二项分布中方差的计算
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。
本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。
二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。
假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。
二项分布可以记作$B(n,p)$。
二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。
它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。
超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。
从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。
二项分布的期望和方差的详细证明范文精简版
二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望和方差的详细证明1. 引言2. 二项分布的定义二项分布是由一系列独立重复的伯努利试验组成的概率分布。
每一个伯努利试验都有两个可能的结果，成功和失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
记X为n次独立重复的伯努利试验中成功的次数，则X服从参数为n和p的二项分布，记作X ~ B(n,p)。
3. 二项分布的期望证明期望是随机变量的平均值，计算二项分布的期望需要使用如下的公式：E(X) = n p证明过程如下：根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p。
成功的次数X是一个离散随机变量，取值范围为0到n 之间的整数。
我们需要计算X的期望。
设X为n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
考虑每次试验的结果，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
由于每次试验都是独立的，所以X的期望是每次试验的成功次数的期望之和。
设每次试验成功的次数为X_i，其中i为试验的序号，取值范围为1到n。
根据伯努利分布的期望公式，每次试验成功的次数的期望为E(X_i) = p。
X的期望可以表示为：E(X) = E(X_1) + E(X_2) + + E(X_n) = np由此，我们得到了二项分布的期望公式。
4. 二项分布的方差证明方差是随机变量与其均值之差的平方的期望值，计算二项分布的方差需要使用如下的公式：Var(X) = n p (1-p)证明过程如下：根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p。
成功的次数X是一个离散随机变量，取值范围为0到n 之间的整数。
我们需要计算X的方差。
，我们计算X的平方的期望。
设每次试验成功的次数为X_i，表示第i次试验的结果。
根据伯努利分布的方差公式，每次试验成功的次数的方差为Var(X_i) = p (1-p)。
X的平方的期望可以表示为：E(X^2) = E(X_1^2) + E(X_2^2) + + E(X_n^2) = np (1-p)接下来，我们可以计算X的方差。
二项分布 分布律公式
二项分布分布律公式二项分布是概率论中的一种离散概率分布，也被称为伯努利分布或0-1分布。
它描述了在进行一系列独立的重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布情况。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能，通常用0和1表示，分别代表失败和成功。
二项分布的分布律公式可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验的次数，p 表示每次试验中成功事件发生的概率，C(n,k)表示组合数，表示从n次试验中选出k次成功的组合数。
在实际问题中，二项分布可以广泛应用。
例如，在进行投掷硬币的试验中，每次试验的结果只有正面和反面两种可能，可以使用二项分布来描述正面朝上的次数。
又如，在进行商品质量检验时，每个产品的合格和不合格是两种可能的结果，可以使用二项分布来描述合格产品的数量。
二项分布具有以下特点：1. 独立性：每次试验的结果都是独立的，前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。
2. 成功概率恒定：每次试验中成功事件发生的概率保持不变。
3. 试验次数固定：进行试验的次数是固定的，不会发生变化。
根据二项分布的分布律公式，我们可以计算出在给定参数下，各个事件发生次数的概率。
例如，在投掷一枚公平硬币10次的试验中，我们希望计算正面朝上5次的概率。
根据二项分布的公式，可以计算得到：P(X=5) = C(10,5) * (0.5)^5 * (0.5)^(10-5) = 0.246即正面朝上5次的概率为0.246，约为24.6%。
二项分布还可以用于计算累积概率。
例如，在上述硬币投掷的例子中，我们可以计算出正面朝上不超过5次的概率。
根据二项分布的性质，可以得知此时的累积概率为：P(X<=5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.623即正面朝上不超过5次的概率为0.623，约为62.3%。
二项分布的期望和方差的计算方法综述
＝ ｐ （；一 ， ＝ｐ ｎ∑ｂ ｎ １ ） ｎ ｙ ｐ
ｔ ：０
基本 的数 学特 征。对于 统计学 的初 学者 ，掌 握二项 分 布 的
期望和方 差 的计 算方 法 ，是 必不 可少 的。在 计算 连续概 率
接下来计算变量 ｘ的 ２阶阶乘矩 ：
Ｅ（ ［ ）］＝ Ｅ Ｘ Ｘ 一１ ］ ［（ ）
ｘ ＝０，， ， ，那 么 １２ …
通过 阶乘矩 计算方 差 ，显 得 不是那 么 直截 了当 ，但 在 ｘ为非 负整 数 的 离 散变 量 时 ，计算 Ｅ［ Ｘ 一１ ］比计 算 Ｘ（ ）
Ｅ ）来得简 便。该法 运用 分布列 的概 率总 和等于 １的性 （
ｒ 阶阶乘矩为 ：
Ｅ（ ， ［ ）］＝Ｅ Ｘ Ｘ一１ （ 一 ） — ＋１ ］ ［（ ） ２ …（ ｒ ）
熹 ｇ … ～ｎ） （１耋 －ｐ ２
～（ ）荟 兰 一１ ｐ
一 ｇ …
口
将对 四种二项分布 的期望和方差 的计算方 法加 以介绍 ，
并综述各 自的优缺 点 ，希 望能帮 助读 者更深 刻地 理解二 项 分布 ，掌 握好 期望 和方 差 的性 质 ，夯 实概率 论和数 理统 计
分布的期望和方差时 ， 初学者能够运用到积分 （ ） ｆ 运算。 与此不同，计算离散概率分布的期望和方差时 ， 积分 （ ） Ｉ
运 算变成了 加总 （∑ ） 计算过程变得相对复杂了。 ， 一个
好 的计算 方法既要有 助 于人们 理解 期望 和方差 ，又要计 算 简便 以免打击学习 的积极性 。
学 的 理论 基 础 。
１ 阶乘 矩 法
＝ （ １ （；一 ， ＝ （ 一 ） ｎ 一 ） ∑ｂ ｎ ２ ） ｎｎ １ ｐ ｙ ｐ ｐ
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明一、二项分布的定义二项分布是概率论中常用的一种离散概率分布，描述在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
其中，每次试验的结果只有两种可能，成功或失败。
设试验成功的概率为$ p $，失败的概率为$ q=1-p $，进行$ n $次试验，则成功的次数$ X $服从二项分布。
二、二项分布的期望定理1：二项分布的期望设$ X $是服从参数为$ n,p $的二项分布的随机变量，其期望为$ E(X) $，则有：$ E(X) = np $证明如下：由于二项分布是由$ n $个独立的伯努利试验组成，而每个伯努利试验成功的概率为$ p $，失败的概率为$ q=1-p $，所以根据期望的线性性质，有：$ E(X) = E(X_1 + X_2 + \\cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \\cdots + E(X_n) $其中，$ X_1,X_2,\\cdots,X_n $是与每次伯努利试验对应的随机变量。
根据伯努利分布的期望$ E(X_i) = p $，可以得到：$ E(X) = np $，二项分布的期望$ E(X) $等于$ np $。
三、二项分布的方差定理2：二项分布的方差设$ X $是服从参数为$ n,p $的二项分布的随机变量，其方差为$ Var(X) $，则有：$ Var(X) = npq $证明如下：，我们可以将方差展开为：$ Var(X) = E(X^2) [E(X)]^2 $我们已经知道，二项分布的期望$ E(X) = np $，所以：$ Var(X) = E(X^2) (np)^2 $接下来我们需要求$ E(X^2) $。
对于二项分布中的每个随机变量$ X_i $，其取值只能为0或1，所以$ X_i^2 = X_i $。
而我们又知道，二项分布是由$ n $个独立的伯努利试验组成，所以有：$ X^2 = X_1^2 + X_2^2 + \\cdots + X_n^2 $根据期望的线性性质，有：$ E(X^2) = E(X_1^2 + X_2^2 + \\cdots + X_n^2) = E(X_1^2) + E(X_2^2) + \\cdots + E(X_n^2) $由于$ X_i^2 = X_i $，所以$ E(X_i^2) = E(X_i) = p $。
常见分布的期望与方差的计算知识分享
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
利用正态分布近似计算二项分布的依据和具体做法
利用正态分布近似计算二项分布的依据和具体做法正态分布近似计算二项分布是一种非常常见和非常有用的方法，它可以帮助我们更好地研究随机事件的概率。
正态分布近似计算二项分布的依据和具体做法是基于多次试验中，其取位置点的概率分布可以用正态分布描述的现象来进行计算的。
具体来说，在运用正态分布近似计算二项分布的时候，我们先要做的是计算出误差度和把它转换为方差。
把误差度转换成方差的过程中，我们用的公式如下：
方差 = 2 * p * q
其中，p和q分别表示成功的概率和失败的概率，都是从二项分布求出的。
得到方差之后，就可以用它来计算出正态分布近似二项分布的均值，公式如下：
均值 = p * n
其中，n表示试验的重复次数，也是从二项分布求出的。
得到均值和方差后，再把这两个量代入正态分布的公式，就可以得到经过正态分布近似的二项分布概率分布。
之后，我们再计算二项分布概率数值，这一步比较简单，最后，我们得到的结果就相当于用正态分布近似计算出来的二项分布了。
总之，正态分布近似计算二项分布的基本原理就是，将二项分布取位置点的概率分布当做一个正态分布来模拟，然后用正态分布的公式去计算，把得到的均值和方差代表二项分布，从而获得近似的结果。
这种做法的优点在于，无论我们的随机事件的概率如何变化，计算的结果都会比较精确，也比较准确。
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明在概率论中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。
它描述了在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。
在深入研究二项分布时，了解其期望和方差是至关重要的。
接下来，我们将详细证明二项分布的期望和方差。
首先，让我们明确二项分布的定义。
如果一个随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作 X ～ B(n, p)，其中 n 表示试验的次数，p 表示每次试验成功的概率。
那么，二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,， n ，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
接下来，我们开始证明二项分布的期望。
期望（Expected Value），通常用 E(X) 表示，它反映了随机变量取值的平均水平。
我们有：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n k P(X ＝ k)＝∑k ＝ 0 to n k C(n, k) p^k （1 p)＾（n k)为了计算这个和式，我们可以使用一些技巧。
首先，我们对 k C(n, k) 进行变形：k C(n, k) ＝ n C(n 1, k 1)将其代入期望的表达式中：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n n C(n 1, k 1) p^k （1 p)＾（n k)令 j ＝ k 1 ，则 k ＝ j ＋ 1 ，当 k ＝ 0 时，j ＝－1 ；当 k ＝ n 时，j ＝ n 1 。
则上式可以改写为：E(X) ＝n ∑j ＝－1 to n 1 C(n 1, j) p^（j ＋ 1) （1 p)＾（（n 1) j)因为当 j ＝－1 时，C(n 1, －1) ＝ 0 ，所以可以将求和的下限改为0 。
E(X) ＝n p ∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j)而∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j) 恰好是二项分布B(n 1, p) 的所有概率之和，其值为 1 。
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二项分布中方差的计算假设ξ~B (n ,p ), 即kn k k n q p C k P -==}{ξ考虑E [ξ(ξ-1)]=Eξ2-Eξ 而∑∑∑∑=----=-=-=--=-----⋅-⋅=--=-=-nk kn k k n nk k n k nk kn k nk kn kk nq p C p n n q p k n k n n n q p k n k n k k qp C k k E 22222220)1()]!2(2[)!2()!2()1()!(!!)1()1()]1([ξξ令2-=k i 上式=222220222)1()1(np p n p n n q p Cpn n n i i n i in -=-=-∑-=---即2222np p n E E -=-ξξ,再将E ξ=np 代入上式,得)1(222222p np p n np np p n E -+=+-=ξ 最后得npq np p np p n E E D =--+=-=22222)()1()(ξξξ 例1的分布图例2的分布图4.2 超几何分布 例1的图形：例2的图形：定义4.2 设N 个元素分为两类, 有N 1个属于第一类, N 2个属于第二类(N 1+N 2=N ). 从中不重复抽样取n 个, 令ξ表示这n 个中第一类元素的个数, 则ξ的分布称为超几何分布,),....,1,0()(21n m CC C m P nNm n N m N ===-ξ规定: 如n <r , 那末0=rn C由概率分布的性质可知1)(0==∑=n m m P ξ, 即1021=∑=-nm nNm n N m N C C C可得组合的性质n N N nk k n N k N C C C21210+=-=∑ 计算ξ的数学期望和方差有两种方法第一种, 按定义∑∑∑∑===-=-++-+--⋅+----=+--⋅-⋅=====nm n Nnm n N nm n Nm n Nm N n m m n N m n N m N m N C N m n N m n N m N m N m C CC C mm mP E 1221111221100)!11()!11(!)!11()!1()!1()!()!(!)!(!!1)(21ξξ令k =m -1, 则上式=np N N n n N n N n N n N N C C N C C C N n N n Nn k kn N k N nN=⋅=---⋅-==---=---∑111111111)!()!1()!1()!(!!21其中NN p 1=为只抽一次抽到元素N 1的概率 因此放回抽样(二项分布)与不放回抽样(超几何分布)的数学期望是一样的.∑∑∑∑∑=-----=-=-=-=-=⋅+-----=⋅--=-==-=-n m m n N m N nN nm mn N n N nm mn N n N nm nNm n N m N n m C C C N N C m N m N C N N C m N m N C C C C m m m P m m E 2)2()2(2211211112112212221)1()!22()!2()!2()1()!()!2(!1)1()()1()]1([ξξξ令k =m -2,上式=221120)2(211)1()1(21---=---⋅-=-∑n N nN n k kn N k N n N C C N N C C C N N)1()1()1()!()!2()!2()!(!!)1(1111---=---⋅--=N N n n N N n N n N n N n N N N因此NnN N N n n N N E E E 1112)1()1()1()]1([+---=+-=ξξξξ11)1())(()1()]()([)1(][)1(][)1()]1()1()1)(1[()1()1()1()1()1()1()1()1()(21211211121211211211121112212111221211122--=--⋅⋅⋅=---=----==-++--==-+--++--=----+--==----+--==-+---=-=N n N npqN n N N N N N n N N n N N N nN N N N N n N N N nN N N nN N nN N N nN N N nN N nN N N N nN N N nN N nN N N N nN N N N n N nN N N N N n N N nN N n n N N N N n N nN N N n n N N E E D ξξξ 其中q =1-p另有一种办法计算ξ的数学期望，假设ξi 是第i 次抽到第一类元素的个数，因为只是1次，当然不是1就是0，因此服从0-1分布，且有),...,2,1(,)0(,)1(21n i q NNP p N N P i i =======ξξ,则),...,2,1(1n i p NN E i ===ξ因此np NN n nE E E E E E i nn =⋅==+++=+++=12121)(ξξξξξξξξ整个方法同二项分布时的相应方法一样，只是各ξi 间并非相互独立，但和的期望等于期望的和这条性质并不要求和中各项的随机变量相互独立。
当N 非常大时，远大于抽样数n 时，记作N >>n 超几何分布可以用二项分布来近似。
为说明这一点，首先给出一个近似式如下：当N >>n 时，有!n N C nn N≈这是因为)11()21)(11(!!)1()2)(1(Nn N N n N n n N N N N C n n N ----=+---=当N 很大时，后面每个括号的值近似为1，因此上面近似式成立，N 越大越准确，当N 趋于无穷时，约等于可以变为等于。
而当超几何分布中总元素的个数N 非常大时，N >>n , 在保持N 1/N 不变的情况下N 1和N 2也会很大，也有N 1>>m , N 2>>n -m , 因此有m n m m n mn m nmn m nNm n N m N qp C N N N N m n m n n Nm n N m N C C C m P ----=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅≈==2121)!(!!!)!(!)(21ξ 当N 趋于无穷时，近似式就成为准确式。
4.3 普哇松分布普哇松分布的来源是这样, 有时候要在一个单位长的时间段内进行大量的二项分布试验, 但希望在这个单位长的时间段内事件A 发生的平均数量为指定值λ, 因此将单位长度的时间段平均划分为n 段, 在每一段做一次独立试验, 使事件A 发生的概率为p , 而因为单位时间长度内, 即n 次试验中A 平均要发生给定值λ次, 而二项分布的均值已知为np , 也就是满足λ=np ,或者说在给定试验次数n 和均值λ的情况下,p =λ/n那么, 当n 很大时, p 必然很小, 这时候的二项分布就很接近普哇松分布, 当n 趋向于无穷大时, 必有p 趋向于无穷小, 即在每个"无穷小"的时间段内都做一次独立试验, 事件A 发生的概率也是"无穷小", 但积累起来, 单位时间内A 发生的平均数量还是λ. 在推导时, 要用到近似公式x x eλλ)1(-≈-当x 趋向于无穷小时等式严格成立. 当给定λ=np , 且n 很大, p =λ/n 很小时k n k kn q p C k P -==)(ξ假设k <<n 因此!k n C k k n≈则λλλλλλλξ-∞→---→⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=≈=ek n n k p k np q p k n k P n knkkn kk n k k !11!)1(!)(!)(因此我们有定义4.3 如果随机变量ξ的概率密度函数是,...)1,0(!)()(====-m e m m P m P mλλλξ其中λ>0, 则称ξ服从普哇松(Poisson )分布.利用级数∑+∞==0!k kxk x e可得1!)(0===-∞=-∞=∑∑λλλλλe e e m m P m mm数学期望与方差的计算∑∑∞=--∞=--⋅==11)!1(!m m m me m em mE λλλλλξ令1-=m k 则λλλξλ==-∞=∑e k E k k!当用普阿松分布来近似二项分布时，np =λ，其数学期望与二项分布的数学期望是一致的。
因为[]∑∑∞=--∞=--⋅=-=-=-22202)!2(!)1()1(m m m me m em m m E E E λλλλλξξξξ令k=m-2，则22!)]1([λλλξξλ==-∑∞=-k ke k Eλλξλξ+=+=222E E最后得λλλλξξξ=-+=-=2222)(E E D因此，普阿松分布的期望和方差都是λ，标准差为λ，这给统计带来方便。
因为，通常情况下是知道一随机变量服从普阿松分布，但是未知参数是λ，此参数正好是数学期望，因此就统计一段时间，看单位时间内某事件出现的次数的平均值，即事件发生总数除以时间。
得到的统计值λ就是单位时间内发生次数ξ服从的普阿松分布的参数。
当用普阿松分布近似表示二项分布时，因为λ=np 且n 一定要很大，即p 一定非常小，则二项分布的方差npq=np(1-p)≈np=λ, 还是一致的。