二项分布超几何分布数学期望与方差公式的推导资料讲解
超几何分布和二项分布
超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。
它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。
本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。
一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。
具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。
其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。
超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。
3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。
超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。
二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。
二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。
新高考数学复习考点知识讲解7---二项分布与超几何分布
,
所以(1-p)4=
,故 p= .
答案
9、某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,
且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的 4 位申请人中恰有 2 人申请 A 片区房
源的概率为
.
解析每位申请人申请房源为一次试验,这是 4 次独立重复试验,设申请 A 片区房源为 A,则
∴D(X)=100×0.2×0.8=16.
D(4X+3)=16D(X)=16×16=256.
答案 B
题型二 二项分布实际应用 例 2 某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是
2 / 11
否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目
投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概 率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该 节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
所以 Y 的分布列为
Y
－1
1
3
P
55 91
33 91
3 91
55 33
31
所以 E(Y)＝(－1)×91＋1×91＋3×91＝－7.
11 / 11
4
1 20
E(X)＝0×27＋5×27＋10×27＋15×27＋20×27＝ 3 .
题型三 超几何分布
4 / 11
例 3 某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛， 根据比赛规则，某中学选拔出 8 名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有 2 名女生；高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生，竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛．
专题49 两点分布、二项分布与超几何分布(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
专题49两点分布、二项分布与超几何分布【考点预测】知识点一．两点分布1、若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为X01P 1p -p其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中(1)P X =称为成功概率．注意：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称01-分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2、两点分布的均值与方差：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则()10(1)p p E X =⨯+⨯-=p ，()(1)p D X p =-．知识点二．n 次独立重复试验1、定义一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2、特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．知识点三．二项分布1、定义一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，不发生的概率1q p =-，那么事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==（0k =，1，2，…，n ）于是得到X 的分布列X01…k …n p 00C n n p q 111C n n p q -…C kk n k n p q -…0C nn n p q由于表中第二行恰好是二项式展开式()001110C C C C n n n k k n k nn n n n n q p p q p q p q p q --+=+++++ 各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作()X B n p ～，，并称p 为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即1n =时的二高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2、二项分布的适用范围及本质（1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．3、二项分布的期望、方差若()X B n p ～,，则()E X np =，)(1)(np p D X =-．知识点四．超几何分布1、定义在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{X k =发生的概率为()k n k M N M n NC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中}{min m M n =，，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．X01…m P 00n M N Mn N C C C --11n M N M n N C C C --…m n m M N M n NC C C --2、超几何分布的适用范围件及本质（1）适用范围：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y 的概率分布．（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．【方法技巧与总结】超几何分布和二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.【题型归纳目录】题型一：两点分布题型二：n 次独立重复试验题型三：二项分布题型四：超几何分布题型五：二项分布与超几何分布的综合应用【典例例题】题型一：两点分布例1．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量ξ的分布列为，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是A ．()()3,E m D nξξ==B ．()()2,E m D n ξξ==C ．()()21,E m D m mξξ=-=-D ．()()21,E m D m ξξ=-=例2．（2022·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID -19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有(),2n n n +∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n 次；方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验+1n 次.(1)若10n =，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；(2)已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<.（i ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；（ii ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.例3．（2022·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）变式1．（2022·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A 、B 、C 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．工种类别A B C 赔付频率511052104110A 、B 、C 工种职工每人每年的保费分别为a 元，a 元，b 元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a ，b 所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a ，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．变式2．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位）进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.(1)若12p =，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为180元，不需要复评的评审费用为90元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？变式3．（2022·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．题型二：n次独立重复试验例4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且2a b，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（）A．881B．89C．724D．523例5．（2022·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（）A．19B．727C．827D．829例6．（2022·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.064B．0.600C．0.784D．0.936变式4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，则求ξ的分布列与数学期望()Eξ.变式5．（2022·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.(1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.变式6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B两组，A组3人，服用甲种中药，B组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为45，B组3人康复的概率分别为933,,1044.(1)设事件M表示A组中恰好有1人康复，事件N表示B组中恰好有1人康复，求()P MN；(2)求A组康复人数比B组康复人数多的概率.变式7．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．(1)求比赛结束，甲得6分的概率；(2)设比赛结束，乙得X分，求随机变量X的概率分布列与数学期望．变式8．（2022·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.【方法技巧与总结】（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．题型三：二项分布例7．（2022·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（）A ．532B ．516C ．316D ．332例8．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X 为取得红球的次数，则()D X （）A ．157B ．207C ．2521D ．6049例9．（2022·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是()A ．2B ．3C ．4D ．5变式9．（2022·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则()80P X ≥-=（）A ．27128B ．243256C ．43256D ．83128变式10．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3变式11．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的n （*n ∈N ）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.（1）当n 取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？（2）当4n =时，用X 表示要补种的坑的个数，求X 的分布列.变式12．（2022·江苏常州·高三阶段练习）金坛区主城区全新投放一批共享电动自行车．本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过()n n *∈N 次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用ξ表示，问：ξ的数学期望能否超过3？变式13．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X 表示通过电视收看的人数，求X 的分布列和期望．变式14．（2022·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【方法技巧与总结】1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．2、二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：（1）根据题意设出随机变量；（2）分析出随机变量服从二项分布；（3）找到参数n，p；（4）写出二项分布的分布列；（5）将k值代入求解概率．题型四：超几何分布例10．（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（）A．1190B．1895C．37190D．189190例11．（2022·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝()A．2B．1C．3D．4例12．（2022·北京·高三专题练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班 （8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（x 轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设X 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀()1,2,,8k =⋅⋅⋅．写出方差()()()()1234,,,D D D D ξξξξ的大小关系（不必写出证明过程）．变式15．（2022·上海·高三开学考试）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X 表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X 的分布列和数学期望．变式16．（2022·全国·高三专题练习）为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内(),0n n n ∈>N 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415.(1)求n 的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X ，求X 的可能值及相应的概率；②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.变式17．（2022·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取()*,20n n n ∈≤N 名志愿者，用X表示所抽取的n 名志愿者中老师的人数.(1)若2n =，求X 的分布列与数学期望；(2)当n 为何值时，1X =的概率取得最大值?最大值是多少?变式18．（2022·山西大附中高三阶段练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.变式19．（2022·全国·高三专题练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（n*∈N）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为1 6 .(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.变式20．（2022·全国·高三专题练习）中国科研团队在研发“新冠疫苗”的过程中，为了测试疫苗的效果，科研人员以小白鼠为实验对象，进行了一些实验．(1)实验一：选取10只健康小白鼠，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中．实验结果发现，除2号、3号和7号小白鼠仍然感染了新冠病毒，其他小白鼠未被感染．现从这10只小白鼠中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的小白鼠只数记作X，求X的分布列和数学期望．(2)科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，小白鼠多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对小白鼠是否有效互相不影响，相互独立．若将实验一中未感染新冠病毒的小白鼠的频率当做疫苗的有效率，那么一只小白鼠注射两次疫苗能否保证有效率达到96%？若可以请说明理由；若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。
本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。
二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。
假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。
二项分布可以记作$B(n,p)$。
二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。
它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。
超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。
从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。
二项分布的数学期望和方差公式
二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。
数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。
首先，我们来定义二项分布。
设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。
则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。
1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。
另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。
3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。
-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。
性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。
-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。
成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
新知识必须尽快掌握，以便继续进行研究，增强自己的知识储备。
本文将从数学概念的角度，讨论二项分布、超几何分布的数学期望和方差的推导。
二项分布是一种独立重复试验的结果，它有两个参数，即试验的次数(n)和每次试验事件发生概率(p)。
二项分布的数学期望和方差是通过下式表示的：
E(X)=n*p
Var(X)=n*p*(1-p)
以上公式表明，试验的次数和事件发生的概率都会影响随机变量数学期望及方差的大小。
超几何分布也是一种独立重复试验的结果，但它有3个参数，即试验的次数(n)、事件会发生概率(p)及试验中一次命中多个特定事件的概率(m)。
超几何分布的数学期望和方差可以用下面的公式来描述： E(X)=n*p*m
Var(X)=n*p*m*(1-p)
以上公式表明，试验的次数、事件发生的概率及多个特定事件的概率都会影响随机变量数学期望及方差的大小。
借助上述推导，通过研究事件发生概率对随机变量数学期望及方差的影响，可以为科学研究和统计预测提供有效的数学模型。
本文介绍了二项分布和超几何分布数学期望和方差的推导方法，分析了事件发生概率对随机变量的影响。
希望本文能对读者有所帮助，
让大家对相关概念获得更深刻的理解。
从数学概念的角度来看，二项分布和超几何分布的数学期望和方差公式都可以推出。
二项分布由两个参数推导出期望和方差，而超几何分布由三个参数推导出期望和方差。
这些数学模型能为统计预测和科学研究提供有效的参考。
二项分布的期望与方差的证明
二项分布的期望与方差的证明第一篇：二项分布的期望与方差的证明二项分布的期望与方差的证明二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。
种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。
如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是p，若果失败了就是q=(1-p)，只有这两种情况，后来人们给了这除了成功就是失败的性质一个比较抽象的名称，叫相互对立事件。
在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称，叫相互独立事件，同时把这种试验叫做伯努利试验。
在n次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。
如果令q=(1-p)，那么很容易得出发生x次的概率为C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把x服从n，p的二项分布记做x～B(n，p)。
现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，np、npq，很难找到它是怎么来的。
好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。
首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。
期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根据方差的概念，可知：Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面计算数学期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ) =∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p如果要计算方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出结果，过程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]=n*p*[n*q－(n-1)*q]=n*p*q以上就是二项分布的期望与方差的证明，过程比较简单，就是一个思路，要想更深入的领悟，就须要自己亲自地证明一遍了，也许你的方法将会更简单……第二篇：二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望的方差的证明山西大学附属中学韩永权离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(ξ=k)=Cnkpkqn-k，（k=0,1,2n q=1-p）称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p 为参数，并记Cnkpkqn-k＝b(k；n，p)．求证：服从二项分布的随机变量ξ的期望Eξ=np.kk-1证明如下：预备公式：kcn=ncn-1 00n-10n-220n-2k-1k-1(n-1)-(n-k)n-1n-10(p+q)n-1=(cn+c 1+cn+...+cnq+...+cnq)-1pqn-1pq-1pq-1p-1pkkkkn-k因为p(ξ=k)=cnp(1-p)n-k=cnpq,00n1n-122n-2kkn-kn0n所以Eξ=0⨯cnpq+1⨯c1++2⨯cnpq+...+k⨯cnpq+...+ncnpq npq 00n-110n-220n-2k-1k-1(n-1)-(n-k)n-1n-10=np(cnpq+cpq +cpq+...+cpq+...+cq)-1n-1n-1n-1n-1p=np(p+q)n-1=np所以Eξ=np方法二：证明：若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导二项分布、超几何分布是统计学中常见的概率分布，它们的期望、方差均具有重要的数学意义。
在本文中，我们将就二项分布、超几何分布的期望与方差分别建立数学模型，并通过推导求出其公式，帮助大家来理解二项分布、超几何分布的期望与方差之间的关系。
一、二项分布的期望二项分布的期望[X]是指在概率观测中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记二项分布的观测概率为P(X=x)，那么二项分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的期望公式为：[X] = np其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
二、二项分布的方差二项分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
二项分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是二项分布的期望。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的方差公式为：[X] = np(1-p)其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
三、超几何分布的期望超几何分布的期望[X]是指在超几何分布中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记超几何分布的观测概率为P(X=x)，那么超几何分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的期望公式为：[X] = nq/p其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
四、超几何分布的方差超几何分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
超几何分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是超几何分布的期望。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的方差公式为：[X] = nqp(1-p)其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
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i=1
i=1
n
∑ =p2 n(n-1)
Ci-2 n-2
pi-2
qn-i+
i=2
n
∑ np
Ci-1 n-1
pi-1
qn-i-n2p2
i=1
=p2n(n-1)(p+q)n-2 +np(p+q)n-1 -n2 p2
=p2n(n-1)+np-n2p2
=np-p2 n
=np(1 -p). 二 、超几何分布
一批产品共 N件 , 其中有 M件不合格品 , 随机 取出的 n
件产品中 , 不合格数 X的概率分 布为 :
X0
1
2
3 … l-1
l
P
C0MCn N-M C1MCn N--1M C2MCn N--2M C3MCn N--3M
Cn N
Cn N
Cn N
Cn N
…
Cl M-1 Cn N+ -1M-lCl MCnN--lM
Cn N
CnN
其中 l=min(n, M).
ξ0
1
2
3 … n-1
n
P C0nqn C1npqn-1 C2np2 qn-2 C3np3qn-3 … Cn n-1 pn-1 q Cn npn
n
∑ E(ξ)= iCi npiqn-i i=0
∑n
=
iCi npiqn-i
i=1
n
∑ = nCi n--11piqn-i(利用预备公式 1可得 ) i=1
专 题 研 究
10 8 ZHUANTIYANJIU
二项分布 、超几何分布数学期望
与方差公式的推导
●韩晓东 (江苏省淮阴中 学 223002)
高中教材中 对二 项分布 、超 几何 分布数 学期 望与 方差 公式没有给出推 导过 程 , 现 笔者 给出 一推导 过程 仅供 读者 参考 .
∑l
E(x)=
i=0
iCi MCCn Nn N--iM
∑ =CMn N
l i=1
C C i-1 n-i M-1 N-M
=CMn NCn N--11(利用预备公式 3可得 )
=nNM.
∑l
V(x)=
i=0
i2 Ci MCCn Nn N--iM -
Mn2 N
∑ =CMn N
l i=1
iCi M--11
Cn-i N-M
n
∑ =np Ci n--11pi-1 qn-i i=1
=np(p+q)n-1
=np.
V(ξ)=Eξ2 -(Eξ)2
n
∑ =
i2 Ci npiqn-i-n2p2
i=0
n
∑ =
niCi n--11piqn-i-n2 p2
i=1
n
n
∑ ∑ =n (i-1)Ci n--11piqn-1 +n Ci n--11piqn-i-n2p2
预备公式 1 iCi n=nCi n--11 (n≥ 1), 利用组合数计算公式即可证明 . 预备公式 2 Dξ=Eξ2 -(Eξ)2 , 证明见教材 . 预备公式 3 C0nCk m +C1nCk m-1 +C2nCk m-2 +… +Ck nC0m =Ck n+m(n, m, k∈ N＊, k≤n, k≤m), 利用 恒等 式 (1 +x)n+m =(1 +x)n(1 + x)m的二项展开式中 xk的系数相等可证 . 一 、二项分布 在独立重复实验中 , 某结 果发生 的概率 均为 p(不 发生 的概率为 q, 有 p+q=1), 那么在 n次 实验中 该结果 发生的 次数 ξ的概率分布为 :
-
Mn 2 N
∑ =CMn N
l i=1
(i-1)Ci M--11
Cn-i N-M
+
∑ CMn N
l i=1
C C i-1 n-i M -1 N-M
-
Mn2 N
∑ =CMn N(M
-1)
l i=2
C C i-2 n-i M -2 N-M
+
∑ CMn N
l i=1
C C i-1 n-i M -1 N-M
-
Mn2 N
=CMn N(M -1)Cn N--22 +CMn NCn N--11
-
Mn2 N
=nMN 1 -MN 1 -Nn--11 .
数学学习与研究 2010.11