二项分布、数学期望与方差专题复习 word 有详解 重点中学用
二项分布知识点整理
二项分布知识点整理二项分布是概率论中一种离散概率分布，用于描述在n次重复的独立二分类试验中，成功的次数的概率分布情况。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能的结果，一种是成功，另一种是失败。
下面，将对二项分布的定义、性质和相关公式进行整理:1.二项分布的定义:在n次重复的独立二分类试验中，假设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则成功的次数X服从二项分布。
记为X~B(n,p)。
2.二项分布的概率函数:二项分布的概率函数表示为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素组成一个集合的方案数。
3.二项分布的期望和方差:二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
4.二项分布的性质:(1)在二项分布中，成功的概率p是恒定不变的，与试验次数n无关。
(2)在试验次数固定的情况下，成功的次数越多，失败的次数越少。
(3)当试验次数n增加时，二项分布的形状逐渐向正态分布靠近。
5.二项分布的相关公式:(1)二项系数的计算公式:C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)(2) 二项分布的期望和方差的计算公式: E(X) = np, Var(X) =np(1-p)(3) 二项分布的累积分布函数: P(X≤k) = Σ(i=0 to k) C(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i)(4)二项分布的正态近似:当n足够大时，可以用正态分布来近似二项分布的概率。
6.二项分布的应用:二项分布在实际生活中有广泛应用，例如:(1)投硬币的结果：每次投掷硬币，出现正面或反面的概率为0.5(2)制造业的质量控制：每个产品是否合格的概率为p，可以通过抽样检测来判断合格品的比例。
(3)市场调查的结果：例如一项调查中，问卷调查的结果中满意度的比例。
(4)疾病的传播：可以使用二项分布来估计其中一种疾病在人群中传播的比例。
二项分布的期望和方差
二项分布的期望和方差二项分布是一种随机变量分布，它是用来描述在一个实验中，发生某种结果的机会模型。
它也是概率论里最基本的概率分布之一，被用于很多领域，包括统计学、社会研究、商业等，它可以被用来模拟、分析和预测一个实验或观察结果。
二项分布由其期望(E)和方差(Var)决定。
期望可以表示平均情况下这个随机变量发生的次数，而方差表示发生次数的变异程度。
二项分布的期望可以用下式表示：E= n*p其中，n代表实验次数，p代表每次实验正确结果的概率。
例如，有一个抛硬币实验，n=10次，抛正面的概率p＝0.5，二项分布的期望E=10*0.5=5。
即抛十次，正面出现的次数平均应为5次。
二项分布的方差可以用下式表示：Var=n*p*(1-p)，其中，n代表实验次数，p代表每次实验正确结果的概率，(1-p)表示错误结果的概率。
例如，上面的抛硬币实验，n=10次，抛正面的概率p＝0.5，那么二项分布的方差Var=10*0.5*(1-0.5)=2.5。
即抛十次，正面出现的次数的变异程度为2.5次。
从上面的例子可以看出，二项分布的期望和方差与实验次数n、正确结果的概率p有关。
当实验次数n增加时，二项分布的期望也随之增大，而方差则不变。
另外，当正确结果的概率p增加时，二项分布的期望也增大，而方差则减少。
这是由于增加正确结果的概率意味着一次实验的正确结果将更可能，而此时，实验结果的变异程度将会变小，即方差减少。
此外，二项分布具有一定的归一性，即n和p够大，二项分布近似于正态分布。
这是由于当n越大，正确结果和错误结果的概率接近，即p越接近0.5，此时，二项分布和正态分布越接近。
综上所述，二项分布是描述在一个实验中，发生某种结果的机会模型，它的期望和方差取决于实验次数n和正确结果的概率p，且具有一定的归一性，和正态分布有很强的相似性。
二项分布知识点
二项分布知识点关键信息项：1、二项分布的定义2、二项分布的参数3、二项分布的概率计算公式4、二项分布的期望与方差5、二项分布的适用条件6、二项分布的实例应用11 二项分布的定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数X 的概率分布。
在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为 1 p 。
111 伯努利试验的特点伯努利试验具有以下两个特点：每次试验只有两种可能的结果，即成功或失败；每次试验的结果相互独立，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。
112 二项分布的概率质量函数二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
12 二项分布的参数二项分布有两个参数：试验次数 n 和每次试验成功的概率 p 。
121 试验次数 nn 表示独立重复进行的伯努利试验的总数。
122 成功概率 pp 表示每次伯努利试验中成功的概率，0 ＜ p ＜ 1 。
13 二项分布的概率计算公式131 组合数的计算组合数 C(n, k) ＝ n! ／（k! （n k)！），其中 n! 表示 n 的阶乘。
132 概率的具体计算示例例如，在 5 次独立重复的试验中，每次成功的概率为 04，求成功 3 次的概率。
首先计算组合数 C(5, 3) ＝ 5! ／（3! 2!）＝ 10 ，然后计算概率P(X ＝ 3) ＝ 10 04^3 06^2 。
14 二项分布的期望与方差141 期望二项分布的期望 E(X) ＝ np 。
142 方差二项分布的方差 Var(X) ＝ np(1 p) 。
15 二项分布的适用条件151 独立试验每次试验的结果相互独立，不受其他试验的影响。
152 固定概率每次试验成功的概率 p 保持不变。
153 二分类结果试验结果只有两种互斥的类别，如成功和失败、是和否等。
高三数学北师大版通用,理总复习讲义 二项分布
§１２．５二项分布１．条件概率在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P（A|B）来表示，其公式为P（A|B）＝错误!（P（B）>0）．２．相互独立事件（１）一般地，对于两个事件A，B，如果有P（AB）＝P（A）P（B），则称A、B相互独立．（２）如果A、B相互独立，则A与错误!、错误!与B、错误!与错误!也相互独立．（３）如果A１，A２，…，A n相互独立，则有：P（A１A２…A n）＝P（A１）P（A２）…P（A n）．３．二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：（１）每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”；（２）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为１—p；（３）各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验成功的次数，则P（X＝k）＝C错误!p（１—p）—（k＝0,１,２，…，n）若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B（n，p）．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）条件概率一定不等于它的非条件概率．（×）（２）相互独立事件就是互斥事件．（×）（３）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立．（×）（４）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝１—p. （×）２．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.３．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为错误!，那么播下４粒种子恰有２粒发芽的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析独立重复试验B（４，错误!），P（k＝２）＝C错误!（错误!）２（错误!）２＝错误!.４．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的５个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率为________．答案0．１２8解析依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率P＝１×0．２×0．8×0．8＝0．１２8．５．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是错误!，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为______________．答案错误!解析理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC错误!，且A，C，错误!之间彼此独立，且P（A）＝P（错误!）＝P（C）＝错误!.所以P（A错误!C）＝P（A）P（错误!）P（C）＝错误!.题型一条件概率例１在１00件产品中有9５件合格品，５件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．思维启迪直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型．答案错误!解析方法一设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P（AB）＝错误!，所以P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有４件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为错误!.思维升华条件概率的求法：（１）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）＝错误!.这是通用的求条件概率的方法．（２）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n（AB），得P（B|A）＝错误!.从１,２,３,４,５中任取２个不同的数，事件A＝“取到的２个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的２个数均为偶数”，则P（B|A）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析P（A）＝错误!＝错误!，P（AB）＝错误!＝错误!，P（B|A）＝错误!＝错误!.题型二相互独立事件的概率例２（２0１２·重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球３次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为错误!，乙每次投篮投中的概率为错误!，且各次投篮互不影响．（１）求乙获胜的概率；（２）求投篮结束时乙只投了２个球的概率．思维启迪将所求事件分解为几个彼此互斥的事件之和，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率公式求解．解设A k、B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）＝错误!，P（B k）＝错误!（k＝１,２,３）．（１）记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P（C）＝P（错误!B１）＋P（错误!错误!错误!B２）＋P（错误!错误!错误!错误!错误!B３）＝P（错误!）P（B１）＋P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（B２）＋P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（B３）＝错误!×错误!＋错误!２错误!２＋错误!３错误!３＝错误!.（２）记“投篮结束时乙只投了２个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P（D）＝P（错误!错误!错误!B２）＋P（错误!错误!错误!错误!A３）＝P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（B２）＋P（错误!）P（错误!）P（错误!）P（错误!）·P（A３）＝错误!２错误!２＋错误!２错误!２×错误!＝错误!.思维升华相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质（是互斥还是相互独立），再选择相应的公式计算求解．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0．8，计算：（１）两人都击中目标的概率；（２）其中恰有一人击中目标的概率；（３）至少有一人击中目标的概率．解记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有１人击中目标”是A错误!∪错误!B；“至少有１人击中目标”是AB∪A错误!∪错误!B.（１）显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，∴P（AB）＝P（A）·P（B）＝0．8×0．8＝0．6４．（２）“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中（即A错误!），另一种是甲未击中乙击中（即错误!B）．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A错误!与错误!B是互斥的，所以所求概率为P＝P（A错误!）＋P（错误!B）＝P（A）·P（错误!）＋P（错误!）·P（B）＝0．8×（１—0．8）＋（１—0．8）×0．8＝0．１6＋0．１6＝0．３２．（３）“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P＝P（AB）＋[P（A错误!）＋P（错误!B）]＝0．6４＋0．３２＝0．96．题型三二项分布例３乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局４胜制（即先胜４局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．（１）求甲以４比１获胜的概率；（２）求乙获胜且比赛局数多于５局的概率；（３）求比赛局数的分布列．思维启迪本题主要考查二项分布，解题关键是正确判断是不是服从二项分布及正确应用概率计算公式．解（１）由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是错误!.记“甲以４比１获胜”为事件A，则P（A）＝C错误!（错误!）３（错误!）４—３·错误!＝错误!.（２）记“乙获胜且比赛局数多于５局”为事件B.乙以４比２获胜的概率为P１＝C错误!（错误!）３（错误!）５—３·错误!＝错误!，乙以４比３获胜的概率为P２＝C错误!（错误!）３（错误!）6—３·错误!＝错误!，所以P（B）＝P１＋P２＝错误!.（３）设比赛的局数为X，则X的可能取值为４,５,6,7．P（X＝４）＝２C错误!（错误!）４＝错误!，P（X＝５）＝２C错误!（错误!）３（错误!）４—３·错误!＝错误!，P（X＝6）＝２C错误!（错误!）３（错误!）５—３·错误!＝错误!，P（X＝7）＝２C错误!（错误!）３（错误!）6—３·错误!＝错误!.比赛局数的分布列为X４５67P错误!错误!错误!错误!思维升华P n （k）＝C错误!p k（１—p）n—k的三个条件：１在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；２n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；３该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．（２0１３·山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜３局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是错误!外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是错误!.假设各局比赛结果相互独立．（１）分别求甲队以３∶0,３∶１,３∶２胜利的概率；（２）若比赛结果为３∶0或３∶１，则胜利方得３分，对方得0分；若比赛结果为３∶２，则胜利方得２分，对方得１分．求乙队得分X的分布列及数学期望．解（１）设“甲队以３∶0,３∶１,３∶２胜利”分别为事件A，B，C，则P（A）＝错误!×错误!×错误!＝错误!，P（B）＝C错误!错误!２×错误!×错误!＝错误!，P（C）＝C错误!错误!２×错误!２×错误!＝错误!.（２）X的可能的取值为0,１,２,３．则P（X＝0）＝P（A）＋P（B）＝错误!，P（X＝１）＝P（C）＝错误!，P（X＝２）＝C错误!×错误!２×错误!２×错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!３＋C错误!错误!２×错误!×错误!＝错误!.∴X的分布列为X0１２３P错误!错误!错误!错误!∴EX＝0×错误!＋１×错误!对二项分布理解不准致误典例：（１２分）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是错误!.（１）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（２）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列．易错分析由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成错误!”．规范解答解（１）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为错误!，且每次试验结果是相互独立的，故X～B错误!. [２分]所以X的分布列为P（X＝k）＝C错误!错误!k·错误!6—k，k＝0,１,２,３,４,５,6．[５分]（２）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,１,２,３,４,５,6．其中：{Y＝k}（k＝0,１,２,３,４,５）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋１个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．[7分]P（Y＝k）＝（错误!）k·错误!（k＝0,１,２,３,４,５），而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为P（Y＝6）＝（错误!）6，[9分]因此Y的分布列为[１２分]温馨提醒（１）二项分布是高中概率部分最重要的概率分布模型，是近几年高考非常注重的一个考点．二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生．（２）独立重复试验中的概率公式P n（k）＝C错误!p k（１—p）n—k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p与（１—p）的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.方法与技巧１．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P（A|B）＝错误!＝错误!，其中，在实际应用中P（A|B）＝错误!是一种重要的求条件概率的方法．２．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P（AB）＝P（A）P（B）．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．３．二项分布概率概型中，事件A恰好发生k次可看做是C错误!个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与n—k个错误!事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k（１—p）n—k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C错误!p k（１—p）n—k.失误与防范１．运用公式P（AB）＝P（A）P（B）时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．２．二项分布概率概型中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．已知A，B是两个相互独立事件，P（A），P（B）分别表示它们发生的概率，则１—P（A）P（B）是下列哪个事件的概率（）Ａ．事件A，B同时发生Ｂ．事件A，B至少有一个发生Ｃ．事件A，B至多有一个发生Ｄ．事件A，B都不发生答案C解析P（A）P（B）是指A，B同时发生的概率，１—P（A）·P（B）是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．２．设随机变量X～B（２，p），Y～B（４，p），若P（X≥１）＝错误!，则P（Y≥２）的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析P（X≥１）＝P（X＝１）＋P（X＝２）＝C错误!p（１—p）＋C错误!p２＝错误!，解得p＝错误!.（0≤p≤１，故p＝错误!舍去）．故P（Y≥２）＝１—P（Y＝0）—P（Y＝１）＝１—C错误!×（错误!）４—C错误!×错误!×（错误!）３＝错误!.３．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为错误!，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为错误!×错误!＝错误!，故甲队获得冠军的概率为错误!＋错误!＝错误!.４．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是错误!.质点P移动五次后位于点（２,３）的概率是（）Ａ．错误!５Ｂ．C错误!错误!５Ｃ．C错误!错误!３Ｄ．C错误!C错误!错误!５答案B５．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P（A错误!）＋P（错误!B）＝P（A）P（错误!）＋P（错误!）P（B）＝错误!×（１—错误!）＋（１—错误!）×错误!＝错误!.二、填空题6．明天上午李明要参加校运动会，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0．80，乙闹钟准时响的概率是0．90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．答案0．98解析１—0．２0×0．１0＝１—0．0２＝0．98．7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为错误!，则该队员每次罚球的命中率为________．答案错误!解析设该队员每次罚球的命中率为p（其中0<p<１），则依题意有１—p２＝错误!，p２＝错误!.又0<p<１，因此有p＝错误!.8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0．9，服用这种新药的有甲、乙、丙３位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：１３位病人都被治愈的概率为0．9３；２３人中的甲被治愈的概率为0．9；３３人中恰有２人被治愈的概率是２×0．9２×0．１；４３人中恰好有２人未被治愈的概率是３×0．9×0．１２；５３人中恰好有２人被治愈，且甲被治愈的概率是0．9２×0．１．其中正确结论的序号是________．（把正确的序号都填上）答案１２４三、解答题9．如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为１∶１∶２．某同学向该靶投掷３枚飞镖，每次１枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．（１）求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；（２）设X表示该同学在３次投掷中投中A区域的次数，求X的分布列；（３）若该同学投中A，B，C三个区域分别可得３分，２分，１分，求他投掷３次恰好得４分的概率．解（１）设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P（A），依题意，P（A）＝错误!.（２）依题意知，X～B（３，错误!），从而X的分布列为X0１２３P错误!错误!错误!错误!（３）设B i表示事件“第i i i次击中目标时，击中C 区域”，i＝１,２,３．依题意知P＝P（B１C２C３）＋P（C１B２C３）＋P（C１C２B３）＝３×错误!×错误!×错误!＝错误!.１0．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为错误!与p，且乙投球２次均未命中的概率为错误!.（１）求乙投球的命中率p；（２）求甲投球２次，至少命中１次的概率；（３）若甲、乙两人各投球２次，求共命中２次的概率．解（１）方法一设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得（１—P（B））２＝（１—p）２＝错误!，解得p＝错误!或p＝错误!（舍去），所以乙投球的命中率为错误!.方法二设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得：P（错误!）P（错误!）＝错误!，于是P（错误!）＝错误!或P（错误!）＝—错误!（舍去）．故p＝１—P（错误!）＝错误!.所以乙投球的命中率为错误!.（２）方法一由题设知，P（A）＝错误!，P（错误!）＝错误!.故甲投球２次，至少命中１次的概率为１—P（错误!·错误!）＝错误!.方法二由题设知，P（A）＝错误!，P（错误!）＝错误!.故甲投球２次，至少命中１次的概率为C错误!P（A）P（错误!）＋P（A）P（A）＝错误!.（３）由题设和（１）知，P（A）＝错误!，P（错误!）＝错误!，P（B）＝错误!，P（错误!）＝错误!.甲、乙两人各投球２次，共命中２次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中２次，乙２次均不中；甲２次均不中，乙中２次．概率分别为C错误!P（A）P（错误!）C错误!P（B）P（错误!）＝错误!，P（A）P（A）P（错误!）P（错误!）＝错误!，P（错误!）P（错误!）P（B）P（B）＝错误!.所以甲、乙两人各投球２次，共命中２次的概率为错误!＋错误!＋错误!＝错误!.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．某种元件的使用寿命超过１年的概率为0．6，使用寿命超过２年的概率为0．３，则使用寿命超过１年的元件还能继续使用的概率为（）Ａ．0．３Ｂ．0．５Ｃ．0．6 Ｄ．１答案B解析设事件A为“该元件的使用寿命超过１年”，B为“该元件的使用寿命超过２年”，则P（A）＝0．6，P（B）＝0．３．因为B⊆A，所以P（AB）＝P（B）＝0．３，于是P（B|A）＝错误!＝错误!＝0．５．２．如图，用K、A１、A２三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A１、A２至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A１、A２正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为（）Ａ．0．960 Ｂ．0．86４Ｃ．0．7２0 Ｄ．0．５76答案B解析方法一由题意知K，A１，A２正常工作的概率分别为P（K）＝0．9，P（A１）＝0．8，P（A）＝0．8，２∵K，A１，A２相互独立，∴A１，A２至少有一个正常工作的概率为P（错误!A２）＋P（A１错误!２）＋P（A１A２）＝（１—0．8）×0．8＋0．8×（１—0．8）＋0．8×0．8＝0．96．∴系统正常工作的概率为P（K）[P（错误!A２）＋P（A１错误!２）＋P（A１A２）]＝0．9×0．96＝0．86４．方法二A１，A２至少有一个正常工作的概率为１—P（错误!１错误!２）＝１—（１—0．8）（１—0．8）＝0．96，∴系统正常工作的概率为P（K）[１—P（错误!１错误!２）]＝0．9×0．96＝0．86４．３．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占３0%，甲厂产品的合格率是9５%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．答案0．66５解析记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P（A）＝0．7，P（B|A）＝0．9５．∴P（AB）＝P（A）·P（B|A）＝0．7×0．9５＝0．66５．４．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将３次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是错误!，则小球落入A袋中的概率为________．答案错误!解析记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P（B）＝错误!３＋错误!３＝错误!，从而P（A）＝１—P（B）＝１—错误!＝错误!.５．甲罐中有５个红球，２个白球和３个黑球，乙罐中有４个红球，３个白球和３个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A１，A２和A３表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．（写出所有正确结论的编号）１P（B）＝错误!；２P（B|A１）＝错误!；３事件B与事件A１相互独立；４A１，A２，A３是两两互斥的事件；５P（B）的值不能确定，因为它与A１，A２，A３中究竟哪一个发生有关．答案２４解析P（B）＝P（BA１）＋P（BA２）＋P（BA３）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!，故１５错误；２P（B|A１）＝错误!＝错误!，正确；３事件B与A１的发生有关系，故错误；４A１，A２，A３不可能同时发生，是互斥事件，正确．6．（２0１３·辽宁）现有１0道题，其中6道甲类题，４道乙类题，张同学从中任取３道题解答．（１）求张同学至少取到１道乙类题的概率；（２）已知所取的３道题中有２道甲类题，１道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是错误!，答对每道乙类题的概率都是错误!，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解（１）设事件A＝“张同学所取的３道题至少有１道乙类题”，则有错误!＝“张同学所取的３道题都是甲类题”．因为P（错误!）＝错误!＝错误!，所以P（A）＝１—P（错误!）＝错误!.（２）X所有的可能取值为0,１,２,３．P（X＝0）＝C错误!·错误!0·错误!２·错误!＝错误!；P（X＝１）＝C错误!·错误!１·错误!１·错误!＋C错误!错误!0·错误!２·错误!＝错误!；P（X＝２）＝C错误!·错误!２·错误!0·错误!＋C错误!错误!１·错误!１·错误!＝错误!；P（X＝３）＝C错误!·错误!２·错误!0·错误!＝错误!.所以X的分布列为所以EX＝0×错误!＋１×。
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明在概率论中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。
它描述了在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。
在深入研究二项分布时，了解其期望和方差是至关重要的。
接下来，我们将详细证明二项分布的期望和方差。
首先，让我们明确二项分布的定义。
如果一个随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作 X ～ B(n, p)，其中 n 表示试验的次数，p 表示每次试验成功的概率。
那么，二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,， n ，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
接下来，我们开始证明二项分布的期望。
期望（Expected Value），通常用 E(X) 表示，它反映了随机变量取值的平均水平。
我们有：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n k P(X ＝ k)＝∑k ＝ 0 to n k C(n, k) p^k （1 p)＾（n k)为了计算这个和式，我们可以使用一些技巧。
首先，我们对 k C(n, k) 进行变形：k C(n, k) ＝ n C(n 1, k 1)将其代入期望的表达式中：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n n C(n 1, k 1) p^k （1 p)＾（n k)令 j ＝ k 1 ，则 k ＝ j ＋ 1 ，当 k ＝ 0 时，j ＝－1 ；当 k ＝ n 时，j ＝ n 1 。
则上式可以改写为：E(X) ＝n ∑j ＝－1 to n 1 C(n 1, j) p^（j ＋ 1) （1 p)＾（（n 1) j)因为当 j ＝－1 时，C(n 1, －1) ＝ 0 ，所以可以将求和的下限改为0 。
E(X) ＝n p ∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j)而∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j) 恰好是二项分布B(n 1, p) 的所有概率之和，其值为 1 。
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望和方差是统计学中常用的概念，用于描述二项试验的结果。
下面我将详细证明二项分布的期望和方差。
设一个二项试验有n次独立重复实验的机会，每次实验均有两种可能的结果：成功和失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
假设X 表示n次实验中成功的次数，X服从二项分布B(n,p)。
一、期望的证明：期望是对随机变量取值的平均值的度量，即E(X) = np。
对于n次独立重复实验的二项试验，每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
那么成功的次数X满足X∈{0, 1, 2, ..., n}。
我们可以用数学期望的定义来计算E(X)。
对于离散型随机变量X，其数学期望定义为E(X) = ΣxP(X=x)，其中x取遍X的所有可能取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
对于二项分布B(n,p)，X的所有可能取值为0, 1, 2, ..., n。
所以有：E(X) = ΣxP(X=x) = ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x) (其中C(n,x)表示从n个实验中取x个成功的组合数)我们可以将式子进行整理，注意到ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x)可以看作是二项定理的展开式中的一个项：E(X) = ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x) = ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x) * 1^x * 1^(n-x) = (p + (1-p))^n(二项定理展开式中的一项，p和1-p的幂次分别为x和n-x)根据二项定理展开式，我们知道(p + (1-p))^n = 1^n = 1，所以：E(X) = ΣxC(n,x)p^x(1-p)^(n-x) = 1 * 1 = 1所以，E(X) = np，证明了二项分布的期望为np。
二、方差的证明：方差是对随机变量偏离其平均值的度量，表示随机变量的离散程度。
方差Var(X)定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]，即X与其期望的差的平方的期望。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明在概率论中，二项分布是离散概率分布的一种，描述了n次独立重复的伯努利实验中成功次数的概率分布。
二项分布的期望和方差是对其分布特征的两个重要描述。
下面将详细证明二项分布的期望和方差。
首先，二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，n表示独立实验的次数，k表示成功的次数，p表示每次实验成功的概率，(1-p)表示每次实验失败的概率，C(n,k)表示组合数，定义为n!/(k!(n-k)!)。
【证明期望】E(X)=∑[k=0,n]k*P(X=k)考虑到k*P(X=k)可以表示为k次成功的概率乘以成功次数k，再乘以失败次数(n-k)的概率。
其中，成功的次数k可以从0到n。
将二项分布的概率质量函数带入计算：E(X)=∑[k=0,n]k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)我们可以通过二项式定理将其转化为：E(X)=∑[k=0,n]n!/(k!(n-k)!)*k*p^k*(1-p)^(n-k)进一步，我们可以通过对k进行分离：E(X)=∑[k=0,n]n!/[k!(n-k-1)!]*p^k*(1-p)^(n-k)我们可以进行一下变换，将k的范围从0到n重新放置为1到n+1：E(X)=∑[k=1,n+1]n!/[k-1!(n-k)!]*p^(k-1)*(1-p)^(n-k+1)通过上述变换，我们可以将k-1放到组合数中，并进行简化：E(X)=∑[k=1,n+1]n!/[k-1!(n-k+1)!]*p^(k-1)*(1-p)^(n-k+1)再通过代换，令j=k-1,有：E(X)=∑[j=0,n]n!/[(j)!(n-j+1)!]*p^j*(1-p)^(n-j+1)可以发现上述与二项分布的概率质量函数非常相似，只是未包含第一项的值。
而∑[j=0,n]n!/[(j)!(n-j+1)!]*p^j*(1-p)^(n-j+1)就是二项分布中k从0到n的概率总和，即为1、所以，我们可以将其表示为：E(X)=n*p得证。
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第十讲 二项分布及应用 随机变量的均值与方差知识要点1.事件的相互独立性(概率的乘法公式)设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3.对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． 4.条件概率的加法公式：若B 、C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． 注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生．6.二项分布：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝Ck n p k·(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n 次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数． 7.离散型随机变量的均值与方差及其性质定义：若离散型随机变量X 的分布列为P (ξ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n .(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望． (2)方差：D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差．(3)均值与方差的性质：(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 8.两点分布与二项分布的均值、方差变量X 服从两点分布： E (X )＝p ， D (X )＝p (1－p )； X ～B (n ，p )： E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ) 典例精析例1.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.例2．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576例 3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．例 4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．例 5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？例6．(13分)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．例7．(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．例8.【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.例9.（2016 河北张家口市三模21）（本小题满分12分）设函数．(Ⅰ)若，求的单调区间；(Ⅱ)若当时，，求的取值范围．参考答案例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为.（2）X的分布列为：p153515321XX的期望为.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为. 因此，A中学至少1名学生入选的概率为.（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.，，，所以X的分布列为：p153515321X因此，X的期望为.例2．如图10－8－1，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(B )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 【答案】B至少有一个正常工作的概率为，则系统正常工作的概率为例3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．【尝试解答】 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232×12＝427.所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝427.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327， 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【尝试解答】 (1)选手甲答3道题进入决赛的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827，选手甲答4道题进入决赛的概率为C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·13·23＝827， ∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P ＝827＋827＝1627；(2)依题意，ξ的可取取值为3、4、5，则有P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·13·23＋C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·23·13＝1027，P (ξ＝5)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·23＋C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·13＝827， 因此，有∴Eξ＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.规律方法2求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X～B(n，p)，则可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解．例5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？【解答】(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X＝20)＝C23C24＝12，P(X＝60)＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)对于方案1：设每位顾客获得的奖励额为X1元，则随机变量X1的分布列为P 162316∴数学期望E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，方差D(X1)＝错误!＋错误!×(60－60)2＋错误!＝错误!.对于方案2：设顾客获得的奖励额为X2元，则X2的分布列为X2406080P 162316∴数学期望E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，方差D(X2)＝错误!＋错误!×(60－60)2＋错误!＝错误!.根据预算，每个顾客的平均奖励额为60元，且E(X1)＝E(X2)＝60，D(X1)>D(X2)．因此，根据商场的设想，应选择方案2.例6.如图10－9－4所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．图10－9－4(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列、数学期望与方差．【解】 (1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39＝1，解得x ＝0.12. (2)由题意知，X ～B (3,0.1)．因此P (X ＝0)＝C 03×0.93＝0.729，，0.027＝0.9×20.1×23C ＝2)＝X (P ，0.243＝20.9×0.1×13C ＝1)＝X (P 0.001.＝30.1×3C ＝3)＝X (P 故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.7290.2430.0270.001X 的方差为D (X )＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.例7．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图10－9－3记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：图10－9－3(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【解】 (1)众数：8,6；中位数：8.75(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人．，A 记为事件”极幸福“人是1，至多有”极幸福“个人是i 人中有3表示所取i A 设121140＝C14C212C316＋C312C316＝)1A (P ＋)0A (P ＝)A (P 则 ，故依14＝416的人的概率为”极幸福“人，抽到1人的样本数据中任意选取16从(3)14＝P 的人的概率”极幸福“人，抽到1题意可知，从该社区中任选 ξ的可能取值为0,1,2,32764＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫341413C ＝1)＝ξ(P ；2764＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34＝0)＝ξ(P 164＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝3)＝ξ(P ；964＝342⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1423C ＝2)＝ξ(P 所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P276427649641640.75＝164×3＋964×2＋2764×1＋2764×0＝Eξ 0.75.＝14×3＝Eξ，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，14B ～ξ另解由题可知 例8. 【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知，分别求得，，，，即可知的概率分布及其期望. 试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，∵，，∴，，故所求概率为；（2）顾【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.例9.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性；（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解. 【答案】（1）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）详见解析. 【解析】（1）由已知，函数的定义域为，，所以.当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）由，解得.令.则，.故存在，使得.令，.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想. 【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出的大致图象，要使得在区间内恒成立，且在内有唯一解，则这个解应为极小值点，且极小值为0，当时，的图象递减；当时，的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.。