二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。
本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。
二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。
假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。
二项分布可以记作$B(n,p)$。
二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。
它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。
超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。
从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。
二项分布和超几何分布的数学期望
二项分布的数学期望X ～b(n,p)，其中n≥1,0<p<1.P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.EX=np,DX=np(1-p).证明方法(一)：将X 分解成n 个相互独立的，都服从以p 为参数的(0-1)分布的随机变量之和：X=X1+X2+...+Xn,Xi ～b(1,p)，i=1,2,...,n. P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.EXi=0*(1-p)+1*p=p,E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).EX=EX1+EX2+...+EXn=np,DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p).证明方法(二)：EX=∑kb(k;n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n -k) =np∑C(k -1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1)=np∑C(k,n -1)p^kq^(n-1-k) =np∑b(k;n -1,p) =npDX=npq 可用公式DX=EX^2-(EX)^2求出EX^2=∑k^2b(k;n,p) =∑[k(k -1)+k]b(k;n,p)=∑k(k -1)b(k;n,p)+∑kb(k;n,p) =n(n -1)p^2∑b(k;n -2,p)+np=n(n-1)p^2+np=n^2p^2+npq=n^2p^2+npq 所以DX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2 =npq 二项分布和超几何分布的数学期望当X ～B (n ，p )时，E (X ) = ?n r = 1r C r n p k q n ? k ? np ?n r = 1C r ? 1n ? 1 p k ? 1q n ? k ? np (p ? q )n ? 1 ? np ．为求超几何分布的数学期望，我们先建立数学期望的基本性质：性质1 若a ≤X ≤b ，则a ≤E (X )≤b ．特别地，E (c ) ? c ，这里的a ，b ，c 是常数；性质2 线性性：对任意常数c i ，i ? 1, 2, …, n ，及b ，有E (?n i =1c i X i ? b ) ? ?ni =1c i E (X i ) ? b ． 下面计算超几何分布X ～H (n ，M ，N )的数学期望．设想一个相应的不放回抽样，令X i ? ⎩⎨⎧1，第i 次抽得废品；0，第i 次抽得好品，则P (X i ? 1) ? M N ，因此E (X i ) ? M N，而X ? X 1 ? X 2 ? … ? X n 表示n 次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质2，得到E (X ) = E (X 1) ? … ? E (X n ) ? nM N．。
二项分布的方差公式推导
二项分布的方差公式推导二项分布是描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在这篇文章中，我们将推导二项分布的方差公式。
首先，我们回顾一下二项分布的定义。
设X表示在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
那么X服从参数为n和p的二项分布。
二项分布的期望值为E(X) = np。
接下来，我们将推导二项分布的方差。
方差的定义为Var(X) = E((X E(X))^2)。
我们已经知道E(X) = np，所以我们可以将方差的定义展开为Var(X) = E((X np)^2)。
展开后得到Var(X) = E(X^2 2npX + n^2p^2)。
根据期望值的性质，我们知道E(aX) = aE(X)，其中a是一个常数。
因此，E(n^2p^2) = n^2p^2。
接下来，我们来计算E(X^2)。
由于X是一个离散随机变量，我们可以利用概率质量函数来计算E(X^2)。
即E(X^2) = Σx^2P(X=x)，其中求和范围是所有可能的取值。
根据二项分布的概率质量函数，P(X=x) = (n choose x) p^x (1-p)^(n-x)，其中(n choose x)表示组合数。
因此，E(X^2) =Σx^2 (n choose x) p^x (1-p)^(n-x)。
将E(X^2)代入方差的展开式中，我们得到Var(X) = Σx^2 (n choose x) p^x (1-p)^(n-x) (np)^2。
这就是二项分布的方差公式。
它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的方差。
这个公式的推导过程展示了如何利用期望值和概率质量函数来计算方差，是统计学中重要的推导过程之一。
通过对二项分布方差公式的推导，我们更深入地理解了二项分布的性质和统计推断的原理。
这对于理解和应用统计学的基本概念具有重要意义。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
新知识必须尽快掌握，以便继续进行研究，增强自己的知识储备。
本文将从数学概念的角度，讨论二项分布、超几何分布的数学期望和方差的推导。
二项分布是一种独立重复试验的结果，它有两个参数，即试验的次数(n)和每次试验事件发生概率(p)。
二项分布的数学期望和方差是通过下式表示的：
E(X)=n*p
Var(X)=n*p*(1-p)
以上公式表明，试验的次数和事件发生的概率都会影响随机变量数学期望及方差的大小。
超几何分布也是一种独立重复试验的结果，但它有3个参数，即试验的次数(n)、事件会发生概率(p)及试验中一次命中多个特定事件的概率(m)。
超几何分布的数学期望和方差可以用下面的公式来描述： E(X)=n*p*m
Var(X)=n*p*m*(1-p)
以上公式表明，试验的次数、事件发生的概率及多个特定事件的概率都会影响随机变量数学期望及方差的大小。
借助上述推导，通过研究事件发生概率对随机变量数学期望及方差的影响，可以为科学研究和统计预测提供有效的数学模型。
本文介绍了二项分布和超几何分布数学期望和方差的推导方法，分析了事件发生概率对随机变量的影响。
希望本文能对读者有所帮助，
让大家对相关概念获得更深刻的理解。
从数学概念的角度来看，二项分布和超几何分布的数学期望和方差公式都可以推出。
二项分布由两个参数推导出期望和方差，而超几何分布由三个参数推导出期望和方差。
这些数学模型能为统计预测和科学研究提供有效的参考。
二项分布的方差公式推导
二项分布的方差公式推导二项分布是描述了在一系列独立重复的是/非试验中成功次数的概率分布。
在这篇文章中，我们将推导二项分布的方差公式，这个公式是描述二项分布离散程度的重要指标。
首先，我们回顾一下二项分布的定义。
设X表示n次独立重复的是/非试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。
那么X服从参数为n和p的二项分布，其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) p^k (1-p)^(n-k)。
其中 (n choose k) 表示组合数，即从n个不同元素中选取k 个元素的组合数。
这是二项分布的概率质量函数，描述了成功次数为k的概率。
接下来，我们推导二项分布的方差公式。
方差是描述随机变量离散程度的指标，对于二项分布而言，其方差公式为Var(X) =np(1-p)。
现在，让我们来看一下如何推导这个公式。
首先，我们知道方差的定义为Var(X) = E[(X μ)^2]，其中E表示期望，μ表示随机变量的均值。
对于二项分布而言，其均值为μ = np，因此我们可以将方差的定义展开为：Var(X) = E[(X np)^2]接下来，我们计算E[(X np)^2]。
由于X服从二项分布，我们可以利用概率质量函数计算期望：E[(X np)^2] = Σ (k=0 to n) ( (n choose k) p^k (1-p)^(n-k) (k np)^2 )。
接下来，我们可以利用二项式定理展开 (k np)^2，然后利用组合数的性质简化表达式。
经过一系列的代数化简，我们最终得到Var(X) = np(1-p)。
通过以上推导，我们得到了二项分布的方差公式。
这个公式告诉我们，在参数为n和p的二项分布中，成功次数的离散程度可以用np(1-p)来描述。
这个公式对于理解二项分布的性质和应用具有重要意义。
总之，通过本文的推导，我们了解了二项分布的方差公式是如何推导出来的，以及这个公式的重要性。
希望本文能够帮助读者更深入地理解二项分布及其在实际问题中的应用。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导二项分布、超几何分布是统计学中常见的概率分布，它们的期望、方差均具有重要的数学意义。
在本文中，我们将就二项分布、超几何分布的期望与方差分别建立数学模型，并通过推导求出其公式，帮助大家来理解二项分布、超几何分布的期望与方差之间的关系。
一、二项分布的期望二项分布的期望[X]是指在概率观测中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记二项分布的观测概率为P(X=x)，那么二项分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的期望公式为：[X] = np其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
二、二项分布的方差二项分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
二项分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是二项分布的期望。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的方差公式为：[X] = np(1-p)其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
三、超几何分布的期望超几何分布的期望[X]是指在超几何分布中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记超几何分布的观测概率为P(X=x)，那么超几何分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的期望公式为：[X] = nq/p其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
四、超几何分布的方差超几何分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
超几何分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是超几何分布的期望。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的方差公式为：[X] = nqp(1-p)其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。
本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。
一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。
1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。
超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。
2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明在概率论与数理统计中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。
它在众多领域都有广泛的应用，例如质量控制、医学研究、市场调查等。
理解二项分布的期望和方差对于深入掌握概率统计的知识具有关键意义。
接下来，我们将详细证明二项分布的期望和方差。
首先，让我们回顾一下二项分布的定义。
如果进行 n 次独立的伯努利试验，每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1 p，那么成功的次数 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)。
我们先来证明二项分布的期望。
期望（Expected Value），也称为均值，是描述随机变量平均取值的量。
设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p)，则 X 可以表示为 X ＝ X₁＋X₂＋＋ Xₙ ，其中 Xᵢ（i ＝ 1, 2,， n）是相互独立且同分布的伯努利随机变量，即 Xᵢ取值为 1 表示成功，取值为 0 表示失败，且 P(Xᵢ＝ 1) ＝ p ，P(Xᵢ＝ 0) ＝ 1 p 。
那么 E(Xᵢ) ＝ 1×P(Xᵢ＝ 1) ＋ 0×P(Xᵢ＝ 0) ＝ p 。
因为期望具有线性性质，即对于任意随机变量 Y 和 Z 以及常数 a 和b ，有 E(aY ＋ bZ) ＝ aE(Y) ＋ bE(Z) 。
所以 E(X) ＝ E(X₁＋ X₂＋＋ Xₙ) ＝ E(X₁) ＋ E(X₂) ＋＋E(Xₙ) ＝ np 。
接下来证明二项分布的方差。
方差（Variance）是衡量随机变量取值相对于其期望的分散程度的量。
我们知道方差的定义为 Var(X) ＝ E(（X E(X)）²) ，也可以表示为Var(X) ＝ E(X²) （E(X)）²。
先计算 E(X²) ：E(X²) ＝∑x²×P(X ＝ x) （x 从 0 到 n）因为 X 服从二项分布 B(n, p) ，所以 P(X ＝ x) ＝ C(n, x) × p^x ×（1 p)＾（n x) 。
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二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导
高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给出一推导过程仅供参考。
预备公式一
11--=k n k n nC kC （1≥n ）
，利用组合数计算公式即可证明。
预备公式二
[]2
2)()()(ξξξE E D -=，证明过程可见教材。
预备公式三
2
2)1()1(---=-k n k n C n n C k k （2,2≥≥k n ）
，利用组合数计算公式即可证明。
预备公式四
),,,,(022110n k m k N k n m C C C C C C C C C k n m m k n k m n k m n k m n ≤≤∈=++++++-- ，利用恒等
式m n n
m x x x )1()1()
1(++=++的二项展开式中k x 的系数相等可证。
一、二项分布
在n 次独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为p （10<<p ），事件A 发生次数为ξ，则ξ的概率分布列为：
np p p np p p
C np p p nC p p kC p p kC E n n
k k n k k n n
k k
n k k n n
k k
n k
k n
n
k k
n k
k
n
=+-=-=-=-=-=-=----=---=-=-∑∑∑∑11
1
111
11
1
0)1()1()1()
1()
1()(ξ
2.二项分布的方差
[])
1()1()1()1()1()
1()1()()
1()1()1()
1()1()1()()
1()()()(2
22222n
2
222
2
22n
2222
2
n
2
22n
1
n
12
2n
1
22
n
2
2
2
p np p n np p p p n n p n np p p C
p n n p n np p p C n n p n E p p C k k p n p p kC p p C k k p n p p C k np p p C k E E D n k k n k k n k k n k k n k k
n k
k
n
k k n k
k n k k
n k
k
n
k k n k
k n k k
n k
k
n
-=-++--=-+--=-+--=-+--=--+--=--=--=-=-=----=---=-=-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑ξξξξ
二、超几何分布
一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，N -M 件合格品，从中随机取出n 件产品中，
X 其中（，）。
1.超几何分布的数学期望
()
N
nM
n N n N N n N n M C C M C C C C C C C M C C C M
C C C k C C C k X E n N n N
m
n M N m M n M N M n M N M n N
k
n M N m
k k M n N m k n
N k n M
N k M m
k n N k n M N k M =
-⋅-⋅-⋅-⋅⋅=
⋅=++====--------------=--=--=--∑∑∑)!()!1(!)!1()!(!)(1
1112111011
111
0）（利用预备公式四可得
2.超几何分布的方差
()()()()()()())1
11)(1(111)1()1()1(1)()()(2
2
222
2222
122
122
2
2
2
----=---⋅=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+--⋅-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⋅-=⎪⎭⎫
⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=----=--=--=--=--=--∑∑∑∑∑N n N M N nM N N M N n N N nM N nM N nM N N n n M M N nM N nM C C M M N nM N nM C C C M M N nM C C C k C C C k k N nM C C C k N nM C C C k X E X E X D n N n
N k n M N m k k M n
N m
k n
N
k n M
N k M m k n N k n M N k M m
k n N k n M N k M m
k n
N k
n M
N k M
3.超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的关系 根据极限知识，很容易得到： 在超几何分布中，当+∞→N 时，
p N
M
→（二项分布中的p ）
（1）当+∞→N 时，超几何分布的数学期望)()(X E np N
M
n X E =→=（二项分布的数学期望）
（2）当+∞→N 时，超几何分布的方差
)1(1111)(p np N n N M N M n
X D -→⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（二项分布的方差） （3）当+∞→N 时，超几何分布可近似为二项分布。