ， ｍｅ ｏ Ｓ ｅ ｔ ｔａ
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｙ ｔ ｅ ｔｆ ｈ ｏ － ｘｓｅ ｃ ｆｄ ｕ ｌ ｉ ｔ ｏ ｅ ｔ ｉ ａ ｉｎ ｌｆ ｎ ｔ ｎ ｓｒ ｃ ： ｗａ ｏ ｃ ｒｉ ｔ ｅｎ ｎ ｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ｏ ｂ ｅｌ ｙ ｍｉｓｆ ｒｃ ｒａｎ ｒ ｔｏ ａ ｕ ｃ ｉ ｓ ｏ
Ｄ ．Ｅｙ３ ． 解 利 用 宗 弹 ２可 知
一
其 中随机 变量 Ｘ ～ ｇ ｐ ． （） 证 明 因为 ｙ～ Ｂ ， 夕 ， 一（ｚ ） 由引理 ３知 ，
∑
＾“ ２ ３ ｔ １ 一
０ ≤ ， ， ≤
其 中 Ｘ ～ ｇ ） 由例 １ （ ． 知
ＥＸ ：
‘ 拙
南
＝ Leabharlann ＝ 以证明二 重极 限
（ ． 一 （ ， ） ‘十 ｚ ００ Ｚ
．
Ｖ
并不存 在．
冠菪
ｌ ｉ ａ ｒ
。 ｚ
＝
一
．
参 考 文 献
（ｘ＋ ｂ ｊ ａ ）
２ ￣
、
［ ］华东师范大学数学系．数 学分析 ： １ 下册［ ． Ｍ］ ２版． 北京 ：
高等教育 出版社 ，１ ９ ：２ ． ９１１９
０ Ｉ ｔ２ ｔ ≤ ２ ≤ ｌ Ｉ －３ －
３ ＥＸ 。 ６ Ｅ ） ＝ ＋ （ Ｘ 。＝ １（ ＝ ９＋ ３ ｑ， ） ＤＹ 一
注 ２ 要计 算 负二 项 分 布高 阶矩 ， 只需 利 用 定 理 １ 求 出相应 的几 何 分布 的各 阶矩 ， 先 再利 用定 理 ２
即可求 出．
注 １ 定 理 １给 出了几何 分布 的 随机变 量高 阶
矩 的递 推公式 ， 其高 阶矩 可 由低 阶矩确定 ． 定理 ２ 设随 机变 量 ｙ ～ Ｂ ， ） 则 一（ 户 ，
Ｅｙｋ
＾ ＊ 。 … ｃ １ ２ ＋ ＋／ Ｉ： ｚ； ：
例 ２ 设 随 机 变 量 ｙ ～ Ｂ （ ， ， Ｅｙ ， 一 ３ ） 求
卜
Ｏ
＋
ｉ ”）＋ （ｊ （ｌ ｏ， “ ｏ１ ｒ ）
＋ （ ）一 ｉ Ｏ ＥＸ “ ， ‘ （ ）＝ ｉ ‘ Ｏ ’ ‘ ＥＸ ， ‘ 一 （ ）一 ｉ ’ ’ Ｏ ． 一ＥＸ 一 ， － 一
旦 Ｐ
＋
Ⅱ 由
Ｅ Ｘ
， ＾＝ ０
，
根 据 引理 ２可 知
负二 项分 布在排 队论 、 可靠性 、 以及群 团型 生态 格局
证明 ９ｔ一Ｅ 一∑ｅｑ ＝ （ ） ｅ ‘卜Ｐ
予
卫
詈 ｑ （ ｅ
垡： 一 垒 呈
１一 ｑｅ ’ “
ｑ １一 ｑｅ‘
等方 面都是 典型 理论 分 布 之 一 ． 因此 ， 何 分 布 、 几 负 二 项 分布 的研究 受 到学 者 的广 泛 注 意 ． 文 ［］给 如 １ 出 了负二项 分布 的分 解 定 理 ． 文 利 用 特征 函数 给 本 出 了几何分 布 的高 阶矩 的递 推 公 式 ． 用 负二 项 分 利 布 的分解 公 式得 到 了负二项 分 布 的高 阶矩 的递推 公 式． 它们 有着 相 同的特 点 ： 阶矩确 定高 阶矩 ． 低
弓理 １ 设 Ｘ ～ ｇ 夕 ， Ｘ 的特征 函数为 Ｉ （ ）则
’
＝ ＋ 游＝
丝 １